Exemples de multiplication de nombres décimaux. Multiplication décimale

Dans la dernière leçon, nous avons appris comment additionner et soustraire des fractions décimales (voir la leçon " Additionner et soustraire des fractions décimales"). Dans le même temps, ils ont estimé à quel point les calculs sont simplifiés par rapport aux fractions habituelles «à deux étages».

Malheureusement, avec la multiplication et la division de fractions décimales, cet effet ne se produit pas. Dans certains cas, la notation décimale complique même ces opérations.

Introduisons d'abord une nouvelle définition. Nous le rencontrerons assez souvent, et pas seulement dans cette leçon.

La partie significative d'un nombre est tout ce qui se trouve entre le premier et le dernier chiffre non nul, y compris les bandes-annonces. On ne parle que de chiffres, la virgule n'est pas prise en compte.

Les chiffres inclus dans la partie significative du nombre sont appelés chiffres significatifs. Ils peuvent être répétés et même être égaux à zéro.

Par exemple, considérons plusieurs fractions décimales et écrivons leurs parties significatives correspondantes :

91,25 → 9125 (chiffres significatifs : 9 ; 1 ; 2 ; 5) ;
0,008241 → 8241 (chiffres significatifs : 8 ; 2 ; 4 ; 1) ;
15,0075 → 150075 (chiffres significatifs : 1 ; 5 ; 0 ; 0 ; 7 ; 5) ;
0,0304 → 304 (chiffres significatifs : 3 ; 0 ; 4) ;
3000 → 3 (il n'y a qu'un seul chiffre significatif : 3).

Remarque : les zéros à l'intérieur de la partie significative du nombre ne vont nulle part. Nous avons déjà rencontré quelque chose de similaire lorsque nous avons appris à convertir des fractions décimales en fractions ordinaires (voir la leçon « Fractions décimales »).

Ce point est tellement important, et les erreurs sont si souvent commises ici que je publierai prochainement un test sur ce sujet. Assurez-vous de pratiquer! Et nous, armés du concept de partie significative, passerons, en fait, au sujet de la leçon.

Multiplication décimale

L'opération de multiplication consiste en trois étapes consécutives :

Pour chaque fraction, notez la partie significative. Vous obtiendrez deux nombres entiers ordinaires - sans dénominateurs ni points décimaux ;
Multipliez ces nombres de la manière qui vous convient. Directement, si les nombres sont petits, ou en colonne. On obtient la partie significative de la fraction souhaitée ;
Découvrez où et de combien de chiffres la virgule décimale est déplacée dans les fractions d'origine pour obtenir la partie significative correspondante. Effectuez des décalages inverses sur la partie significative obtenue à l'étape précédente.

Permettez-moi de vous rappeler une fois de plus que les zéros sur les côtés de la partie significative ne sont jamais pris en compte. Ignorer cette règle conduit à des erreurs.

0,28 12,5 ;

6,3 1,08 ;

132,5 0,0034 ;

0,0108 1600,5 ;

5,25 10 000.

On travaille avec la première expression : 0,28 12,5.

Écrivons les parties significatives des nombres de cette expression : 28 et 125 ;
Leur produit : 28 125 = 3500 ;
Dans le premier multiplicateur, la virgule décimale est décalée de 2 chiffres vers la droite (0,28 → 28), et dans le second - d'un autre chiffre. Au total, un décalage vers la gauche de trois chiffres est nécessaire : 3500 → 3,500 = 3,5.

Passons maintenant à l'expression 6,3 1,08.

Écrivons les parties significatives : 63 et 108 ;
Leur produit : 63 108 = 6804 ;
Encore une fois, deux décalages vers la droite : de 2 et 1 chiffres, respectivement. Au total - encore 3 chiffres vers la droite, donc le décalage inverse sera de 3 chiffres vers la gauche : 6804 → 6.804. Cette fois, il n'y a pas de zéros à la fin.

Nous sommes arrivés à la troisième expression : 132,5 0,0034.

Parties significatives : 1325 et 34 ;
Leur produit : 1325 34 = 45 050 ;
Dans la première fraction, la virgule décimale va vers la droite de 1 chiffre, et dans la seconde - jusqu'à 4. Total : 5 vers la droite. On effectue un décalage de 5 vers la gauche : 45050 → .45050 = 0.4505. Le zéro a été supprimé à la fin et ajouté au début afin de ne pas laisser de point décimal "nu".

L'expression suivante : 0,0108 1600,5.

Nous écrivons les parties significatives : 108 et 16 005 ;
Nous les multiplions : 108 16 005 = 1 728 540 ;
Nous comptons les nombres après la virgule : dans le premier nombre il y a 4, dans le second - 1. Au total - encore 5. Nous avons : 1 728 540 → 17,28540 = 17,2854. À la fin, le zéro "supplémentaire" a été supprimé.

Enfin, la dernière expression : 5,25 10 000.

Parties significatives : 525 et 1 ;
Nous les multiplions : 525 1 = 525 ;
La première fraction est décalée de 2 chiffres vers la droite et la seconde fraction est décalée de 4 chiffres vers la gauche (10 000 → 1,0000 = 1). Total 4 − 2 = 2 chiffres vers la gauche. Nous effectuons un décalage inverse de 2 chiffres vers la droite : 525, → 52 500 (nous avons dû ajouter des zéros).

Faites attention au dernier exemple : étant donné que la virgule décimale se déplace dans des directions différentes, le décalage total se fait par la différence. C'est un point très important! Voici un autre exemple :

Considérons les nombres 1,5 et 12 500. Nous avons : 1,5 → 15 (décalage de 1 vers la droite) ; 12 500 → 125 (décalage 2 vers la gauche). Nous "avançons" 1 chiffre vers la droite, puis 2 chiffres vers la gauche. En conséquence, nous avons incrémenté 2 − 1 = 1 chiffre vers la gauche.

Division décimale

La division est peut-être l'opération la plus difficile. Bien sûr, ici vous pouvez agir par analogie avec la multiplication : divisez les parties significatives, puis « déplacez » la virgule décimale. Mais dans ce cas, il existe de nombreuses subtilités qui annulent les économies potentielles.

Regardons donc un algorithme générique un peu plus long, mais beaucoup plus fiable :

Convertissez tous les nombres décimaux en fractions communes. Avec un peu de pratique, cette étape ne vous prendra que quelques secondes ;
Divisez les fractions résultantes de la manière classique. Autrement dit, multipliez la première fraction par la seconde "inversée" (voir la leçon " Multiplication et division de fractions numériques");
Si possible, retournez le résultat sous forme décimale. Cette étape est également rapide, car souvent le dénominateur a déjà une puissance de dix.

Une tâche. Trouvez la valeur de l'expression :

3,51: 3,9;

1,47: 2,1;

6,4: 25,6:

0,0425: 2,5;

0,25: 0,002.

On considère la première expression. Commençons par convertir les fractions obi en décimales :

On fait de même avec la deuxième expression. Le numérateur de la première fraction est à nouveau décomposé en facteurs :

Il y a un point important dans les troisième et quatrième exemples : après s'être débarrassé de la notation décimale, des fractions annulables apparaissent. Cependant, nous n'effectuerons pas cette réduction.

Le dernier exemple est intéressant car le numérateur de la deuxième fraction est un nombre premier. Il n'y a tout simplement rien à factoriser ici, nous le considérons donc comme "vide jusqu'au bout":

Parfois, la division donne un nombre entier (je parle du dernier exemple). Dans ce cas, la troisième étape n'est pas effectuée du tout.

De plus, lors de la division, des fractions «laides» apparaissent souvent qui ne peuvent pas être converties en décimales. C'est là que la division diffère de la multiplication, où les résultats sont toujours exprimés sous forme décimale. Bien entendu, dans ce cas, la dernière étape n'est à nouveau pas effectuée.

Faites également attention aux 3ème et 4ème exemples. Dans ceux-ci, nous ne réduisons délibérément pas les fractions ordinaires obtenues à partir de décimales. Sinon, cela compliquera le problème inverse - représentant à nouveau la réponse finale sous forme décimale.

Rappelez-vous : la propriété de base d'une fraction (comme toute autre règle en mathématiques) ne signifie pas en soi qu'elle doit être appliquée partout et toujours, à chaque occasion.

La fraction décimale est utilisée lorsque vous devez effectuer des opérations sur des nombres non entiers. Cela peut sembler irrationnel. Mais ce type de nombres facilite grandement les opérations mathématiques qui doivent être effectuées avec eux. Cette compréhension vient avec le temps, lorsque leur écriture devient familière, que la lecture ne pose pas de difficultés et que les règles des fractions décimales sont maîtrisées. De plus, toutes les actions sont répétées déjà connues, qui sont apprises avec des nombres naturels. Vous avez juste besoin de vous souvenir de certaines fonctionnalités.

Définition décimale

Un nombre décimal est une représentation spéciale d'un nombre non entier avec un dénominateur divisible par 10 et la réponse est un et éventuellement des zéros. En d'autres termes, si le dénominateur est 10, 100, 1000, etc., il est plus pratique de réécrire le nombre à l'aide d'une virgule. Ensuite, la partie entière sera située avant, puis la partie fractionnaire. De plus, l'enregistrement de la seconde moitié du nombre dépendra du dénominateur. Le nombre de chiffres qui sont dans la partie fractionnaire doit être égal au dénominateur.

Ce qui précède peut être illustré par ces chiffres :

9/10=0,9; 178/10000=0,0178; 3,05; 56 003,7006.

Raisons d'utiliser des décimales

Les mathématiciens avaient besoin de nombres décimaux pour plusieurs raisons :

Simplifiez l'enregistrement. Une telle fraction est située le long d'une ligne sans tiret entre le dénominateur et le numérateur, alors que la clarté n'en souffre pas.

Simplicité en comparaison. Il suffit juste de corréler les nombres qui sont dans les mêmes positions, alors qu'avec des fractions ordinaires il faudrait les ramener à un dénominateur commun.

Simplification des calculs.

Les calculatrices ne sont pas conçues pour l'introduction de fractions ordinaires, elles utilisent la notation décimale pour toutes les opérations.

Comment lire correctement ces chiffres ?

La réponse est simple : tout comme un nombre fractionnaire ordinaire avec un dénominateur multiple de 10. Les seules exceptions sont les fractions sans valeur entière, puis lors de la lecture, vous devez dire "zéro entier".

Par exemple, 45/1000 doit être prononcé comme quarante cinq millièmes, tandis que 0,045 sonnera comme zéro virgule quarante-cinq millièmes.

Un nombre mixte avec une partie entière égale à 7 et une fraction de 17/100, qui s'écrira 7,17, dans les deux cas se lira comme sept virgule dix-sept centièmes.

Le rôle des chiffres dans la notation des fractions

Il est vrai de noter la décharge - c'est ce que les mathématiques exigent. Les décimales et leur signification peuvent changer considérablement si vous écrivez un chiffre au mauvais endroit. Cependant, cela a été vrai auparavant.

Pour lire les chiffres de la partie entière d'une fraction décimale, il suffit d'utiliser les règles connues pour les nombres naturels. Et sur le côté droit, ils sont mis en miroir et lus différemment. Si "dizaines" retentit dans toute la partie, alors après la virgule décimale, ce sera déjà "dixièmes".

Cela se voit clairement dans ce tableau.

Tableau des décimales

Classer	milliers			unités			,	fraction
décharge	cent	déc.	unités	cent	déc.	unités	,	dixième	centième	millième	dix millième

Comment écrire un nombre fractionnaire sous forme décimale ?

Si le dénominateur contient un nombre égal à 10 ou 100, et d'autres, alors la question de savoir comment convertir une fraction en nombre décimal est simple. Pour ce faire, il suffit de réécrire toutes ses parties constituantes d'une manière différente. Les points suivants vous y aideront :

écrivez le numérateur de la fraction un peu à l'écart, à ce moment la virgule décimale est située à droite, après le dernier chiffre;

déplacez la virgule vers la gauche, la chose la plus importante ici est de compter correctement les nombres - vous devez la déplacer d'autant de positions qu'il y a de zéros dans le dénominateur ;

s'il n'y en a pas assez, des zéros doivent apparaître dans des positions vides ;

les zéros qui étaient à la fin du numérateur ne sont plus nécessaires et peuvent être barrés ;

ajoutez une partie entière avant la virgule, si elle n'y était pas, alors zéro apparaîtra également ici.

Attention. Vous ne pouvez pas barrer les zéros entourés d'autres nombres.

Sur la façon d'être dans une situation où le dénominateur contient un nombre non seulement de un et de zéros, comment convertir une fraction en décimal, vous pouvez lire un peu plus bas. Ce sont des informations importantes que vous devez absolument lire.

Comment convertir une fraction en nombre décimal si le dénominateur est un nombre arbitraire ?

Il y a deux options ici:

Lorsque le dénominateur peut être représenté par un nombre égal à dix à n'importe quelle puissance.

Si une telle opération ne peut être effectuée.

Comment le vérifier ? Il faut factoriser le dénominateur. Si seuls 2 et 5 sont présents dans le produit, alors tout va bien et la fraction est facilement convertie en une décimale finale. Sinon, si 3, 7 et d'autres nombres premiers apparaissent, le résultat sera infini. Il est d'usage d'arrondir une telle fraction décimale pour en faciliter l'utilisation dans les opérations mathématiques. Cela sera discuté un peu plus bas.

Étudier comment ces fractions décimales sont obtenues, 5e année. Des exemples seront très utiles ici.

Soit les dénominateurs contiennent des nombres : 40, 24 et 75. La décomposition en facteurs premiers pour eux sera la suivante :

40=2 2 2 5 ;
24=2 2 2 3 ;
75=5 5 3.

Dans ces exemples, seule la première fraction peut être représentée comme une fraction finale.

Algorithme pour convertir une fraction ordinaire en un nombre décimal final

Vérifiez la factorisation du dénominateur en facteurs premiers et assurez-vous qu'il sera composé de 2 et 5.

Ajoutez à ces nombres autant de 2 et 5 qu'ils deviennent un nombre égal. Ils donneront la valeur du multiplicateur supplémentaire.

Multipliez le dénominateur et le numérateur par ce nombre. Le résultat est une fraction ordinaire, sous la ligne de laquelle il y a 10 dans une certaine mesure.

Si, dans la tâche, ces actions sont effectuées avec un nombre mixte, elles doivent d'abord être représentées sous la forme d'une fraction impropre. Et alors seulement, agissez selon le scénario décrit.

Représentation d'une fraction commune sous la forme d'un nombre décimal arrondi

Cette façon de convertir une fraction en nombre décimal semblera encore plus facile à quelqu'un. Parce qu'il n'a pas beaucoup d'action. Il suffit de diviser le numérateur par le dénominateur.

Tout nombre avec une partie décimale à droite de la virgule décimale peut se voir attribuer un nombre infini de zéros. Cette propriété doit être utilisée.

Tout d'abord, écrivez toute la partie et mettez une virgule après. Si la fraction est correcte, écrivez zéro.

Ensuite, il faut effectuer la division du numérateur par le dénominateur. Pour qu'ils aient le même nombre de chiffres. Autrement dit, attribuez le nombre requis de zéros à droite du numérateur.

Effectuez une division dans une colonne jusqu'à ce que le nombre de chiffres requis soit composé. Par exemple, si vous devez arrondir aux centièmes, la réponse devrait en contenir 3. En général, il devrait y avoir un chiffre de plus que ce que vous devez obtenir à la fin.

Enregistrez la réponse intermédiaire après la virgule et arrondissez selon les règles. Si le dernier chiffre est compris entre 0 et 4, il vous suffit de le supprimer. Et quand il est égal à 5-9, alors celui qui le précède doit être augmenté de un, en écartant le dernier.

Retour du décimal à l'ordinaire

En mathématiques, il y a des problèmes lorsqu'il est plus pratique de représenter des fractions décimales sous la forme de fractions ordinaires, dans lesquelles il y a un numérateur avec un dénominateur. Vous pouvez pousser un soupir de soulagement : cette opération est toujours possible.

Pour cette procédure, vous devez effectuer les opérations suivantes :

écrivez la partie entière, si elle est égale à zéro, alors rien n'a besoin d'être écrit ;

tracez une ligne fractionnaire ;

au-dessus, écrivez les chiffres du côté droit, si les premiers sont des zéros, alors ils doivent être barrés;

sous la ligne, écrivez une unité avec autant de zéros qu'il y a de chiffres après la virgule dans la fraction originale.

C'est tout ce que vous devez faire pour convertir un nombre décimal en une fraction commune.

Que pouvez-vous faire avec des nombres décimaux ?

En mathématiques, il s'agira de certaines actions avec des fractions décimales qui étaient auparavant effectuées pour d'autres nombres.

Elles sont:

comparaison;

addition et soustraction;

Multiplication et division.

La première action, la comparaison, est similaire à la façon dont cela a été fait pour les nombres naturels. Pour déterminer lequel est le plus grand, vous devez comparer les chiffres de la partie entière. S'ils s'avèrent égaux, ils passent au fractionnaire et les comparent de la même manière par chiffres. Le nombre avec le plus grand chiffre dans l'ordre le plus élevé sera la réponse.

Additionner et soustraire des nombres décimaux

Ce sont peut-être les étapes les plus simples. Parce qu'ils sont exécutés selon les règles des nombres naturels.

Ainsi, pour ajouter des fractions décimales, elles doivent être écrites les unes sous les autres, en plaçant des virgules dans une colonne. Avec un tel enregistrement, les parties entières apparaissent à gauche des virgules et les parties fractionnaires à droite. Et maintenant, vous devez ajouter les nombres petit à petit, comme on le fait avec les nombres naturels, en déplaçant la virgule vers le bas. Vous devez commencer à additionner à partir du plus petit chiffre de la partie fractionnaire du nombre. S'il n'y a pas assez de nombres dans la moitié droite, ajoutez des zéros.

La soustraction fonctionne de la même manière. Et ici, la règle s'applique, qui décrit la possibilité de prendre une unité à partir du chiffre le plus élevé. Si la fraction réduite a moins de chiffres après la virgule décimale que le sous-traitant, des zéros lui sont simplement attribués.

La situation est un peu plus compliquée avec les tâches où vous devez effectuer la multiplication et la division de fractions décimales.

Comment multiplier décimal dans différents exemples?

La règle de multiplication des fractions décimales par un nombre naturel est la suivante :

écrivez-les dans une colonne, en ignorant la virgule ;

multiplier comme s'ils étaient naturels ;

séparer par une virgule autant de chiffres qu'il y avait dans la partie fractionnaire du nombre original.

Un cas particulier est un exemple dans lequel un nombre naturel est égal à 10 à n'importe quelle puissance. Ensuite, pour obtenir une réponse, il suffit de déplacer la virgule vers la droite d'autant de positions qu'il y a de zéros dans un autre facteur. En d'autres termes, lors de la multiplication par 10, la virgule se décale d'un chiffre, de 100 - il y en aura deux, et ainsi de suite. S'il n'y a pas assez de chiffres dans la partie fractionnaire, vous devez écrire des zéros dans des positions vides.

La règle utilisée lorsque, dans la tâche, vous devez multiplier des fractions décimales par une autre du même nombre :

écrivez-les l'un sous l'autre en ignorant les virgules ;

multiplier comme s'il s'agissait de nombres naturels;

séparer par une virgule autant de chiffres qu'il y avait dans les parties fractionnaires des deux fractions originales ensemble.

A titre de cas particulier, on distingue des exemples dans lesquels l'un des facteurs est égal à 0,1 ou 0,01 et ainsi de suite. Dans ceux-ci, vous devez déplacer la virgule vers la gauche du nombre de chiffres dans les facteurs présentés. Autrement dit, si elle est multipliée par 0,1, la virgule est décalée d'une position.

Comment diviser une fraction décimale en différentes tâches ?

La division des fractions décimales par un nombre naturel s'effectue selon la règle suivante :

écrivez-les pour les diviser dans une colonne, comme s'ils étaient naturels;

diviser selon la règle habituelle jusqu'à ce que toute la partie se termine;

mettre une virgule dans la réponse;

continuer à diviser la composante fractionnaire jusqu'à ce que le reste soit égal à zéro ;

si nécessaire, vous pouvez attribuer le nombre requis de zéros.

Si la partie entière est égale à zéro, elle ne figurera pas non plus dans la réponse.

Séparément, il y a une division en nombres égaux à dix, cent, etc. Dans de tels problèmes, vous devez déplacer la virgule vers la gauche du nombre de zéros dans le diviseur. Il arrive qu'il n'y ait pas assez de chiffres dans la partie entière, alors des zéros sont utilisés à la place. On peut voir que cette opération est similaire à la multiplication par 0,1 et des nombres similaires.

Pour effectuer une division de nombres décimaux, vous devez utiliser cette règle :

transformez le diviseur en un nombre naturel et, pour ce faire, déplacez la virgule vers la droite jusqu'à la fin;

déplacer la virgule et dans le divisible par le même nombre de chiffres ;

suivre le scénario précédent.

La division par 0,1 est mise en surbrillance ; 0,01 et autres nombres similaires. Dans de tels exemples, la virgule est décalée vers la droite du nombre de chiffres de la partie fractionnaire. S'ils sont terminés, vous devez attribuer le nombre manquant de zéros. Il convient de noter que cette action répète la division par 10 et des nombres similaires.

Conclusion : tout est une question de pratique

Rien dans l'apprentissage n'est facile ou sans effort. Il faut du temps et de la pratique pour maîtriser un nouveau matériel de manière fiable. Les mathématiques ne font pas exception.

Pour que le sujet des fractions décimales ne pose pas de difficultés, vous devez résoudre autant d'exemples que possible avec eux. Après tout, il fut un temps où l'addition des nombres naturels prêtait à confusion. Et maintenant tout va bien.

Par conséquent, pour paraphraser une phrase bien connue : décidez, décidez et décidez encore. Ensuite, les tâches avec de tels nombres seront effectuées facilement et naturellement, comme un autre puzzle.

Soit dit en passant, les énigmes sont difficiles à résoudre au début, puis vous devez effectuer les mouvements habituels. Il en va de même dans les exemples mathématiques : après avoir parcouru plusieurs fois le même chemin, vous ne penserez plus vers où vous tourner.

§ 1 Application de la règle de multiplication des fractions décimales

Dans cette leçon, vous allez présenter et apprendre à appliquer la règle de multiplication des fractions décimales et la règle de multiplication d'une fraction décimale par une unité de lieu telle que 0,1, 0,01, etc. De plus, nous considérerons les propriétés de la multiplication lors de la recherche des valeurs d'expressions contenant des fractions décimales.

Résolvons le problème :

La vitesse du véhicule est de 59,8 km/h.

Quelle distance la voiture parcourra-t-elle en 1,3 heure ?

Comme vous le savez, pour trouver un chemin, vous devez multiplier la vitesse par le temps, c'est-à-dire 59,8 fois 1,3.

Écrivons les nombres dans une colonne et commençons à les multiplier sans remarquer les virgules : 8 fois 3 sera 24, 4 nous écrivons 2 dans notre esprit, 3 fois 9 est 27, plus 2, nous obtenons 29, nous écrivons 9, 2 dans nos esprits. Maintenant, nous multiplions 3 par 5, ce sera 15 et ajoutons 2 de plus, nous obtenons 17.

Allez à la deuxième ligne : 1 fois 8 est 8, 1 fois 9 est 9, 1 fois 5 est 5, additionnez ces deux lignes, nous obtenons 4, 9+8 est 17, 7 écrivez 1 dans votre tête, 7 +9 est 16 plus 1, ce sera 17, 7 nous écrivons 1 dans notre esprit, 1+5 plus 1 nous obtenons 7.

Voyons maintenant combien de décimales il y a dans les deux fractions décimales ! La première fraction a un chiffre après la virgule et la deuxième fraction a un chiffre après la virgule, soit deux chiffres au total. Ainsi, à droite dans le résultat, vous devez compter deux chiffres et mettre une virgule, c'est-à-dire sera 77,74. Ainsi, en multipliant 59,8 par 1,3, nous avons obtenu 77,74. La réponse au problème est donc 77,74 km.

Ainsi, pour multiplier deux fractions décimales, il vous faut :

Premièrement : effectuez la multiplication en ignorant les virgules

Deuxièmement : dans le produit résultant, séparez par une virgule autant de chiffres à droite qu'il y en a après la virgule dans les deux facteurs ensemble.

S'il y a moins de chiffres dans le produit résultant qu'il n'est nécessaire de séparer par une virgule, un ou plusieurs zéros doivent être attribués devant.

Par exemple : 0,145 fois 0,03 nous obtenons 435 dans le produit, et nous devons séparer 5 chiffres à droite par une virgule, nous ajoutons donc 2 zéros supplémentaires avant le chiffre 4, mettons une virgule et ajoutons un zéro supplémentaire. Nous obtenons la réponse 0,00435.

§ 2 Propriétés de la multiplication des fractions décimales

Lors de la multiplication de fractions décimales, toutes les mêmes propriétés de multiplication qui s'appliquent aux nombres naturels sont conservées. Faisons quelques tâches.

Tâche numéro 1 :

Résolvons cet exemple en appliquant la propriété distributive de la multiplication par rapport à l'addition.

5,7 (facteur commun) sera retiré des parenthèses, 3,4 plus 0,6 restera entre parenthèses. La valeur de cette somme est 4, et maintenant 4 doit être multiplié par 5,7, on obtient 22,8.

Tâche numéro 2 :

Utilisons la propriété commutative de la multiplication.

Nous multiplions d'abord 2,5 par 4, nous obtenons 10 entiers, et maintenant nous devons multiplier 10 par 32,9 et nous obtenons 329.

De plus, lors de la multiplication de fractions décimales, vous pouvez remarquer ce qui suit :

Lors de la multiplication d'un nombre par une fraction décimale incorrecte, c'est-à-dire supérieur ou égal à 1, il augmente ou ne change pas, par exemple :

Lors de la multiplication d'un nombre par une fraction décimale appropriée, c'est-à-dire inférieur à 1, il diminue, par exemple :

Résolvons un exemple :

23,45 fois 0,1.

Nous devons multiplier 2 345 par 1 et séparer trois virgules de la droite, nous obtenons 2,345.

Résolvons maintenant un autre exemple : 23,45 divisé par 10, il faut déplacer la virgule vers la gauche d'une place, car 1 zéro dans une unité de bit, on obtient 2,345.

De ces deux exemples, nous pouvons conclure que multiplier un nombre décimal par 0,1, 0,01, 0,001, etc., revient à diviser le nombre par 10, 100, 1000, etc., c'est-à-dire dans une fraction décimale, déplacer la virgule vers la gauche d'autant de chiffres qu'il y a de zéros devant 1 dans le multiplicateur.

En utilisant la règle résultante, nous trouvons les valeurs des produits:

13,45 fois 0,01

il y a 2 zéros devant le chiffre 1, donc on déplace la virgule vers la gauche de 2 chiffres, on obtient 0,1345.

0,02 fois 0,001

il y a 3 zéros devant le chiffre 1, ce qui signifie que nous déplaçons la virgule de trois chiffres vers la gauche, nous obtenons 0,00002.

Ainsi, dans cette leçon, vous avez appris à multiplier des fractions décimales. Pour ce faire, il vous suffit d'effectuer la multiplication en ignorant les virgules et, dans le produit obtenu, de séparer autant de chiffres à droite par une virgule qu'il y en a après la virgule dans les deux facteurs ensemble. De plus, ils se sont familiarisés avec la règle de multiplication d'une fraction décimale par 0,1, 0,01, etc., et ont également pris en compte les propriétés de multiplication des fractions décimales.

Liste de la littérature utilisée :

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Nous calculons sans erreur. Travailler avec l'auto-examen en mathématiques de la 5e à la 6e année. Auteur - Minaeva S.S. - année 2014
Matériel didactique en mathématiques 5e année. Auteurs : Dorofeev G.V., Kuznetsova L.V. - 2010
Contrôle et travail indépendant en mathématiques 5e année. Auteurs - Popov M.A. - année 2012
Mathématiques. 5e année: manuel. pour les élèves de l'enseignement général. institutions / I. I. Zubareva, A. G. Mordkovich. - 9e éd., Sr. - M. : Mnémosyne, 2009

Au cours du collège et du lycée, les élèves ont étudié le sujet "Fractions". Cependant, ce concept est beaucoup plus large que celui donné dans le processus d'apprentissage. Aujourd'hui, le concept de fraction est rencontré assez souvent, et tout le monde ne peut pas calculer une expression, par exemple, multiplier des fractions.

Qu'est-ce qu'une fraction ?

Il est arrivé historiquement que des nombres fractionnaires soient apparus en raison de la nécessité de mesurer. Comme le montre la pratique, il existe souvent des exemples pour déterminer la longueur d'un segment, le volume d'un rectangle rectangulaire.

Dans un premier temps, les étudiants sont initiés à un tel concept en tant que partage. Par exemple, si vous divisez une pastèque en 8 parties, chacune obtiendra un huitième de pastèque. Cette partie de huit s'appelle une part.

Une part égale à la moitié de n'importe quelle valeur est appelée une moitié ; ⅓ - tiers ; ¼ - un quart. Des entrées comme 5/8, 4/5, 2/4 sont appelées fractions communes. Une fraction ordinaire est divisée en un numérateur et un dénominateur. Entre eux se trouve une ligne fractionnaire ou une ligne fractionnaire. Une barre fractionnaire peut être dessinée sous forme de ligne horizontale ou oblique. Dans ce cas, il représente le signe de division.

Le dénominateur représente le nombre de parts égales dans lesquelles la valeur, l'objet est divisé ; et le numérateur est le nombre de parts égales prises. Le numérateur est écrit au-dessus de la barre fractionnaire, le dénominateur en dessous.

Il est plus pratique de montrer des fractions ordinaires sur un rayon de coordonnées. Si un seul segment est divisé en 4 parties égales, chaque partie est désignée par une lettre latine, vous pouvez ainsi obtenir une excellente aide visuelle. Ainsi, le point A montre une part égale à 1/4 du segment unitaire entier, et le point B marque 2/8 de ce segment.

Variétés de fractions

Les fractions sont des nombres communs, décimaux et mixtes. De plus, les fractions peuvent être divisées en bonnes et mauvaises. Cette classification est plus adaptée aux fractions ordinaires.

Une fraction propre est un nombre dont le numérateur est inférieur au dénominateur. Ainsi, une fraction impropre est un nombre dont le numérateur est supérieur au dénominateur. Le deuxième type est généralement écrit sous la forme d'un nombre fractionnaire. Une telle expression se compose d'une partie entière et d'une partie fractionnaire. Par exemple, 1½. 1 - partie entière, ½ - fractionnaire. Cependant, si vous devez effectuer certaines manipulations avec l'expression (diviser ou multiplier des fractions, les réduire ou les convertir), le nombre fractionnaire est converti en une fraction impropre.

Une expression fractionnaire correcte est toujours inférieure à un et une expression incorrecte est toujours supérieure ou égale à 1.

Quant à cette expression, ils comprennent un enregistrement dans lequel n'importe quel nombre est représenté, dont le dénominateur de l'expression fractionnaire peut être exprimé par un avec plusieurs zéros. Si la fraction est correcte, alors la partie entière dans la notation décimale sera zéro.

Pour écrire un nombre décimal, vous devez d'abord écrire la partie entière, la séparer du fractionnaire par une virgule, puis écrire l'expression fractionnaire. Il faut se rappeler qu'après la virgule, le numérateur doit contenir autant de caractères numériques qu'il y a de zéros au dénominateur.

Exemple. Représentez la fraction 7 21 / 1000 en notation décimale.

Algorithme pour convertir une fraction impropre en un nombre fractionnaire et vice versa

Il est incorrect d'écrire une fraction impropre dans la réponse du problème, elle doit donc être convertie en un nombre fractionnaire :

diviser le numérateur par le dénominateur existant ;
dans un exemple précis, un quotient incomplet est un nombre entier ;
et le reste est le numérateur de la partie fractionnaire, le dénominateur restant inchangé.

Exemple. Convertir une fraction impropre en nombre fractionnaire : 47 / 5 .

Décision. 47 : 5. Le quotient incomplet est 9, le reste = 2. Donc, 47/5 = 9 2/5.

Parfois, vous devez représenter un nombre fractionnaire comme une fraction impropre. Ensuite, vous devez utiliser l'algorithme suivant :

la partie entière est multipliée par le dénominateur de l'expression fractionnaire ;
le produit résultant est ajouté au numérateur ;
le résultat est écrit au numérateur, le dénominateur reste inchangé.

Exemple. Exprimer le nombre sous forme mixte sous forme de fraction impropre : 9 8 / 10 .

Décision. 9 x 10 + 8 = 90 + 8 = 98 est le numérateur.

Réponse: 98 / 10.

Multiplication de fractions ordinaires

Vous pouvez effectuer diverses opérations algébriques sur des fractions ordinaires. Pour multiplier deux nombres, vous devez multiplier le numérateur par le numérateur et le dénominateur par le dénominateur. De plus, la multiplication de fractions avec des dénominateurs différents ne diffère pas du produit de nombres fractionnaires avec les mêmes dénominateurs.

Il arrive qu'après avoir trouvé le résultat, vous deviez réduire la fraction. Il est impératif de simplifier au maximum l'expression résultante. Bien sûr, on ne peut pas dire qu'une fraction impropre dans la réponse est une erreur, mais il est également difficile de l'appeler la bonne réponse.

Exemple. Trouver le produit de deux fractions ordinaires : ½ et 20/18.

Comme on peut le voir dans l'exemple, après avoir trouvé le produit, une notation fractionnaire réductible est obtenue. Le numérateur et le dénominateur dans ce cas sont divisibles par 4, et le résultat est la réponse 5/9.

Multiplier des fractions décimales

Le produit des fractions décimales est assez différent du produit des fractions ordinaires dans son principe. Ainsi, la multiplication des fractions est la suivante :

deux fractions décimales doivent être écrites l'une sous l'autre de sorte que les chiffres les plus à droite soient l'un sous l'autre ;
vous devez multiplier les nombres écrits, malgré les virgules, c'est-à-dire comme des nombres naturels;
compter le nombre de chiffres après la virgule dans chacun des nombres ;
dans le résultat obtenu après multiplication, il faut compter autant de caractères numériques à droite que contenus dans la somme des deux facteurs après la virgule, et mettre un signe séparateur ;
s'il y a moins de chiffres dans le produit, alors autant de zéros doivent être écrits devant eux pour couvrir ce nombre, mettre une virgule et attribuer une partie entière égale à zéro.

Exemple. Calculez le produit de deux nombres décimaux : 2,25 et 3,6.

Décision.

Multiplication de fractions mixtes

Pour calculer le produit de deux fractions mixtes, vous devez utiliser la règle de multiplication des fractions :

convertir des nombres mixtes en fractions impropres ;
trouver le produit des numérateurs ;
trouver le produit des dénominateurs ;
notez le résultat;
simplifier l'expression autant que possible.

Exemple. Trouver le produit de 4½ et 6 2/5.

Multiplier un nombre par une fraction (fractions par un nombre)

En plus de trouver le produit de deux fractions, des nombres fractionnaires, il y a des tâches où vous devez multiplier par une fraction.

Ainsi, pour trouver le produit d'une fraction décimale et d'un nombre naturel, il vous faut :

écrivez le nombre sous la fraction de sorte que les chiffres les plus à droite soient les uns au-dessus des autres ;
trouver le travail, malgré la virgule ;
dans le résultat obtenu, séparez la partie entière de la partie fractionnaire par une virgule en comptant à droite le nombre de caractères qui se trouve après la virgule dans la fraction.

Pour multiplier une fraction ordinaire par un nombre, vous devez trouver le produit du numérateur et du facteur naturel. Si la réponse est une fraction réductible, il faut la convertir.

Exemple. Calculez le produit de 5/8 et 12.

Décision. 5 / 8 * 12 = (5*12) / 8 = 60 / 8 = 30 / 4 = 15 / 2 = 7 1 / 2.

Réponse: 7 1 / 2.

Comme vous pouvez le voir dans l'exemple précédent, il était nécessaire de réduire le résultat obtenu et de convertir l'expression fractionnaire incorrecte en un nombre fractionnaire.

De plus, la multiplication de fractions s'applique également à la recherche du produit d'un nombre sous forme mixte et d'un facteur naturel. Pour multiplier ces deux nombres, vous devez multiplier la partie entière du facteur mixte par le nombre, multiplier le numérateur par la même valeur et laisser le dénominateur inchangé. Si nécessaire, vous devez simplifier le résultat autant que possible.

Exemple. Trouver le produit de 9 5/6 et 9.

Décision. 9 5 / 6 x 9 \u003d 9 x 9 + (5 x 9) / 6 \u003d 81 + 45 / 6 \u003d 81 + 7 3 / 6 \u003d 88 1 / 2.

Réponse: 88 1 / 2.

Multiplication par les facteurs 10, 100, 1000 ou 0,1 ; 0,01 ; 0,001

La règle suivante découle du paragraphe précédent. Pour multiplier une fraction décimale par 10, 100, 1000, 10000, etc., vous devez déplacer la virgule vers la droite d'autant de chiffres qu'il y a de zéros dans le multiplicateur après un.

Exemple 1. Trouver le produit de 0,065 et 1000.

Décision. 0,065 x 1000 = 0065 = 65.

Réponse: 65.

Exemple 2. Trouver le produit de 3,9 et 1000.

Décision. 3,9 x 1000 = 3,900 x 1000 = 3900.

Réponse: 3900.

Si vous devez multiplier un nombre naturel et 0,1 ; 0,01 ; 0,001 ; 0,0001, etc., vous devez déplacer la virgule vers la gauche dans le produit résultant d'autant de chiffres qu'il y a de zéros avant un. Si nécessaire, un nombre suffisant de zéros est écrit devant un nombre naturel.

Exemple 1. Trouver le produit de 56 et 0,01.

Décision. 56 x 0,01 = 0056 = 0,56.

Réponse: 0,56.

Exemple 2. Trouver le produit de 4 et 0,001.

Décision. 4 x 0,001 = 0004 = 0,004.

Réponse: 0,004.

Ainsi, trouver le produit de diverses fractions ne devrait pas poser de difficultés, sauf peut-être le calcul du résultat ; Dans ce cas, vous ne pouvez tout simplement pas vous passer d'une calculatrice.

Pour comprendre comment multiplier des nombres décimaux, regardons des exemples spécifiques.

Règle de multiplication décimale

1) On multiplie en ignorant la virgule.

2) En conséquence, nous séparons autant de chiffres après la virgule qu'il y en a après les virgules dans les deux facteurs ensemble.

Exemples.

Trouver le produit de nombres décimaux :

Pour multiplier des décimales, on multiplie sans faire attention aux virgules. Autrement dit, nous ne multiplions pas 6,8 et 3,4, mais 68 et 34. En conséquence, nous séparons autant de chiffres après la virgule qu'il y en a après les virgules dans les deux facteurs ensemble. Dans le premier facteur après la virgule décimale, il y a un chiffre, dans le second il y en a aussi un. Au total, nous séparons deux chiffres après la virgule et nous obtenons ainsi la réponse finale : 6,8∙3,4=23,12.

Multiplier des décimales sans tenir compte de la virgule. C'est-à-dire qu'en fait, au lieu de multiplier 36,85 par 1,14, nous multiplions 3685 par 14. Nous obtenons 51590. Maintenant, dans ce résultat, nous devons séparer autant de chiffres par une virgule qu'il y en a dans les deux facteurs ensemble. Le premier nombre a deux chiffres après la virgule, le second en a un. Au total, nous séparons trois chiffres par une virgule. Puisqu'il y a un zéro à la fin de l'entrée après la virgule décimale, nous ne l'écrivons pas en réponse : 36,85∙1,4=51,59.

Pour multiplier ces décimales, on multiplie les nombres sans faire attention aux virgules. C'est-à-dire que nous multiplions les nombres naturels 2315 et 7. Nous obtenons 16205. Dans ce nombre, quatre chiffres doivent être séparés après la virgule décimale - autant qu'il y en a dans les deux facteurs ensemble (deux dans chacun). Réponse finale : 23.15∙0.07=1.6205.

Multiplier une fraction décimale par un nombre naturel se fait de la même manière. Nous multiplions les nombres sans faire attention à la virgule, c'est-à-dire que nous multiplions 75 par 16. Dans le résultat obtenu, après la virgule, il devrait y avoir autant de signes qu'il y en a dans les deux facteurs ensemble - un. Ainsi, 75∙1,6=120,0=120.

Nous commençons la multiplication des fractions décimales en multipliant les nombres naturels, puisque nous ne prêtons pas attention aux virgules. Après cela, nous séparons autant de chiffres après la virgule qu'il y en a dans les deux facteurs ensemble. Le premier nombre a deux décimales et le second deux décimales. Au total, il devrait donc y avoir quatre chiffres après la virgule : 4,72∙5,04=23,7888.

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