Главная > Виды и техники > Разрабатываем математические модели. Основы математического моделирования


Разрабатываем математические модели. Основы математического моделирования




Если цель моделирования ясна, то возникает следующая задача – задача построения математической модели. На этом этапе исходные предположения переводятся на четкий однозначный язык количественных отношений и устраняются нечеткие, неоднозначные высказывания или определения, которые заменяются, быть может, и приближенными, но четкими, не допускающими различных толкований высказываниями.

Построение математической модели выполняется в следующей последовательности :

1) выбор вида моделей и подмоделей;

2) проектирование структуры и состава моделей (подмоделей);

3) разработка отдельных подмоделей;

4) сборка модели в целом;

5) идентификация параметров моделей и подготовка исходных данных;

6) проверка достоверности модели системы.

На первом и втором подэтапах выполняется формализация описания системы: устанавливаются ее структура и существенные зависимости между элементами. Основная задача этих двух подэтапов – получение математического описания процессов в моделируемой системе и её структурной схемы, которая должна быть идентична структурной схеме промышленной системы.

При большой сложности системы первоначально производится разбиение процесса функционирования системы на отдельные достаточно автономные подпроцессы. Таким образом, модель функционально подразделяется на подмодели, каждая из которых в свою очередь может быть разбита на еще более мелкие элементы.

Для правильно построенной модели характерным является то, что она выявляет лишь те закономерности, которые нужны исследователю, и не рассматривает свойства системы, не существенные для данного исследования. Следует отметить, что оригинал и модель должны быть одновременно сходны по одним признакам и различны по другим, что позволяет выделить наиболее важные изучаемые свойства.

Разработка отдельных подмоделей состоит в составлении их математического описания: в установлении связей между параметрами процесса и выявлении их граничных и начальных условий, а также в формализации процесса в виде системы математических соотношений, характеризующих изучаемый объект (технологический процесс). При составлении математического описания используется либо теоретический, либо статистический подход (см. п.2.2.4).

При выполнении этого этапа особенно важно выбрать математическую модель минимально необходимой сложности. Если модель сложной системы образуется простым объединением полных моделей подсистем нижних уровней, то может возникнуть диспропорция между требуемой точностью и фактической сложностью модели. Эта диспропорция может быть устранена загрублением моделей низшего уровня (после детального автономного исследования их). Возможными вариантами такого загрубления являются:

Сведение детальных описаний многокомпонентного процесса к главной составляющей с поправочными коэффициентами;

Укрупнение состояний и фаз процессов;

Аппроксимация выявленных зависимостей;

Усреднение характеристик процессов по их аргументам;

Замораживание медленно меняющихся параметров;

Снижение требований к точности итераций;

Пренебрежение взаимной зависимостью переменных;

Для выведенных математических соотношений на следующем подэтапе выполняется идентификация их параметров. В настоящее время широко применяют различные способы оценки параметров: по методу наименьших квадратов, по методу максимального правдоподобия, байесовские, марковские оценки.

Подготовка исходных данных состоит в сборе и обработке результатов наблюдений за изучаемой системой. Обработка в типичном случае заключается в построении функций распределения соответствующих случайных величин или вычислении числовых характеристик распределений. Эти исходные данные, полученные в результате проведения исследования на реальной системе, будут использоваться в качестве параметров модели при реализации ее на ЭВМ.

Проверка достоверности модели системы является первой из проверок, выполняемых на этапе реализации модели. Так как модель представляет собой приближенное описание процесса функционирования реальной системы, то до тех пор, пока не доказана достоверность модели, нельзя утверждать, что с ее помощью будут получены результаты, совпадающие с теми, которые могли бы быть получены при проведении натурного эксперимента с реальной системой. Поэтому определение достоверности модели устанавливает степень доверия к результатам, полученным методом моделирования. Проверка модели на рассматриваемом подэтапе должна дать ответ на вопрос, насколько логическая схема модели системы и используемые математические соотношения отражают замысел модели, сформированный на первом этапе. При этом проверяются возможность решения поставленной задачи, точность отражения замысла в логической схеме, полнота логической схемы модели, правильность используемых математических соотношений.

Только после того, как разработчик убеждается путем соответствующей проверки в правильности всех этих положений, можно считать, что разработанная логическая схема модели системы пригодна для дальнейшей работы по реализации модели на ЭВМ.

Аннотация: В лекции описан процесс построения математической модели. Приведен словесный алгоритм процесса.

Для использования ЭВМ при решении прикладных задач прежде всего прикладная задача должна быть "переведена" на формальный математический язык, т.е. для реального объекта, процесса или системы должна быть построена его математическая модель .

Математические модели в количественной форме, с помощью логико-математических конструкций, описывают основные свойства объекта, процесса или системы, его параметры, внутренние и внешние связи .

Для построения математической модели необходимо:

  1. тщательно проанализировать реальный объект или процесс;
  2. выделить его наиболее существенные черты и свойства;
  3. определить переменные, т.е. параметры, значения которых влияют на основные черты и свойства объекта;
  4. описать зависимость основных свойств объекта, процесса или системы от значения переменных с помощью логико-математических соотношений (уравнения, равенства, неравенства, логико-математические конструкций);
  5. выделить внутренние связи объекта, процесса или системы с помощью ограничений, уравнений, равенств, неравенств, логико-математических конструкций;
  6. определить внешние связи и описать их с помощью ограничений, уравнений, равенств, неравенств, логико-математических конструкций.

Математическое моделирование , кроме исследования объекта, процесса или системы и составления их математического описания, также включает:

  1. построение алгоритма, моделирующего поведение объекта, процесса или системы;
  2. проверка адекватности модели и объекта, процесса или системы на основе вычислительного и натурного эксперимента;
  3. корректировка модели;
  4. использование модели.

Математическое описание исследуемых процессов и систем зависит от:

  1. природы реального процесса или системы и составляется на основе законов физики, химии, механики, термодинамики, гидродинамики, электротехники, теории пластичности , теории упругости и т.д.
  2. требуемой достоверности и точности изучения и исследования реальных процессов и систем.

На этапе выбора математической модели устанавливаются: линейность и нелинейность объекта, процесса или системы, динамичность или статичность, стационарность или нестационарность, а также степень детерминированности исследуемого объекта или процесса. При математическом моделировании сознательно отвлекаются от конкретной физической природы объектов, процессов или систем и, в основном, сосредотачиваются на изучении количественных зависимостей между величинами, описывающими эти процессы.

Математическая модель никогда не бывает полностью тождественна рассматриваемому объекту, процессу или системе. Основанная на упрощении, идеализации , она является приближенным описанием объекта. Поэтому результаты, полученные при анализе модели, носят приближенный характер. Их точность определяется степенью адекватности (соответствия) модели и объекта.

Обычно начинается с построения и анализа простейшей, наиболее грубой математической модели рассматриваемого объекта, процесса или системы. В дальнейшем, в случае необходимости, модель уточняется, делается ее соответствие объекту более полным.

Возьмем простой пример. Нужно определить площадь поверхности письменного стола. Обычно для этого измеряют его длину и ширину, а затем перемножают полученные числа. Такая элементарная процедура фактически обозначает следующее: реальный объект (поверхность стола) заменяется абстрактной математической моделью – прямоугольником. Прямоугольнику приписываются размеры, полученные в результате измерения длины и ширины поверхности стола, и площадь такого прямоугольника приближенно принимается за искомую площадь стола.

Однако модель прямоугольника для письменного стола – это простейшая, наиболее грубая модель. При более серьезном подходе к задаче прежде, чем воспользоваться для определения площади стола моделью прямоугольника, эту модель нужно проверить. Проверки можно осуществить следующим образом: измерить длины противоположных сторон стола, а также длины его диагоналей и сравнить их между собой. Если, с требуемой степенью точности, длины противоположных сторон и длины диагоналей попарно равны между собой, то поверхность стола действительно можно рассматривать как прямоугольник . В противном случае модель прямоугольника придется отвергнуть и заменить моделью четырехугольника общего вида. При более высоком требовании к точности может возникнуть необходимость пойти в уточнении модели еще дальше, например, учесть закругления углов стола.

С помощью этого простого примера было показано, что математическая модель не определяется однозначно исследуемым объектом, процессом или системой. Для одного и того же стола мы можем принять либо модель прямоугольника, либо более сложную модель четырехугольника общего вида, либо четырехугольника с закругленными углами. Выбор той или иной модели определяется требованием точности. С повышением точности модель приходится усложнять, учитывая новые и новые особенности изучаемого объекта, процесса или системы.

Рассмотрим другой пример: исследование движения кривошипно-шатунного механизма (Рис. 2.1) .


Рис. 2.1.

Для кинематического анализа этого механизма, прежде всего, необходимо построить его кинематическую модель. Для этого:

  1. Заменяем механизм его кинематической схемой, где все звенья заменены жесткими связями ;
  2. Пользуясь этой схемой, мы выводим уравнение движения механизма;
  3. Дифференцируя последнее, получаем уравнения скоростей и ускорения, которые представляют собой дифференциальные уравнения 1-го и 2-го порядка.

Запишем эти уравнения:

где С 0 – крайнее правое положение ползуна С:

r – радиус кривошипа AB;

l – длина шатуна BC;

– угол поворота кривошипа;

Полученные трансцендентные уравнения представляют математическую модель движения плоского аксиального кривошипно-шатунного механизма, основанную на следующих упрощающих предположениях:

  1. нас не интересовали конструктивные формы и расположение масс, входящих в механизм тел, и все тела механизма мы заменили отрезками прямых. На самом деле, все звенья механизма имеют массу и довольно сложную форму. Например, шатун – это сложное сборное соединение, форма и размеры которого, конечно, будут влиять на движение механизма;
  2. при движения рассматриваемого механизма мы также не учитывали упругость входящих в механизм тел, т.е. все звенья рассматривали как абстрактные абсолютно жесткие тела. В действительности же, все входящие в механизм тела – упругие тела. Они при движении механизма будут как-то деформироваться, в них могут даже возникнуть упругие колебания. Это все, конечно, также будет влиять на движение механизма;
  3. мы не учитывали погрешность изготовления звеньев, зазоры в кинематических парах A, B, C и т.д.

Таким образом, важно еще раз подчеркнуть, что, чем выше требования к точности результатов решения задачи, тем больше необходимость учитывать при построении математической модели особенности изучаемого объекта, процесса или системы. Однако, здесь важно во время остановиться, так как сложная математическая модель может превратиться в трудно разрешимую задачу.

Наиболее просто строится модель, когда хорошо известны законы, определяющие поведение и свойства объекта, процесса или системы, и имеется большой практический опыт их применения.

Более сложная ситуация возникает тогда, когда наши знания об изучаемом объекте, процессе или системе недостаточны. В этом случае при построении математической модели приходится делать дополнительные предположения, которые носят характер гипотез, такая модель называется гипотетической. Выводы, полученные в результате исследования такой гипотетической модели, носят условный характер. Для проверки выводов необходимо сопоставить результаты исследования модели на ЭВМ с результатами натурного эксперимента. Таким образом, вопрос применимости некоторой математической модели к изучению рассматриваемого объекта, процесса или системы не является математическим вопросом и не может быть решен математическими методами.

Основным критерием истинности является эксперимент, практика в самом широком смысле этого слова.

Построение математической модели в прикладных задачах – один из наиболее сложных и ответственных этапов работы. Опыт показывает, что во многих случаях правильно выбрать модель – значит решить проблему более, чем наполовину. Трудность данного этапа состоит в том, что он требует соединения математических и специальных знаний. Поэтому очень важно, чтобы при решении прикладных задач математики обладали специальными знаниями об объекте, а их партнеры, специалисты, – определенной математической культурой, опытом исследования в своей области, знанием ЭВМ и программирования.

Задачи, решаемые методами ЛП, очень разнообразны по содержанию. Но их математические модели схожи и условно объединяются в три большие группы задач:

  • транспортные задачи;
  • задачи о составлении плана;
Рассмотрим примеры конкретных экономических задач каждого типа, подробно остановимся на построении модели каждой задачи.

Транспортная задача

На двух торговых базах А и В имеется 30 гарнитуров мебели, по 15 на каждой. Всю мебель требуется доставить в два мебельных магазина, С и Д причем в С надо доставить 10 гарнитуров, а в Д - 20. Известно, что доставка одного гарнитура с базы А в магазин С обходится в одну денежную единицу, в магазин Д - в три денежных единицы. Соответственно с базы В в магазины С и Д : две и пять денежных единиц. Составить план перевозок так, чтобы стоимость всех перевозок была наименьшей.
Данные задачи для удобства разметим в таблице. На пересечении строк и столбцов стоят числа, характеризующие стоимость соответствующих перевозок (табл. 3.1).

Таблица 3.1


Составим математическую модель задачи.
Необходимо ввести переменные. В формулировке вопроса говорится, что необходимо составить план перевозок. Обозначим через х 1 , х 2 количество гарнитуров, перевозимых с базы А в магазины С и Д соответственно, а через у 1 , у 2 - количество гарнитуров, перевозимых с базы В в магазины С и Д соответственно. Тогда количество мебели, вывозимое со склада А , равно (х 1 + х 2), а со склада В - (у 1 + у 2). Потребность магазина С равна 10 гарнитурам, и в него привезли (х 1 + у 1) штук, т. е. х 1 + у 1 = 10. Аналогично, для магазина Д имеем х 2 + у 2 = 20. Заметим, что потребности магазинов в точности равны количеству гарнитуров, имеющихся на складах, поэтому х 1 + у 2 = 15 и у 1 + у 2 = 15. Если бы со складов вы увезли меньше, чем по 15 комплектов, то магазинам не хватило бы мебели для удовлетворения их потребностей.
Итак, переменные х 1 , х 2 , у 1 , у 2 по смыслу задачи неотрицательны и удовлетворяют системе ограничений:
(3.1)
Обозначив через F транспортные расходы, посчитаем их. на перевозку одного комплекта мебели из А в С тратится одна ден. ед., на перевозку x 1 комплектов - x 1 ден. ед. Аналогично, на перевозку x 2 комплектов из А в Д затратится 3x 2 ден. ед.; из В в С - 2y 1 ден. ед., из В в Д - 5y 2 ден. ед.
Итак,
F = 1x 1 + 3x 2 + 2y 1 + 5y 2 → min (3.2)
(мы хотим, чтобы общая стоимость перевозок была минимальной).
Сформулируем задачу математически.
На множестве решений системы ограничений (3.1) найти такое решение, которое обращает в минимум целевую функцию F (3.2), или найти оптимальный план (x 1 , x 2, y 1 , y 2), определяемый системой ограничений (3.1) и целевой функцией (3.2).
Задача, которую мы рассмотрели может быть представлена в более общем виде, с любым числом поставщиков и потребителей.
В рассмотренной нами задаче наличие груза у поставщиков (15 + 15) равно общей потребности потребителей (10 + 20). Такая модель называется закрытой , а соответствующая задача - сбалансированной транспортной задачей.
В экономических расчетах немалую роль играют и так называемые открытые модели, в которых указанное равенство не соблюдается. Либо запас у поставщиков больше потребности у потребителей, либо спрос превышает наличие товара. заметим, что тогда в систему ограничений несбалансированной транспортной задачи наряду с уравнениями будут входить и неравенства.

Рассмотрим пример несбалансированной транспортной задачи .
В пунктах А и В расположены кирпичные заводы, а в С и Д - карьеры, снабжающие их песком. потребность заводов в песке меньше, чем производительность карьеров. Известно, сколько песка нужно каждому из заводов и сколько добывается в каждом карьере. Также известна стоимость перевозки 1 т песка из каждого карьера к заводам (числа на стрелочках). Нужно так спланировать снабжение заводов песком, чтобы затраты на перевозку были наименьшими. Данные задачи на схеме.

Постоим математическую модель задачи.
Введем переменные:
x 11 - количество тонн песка, перевозимого с карьера С на завод А ;
x 12 - с карьера С на завод А ;
x 21 - количество тонн песка в А с карьера Д ;
x 22 - количество тонн песка с карьера Д на завод В .
На завод А должно быть доставлено 40 т с обоих карьеров, значит x 11 + x 21 = 40, на завод В должно быть доставлено 50 т, значит x 12 + x 22 = 50. Из карьера С вывезено не более 70 т, т. е. x 11 + x 12 ≤ 70, аналогично x 21 + x 22 ≤ 30. Имеем систему ограничений:
(3.3)
И целевая функция F , выражающая стоимость перевозок, имеет вид
F = 2x 11 + 6x 12 + 5x 21 + 3x 22 →min. (3.4)

Задача о составлении плана

Некоторому заводу требуется составить оптимальный план выпуска двух видов изделий, которые обрабатываются на четырех видах машин. Известны определенные возможности и производительность оборудования; цена изделий, обеспечивающая прибыль заводу, составляет 4 тыс. руб. за изделие I вида, 6 тыс. руб. - за изделие II вида. Составить план выпуска этих изделий так, чтобы от реализации их завод получил наибольшую прибыль. В таблице указано время, необходимое для обработки каждого из двух видов изделий на оборудовании всех четырех видов (табл. 3.2).

Таблица 3.2


Изделия 		Виды машин
1 2 3 4
I 1 0,5 1 0
II 1 1 0 1
Возможное время работы машин 18 12 12 9

Построим математическую модель.
В задаче необходимо определить план выпуска изделий, обозначим за x количество изделий I вида, за y - количество изделий II вида. Тогда посчитаем, сколько времени затратит первая машина на обработку всех производственных изделий. Она тратит одну единицу времени на одного изделие I вида, значит на x штук изделий потратит 1x ед. времени, на обработку y изделий II вида затратится 1y ед. времени. Всего резерв времени работы первой машины - 18 единиц времени. Значит, x + y ≤ 18. Аналогичные рассуждения со второй машиной, третьей и четвертой дадут систему ограничений:
(3.5)
Общая прибыль будет выражена в целевой функции:
F = 4x + 6y → max. (3.6)
Задача состоит в нахождении на множестве решений системы (3.5) такого решения, при котором значение целевой функции (3.6) было бы максимальным.

Задача составления смеси

Еще одна распространенная задача ЛП - задача о составлении смеси. Примером таких задач может быть задача о составлении таких смесей нефтепродуктов, которые бы удовлетворяли определенным техническим требованиям и были наиболее дешевыми по стоимости. Либо задачи о рационе, когда известна потребность в определенных веществах и содержание этих веществ в различных продуктах. Необходимо составить рацион так, чтобы удовлетворить потребности в необходимых веществах и при этом продуктовая корзина имела бы минимальную стоимость при заданных ценах на продукты.
Практически подобные задачи ставятся, к примеру, в любом животноводческом хозяйстве и имеют очень большой спектр применения.
Рассмотрим пример. Для откорма цыплят на птицефабрике в их рацион необходимо включать не менее 33 единиц вещества А , 23 единиц питательного вещества В , 12 единиц С . Для откорма используются три вида корма. Данные о содержании питательных веществ в каждом виде корма заданы таблицей. Также известна стоимость кормов. Необходимо составить наиболее дешевый рацион (табл. 3.3).

Таблица 3.3

Корма-продукты Вещества Стоимость 1 ед. корма
А В С
I 4 3 1 20
II 3 2 1 20
III 2 1 2 10

Для понимания задачи можете представить себе, что вещества А , В , С - это жиры, белки, углеводы, а продукты I, II, III - то, чем кормят цыплят, например пшено, комбикорм, витаминные добавки. Тогда первая строка таблицы показывает содержание в одной единице пшена: 4 ед. белка, 3 ед. жиров, одной ед. углеводов. Вторая строка - содержание белков, жиров, углеводов в 1 ед. II продукта и т. д.
Если постановка задачи ясна, приступим к построению математической модели.
В качестве ответа на поставленную задачу мы должны предложить рацион, т. е. указать сколько и каких кормов взять, чтобы необходимое количество питательных веществ было соблюдено и при этом он стоил как можно дешевле.
Поэтому, обозначим за x 1 количество кормов типа I в рационе, за x 2 - количество кормов типа II и, соответственно, x 3 - количество корма III в рационе. Тогда, вещества А при употреблении такого рациона цыплята получат 4x 1 - при потреблении продуктов типа I, 3x 2 - при потреблении II продукта, 2x 3 - при потреблении III. Всего вещества А необходимо употребить по условию задачи не менее 33 единиц, следовательно 4x 1 + 3x 2 + 2x 3 ≥ 33.
Аналогично рассуждая с веществами В и С , имеем:
3x 1 + 2x 2 + 1x 3 ≥ 23 и x 1 + x 2 + 2x 3 ≥ 12.
Таким образом, получим систему ограничений:
(3.7)
Переменные неотрицательны по смыслу задачи. При этом стоимость рациона выражается функцией:
F = 20x 1 + 20x 2 + 10x 3 → min, (3.8)
т. к. 20, 20, 10 - стоимость одной ед. продуктов I, II, III типов соответственно, а в рационе их содержится x 1 , x 2 , x 3 единиц.
Система ограничений (3.7) вместе с целевой функцией (3.8) и составляют математическую модель исходной задачи. Решить ее - значит найти x 1 , x 2 , x 3 , удовлетворяющие системе ограничений и обращающие значение функции F в минимальное.

Расстановка типов судов по линиям

Построить такой план расстановки двух типов судов по трем линиям, который обеспечил бы максимум суммарной провозной способности флота, но не меньше заданного на линиях объема перевозок.
Тип судна Производительность судов, млн. тонно-миль в сутки Эксплуатационный период, сутки
1-я линия 2-я линия 3-я линия
1 p 11 p 12 p 13 s 1
2 p 21 p 22 p 23 s 2
Заданный объем перевозки, млн. тонно-миль V 1 V 2 V 3

Экономико-математическая модель задачи.
Ограничения по эксплуатационному периоду:
x 1 /p 11 + x 2 /p 12 + x 3 /p 13 ≤ s 1
x 4 /p 21 + x 5 /p 22 + x 6 /p 23 ≤ s 2

Ограничения по поставкам:
s 1 x 1 + s 2 x 4 ≥ V 1
s 1 x 2 + s 2 x 5 ≥ V 2
s 1 x 3 + s 2 x 6 ≥ V 3

Целевая функция
p 11 x 1 +p 12 x 2 +p 13 x 3 +p 21 x 4 +p 22 x 5 +p 23 x 6 → max

Вопросы для самоконтроля
1. Постановка транспортной задачи. опишите построение математической модели.
2. Что такое сбалансированная и несбалансированная транспортная задача?
3. Что подсчитывается в целевой функции транспортной задачи?
4. Что отражает каждое неравенство системы ограничений задачи о плане?
5. Что отражает каждое неравенство системы ограничений задачи о смеси?
6. Что обозначают переменные в задаче о плане и задаче о смеси?

Для построения математической модели необходимо:

  1. тщательно проанализировать реальный объект или процесс;
  2. выделить его наиболее существенные черты и свойства;
  3. определить переменные, т.е. параметры, значения которых влияют на основные черты и свойства объекта;
  4. описать зависимость основных свойств объекта, процесса или системы от значения переменных с помощью логико-математических соотношений (уравнения, равенства, неравенства, логико-математические конструкций);
  5. выделить внутренние связи объекта, процесса или системы с помощью ограничений, уравнений, равенств, неравенств, логико-математических конструкций;
  6. определить внешние связи и описать их с помощью ограничений, уравнений, равенств, неравенств, логико-математических конструкций.

Математическое моделирование, кроме исследования объекта, процесса или системы и составления их математического описания, также включает:

  1. построение алгоритма, моделирующего поведение объекта, процесса или системы;
  2. проверка адекватности модели и объекта, процесса или системы на основе вычислительного и натурного эксперимента;
  3. корректировка модели;
  4. использование модели.

Математическое описание исследуемых процессов и систем зависит от:

  1. природы реального процесса или системы и составляется на основе законов физики, химии, механики, термодинамики, гидродинамики, электротехники, теории пластичности, теории упругости и т.д.
  2. требуемой достоверности и точности изучения и исследования реальных процессов и систем.

Построение математической модели обычно начинается с построения и анализа простейшей, наиболее грубой математической модели рассматриваемого объекта, процесса или системы. В дальнейшем, в случае необходимости, модель уточняется, делается ее соответствие объекту более полным.

Возьмем простой пример. Нужно определить площадь поверхности письменного стола. Обычно для этого измеряют его длину и ширину, а затем перемножают полученные числа. Такая элементарная процедура фактически обозначает следующее: реальный объект (поверхность стола) заменяется абстрактной математической моделью – прямоугольником. Прямоугольнику приписываются размеры, полученные в результате измерения длины и ширины поверхности стола, и площадь такого прямоугольника приближенно принимается за искомую площадь стола. Однако модель прямоугольника для письменного стола – это простейшая, наиболее грубая модель. При более серьезном подходе к задаче прежде, чем воспользоваться для определения площади стола моделью прямоугольника, эту модель нужно проверить. Проверки можно осуществить следующим образом: измерить длины противоположных сторон стола, а также длины его диагоналей и сравнить их между собой. Если, с требуемой степенью точности, длины противоположных сторон и длины диагоналей попарно равны между собой, то поверхность стола действительно можно рассматривать как прямоугольник. В противном случае модель прямоугольника придется отвергнуть и заменить моделью четырехугольника общего вида. При более высоком требовании к точности может возникнуть необходимость пойти в уточнении модели еще дальше, например, учесть закругления углов стола.

С помощью этого простого примера было показано, что математическая модель не определяется однозначно исследуемым объектом, процессом или системой .

ИЛИ (надо завтра уточнить)

Пути решения мат. Модели:

1, Построение м. на основе законов природы (аналитич. Метод)

2. Формальный путь с помощью статистическ. Обработки и результатов измерения (статист. Подход)

3. Построение м. на основе модели элементов (сложных систем)

1, Аналитический – использование при достаточном изуч. Общей закономерности изв. Моделей.

2. эксперимент. При отсутствии информ.

3. Имитационная м. – исследует св-ва объекта сст. В целом.


Пример построения математической модели.

Математи́ческая моде́ль - это математическое представление реальности.

Математическое моделирование - это процесс построения и изучения математических моделей.

Все естественные и общественные науки, использующие математический аппарат, по сути занимаются математическим моделированием: заменяют объект его математической моделью и затем изучают последнюю. Связь математической модели с реальностью осуществляется с помощью цепочки гипотез, идеализаций и упрощений. С помощью математических методов описывается, как правило, идеальный объект, построенный на этапе содержательного моделирования.

Зачем нужны модели?

Очень часто при исследовании какого либо объекта возникают трудности. Сам оригинал порой бывает недоступен, или его использование не целесообразно, или привлечение оригинала требует больших затрат. Все эти проблемы можно решить с помощью моделирования. Модель в определенном смысле может заменить исследуемый объект.

Простейшие примеры моделей

§ Фотографию можно назвать моделью человека. Для того чтобы узнать человека, достаточно видеть его фотографию.

§ Архитектор создал макет нового жилого района. Он может движением руки переместить высотное здание из одной части в другую. В реальности это было бы не возможно.

Типы моделей

Модели можно разделить на материальные" и идеальные . выше приведенные примеры являются материальными моделями. Идеальные модели часто имеют знаковую форму. Реальные понятия заменяются при этом некоторыми знаками, котое можно легко зафиксировать на бумаге, в памяти компьютера и т.д.

Математическое моделирование

Математическое моделирование относится к классу знакового моделирования. При этом модели могу создаваться из любых математических объектов: чисел, функций, уравнений и т.д.

Построение математической модели

§ Можно отметить несколько этапов построения математической модели:

1. Осмысление задачи, выделение наиболе важных для нас качеств, свойств, велечин и параметров.

2. Введение обозначений.

3. Составление системы ограничений, которым должны удовлетворять введенные величины.

4. Формулировка и запись условий,которым должно удовлетворять искомое оптимальное решение.

Процесс моделирования не заканчивается составлением модели,а только имначинается. Составив модель, выбирают метод нахождения ответа, решают задачу. после того как ответ найден сопостовляют его с реальностью. И возможно что ответ не удовлетворяет, в этом случае модель видоизменяют или даже выбирают совсем другую модель.

Пример математической модели

Задача

Производственное объединение, в которое входят две мебельные фабрики, нуждается в обновлении парка станков. Причем первой мебельной фабрике нужно заменить три станка, а второй-семь. Заказы можно разместить на двух станкостроительных заводах. Первый завод может изготовить не более 6 станков, а второй завод примет заказ если их будет не мение трех. Требуется определить как размещать заказы.

2.2.1 С точки зрения математический подхода “Задача – это модель и алгоритм ее применения в рамках некоторой математической теории” Для применения математических методов исследования требуется построить математическую модель задачи. Математическая модель задачи – это специальная логическая конструкция, целенаправленно описывающая в терминах математической теории объективный процесс или явление, лежащие в основе конкретной задачи. Процесс решения такой модели является своеобразным аналогом мыслительного процесса специалиста, принимающего решение.

Модель есть образ реального исследуемого объекта или явления, созданный при помощи определенного набора средств. Модели значительно облегчают понимание объектов (явлений), позволяют прогнозировать их поведение в интересующих нас условиях, применять унифицированные методы анализа. В модели концентрируются наиболее важные, с точки зрения рассматриваемой проблемы, признаки (свойства) изучаемого объекта (явления). Целью моделирования является создание достаточно точного, полного, лаконичного и удобного для восприятия и анализа описания.

Элементами математической модели являются переменные, параметры, связи (математические) и информация.

Общая квалификация математических моделей, как правило, производится по следующим признакам:

Поведению моделей во времени;

Видам входной информации,

Параметров, выражений, конструкций, составляющих математическую модель;

Структуре математической модели;

Типу используемого математического аппарата.

Согласно данной классификации математические модели бывают динамическими (время играет роль независимой переменной, и поведение системы меняется во времени); статическими (независящими от времени); квазистатическими или дискретно-событийными (поведение системы меняется от одного статического состояния к другому согласно внешним воздействиям). Если эти элементы модели достаточно точно установлены и поведение системы можно точно определить, то модель - детерминированная, в противном случае - стохастическая . Если информация и параметры являются непрерывными величинами, а математические связи устойчивы, то модель непрерывная , в противном случае - дискретная . Если параметры модели фиксированы и не изменяются в процессе моделирования согласно поведению объекта моделирования, то это модель с фиксированными параметрами , в противном случае - модель с изменяющимися во времени или в пространстве параметрами . Математическая модель может быть сложной, комплексной , иерархической , если можно найти элементарные подсистемы, составляющие её. Это очень важный вопрос, поскольку его решение позволяет значительно упростить моделирование, например, оперативное управление распределенными системами, особенно если модель можно представить в виде древовидной или сетевой структуры. По типу используемого математического аппарата будем говорить об аналитических, вероятностно-статистических и нечетких моделях.

Основные требования, предъявляемые к модели:

Адекватность (достоверность);

Полнота;

Неизбыточность;

Приемлемая трудоемкость.

Адекватность и полнота означают, что модель должна обладать всеми существенными (с точки зрения решаемой задачи) признаками объекта моделирования и с достаточной степенью точности не отличаться от него по этим признакам. Сюда же, в частности, относится проблема адекватности критерия оптимальности целям функционирования моделируемой системы. Относительно требования неизбыточности модель не должна быть «засорена» множеством мелких, второстепенных факторов, которые лишь усложняют математический анализ и делает результаты исследования трудно обозримыми. Приемлемая трудоемкость означает, что затраты на создание модели должны соответствовать установленным ограничениям на ресурсы и эффект от использования модели должен превышать затраты на ее построение. При этом при оценке издержек на моделирование следует учитывать затраты времени и усилий всех участников, задействованных как непосредственно в построении модели, так и сборе необходимой информации, расходы и время на обучение, стоимость обработки и хранения информации. Указанные требования к модели противоречивы. Например, с одной стороны, она должна быть достаточно полной, а с другой - достаточно простой и малозатратной. То есть создание математических моделей –это во многом творчество, требующее наличие соответствующих математических и прикладных знаний, опыта и квалификации.

2.2.2 Применительно к проблеме принятия решения можно говорить о модели ЗПР, модели среды принятия решения(описательной модели проблемной ситуации), модели процесса принятия решения, модели компьютерной системы принятия решения (системы поддержки принятия решений).

При определении модели конкретной ЗПР следует оценить ее относительно классификационных признаков, выделенных нами в рамках рассмотренной ранее системы классификации ЗПР и по результатам такой оценки определить модель ЗПР в виде кортежа соответствующих характеристик. Например, общая формальная модель ЗПР для индивидуального ЛПР может быть представлена в виде кортежа

;

а для группы ЛПР в виде кортежа

< So, T, R, S, G, B, A, К, F(f), L, A* >,

где So – проблемная ситуация; T –время для принятия решения; R – имеющиеся для принятия решения ресурсы; S = (S 1 , …, S n) – множество допустимых ситуаций, определяющих предметную область и тем самым уточняющих проблемную ситуацию So; G=(G 1 ,…,G k) – множество целей, преследуемых при принятии решения; B=(B 1 ,…,B L) – множество ограничений; A=(A 1 ,…,A m) – множество альтернативных вариантов решения; f – функция предпочтения ЛПР; K – критерии выбора; F(f) – функция группового предпочтения; L – принцип согласования индивидуальных предпочтений для формирования группового предпочтения; A* – оптимальное решение.

Поясним наличие в модели критериев выбора K и функции предпочтения. Опыт показывает, что в терминах критериев выбора чаще всего не удается выразить всю гамму «пристрастий», «вкусов» и предпочтений конкретного ЛПР. С помощью множества частных критериев, как правило возникающих при рассмотрения реальных ЗПР, лишь намечаются определенные цели, которые нередко оказываются весьма противоречивыми. Эти цели одновременно, как правило, достигнуты быть не могут, и поэтому требуется определенная дополнительная информация для осуществления компромисса. Иначе говоря, если ограничиться лишь множеством возможных решений и векторным критерием, то ЗПР оказывается «недоопределенной». Эта «недоопределенность» сказывается затем в слабой логической обоснованности выбора эффективного решения на основе векторного критерия. Для того чтобы осуществить обоснованный выбор, следует помимо векторного критерия располагать какими-то дополнительными сведениями о предпочтениях ЛПР. С этой целью необходимо включить в многокритериальную задачу функцию, описывающую отношения существующих предпочтений.

Для обозначения предпочтения решения А’ перед решением A” часто используется запись А’A”.Следует отметить, что не всякие два возможных решения А’ и A” связаны соотношением А’A” либо соотношениемA”А’. Могут существовать такие пары решений, что ЛПР не в состоянии отдать предпочтение какому-то одному из них.На практике способность ЛПР определить отношение предпочтения для любой пары допустимых альтернатив встречаются крайне редко (например, из-за невозможности абсолютно полно и точно определить последствия принимаемых решений).

При определении отношения предпочтения следует обеспечить выполнение двух следующих условий:

Отношение предпочтения является строгим в том смысле, что ни для какого допустимого решения А’ невозможно выполнение условия вида А’A’ - поскольку ни одно решение не может быть лучше самого себя;

Если А’A” и А”A’’’, то А’A’’’(свойство транзитивности).

Часто (например, при принятии решений в условиях управления иерархическими распределенными средами) возникает потребность в моделировании процесса принятия решения. Процесс принятия решений схематически представляется в виде так называемого дерева решений. Построение такого дерева базируются на декомпозиции процесса принятия решения - выделении самостоятельных функциональных подпроцессови более частных задач, а также установления взаимосвязи между ними, в результате чего общий процесс принятия решений представляется в виде решения последовательности взаимосвязанных иерархических локальных ЗПР. Основными принципами декомпозиции являются относительная самостоятельность каждого из подпроцессов (т.е. наличие конкретного объекта управления); наличие соответствующего набора функций и ЗПР с четко выраженными локальными целями принятия решения, согласующимися с общими целями принятия решения для системы в целом; оптимизация состава включенных в подпроцесс элементов. Этот вопрос будет рассмотрен позднее, при рассмотрении проблемы принятия решения в рамках проблемы оперативного менеджмента качества.

2.2.3 Основными этапами общего процесса моделирования являются:

1) анализ поставленной задачи;

2)анализ объекта моделирования и его среды с точки зрения поставленной задачи;

3) построение(синтез) модели;

4) проверка построенной модели на достоверность;

5) применение модели;

6)обновление модели(по мере необходимости).

1) Перед построении модели сначала необходимо определить главное назначением модели - какие выходные данные нужно получить, используя модель, чтобы помочь ЛПР разрешить стоящую перед ним проблему.

Затем следует определить, какая информация требуется для построения модели и какие нужны сведения на выходе. Кроме того, следует оценить расходы на создание модели и реакцию людей, которые должны будут ее использовать. Модель, затраты на построение и использование которой превышает получаемые от нее выгоды, никому не нужна, а слишком сложная модель может быть не понятна пользователям и не будет применяться на практике.

2) В основу модели кладется описание объекта, формируемое (в соответствии с решаемой задачи и доступной информации) на основе выделения составляющих объект элементов, выявления связи между ними, определения существенные для рассматриваемой задачи характеристик и параметров. На этом же этапе формируются, подлежащие последующей проверке гипотезы о закономерностях, присущих изучаемому объекту, о характере влияния на объект изменения тех или иных параметров и связей между элементами, изучаются взаимосвязи, определяющие возможные последствия принимаемых решений, а также устраняется нечеткие, неоднозначные высказывания или определения, которые заменяются, быть может, и приближенными, но четкими, не допускающими различных толкований высказываниями

3) Сущность математического моделирования состоит в подборе математических схем, адекватно описывающих процессы, происходящие в действительности.

При построении математической модели явление каким-то образом упрощается, схематизируется; из бесчисленного множества факторов, влияющих на явление, выделяется сравнительно небольшое количество важнейших, и полученная схема описывается с помощью того или другого математического аппарата. Общих способов построения математических моделей не существует. В каждом конкретном случае модель строится, исходя из поставленной задачи, доступных исходных данных, требуемой точности решения, личных предпочтений аналитика, создающего модель.

При построении математической модели выполняются следующие виды деятельности:

–анализ всех элементов системы, влияющих на эффективность принимаемых решений и оценка степени влияния каждого из них на функционирование организации при различных вариантах решений;

– исключение из перечня элементов, не влияющих (или несущественно влияющих)на выбор вариантов решений;

– предварительная группировка некоторых взаимосвязанных элементов для упрощения модели (например, расходы по аренде, содержанию помещений и другие объединить в условно-постоянные расходы);

– определение перечня элементов после уточнения их постоянного или переменного характера влияния на систему (в составе переменных элементов устанавливаются, в свою очередь, подэлементы системы, влияющие на их величину; например, транспортные расходы зависят от объема перемещенных товаров, расстояния, стоимости горючего и др.);

– закрепление за каждым подэлементом определенного символа и составление соответствующих математических конструкций.

Математическая модель обычно строится с ориентацией на предполагаемый метод решения задачи. С другой стороны, в процессе проведения математического исследования или интерпретации решения может понадобиться уточнить или даже существенно изменить математическую модель.

Как уже отмечалось выше, математические модели, применяемые в настоящее время в задачах принятия решений, можно грубо подразделить на три класса: аналитические, статистические и основанные на нечеткой формализации.

Для первых характерно установление формульных, аналитических зависимостей между параметрами задачи, записанных в любом виде: алгебраические уравнения, обыкновенные дифференциальные уравнения, уравнения с частными производными и т. д. Обычно с помощью аналитических моделей удается с удовлетворительной точностью описать какие-то сугубо технические процессы, в основу которых положены известные физические законы.

Использование статистических моделей предполагает наличие соответствующих вероятностно-статистических данных и закономерностей.

Использование моделей, основанных на нечеткой формализации, оправдано в случае отсутствия данных, позволяющих использовать два первых типа моделей.

Построенная модель должна быть подвергнута соответствующему анализу с целью обоснования. Наиболее важный момент - доказательство существования или получения решения в рамках сформулированной модели. Если это условие не выполняется, то следует скорректировать либо постановку задачи, либо способы ее математической формализации.

4) На практике почти всегда необходима проверка модели на достоверность. Во-первых, надо определить степень соответствия модели реальному явлению, установить, все ли существенные факторы реальной ситуации учтены в модели. Во-вторых, следует понять, насколько моделирование действительно помогает решить проблему. Желательно проверить модель на ситуации, имевшей место в прошлом.

Успешный результат сравнения (оценки) исследуемого объекта с моделью свидетельствует о достаточной степени изученности объекта, о правильности принципов, положенных в основу моделирования, и о том, что созданная модель работоспособна.

Часто первые результаты моделирования не удовлетворяют предъявленным требованиям. Это требует проведения дополнительных исследовании и соответствующего изменения модели.

5) Относительно применения модели следует учитывать, что основная причина недостаточно широкого использования моделей заключается в том, что руководители, для которых они создаются, часто не вполне понимают получаемые результаты и потому боятся их применять. Причиной является недостаток у них знаний в этой области. Для борьбы с этим системным аналитикам следует уделять значительно больше времени ознакомлению руководителей с возможностями и методикой использования моделей.

6) Обновление модели производится, если руководству потребуются выходные данные вболее удобной форме или дополнительные данные. Обновление модели может также потребоваться в случае изменения целей организации и соответствующих имкритериев принятия решений, либо при получении дополнительной информации, позволяющей уточнить, усовершенствовать текущую модель. Последняя ситуация связана с проблемой недостаточности, неточности априорной информации используемой для построения модели. Если внешняя среда подвижна, информацию о ней следует обновлять быстро, но на это может не хватать времени или это может оказаться слишком дорого. Информационные ограничения являются основной причиной недостоверности предпосылок, положенных в основу построения модели. Нередко возникают ситуации, когда невозможно получить информацию по всем важным факторам и использовать ее в модели. Следует соблюдать осторожность в отношении использования предположений, которые не могут быть точно оценены и объективно проверены (например, не поддается проверке предположение о росте продаж в будущем году на определенную сумму).

2.2.4 При построении модели следует учитывать следующие рекомендации:

Обычно сначала определяется основная более грубая конструкция (тип, общая схема) математической модели, а затем уточняются детали этой конструкции (конкретный перечень переменных и параметров, форма связей);

Следует избегать ненужной детализации модели, так как это излишне усложняет модель. То же можно сказать о таких характеристиках сложности модели, как используемые формы математических зависимостей, учет факторов случайности и неопределенности и т.д. Излишняя сложность и громоздкость модели затрудняют процесс исследования. Нужно учитывать не только реальные возможности информационного и математического обеспечения, но и сопоставлять затраты на моделирование с получаемым эффектом (при возрастании сложности модели прирост затрат может превысить прирост эффекта);

Одна из важных особенностей математических моделей -потенциальная возможность их использования для решения разнокачественных проблем. Поэтому, даже сталкиваясь с новой задачей, необходимо предварительно проанализировать возможность использования для ее решения уже известных моделей (или отдельных их составляющих);

Необходимо стремиться к тому, чтобы получить модель, принадлежащую хорошо изученному классу математических задач. Часто это удается сделать путем некоторого упрощения исходных предпосылок модели, не искажающих существенных черт моделируемого объекта.

Положительными характеристиками моделирования также являются:

– применение более совершенных проверенных практикой технологий принятия решения;

– высокая степень обоснованности решений;

– сокращение сроков принятия решений;

– возможность выполнения обратной операции.

Особенность обратной операции состоит в том, что, имея модель и исходные данные, можно не только принять решение, но и сориентироваться на требуемый результат и определить, какие исходные данные для этого необходимы. Так, например, ориентируясь на получение прибыли в объеме N, можно установить и количественные значения других показателей, прямо и косвенно влияющих на достижение планируемого результата (получение новых знаний о ситуации (объекте), отсутствующих ранее; формулировку выводов, которые невозможно получить при самых содержательных логических рассуждениях).