ವಿಭಿನ್ನ ಶಕ್ತಿಗಳೊಂದಿಗೆ ವರ್ಗಮೂಲಗಳನ್ನು ವಿಭಜಿಸುವುದು. ವರ್ಗ ಮೂಲ
ಆಗಾಗ್ಗೆ, ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, ನಾವು ಹೊರತೆಗೆಯಬೇಕಾದ ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಎದುರಿಸುತ್ತೇವೆ ವರ್ಗ ಮೂಲ. ಅನೇಕ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಇದು ತಪ್ಪು ಎಂದು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತಾರೆ ಮತ್ತು ಸಂಪೂರ್ಣ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಪುನಃ ಪರಿಹರಿಸಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತಾರೆ. ಯಾವುದೇ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ನೀವು ಇದನ್ನು ಮಾಡಬಾರದು! ಇದಕ್ಕೆ ಎರಡು ಕಾರಣಗಳಿವೆ:
- ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಬೇರುಗಳು ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ. ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಪಠ್ಯದಲ್ಲಿ;
- ಈ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಬಹುತೇಕ ಮೌಖಿಕವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕಹಾಕುವ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಇದೆ.
ನಾವು ಇಂದು ಈ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ. ಬಹುಶಃ ಕೆಲವು ವಿಷಯಗಳು ನಿಮಗೆ ಗ್ರಹಿಸಲಾಗದಂತೆ ತೋರುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ನೀವು ಈ ಪಾಠಕ್ಕೆ ಗಮನ ಕೊಟ್ಟರೆ, ನೀವು ವಿರುದ್ಧ ಪ್ರಬಲ ಆಯುಧವನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸುತ್ತೀರಿ ವರ್ಗಮೂಲಗಳು.
ಆದ್ದರಿಂದ, ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್:
- 10 ರ ಗುಣಾಕಾರಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಮೇಲಿನ ಮತ್ತು ಕೆಳಗಿನ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಮೂಲವನ್ನು ಮಿತಿಗೊಳಿಸಿ. ಹೀಗಾಗಿ, ನಾವು ಹುಡುಕಾಟ ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು 10 ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ;
- ಈ 10 ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಂದ, ಖಂಡಿತವಾಗಿಯೂ ಬೇರುಗಳಾಗಿರಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗದಂತಹವುಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಿ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, 1-2 ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಉಳಿಯುತ್ತವೆ;
- ಈ 1-2 ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ವರ್ಗ ಮಾಡಿ. ಮೂಲ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಮವಾಗಿರುವ ವರ್ಗವು ಮೂಲವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ಈ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಆಚರಣೆಗೆ ತರುವ ಮೊದಲು, ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಹಂತವನ್ನು ನೋಡೋಣ.
ರೂಟ್ ಮಿತಿ
ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ನಮ್ಮ ಮೂಲವು ಯಾವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ನಡುವೆ ಇದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಾವು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು. ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಹತ್ತರ ಗುಣಕಗಳಾಗಿರುವುದು ಹೆಚ್ಚು ಅಪೇಕ್ಷಣೀಯವಾಗಿದೆ:
10 2 = 100;
20 2 = 400;
30 2 = 900;
40 2 = 1600;
...
90 2 = 8100;
100 2 = 10 000.
ನಾವು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸರಣಿಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:
100; 400; 900; 1600; 2500; 3600; 4900; 6400; 8100; 10 000.
ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ನಮಗೆ ಏನು ಹೇಳುತ್ತವೆ? ಇದು ಸರಳವಾಗಿದೆ: ನಾವು ಗಡಿಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 1296 ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ. ಇದು 900 ಮತ್ತು 1600 ರ ನಡುವೆ ಇರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಅದರ ಮೂಲವು 30 ಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಮತ್ತು 40 ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿರಬಾರದು:
[ಚಿತ್ರದ ಶೀರ್ಷಿಕೆ]
ನೀವು ವರ್ಗಮೂಲವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದಾದ ಯಾವುದೇ ಇತರ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಅದೇ ವಿಷಯ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 3364:
[ಚಿತ್ರದ ಶೀರ್ಷಿಕೆ]ಹೀಗಾಗಿ, ಗ್ರಹಿಸಲಾಗದ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಬದಲಿಗೆ, ಮೂಲ ಮೂಲವು ಇರುವ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಹುಡುಕಾಟ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಮತ್ತಷ್ಟು ಕಿರಿದಾಗಿಸಲು, ಎರಡನೇ ಹಂತಕ್ಕೆ ತೆರಳಿ.
ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ ಅನಗತ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕುವುದು
ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು 10 ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ - ಮೂಲಕ್ಕಾಗಿ ಅಭ್ಯರ್ಥಿಗಳು. ಸಂಕೀರ್ಣ ಚಿಂತನೆ ಮತ್ತು ಅಂಕಣದಲ್ಲಿ ಗುಣಾಕಾರವಿಲ್ಲದೆಯೇ ನಾವು ಅವುಗಳನ್ನು ಬೇಗನೆ ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ. ಈಗ ಮುಂದುವರೆಯುವ ಸಮಯ.
ಇದನ್ನು ನಂಬಿ ಅಥವಾ ಬಿಡಿ, ನಾವು ಈಗ ಅಭ್ಯರ್ಥಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಎರಡಕ್ಕೆ ಇಳಿಸುತ್ತೇವೆ - ಮತ್ತೆ ಯಾವುದೇ ಸಂಕೀರ್ಣ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳಿಲ್ಲದೆ! ವಿಶೇಷ ನಿಯಮವನ್ನು ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ ಸಾಕು. ಇಲ್ಲಿದೆ:
ಚೌಕದ ಕೊನೆಯ ಅಂಕೆಯು ಕೊನೆಯ ಅಂಕಿಯ ಮೇಲೆ ಮಾತ್ರ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮೂಲ ಸಂಖ್ಯೆ.
ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಚೌಕದ ಕೊನೆಯ ಅಂಕಿಯನ್ನು ನೋಡಿ ಮತ್ತು ಮೂಲ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಲ್ಲಿ ಕೊನೆಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಾವು ತಕ್ಷಣ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.
ಕೊನೆಯ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿ ಬರಬಹುದಾದ 10 ಅಂಕೆಗಳು ಮಾತ್ರ ಇವೆ. ಸ್ಕ್ವೇರ್ ಮಾಡಿದಾಗ ಅವು ಏನಾಗುತ್ತವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸೋಣ. ಟೇಬಲ್ ಅನ್ನು ನೋಡೋಣ:
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 0 |
| 1 | 4 | 9 | 6 | 5 | 6 | 9 | 4 | 1 | 0 |
ಈ ಕೋಷ್ಟಕವು ಮೂಲವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಮತ್ತೊಂದು ಹಂತವಾಗಿದೆ. ನೀವು ನೋಡುವಂತೆ, ಎರಡನೇ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಐದಕ್ಕೆ ಹೋಲಿಸಿದರೆ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ:
2 2 = 4;
8 2 = 64 → 4.
ನೀವು ನೋಡುವಂತೆ, ಕೊನೆಯ ಅಂಕಿಯು ಎರಡೂ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದರರ್ಥ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 3364 ರ ಮೂಲವು 2 ಅಥವಾ 8 ರಲ್ಲಿ ಕೊನೆಗೊಳ್ಳಬೇಕು. ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ಹಿಂದಿನ ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್ನಿಂದ ನಾವು ನಿರ್ಬಂಧವನ್ನು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:
[ಚಿತ್ರದ ಶೀರ್ಷಿಕೆ] ಈ ಅಂಕಿ ಅಂಶ ನಮಗೆ ಇನ್ನೂ ತಿಳಿದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಕೆಂಪು ಚೌಕಗಳು ಸೂಚಿಸುತ್ತವೆ. ಆದರೆ ಮೂಲವು 50 ರಿಂದ 60 ರ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯಲ್ಲಿದೆ, ಅದರಲ್ಲಿ ಕೇವಲ ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳು 2 ಮತ್ತು 8 ರಲ್ಲಿ ಕೊನೆಗೊಳ್ಳುತ್ತವೆ:
[ಚಿತ್ರದ ಶೀರ್ಷಿಕೆ]ಅಷ್ಟೇ! ಸಾಧ್ಯವಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಬೇರುಗಳಲ್ಲಿ, ನಾವು ಕೇವಲ ಎರಡು ಆಯ್ಕೆಗಳನ್ನು ಬಿಟ್ಟಿದ್ದೇವೆ! ಮತ್ತು ಇದು ಅತ್ಯಂತ ಕಷ್ಟಕರವಾದ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಕೊನೆಯ ಅಂಕಿಯು 5 ಅಥವಾ 0 ಆಗಿರಬಹುದು. ತದನಂತರ ಬೇರುಗಳಿಗೆ ಒಬ್ಬ ಅಭ್ಯರ್ಥಿ ಮಾತ್ರ ಇರುತ್ತದೆ!
ಅಂತಿಮ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳು
ಆದ್ದರಿಂದ, ನಮಗೆ 2 ಅಭ್ಯರ್ಥಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಉಳಿದಿದೆ. ಮೂಲ ಯಾವುದು ಎಂದು ತಿಳಿಯುವುದು ಹೇಗೆ? ಉತ್ತರ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ: ಎರಡೂ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ವರ್ಗ ಮಾಡಿ. ಮೂಲ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನೀಡುವ ವರ್ಗವು ಮೂಲವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 3364 ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ನಾವು ಎರಡು ಅಭ್ಯರ್ಥಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ: 52 ಮತ್ತು 58. ಅವುಗಳನ್ನು ವರ್ಗ ಮಾಡೋಣ:
52 2 = (50 +2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;
58 2 = (60 - 2) 2 = 3600 - 2 60 2 + 4 = 3364.
ಅಷ್ಟೇ! ರೂಟ್ 58 ಎಂದು ಅದು ಬದಲಾಯಿತು! ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಸರಳೀಕರಿಸಲು, ನಾನು ಮೊತ್ತ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಚೌಕಗಳಿಗೆ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿದ್ದೇನೆ. ಇದಕ್ಕೆ ಧನ್ಯವಾದಗಳು, ನಾನು ಅಂಕಿಗಳನ್ನು ಕಾಲಮ್ ಆಗಿ ಗುಣಿಸಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ! ಇದು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್‌ನ ಮತ್ತೊಂದು ಹಂತವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ, ಇದು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಐಚ್ಛಿಕವಾಗಿದೆ :)
ಬೇರುಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಉದಾಹರಣೆಗಳು
ಸಿದ್ಧಾಂತ, ಸಹಜವಾಗಿ, ಒಳ್ಳೆಯದು. ಆದರೆ ಅದನ್ನು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ.
[ಚಿತ್ರದ ಶೀರ್ಷಿಕೆ]
ಮೊದಲಿಗೆ, 576 ಸಂಖ್ಯೆಯು ಯಾವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ನಡುವೆ ಇದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ:
400 < 576 < 900
20 2 < 576 < 30 2
ಈಗ ಕೊನೆಯ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನೋಡೋಣ. ಇದು 6 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದು ಯಾವಾಗ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ? ಮೂಲವು 4 ಅಥವಾ 6 ರಲ್ಲಿ ಕೊನೆಗೊಂಡರೆ ಮಾತ್ರ. ನಾವು ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:
ಪ್ರತಿ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ವರ್ಗೀಕರಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಮೂಲದೊಂದಿಗೆ ಹೋಲಿಸುವುದು ಮಾತ್ರ ಉಳಿದಿದೆ:
24 2 = (20 + 4) 2 = 576
ಗ್ರೇಟ್! ಮೊದಲ ಚೌಕವು ಮೂಲ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ಮೂಲವಾಗಿದೆ.
ಕಾರ್ಯ. ವರ್ಗಮೂಲವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ:
[ಚಿತ್ರದ ಶೀರ್ಷಿಕೆ]
900 < 1369 < 1600;
30 2 < 1369 < 40 2;
ಕೊನೆಯ ಅಂಕಿಯನ್ನು ನೋಡೋಣ:
1369 → 9;
33; 37.
ಚೌಕ ಮಾಡಿ:
33 2 = (30 + 3) 2 = 900 + 2 30 3 + 9 = 1089 ≠ 1369;
37 2 = (40 - 3) 2 = 1600 - 2 40 3 + 9 = 1369.
ಉತ್ತರ ಇಲ್ಲಿದೆ: 37.
ಕಾರ್ಯ. ವರ್ಗಮೂಲವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ:
[ಚಿತ್ರದ ಶೀರ್ಷಿಕೆ]
ನಾವು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಮಿತಿಗೊಳಿಸುತ್ತೇವೆ:
2500 < 2704 < 3600;
50 2 < 2704 < 60 2;
ಕೊನೆಯ ಅಂಕಿಯನ್ನು ನೋಡೋಣ:
2704 → 4;
52; 58.
ಚೌಕ ಮಾಡಿ:
52 2 = (50 + 2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;
ನಾವು ಉತ್ತರವನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸಿದ್ದೇವೆ: 52. ಎರಡನೇ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ವರ್ಗ ಮಾಡಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ.
ಕಾರ್ಯ. ವರ್ಗಮೂಲವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ:
[ಚಿತ್ರದ ಶೀರ್ಷಿಕೆ]
ನಾವು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಮಿತಿಗೊಳಿಸುತ್ತೇವೆ:
3600 < 4225 < 4900;
60 2 < 4225 < 70 2;
ಕೊನೆಯ ಅಂಕಿಯನ್ನು ನೋಡೋಣ:
4225 → 5;
65.
ನೀವು ನೋಡುವಂತೆ, ಎರಡನೇ ಹಂತದ ನಂತರ ಕೇವಲ ಒಂದು ಆಯ್ಕೆ ಉಳಿದಿದೆ: 65. ಇದು ಬಯಸಿದ ಮೂಲವಾಗಿದೆ. ಆದರೆ ನಾವು ಅದನ್ನು ಇನ್ನೂ ವರ್ಗೀಕರಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ:
65 2 = (60 + 5) 2 = 3600 + 2 60 5 + 25 = 4225;
ಎಲ್ಲವೂ ಸರಿಯಾಗಿದೆ. ನಾವು ಉತ್ತರವನ್ನು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ.
ತೀರ್ಮಾನ
ಅಯ್ಯೋ, ಉತ್ತಮವಾಗಿಲ್ಲ. ಕಾರಣಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ. ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಎರಡು ಇವೆ:
- ಯಾವುದೇ ಸಾಮಾನ್ಯ ಗಣಿತ ಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ, ಅದು ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆ ಅಥವಾ ಏಕೀಕೃತ ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯಾಗಿರಬಹುದು, ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್‌ಗಳ ಬಳಕೆಯನ್ನು ನಿಷೇಧಿಸಲಾಗಿದೆ. ಮತ್ತು ನೀವು ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್ ಅನ್ನು ತರಗತಿಗೆ ತಂದರೆ, ನೀವು ಸುಲಭವಾಗಿ ಪರೀಕ್ಷೆಯಿಂದ ಹೊರಹಾಕಬಹುದು.
- ಮೂರ್ಖ ಅಮೆರಿಕನ್ನರಂತೆ ಇರಬೇಡಿ. ಇದು ಬೇರುಗಳಂತೆ ಅಲ್ಲ - ಅವು ಎರಡು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಮತ್ತು ಅವರು ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ನೋಡಿದಾಗ, ಅವರು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಉನ್ಮಾದಕ್ಕೆ ಒಳಗಾಗುತ್ತಾರೆ.
ಪಾಠದ ಆರಂಭದಲ್ಲಿ, ನಾವು ವರ್ಗಮೂಲಗಳ ಮೂಲ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ವರ್ಗಮೂಲಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸುವ ಹಲವಾರು ಸಂಕೀರ್ಣ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ.
ವಿಷಯ:ಕಾರ್ಯ. ವರ್ಗಮೂಲದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು
ಪಾಠ:ಬೇರುಗಳೊಂದಿಗೆ ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಸರಳಗೊಳಿಸುವುದು
1. ವರ್ಗಮೂಲಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ವಿಮರ್ಶೆ
ನಾವು ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ ಪುನರಾವರ್ತಿಸೋಣ ಮತ್ತು ವರ್ಗಮೂಲಗಳ ಮೂಲ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳೋಣ.
ವರ್ಗಮೂಲಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು:
1. ಆದ್ದರಿಂದ,;
3. 
;
4. 
.
2. ಮೂಲಗಳೊಂದಿಗೆ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸುವ ಉದಾಹರಣೆಗಳು
ಈ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬಳಸುವ ಉದಾಹರಣೆಗಳಿಗೆ ಹೋಗೋಣ.
ಉದಾಹರಣೆ 1: ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸಿ 
.
ಪರಿಹಾರ. ಸರಳೀಕರಿಸಲು, ಸಂಖ್ಯೆ 120 ಅನ್ನು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂಶಗಳಾಗಿ ಅಪವರ್ತನಗೊಳಿಸಬೇಕು:
ಸೂಕ್ತವಾದ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಾವು ಮೊತ್ತದ ವರ್ಗವನ್ನು ಬಹಿರಂಗಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ:
ಉದಾಹರಣೆ 2: ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸಿ 
.
ಪರಿಹಾರ. ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯು ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭಾವ್ಯ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಅರ್ಥವಿಲ್ಲ ಎಂದು ನಾವು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ, ಏಕೆಂದರೆ ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ವರ್ಗಮೂಲಗಳು ಮತ್ತು ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ, ಇದು ಅನುಮತಿಸುವ ಮೌಲ್ಯಗಳ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯ "ಸಂಕುಚಿತಗೊಳಿಸುವಿಕೆ" ಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ODZ: 
().
ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳಲ್ಲಿನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಛೇದಕ್ಕೆ ತರೋಣ ಮತ್ತು ಕೊನೆಯ ಭಾಗದ ಅಂಶವನ್ನು ವರ್ಗಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಿ ಬರೆಯೋಣ:
ನಲ್ಲಿ.
ಉತ್ತರ. ನಲ್ಲಿ.
ಉದಾಹರಣೆ 3: ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸಿ 
.
ಪರಿಹಾರ. ಎರಡನೇ ನ್ಯೂಮರೇಟರ್ ಬ್ರಾಕೆಟ್ ಅನನುಕೂಲವಾದ ನೋಟವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಗುಂಪು ಮಾಡುವ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅದನ್ನು ಸರಳೀಕರಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸೋಣ.
ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂಶವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು, ನಾವು ಅವುಗಳನ್ನು ಅಪವರ್ತನಗೊಳಿಸುವ ಮೂಲಕ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸಿದ್ದೇವೆ. ಫಲಿತಾಂಶದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಮೂಲ ಭಾಗಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸೋಣ:
ಭಾಗವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಿದ ನಂತರ, ನಾವು ಚೌಕಗಳ ಸೂತ್ರದ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತೇವೆ.
3. ಅತಾರ್ಕಿಕತೆಯನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕುವ ಉದಾಹರಣೆ
ಉದಾಹರಣೆ 4. ಛೇದದಲ್ಲಿ ಅಭಾಗಲಬ್ಧತೆಯಿಂದ (ಬೇರುಗಳು) ನಿಮ್ಮನ್ನು ಮುಕ್ತಗೊಳಿಸಿ: a) ; ಬಿ)
ಪರಿಹಾರ. ಎ) ಛೇದದಲ್ಲಿನ ಅಭಾಗಲಬ್ಧತೆಯನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕಲು, ಒಂದು ಭಾಗದ ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದ ಎರಡನ್ನೂ ಛೇದಕ್ಕೆ ಸಂಯೋಜಿತ ಅಂಶದಿಂದ ಗುಣಿಸುವ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ (ಅದೇ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ, ಆದರೆ ವಿರುದ್ಧ ಚಿಹ್ನೆಯೊಂದಿಗೆ). ಚೌಕಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸಕ್ಕೆ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ಛೇದವನ್ನು ಪೂರೈಸಲು ಇದನ್ನು ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಛೇದದಲ್ಲಿನ ಬೇರುಗಳನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕಲು ನಿಮಗೆ ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ. ನಮ್ಮ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಇದನ್ನು ಮಾಡೋಣ:
ಬಿ) ಇದೇ ರೀತಿಯ ಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಮಾಡಿ:
ಉತ್ತರ.; .
4. ಸಂಕೀರ್ಣ ರಾಡಿಕಲ್‌ನಲ್ಲಿ ಸಂಪೂರ್ಣ ಚೌಕದ ಪುರಾವೆ ಮತ್ತು ಗುರುತಿಸುವಿಕೆಗೆ ಉದಾಹರಣೆ
ಉದಾಹರಣೆ 5. ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ 
.
ಪುರಾವೆ. ವರ್ಗಮೂಲದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಬಳಸೋಣ, ಇದರಿಂದ ಬಲಗೈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ವರ್ಗವು ಮೂಲಭೂತ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗೆ ಸಮನಾಗಿರಬೇಕು:
. ಮೊತ್ತದ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳನ್ನು ತೆರೆಯೋಣ:
, ನಮಗೆ ಸರಿಯಾದ ಸಮಾನತೆ ಸಿಕ್ಕಿದೆ.
ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ.
ಉದಾಹರಣೆ 6. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸಿ.
ಪರಿಹಾರ. ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸಂಕೀರ್ಣ ರಾಡಿಕಲ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ (ಮೂಲದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ರೂಟ್). ಈ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ, ಆಮೂಲಾಗ್ರ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಿಂದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಚೌಕವನ್ನು ಹೇಗೆ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುವುದು ಎಂಬುದನ್ನು ನೀವು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಎರಡು ಪದಗಳಲ್ಲಿ, ಇದು ವರ್ಗ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ ಉತ್ಪನ್ನದ ದ್ವಿಗುಣ ಪಾತ್ರಕ್ಕೆ ಅಭ್ಯರ್ಥಿಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ಗಮನಿಸಿ (ವ್ಯತ್ಯಾಸ, ಮೈನಸ್ ಇರುವುದರಿಂದ). ನಾವು ಅದನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಉತ್ಪನ್ನದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯೋಣ: , ನಂತರ 1 ಸಂಪೂರ್ಣ ಚೌಕದ ನಿಯಮಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ ಮತ್ತು 1 ಎರಡನೆಯದು ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ.
ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ರೂಟ್ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಬದಲಿಸೋಣ.
ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಯಾವಾಗಲೂ ಕೇಳುತ್ತಾರೆ: “ನಾನು ಗಣಿತ ಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್ ಅನ್ನು ಏಕೆ ಬಳಸಬಾರದು? ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್ ಇಲ್ಲದೆ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವರ್ಗಮೂಲವನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯುವುದು ಹೇಗೆ? ಈ ಪ್ರಶ್ನೆಗೆ ಉತ್ತರಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸೋಣ.
ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್ ಸಹಾಯವಿಲ್ಲದೆ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವರ್ಗಮೂಲವನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯುವುದು ಹೇಗೆ?
ಕ್ರಿಯೆ ವರ್ಗ ಮೂಲವರ್ಗೀಕರಣದ ಕ್ರಿಯೆಗೆ ವಿಲೋಮ.
√81= 9 9 2 =81
ನೀವು ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವರ್ಗಮೂಲವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ವರ್ಗ ಮಾಡಿದರೆ, ನೀವು ಅದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ.
ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ನಿಖರವಾದ ವರ್ಗಗಳಾದ ಸಣ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಂದ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ 1, 4, 9, 16, 25, ..., 100, ವರ್ಗಮೂಲಗಳನ್ನು ಮೌಖಿಕವಾಗಿ ಹೊರತೆಗೆಯಬಹುದು. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಶಾಲೆಯಲ್ಲಿ ಅವರು ಇಪ್ಪತ್ತುವರೆಗಿನ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಚೌಕಗಳ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ಕಲಿಸುತ್ತಾರೆ. ಈ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದರಿಂದ, 121,144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400 ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಂದ ವರ್ಗಮೂಲಗಳನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯುವುದು ಸುಲಭ. 400 ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಂದ ನೀವು ಕೆಲವು ಸಲಹೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಆಯ್ಕೆ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅವುಗಳನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಯೊಂದಿಗೆ ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ನೋಡಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸೋಣ.
ಉದಾಹರಣೆ: 676 ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮೂಲವನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯಿರಿ.
20 2 = 400, ಮತ್ತು 30 2 = 900, ಅಂದರೆ 20 ಎಂದು ನಾವು ಗಮನಿಸುತ್ತೇವೆ< √676 < 900.
ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ನಿಖರವಾದ ವರ್ಗಗಳು 0 ರಲ್ಲಿ ಕೊನೆಗೊಳ್ಳುತ್ತವೆ; 1; 4; 5; 6; 9.
ಸಂಖ್ಯೆ 6 ಅನ್ನು 4 2 ಮತ್ತು 6 2 ರಿಂದ ನೀಡಲಾಗಿದೆ.
ಇದರರ್ಥ 676 ರಿಂದ ಮೂಲವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ, ಅದು 24 ಅಥವಾ 26 ಆಗಿರುತ್ತದೆ.
ಇದು ಪರಿಶೀಲಿಸಲು ಉಳಿದಿದೆ: 24 2 = 576, 26 2 = 676.
ಉತ್ತರ: √676 = 26 .
ಇನ್ನಷ್ಟು ಉದಾಹರಣೆ: √6889 .
80 2 = 6400, ಮತ್ತು 90 2 = 8100 ರಿಂದ, ನಂತರ 80< √6889 < 90.
ಸಂಖ್ಯೆ 9 ಅನ್ನು 3 2 ಮತ್ತು 7 2 ರಿಂದ ನೀಡಲಾಗಿದೆ, ನಂತರ √6889 83 ಅಥವಾ 87 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ: 83 2 = 6889.
ಉತ್ತರ: √6889 = 83 .
ಆಯ್ಕೆ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪರಿಹರಿಸಲು ನಿಮಗೆ ಕಷ್ಟವಾಗಿದ್ದರೆ, ನೀವು ಆಮೂಲಾಗ್ರ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಅಪವರ್ತನಗೊಳಿಸಬಹುದು.
ಉದಾಹರಣೆಗೆ, √893025 ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ.
893025 ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ, ನೆನಪಿಡಿ, ನೀವು ಇದನ್ನು ಆರನೇ ತರಗತಿಯಲ್ಲಿ ಮಾಡಿದ್ದೀರಿ.
ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: √893025 = √3 6 ∙5 2 ∙7 2 = 3 3 ∙5 ∙7 = 945.
ಇನ್ನಷ್ಟು ಉದಾಹರಣೆ: √20736. 20736 ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅಪವರ್ತಿಸೋಣ:
ನಾವು √20736 = √2 8 ∙3 4 = 2 4 ∙3 2 = 144 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.
ಸಹಜವಾಗಿ, ಅಪವರ್ತನಕ್ಕೆ ವಿಭಜನೆಯ ಚಿಹ್ನೆಗಳು ಮತ್ತು ಅಪವರ್ತನ ಕೌಶಲ್ಯಗಳ ಜ್ಞಾನದ ಅಗತ್ಯವಿದೆ.
ಮತ್ತು ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ಇದೆ ವರ್ಗಮೂಲಗಳನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯಲು ನಿಯಮ. ಉದಾಹರಣೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಈ ನಿಯಮವನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳೋಣ.
√279841 ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿ.
ಬಹು-ಅಂಕಿಯ ಪೂರ್ಣಾಂಕದ ಮೂಲವನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯಲು, ನಾವು ಅದನ್ನು ಬಲದಿಂದ ಎಡಕ್ಕೆ 2 ಅಂಕೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಮುಖಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುತ್ತೇವೆ (ಎಡಭಾಗದ ತುದಿಯು ಒಂದು ಅಂಕಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಹುದು). ನಾವು ಇದನ್ನು ಈ ರೀತಿ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ: 27'98'41
ಮೂಲ (5) ನ ಮೊದಲ ಅಂಕಿಯನ್ನು ಪಡೆಯಲು, ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಮೊದಲ ಮುಖದಲ್ಲಿರುವ (27) ದೊಡ್ಡ ಪರಿಪೂರ್ಣ ಚೌಕದ ವರ್ಗಮೂಲವನ್ನು ನಾವು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.
ನಂತರ ಮೂಲ (25) ನ ಮೊದಲ ಅಂಕಿಯ ವರ್ಗವನ್ನು ಮೊದಲ ಮುಖದಿಂದ ಕಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಮುಂದಿನ ಮುಖವನ್ನು (98) ವ್ಯತ್ಯಾಸಕ್ಕೆ ಸೇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ (ಕಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ).
ಫಲಿತಾಂಶದ ಸಂಖ್ಯೆ 298 ರ ಎಡಕ್ಕೆ, ಮೂಲ (10) ನ ಎರಡು ಅಂಕಿಯನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ, ಈ ಹಿಂದೆ ಪಡೆದ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಎಲ್ಲಾ ಹತ್ತಾರು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು (29/2 ≈ 2) ಭಾಗಿಸಿ, ಅಂಶವನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಿ (102 ∙ 2 = 204 298 ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿರಬಾರದು) ಮತ್ತು ಮೂಲದ ಮೊದಲ ಅಂಕಿಯ ನಂತರ (2) ಬರೆಯಿರಿ.
ನಂತರ ಫಲಿತಾಂಶದ ಅಂಶ 204 ಅನ್ನು 298 ರಿಂದ ಕಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಮುಂದಿನ ಅಂಚನ್ನು (41) ವ್ಯತ್ಯಾಸಕ್ಕೆ (94) ಸೇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಫಲಿತಾಂಶದ ಸಂಖ್ಯೆ 9441 ರ ಎಡಕ್ಕೆ, ಮೂಲದ ಅಂಕೆಗಳ ಡಬಲ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ (52 ∙2 = 104), ಈ ಉತ್ಪನ್ನದ ಮೂಲಕ 9441 (944/104 ≈ 9) ಸಂಖ್ಯೆಯ ಎಲ್ಲಾ ಹತ್ತಾರು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಭಾಗಿಸಿ, ಪರೀಕ್ಷಿಸಿ ಅಂಶ (1049 ∙9 = 9441) 9441 ಆಗಿರಬೇಕು ಮತ್ತು ಅದನ್ನು (9) ಮೂಲದ ಎರಡನೇ ಅಂಕಿಯ ನಂತರ ಬರೆಯಬೇಕು.
ನಾವು √279841 = 529 ಎಂಬ ಉತ್ತರವನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸಿದ್ದೇವೆ.
ಅದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೊರತೆಗೆಯಿರಿ ದಶಮಾಂಶ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಬೇರುಗಳು. ಆಮೂಲಾಗ್ರ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಮಾತ್ರ ಮುಖಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಬೇಕು ಇದರಿಂದ ಅಲ್ಪವಿರಾಮವು ಮುಖಗಳ ನಡುವೆ ಇರುತ್ತದೆ.
ಉದಾಹರಣೆ. ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹುಡುಕಿ √0.00956484.
ಒಂದು ದಶಮಾಂಶ ಭಾಗವು ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆಯ ದಶಮಾಂಶ ಸ್ಥಾನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ವರ್ಗಮೂಲವನ್ನು ಅದರಿಂದ ಹೊರತೆಗೆಯಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ ಎಂದು ನೆನಪಿಡಿ.
ಈಗ ನೀವು ಮೂಲವನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯಲು ಮೂರು ಮಾರ್ಗಗಳನ್ನು ನೋಡಿದ್ದೀರಿ. ನಿಮಗೆ ಸೂಕ್ತವಾದುದನ್ನು ಆರಿಸಿ ಮತ್ತು ಅಭ್ಯಾಸ ಮಾಡಿ. ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಕಲಿಯಲು, ನೀವು ಅವುಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ. ಮತ್ತು ನೀವು ಯಾವುದೇ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ನನ್ನ ಪಾಠಗಳಿಗೆ ಸೈನ್ ಅಪ್ ಮಾಡಿ.
ವೆಬ್‌ಸೈಟ್, ವಿಷಯವನ್ನು ಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಅಥವಾ ಭಾಗಶಃ ನಕಲಿಸುವಾಗ, ಮೂಲಕ್ಕೆ ಲಿಂಕ್ ಅಗತ್ಯವಿದೆ.
ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ರೂಪಾಂತರಗಳು
ಕೊನೆಯ ಬಾರಿ ನಾವು ಅದನ್ನು ನೆನಪಿಸಿಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ (ಅಥವಾ ಯಾರನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ ಕಲಿತಿದ್ದೇವೆ). , ಅಂತಹ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಹೊರತೆಗೆಯಬೇಕು ಎಂದು ಕಲಿತರು, ಬೇರುಗಳ ಮೂಲ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ತುಂಡುಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಿದರು ಮತ್ತು ಬೇರುಗಳೊಂದಿಗೆ ಸರಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿದರು.
ಈ ಪಾಠವು ಹಿಂದಿನದಕ್ಕೆ ಮುಂದುವರಿಕೆಯಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ರೀತಿಯ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ವಿವಿಧ ರೀತಿಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ರೂಪಾಂತರಗಳಿಗೆ ಮೀಸಲಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಅಭಾಗಲಬ್ಧ. ಅಕ್ಷರಗಳೊಂದಿಗೆ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು, ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಷರತ್ತುಗಳು, ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳಲ್ಲಿನ ಅಭಾಗಲಬ್ಧತೆಯನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕುವುದು ಮತ್ತು ಬೇರುಗಳೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡಲು ಕೆಲವು ಸುಧಾರಿತ ತಂತ್ರಗಳು ಇಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ. ಈ ಪಾಠದಲ್ಲಿ ಚರ್ಚಿಸಲಾಗುವ ತಂತ್ರಗಳು ಯಾವುದೇ ಮಟ್ಟದ ಸಂಕೀರ್ಣತೆಯ USE ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು (ಮತ್ತು ಮಾತ್ರವಲ್ಲ) ಪರಿಹರಿಸಲು ಉತ್ತಮ ಆಧಾರವಾಗಿ ಪರಿಣಮಿಸುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸೋಣ.
ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ನಾನು ಮೂಲ ಸೂತ್ರಗಳು ಮತ್ತು ಬೇರುಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಇಲ್ಲಿ ನಕಲು ಮಾಡುತ್ತೇನೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ವಿಷಯದಿಂದ ವಿಷಯಕ್ಕೆ ನೆಗೆಯುವುದಿಲ್ಲ. ಅವು ಇಲ್ಲಿವೆ:
ನಲ್ಲಿ
ನೀವು ಈ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ತಿಳಿದಿರಬೇಕು ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ. ಮತ್ತು ಎರಡೂ ದಿಕ್ಕುಗಳಲ್ಲಿ - ಎಡದಿಂದ ಬಲಕ್ಕೆ ಮತ್ತು ಬಲದಿಂದ ಎಡಕ್ಕೆ. ಯಾವುದೇ ಹಂತದ ಸಂಕೀರ್ಣತೆಯ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಹೆಚ್ಚಿನ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ಪರಿಹಾರವು ಅವರ ಮೇಲೆ ಆಧಾರಿತವಾಗಿದೆ. ಇದೀಗ ಸರಳವಾದ ವಿಷಯದೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭಿಸೋಣ - ಸೂತ್ರಗಳ ನೇರ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್ ಅಥವಾ ಅವುಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಯೊಂದಿಗೆ.
ಸೂತ್ರಗಳ ಸುಲಭ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್
ಈ ಭಾಗದಲ್ಲಿ, ಸರಳ ಮತ್ತು ನಿರುಪದ್ರವ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ - ಅಕ್ಷರಗಳು, ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಷರತ್ತುಗಳು ಮತ್ತು ಇತರ ತಂತ್ರಗಳಿಲ್ಲದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಸಹ, ನಿಯಮದಂತೆ, ಆಯ್ಕೆಗಳಿವೆ. ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚು ಅತ್ಯಾಧುನಿಕ ಉದಾಹರಣೆ, ಅಂತಹ ಹೆಚ್ಚು ಆಯ್ಕೆಗಳಿವೆ. ಮತ್ತು ಅನನುಭವಿ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿ ಮುಖ್ಯ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಎದುರಿಸುತ್ತಾನೆ - ಎಲ್ಲಿ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಬೇಕು? ಇಲ್ಲಿ ಉತ್ತರ ಸರಳವಾಗಿದೆ - ನಿಮಗೆ ಏನು ಬೇಕು ಎಂದು ನಿಮಗೆ ತಿಳಿದಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ನಿಮ್ಮಿಂದ ಸಾಧ್ಯವಾದಷ್ಟು ಮಾಡಿ. ನಿಮ್ಮ ಕ್ರಿಯೆಗಳು ಗಣಿತದ ನಿಯಮಗಳೊಂದಿಗೆ ಶಾಂತಿ ಮತ್ತು ಸಾಮರಸ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವವರೆಗೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ವಿರೋಧಿಸುವುದಿಲ್ಲ.) ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಈ ಕಾರ್ಯ:
ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ:
ಅಂತಹ ಸರಳ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ಸಹ, ಉತ್ತರಕ್ಕೆ ಹಲವಾರು ಸಂಭವನೀಯ ಮಾರ್ಗಗಳಿವೆ.
ಮೊದಲನೆಯದು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಮೊದಲ ಆಸ್ತಿಯಿಂದ ಗುಣಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಫಲಿತಾಂಶದಿಂದ ಮೂಲವನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯುವುದು:
ಎರಡನೆಯ ಆಯ್ಕೆ ಇದು: ನಾವು ಅದನ್ನು ಮುಟ್ಟುವುದಿಲ್ಲ, ನಾವು ಕೆಲಸ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ಮೂಲ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಅಂಶವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ನಂತರ - ಮೊದಲ ಆಸ್ತಿಯ ಪ್ರಕಾರ. ಹೀಗೆ:
ನೀವು ಇಷ್ಟಪಡುವಷ್ಟು ನೀವು ನಿರ್ಧರಿಸಬಹುದು. ಯಾವುದೇ ಆಯ್ಕೆಗಳಲ್ಲಿ, ಉತ್ತರವು ಒಂದು - ಎಂಟು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 4 ಮತ್ತು 128 ಅನ್ನು ಗುಣಿಸುವುದು ಮತ್ತು 512 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುವುದು ನನಗೆ ಸುಲಭವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಘನ ಮೂಲವನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಹೊರತೆಗೆಯಬಹುದು. 512 8 ಘನ ಎಂದು ಯಾರಿಗಾದರೂ ನೆನಪಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಅದು ಅಪ್ರಸ್ತುತವಾಗುತ್ತದೆ: ನೀವು 512 ಅನ್ನು 2 9 ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು (ಎರಡರಲ್ಲಿ ಮೊದಲ 10 ಶಕ್ತಿಗಳು, ನಿಮಗೆ ನೆನಪಿದೆಯೇ?) ಮತ್ತು ಶಕ್ತಿಯ ಮೂಲ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿ :
ಇನ್ನೊಂದು ಉದಾಹರಣೆ.
ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ: .
ನೀವು ಮೊದಲ ಆಸ್ತಿಯ ಪ್ರಕಾರ ಕೆಲಸ ಮಾಡಿದರೆ (ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಒಂದೇ ಮೂಲದಡಿಯಲ್ಲಿ ಇರಿಸಿ), ನೀವು ಭಾರಿ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ, ಇದರಿಂದ ಮೂಲವನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯಬಹುದು - ಸಕ್ಕರೆಯೂ ಅಲ್ಲ. ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿ ಹೊರತೆಗೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದು ಸತ್ಯವಲ್ಲ.) ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿನ ಮೂಲದಿಂದ ಅಂಶಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಲು ಇಲ್ಲಿ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ. ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚಿನದನ್ನು ಮಾಡಿ:
ಮತ್ತು ಈಗ ಎಲ್ಲವೂ ಉತ್ತಮವಾಗಿದೆ:
ಎಂಟು ಮತ್ತು ಎರಡನ್ನು ಒಂದು ಮೂಲದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ (ಮೊದಲ ಆಸ್ತಿಯ ಪ್ರಕಾರ) ಬರೆಯುವುದು ಮಾತ್ರ ಉಳಿದಿದೆ ಮತ್ತು ಕೆಲಸ ಮುಗಿದಿದೆ. :)
ಈಗ ಕೆಲವು ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸೋಣ.
ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ:
ಉದಾಹರಣೆಯು ಸಾಕಷ್ಟು ಪ್ರಾಚೀನವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಇದು ಆಯ್ಕೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಅಂಶವನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸಲು ಮತ್ತು ಛೇದದೊಂದಿಗೆ ಅದನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲು ನೀವು ಗುಣಕವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು:
ಅಥವಾ ಬೇರುಗಳನ್ನು ವಿಭಜಿಸಲು ನೀವು ತಕ್ಷಣ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು:
ನಾವು ನೋಡುವಂತೆ, ಈ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಅದು - ಎಲ್ಲವೂ ಸರಿಯಾಗಿದೆ.) ನೀವು ಅರ್ಧದಾರಿಯಲ್ಲೇ ಎಡವಿ ಮತ್ತು ತಪ್ಪು ಮಾಡದಿದ್ದರೆ. ಇಲ್ಲಿ ನಾನು ಎಲ್ಲಿ ತಪ್ಪಾಗಬಹುದು ...
ಕೊನೆಯ ಪಾಠದ ಮನೆಕೆಲಸದಿಂದ ಕೊನೆಯ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಈಗ ನೋಡೋಣ:
ಸರಳಗೊಳಿಸುವ:
ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಊಹಿಸಲಾಗದ ಬೇರುಗಳ ಸೆಟ್, ಮತ್ತು ನೆಸ್ಟೆಡ್ ಕೂಡ. ನಾನು ಏನು ಮಾಡಲಿ? ಮುಖ್ಯ ವಿಷಯವೆಂದರೆ ಭಯಪಡಬಾರದು! ಇಲ್ಲಿ ನಾವು ಮೊದಲು ಬೇರುಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ 2, 4 ಮತ್ತು 32 ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಗಮನಿಸುತ್ತೇವೆ - ಎರಡರ ಶಕ್ತಿಗಳು. ಎಲ್ಲಾ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಎರಡಕ್ಕೆ ಇಳಿಸುವುದು ಮೊದಲನೆಯದು: ಎಲ್ಲಾ ನಂತರ, ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚು ಒಂದೇ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಕಡಿಮೆ ವಿಭಿನ್ನವಾದವುಗಳು, ಇದು ಸುಲಭವಾಗಿದೆ.) ಮೊದಲ ಅಂಶದೊಂದಿಗೆ ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಪ್ರಾರಂಭಿಸೋಣ:
ಮೂಲ ಘಾತಾಂಕದಲ್ಲಿನ ನಾಲ್ಕರೊಂದಿಗೆ ಮೂಲದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಎರಡನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸಬಹುದು:
ಈಗ, ಕೆಲಸದ ಮೂಲದ ಪ್ರಕಾರ:
.
ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ನಾವು ಎರಡನ್ನು ಮೂಲ ಚಿಹ್ನೆಯಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:
ಮತ್ತು ನಾವು ಮೂಲ ಸೂತ್ರದ ಮೂಲವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸುತ್ತೇವೆ:
ಆದ್ದರಿಂದ ಮೊದಲ ಅಂಶವನ್ನು ಈ ರೀತಿ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ:
ನೆಸ್ಟೆಡ್ ಬೇರುಗಳು ಕಣ್ಮರೆಯಾಗಿವೆ, ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿವೆ, ಇದು ಈಗಾಗಲೇ ಸಂತೋಷವಾಗಿದೆ. ಇದು ಬೇರುಗಳು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿವೆ, ಆದರೆ ನಾವು ಅದನ್ನು ಈಗ ಹಾಗೆ ಬಿಡುತ್ತೇವೆ. ಅಗತ್ಯವಿದ್ದರೆ, ನಾವು ಅವುಗಳನ್ನು ಒಂದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಪರಿವರ್ತಿಸುತ್ತೇವೆ. ಎರಡನೆಯ ಅಂಶವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ.)
ಉತ್ಪನ್ನದ ಮೂಲ ಮತ್ತು ಮೂಲದ ಮೂಲ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಾವು ಎರಡನೇ ಅಂಶವನ್ನು ಇದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಪರಿವರ್ತಿಸುತ್ತೇವೆ. ಅಗತ್ಯವಿದ್ದರೆ, ಐದನೇ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಾವು ಸೂಚಕಗಳನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ:
ನಾವು ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಮೂಲ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ಅಂಟಿಸಿ ಮತ್ತು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:
ನಾವು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ವಿಭಿನ್ನ ಬೇರುಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ಗುಂಪಿನ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ. ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಒಂದೇ ಸೂಚಕಕ್ಕೆ ತರಲು ಒಳ್ಳೆಯದು, ಮತ್ತು ನಂತರ ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ. ಸರಿ, ಇದು ಸಾಕಷ್ಟು ಸಾಧ್ಯ. ಮೂಲ ಘಾತಗಳಲ್ಲಿ ದೊಡ್ಡದು 12, ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ - 2, 3, 4, 6 - ಸಂಖ್ಯೆ 12 ರ ಭಾಜಕಗಳು. ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಐದನೇ ಆಸ್ತಿಯ ಪ್ರಕಾರ ಎಲ್ಲಾ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಒಂದು ಘಾತಕ್ಕೆ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ - 12:
ನಾವು ಎಣಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:
ನಮಗೆ ಉತ್ತಮ ಸಂಖ್ಯೆ ಸಿಗಲಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಅದು ಸರಿ. ಎಂದು ನಮ್ಮನ್ನು ಕೇಳಲಾಯಿತು ಸರಳಗೊಳಿಸುವಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ, ಅಲ್ಲ ಎಣಿಕೆ. ಸರಳೀಕರಿಸಲಾಗಿದೆಯೇ? ಖಂಡಿತವಾಗಿಯೂ! ಮತ್ತು ಉತ್ತರದ ಪ್ರಕಾರ (ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಅಥವಾ ಇಲ್ಲ) ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ಇಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಪಾತ್ರವನ್ನು ವಹಿಸುವುದಿಲ್ಲ.
ಕೆಲವು ಸಂಕಲನ/ವ್ಯವಕಲನ ಮತ್ತು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ಗುಣಾಕಾರ ಸೂತ್ರಗಳು
ದುರದೃಷ್ಟವಶಾತ್, ಸಾಮಾನ್ಯ ಸೂತ್ರಗಳು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಕಳೆಯುವುದುಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಇಲ್ಲ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಕಾರ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಬೇರುಗಳೊಂದಿಗೆ ಈ ಕ್ರಿಯೆಗಳು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತವೆ. ಇಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಬೇರುಗಳು ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿನ ಅಕ್ಷರಗಳಂತೆಯೇ ಗಣಿತದ ಸಂಕೇತಗಳಾಗಿವೆ ಎಂದು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಅವಶ್ಯಕ.) ಮತ್ತು ಅದೇ ತಂತ್ರಗಳು ಮತ್ತು ನಿಯಮಗಳು ಅಕ್ಷರಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತವೆ - ಆವರಣಗಳನ್ನು ತೆರೆಯುವುದು, ಒಂದೇ ರೀತಿಯದನ್ನು ತರುವುದು, ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ಗುಣಾಕಾರ ಸೂತ್ರಗಳು, ಇತ್ಯಾದಿ. ಪಿ.
ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಇದು ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ. ಇದೇ ಅದೇಬೇರುಗಳನ್ನು ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ಸುಲಭವಾಗಿ ಸೇರಿಸಬಹುದು/ಕಳೆಯಬಹುದು:
ಬೇರುಗಳು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅವುಗಳನ್ನು ಒಂದೇ ರೀತಿ ಮಾಡಲು ನಾವು ಒಂದು ಮಾರ್ಗವನ್ನು ಹುಡುಕುತ್ತೇವೆ - ಗುಣಕವನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ / ಕಳೆಯುವ ಮೂಲಕ ಅಥವಾ ಐದನೇ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಬಳಸಿ. ಅದನ್ನು ಯಾವುದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಸರಳೀಕರಿಸದಿದ್ದರೆ, ಬಹುಶಃ ರೂಪಾಂತರಗಳು ಹೆಚ್ಚು ಕುತಂತ್ರವಾಗಿರುತ್ತವೆ.
ಮೊದಲ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೋಡೋಣ.
ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಅರ್ಥವನ್ನು ಹುಡುಕಿ: .
ಎಲ್ಲಾ ಮೂರು ಬೇರುಗಳು, ಘನವಾಗಿದ್ದರೂ, ಅವುಗಳಿಂದ ಬಂದವು ವಿಭಿನ್ನಸಂಖ್ಯೆಗಳು. ಅವುಗಳನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಹೊರತೆಗೆಯಲಾಗಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಪರಸ್ಪರ ಸೇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ/ಕಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಸೂತ್ರಗಳ ಬಳಕೆ ಇಲ್ಲಿ ಕೆಲಸ ಮಾಡುವುದಿಲ್ಲ. ನಾನು ಏನು ಮಾಡಲಿ? ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಮೂಲದಲ್ಲಿನ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯೋಣ. ಯಾವುದೇ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಅದು ಕೆಟ್ಟದಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ.) ಇದಲ್ಲದೆ, ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಬೇರೆ ಯಾವುದೇ ಆಯ್ಕೆಗಳಿಲ್ಲ:
ಅದು, .
ಅದಕ್ಕೇ ಪರಿಹಾರ. ಇಲ್ಲಿ ನಾವು ಸಹಾಯದಿಂದ ವಿವಿಧ ಬೇರುಗಳಿಂದ ಒಂದೇ ಪದಗಳಿಗೆ ಸ್ಥಳಾಂತರಗೊಂಡಿದ್ದೇವೆ ಮೂಲದಿಂದ ಗುಣಕವನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕುವುದು. ತದನಂತರ ಅವರು ಸರಳವಾಗಿ ಒಂದೇ ರೀತಿಯದನ್ನು ತಂದರು.) ನಾವು ಮತ್ತಷ್ಟು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತೇವೆ.
ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ:
ಹದಿನೇಳರ ಮೂಲದ ಬಗ್ಗೆ ನೀವು ಖಂಡಿತವಾಗಿಯೂ ಏನೂ ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ನಾವು ಮೊದಲ ಆಸ್ತಿಯ ಪ್ರಕಾರ ಕೆಲಸ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ - ನಾವು ಎರಡು ಬೇರುಗಳ ಉತ್ಪನ್ನದಿಂದ ಒಂದು ಮೂಲವನ್ನು ತಯಾರಿಸುತ್ತೇವೆ:
ಈಗ ಹತ್ತಿರದಿಂದ ನೋಡೋಣ. ನಮ್ಮ ದೊಡ್ಡ ಕ್ಯೂಬ್ ರೂಟ್ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಏನಿದೆ? ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಕ್ವಾ ... ಸರಿ, ಸಹಜವಾಗಿ! ಚೌಕಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸ:
ಈಗ ಮೂಲವನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯಲು ಮಾತ್ರ ಉಳಿದಿದೆ: .
ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ:
ಇಲ್ಲಿ ನೀವು ಗಣಿತದ ಜಾಣ್ಮೆಯನ್ನು ತೋರಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ.) ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಯೋಚಿಸುತ್ತೇವೆ: “ಆದ್ದರಿಂದ, ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ, ಬೇರುಗಳ ಉತ್ಪನ್ನ. ಒಂದು ಮೂಲದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಿದೆ, ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದು ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ. ಚೌಕಗಳ ಸೂತ್ರದ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಹೋಲುತ್ತದೆ. ಆದರೆ... ಬೇರುಗಳೇ ಬೇರೆ! ಮೊದಲನೆಯದು ಚೌಕವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದು ನಾಲ್ಕನೇ ಡಿಗ್ರಿಯಾಗಿದೆ ... ಅವುಗಳನ್ನು ಒಂದೇ ರೀತಿ ಮಾಡಿದರೆ ಚೆನ್ನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಐದನೇ ಆಸ್ತಿಯ ಪ್ರಕಾರ, ನೀವು ಸುಲಭವಾಗಿ ವರ್ಗಮೂಲದಿಂದ ನಾಲ್ಕನೇ ಮೂಲವನ್ನು ಮಾಡಬಹುದು. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಮೂಲಭೂತ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ವರ್ಗೀಕರಿಸಲು ಸಾಕು.
ನೀವು ಅದೇ ಬಗ್ಗೆ ಯೋಚಿಸಿದರೆ, ನೀವು ಯಶಸ್ಸಿನ ಅರ್ಧದಾರಿಯಲ್ಲೇ ಇದ್ದೀರಿ. ಖಂಡಿತವಾಗಿಯೂ ಸರಿಯಿದೆ! ಮೊದಲ ಅಂಶವನ್ನು ನಾಲ್ಕನೇ ಮೂಲವಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸೋಣ. ಹೀಗೆ:
ಈಗ, ಏನನ್ನೂ ಮಾಡಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಚೌಕದ ಸೂತ್ರವನ್ನು ನೀವು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಬೇಕು. ಬೇರುಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಿದಾಗ ಮಾತ್ರ. ಏನೀಗ? ಇತರ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಅಥವಾ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳಿಗಿಂತ ಬೇರುಗಳು ಏಕೆ ಕೆಟ್ಟದಾಗಿವೆ?! ನಾವು ನಿರ್ಮಿಸುತ್ತೇವೆ:
"ಹ್ಮ್, ಅವರು ಅದನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿದರು, ಹಾಗಾದರೆ ಏನು? ಮೂಲಂಗಿ ಮೂಲಂಗಿಗಿಂತ ಸಿಹಿಯಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ನಿಲ್ಲಿಸು! ಮತ್ತು ನೀವು ರೂಟ್ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ನಾಲ್ಕು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ? ನಂತರ ಅದೇ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಎರಡನೇ ಮೂಲದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಹೊರಹೊಮ್ಮುತ್ತದೆ, ಕೇವಲ ಒಂದು ಮೈನಸ್, ಮತ್ತು ನಾವು ಸಾಧಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುತ್ತಿರುವುದು ಇದನ್ನೇ!
ಸರಿ! ನಾಲ್ಕು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ:
.
ಮತ್ತು ಈಗ - ತಂತ್ರಜ್ಞಾನದ ವಿಷಯ:
ಜಟಿಲವಾದ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಬಿಚ್ಚಿಡಲಾಗಿದೆ.) ಈಗ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಅಭ್ಯಾಸ ಮಾಡುವ ಸಮಯ.
ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ:
ಅಂಶವನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸಬೇಕು ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ. ಹೇಗೆ? ಮೊತ್ತದ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುವುದು, ಸಹಜವಾಗಿ. ನಮಗೆ ಬೇರೆ ಯಾವುದೇ ಆಯ್ಕೆಗಳಿವೆಯೇ? :) ನಾವು ಅದನ್ನು ವರ್ಗೀಕರಿಸುತ್ತೇವೆ, ಅಂಶಗಳನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯುತ್ತೇವೆ, ಸೂಚಕಗಳನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ (ಅಗತ್ಯವಿರುವಲ್ಲಿ):
ಅದ್ಭುತ! ನಮ್ಮ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ಛೇದವನ್ನು ನಾವು ನಿಖರವಾಗಿ ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ.) ಇದರರ್ಥ ಇಡೀ ಭಾಗವು ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:
ಇನ್ನೊಂದು ಉದಾಹರಣೆ. ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ಗುಣಾಕಾರಕ್ಕಾಗಿ ಮತ್ತೊಂದು ಸೂತ್ರಕ್ಕಾಗಿ ಈಗ ಮಾತ್ರ.)
ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ:
ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಚೌಕವನ್ನು ಆಚರಣೆಯಲ್ಲಿ ಬಳಸಬೇಕು ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ. ನಾವು ಛೇದವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು - ಹೋಗೋಣ!
ನಾವು ಬೇರುಗಳ ಕೆಳಗಿನ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯುತ್ತೇವೆ:
ಆದ್ದರಿಂದ,
ಈಗ ಕೆಟ್ಟದ್ದೆಲ್ಲವೂ ಅದ್ಭುತವಾಗಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅದು ತಿರುಗುತ್ತದೆ:
ಸರಿ, ಅದನ್ನು ಮುಂದಿನ ಹಂತಕ್ಕೆ ಕೊಂಡೊಯ್ಯೋಣ. :)
ಪತ್ರಗಳು ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಷರತ್ತುಗಳು
ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಅಕ್ಷರಶಃ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳಿಗಿಂತ ಟ್ರಿಕಿಯರ್ ವಿಷಯವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಕಿರಿಕಿರಿ ಮತ್ತು ಗಂಭೀರ ದೋಷಗಳ ಅಕ್ಷಯ ಮೂಲವಾಗಿದೆ. ಈ ಮೂಲವನ್ನು ಮುಚ್ಚೋಣ.) ಅಂತಹ ಕಾರ್ಯಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ನಕಾರಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ ದೋಷಗಳು ಉಂಟಾಗುತ್ತವೆ. ಅವುಗಳನ್ನು ಕಾರ್ಯದಲ್ಲಿ ನೇರವಾಗಿ ನಮಗೆ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ಮರೆಮಾಡಲಾಗಿದೆ ಪತ್ರಗಳು ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಷರತ್ತುಗಳು. ಮತ್ತು ಬೇರುಗಳೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ, ಬೇರುಗಳಲ್ಲಿ ನಾವು ನಿರಂತರವಾಗಿ ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಬೇಕು ಪದವಿ ಕೂಡಎರಡೂ ಮೂಲದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಬೇರಿನ ಹೊರತೆಗೆಯುವಿಕೆಯ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಇರಬೇಕು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ. ಈ ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್‌ನ ಕಾರ್ಯಗಳಲ್ಲಿನ ಪ್ರಮುಖ ಸೂತ್ರವು ನಾಲ್ಕನೇ ಸೂತ್ರವಾಗಿದೆ:
ಬೆಸ ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಬೇರುಗಳೊಂದಿಗೆ ಯಾವುದೇ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳಿಲ್ಲ - ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಯಾವಾಗಲೂ ಹೊರತೆಗೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಧನಾತ್ಮಕ ಮತ್ತು ಋಣಾತ್ಮಕ ಎರಡೂ. ಮತ್ತು ಮೈನಸ್, ಏನಾದರೂ ಇದ್ದರೆ, ಮುಂದೆ ತರಲಾಗುತ್ತದೆ. ನೇರವಾಗಿ ಬೇರುಗಳಿಗೆ ಹೋಗೋಣ ಸಹಡಿಗ್ರಿಗಳು.) ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅಂತಹ ಒಂದು ಸಣ್ಣ ಕಾರ್ಯ.
ಸರಳಗೊಳಿಸುವ: , ಒಂದು ವೇಳೆ .
ಎಲ್ಲವೂ ಸರಳವಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರುತ್ತದೆ. ಇದು ಕೇವಲ ಎಕ್ಸ್ ಆಗಿ ಹೊರಹೊಮ್ಮುತ್ತದೆ.) ಆದರೆ ಏಕೆ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಸ್ಥಿತಿ? ಅಂತಹ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಸಂಖ್ಯೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಅಂದಾಜು ಮಾಡುವುದು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ. ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ನನಗಾಗಿ.) ವೇಳೆ, ನಂತರ x ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಮೈನಸ್ ಮೂರು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ. ಅಥವಾ ಮೈನಸ್ ನಲವತ್ತು. ಅವಕಾಶ . ನೀವು ಮೈನಸ್ ಮೂರರಿಂದ ನಾಲ್ಕನೇ ಶಕ್ತಿಗೆ ಹೆಚ್ಚಿಸಬಹುದೇ? ಖಂಡಿತವಾಗಿಯೂ! ಫಲಿತಾಂಶವು 81. 81 ರ ನಾಲ್ಕನೇ ಮೂಲವನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯಲು ಸಾಧ್ಯವೇ? ಯಾಕಿಲ್ಲ? ಮಾಡಬಹುದು! ನೀವು ಮೂರು ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ. ಈಗ ನಮ್ಮ ಸಂಪೂರ್ಣ ಸರಣಿಯನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸೋಣ:
ನಾವು ಏನು ನೋಡುತ್ತೇವೆ? ಇನ್‌ಪುಟ್ ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿತ್ತು ಮತ್ತು ಔಟ್‌ಪುಟ್ ಈಗಾಗಲೇ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿತ್ತು. ಇದು ಮೈನಸ್ ಮೂರು, ಈಗ ಅದು ಪ್ಲಸ್ ಮೂರು.) ಅಕ್ಷರಗಳಿಗೆ ಹಿಂತಿರುಗಿ ನೋಡೋಣ. ನಿಸ್ಸಂದೇಹವಾಗಿ, ಮಾಡ್ಯುಲೋ ಇದು ನಿಖರವಾಗಿ X ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ X ಮಾತ್ರ ಮೈನಸ್ ಆಗಿದೆ (ಷರತ್ತಿನ ಮೂಲಕ!), ಮತ್ತು ಹೊರತೆಗೆಯುವಿಕೆಯ ಫಲಿತಾಂಶ (ಅಂಕಗಣಿತದ ಮೂಲದಿಂದಾಗಿ!) ಪ್ಲಸ್ ಆಗಿರಬೇಕು. ಪ್ಲಸ್ ಪಡೆಯುವುದು ಹೇಗೆ? ತುಂಬಾ ಸರಳ! ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮುಂದೆ ಮೈನಸ್ ಅನ್ನು ಇರಿಸಿ.) ಮತ್ತು ಸರಿಯಾದ ಪರಿಹಾರವು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ:
ಮೂಲಕ, ನಾವು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿದರೆ, ಮಾಡ್ಯೂಲ್ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ನೆನಪಿನಲ್ಲಿಟ್ಟುಕೊಂಡು, ನಾವು ತಕ್ಷಣವೇ ಸರಿಯಾದ ಉತ್ತರವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಏಕೆಂದರೆ ದಿ
|x| = -x ನಲ್ಲಿ x<0.
ಮೂಲ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಅಂಶವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ: , ಎಲ್ಲಿ .
ಮೊದಲ ನೋಟವು ಆಮೂಲಾಗ್ರ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಲ್ಲಿದೆ. ಇಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲವೂ ಸರಿಯಾಗಿದೆ. ಯಾವುದೇ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಇದು ನಕಾರಾತ್ಮಕವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಹೊರತೆಗೆಯಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸೋಣ. ಉತ್ಪನ್ನದ ಮೂಲ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿ, ನಾವು ಪ್ರತಿ ಅಂಶದ ಮೂಲವನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯುತ್ತೇವೆ:
ಮಾಡ್ಯೂಲ್‌ಗಳು ಎಲ್ಲಿಂದ ಬಂದವು ಎಂಬುದನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ ಎಂದು ನಾನು ಭಾವಿಸುತ್ತೇನೆ.) ಈಗ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಮಾಡ್ಯೂಲ್‌ಗಳನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸೋಣ.
ಗುಣಕ | ಎ | ನಾವು ಅದನ್ನು ಬದಲಾಗದೆ ಬಿಡುತ್ತೇವೆ: ಪತ್ರಕ್ಕೆ ನಾವು ಯಾವುದೇ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲಎ. ಇದು ಧನಾತ್ಮಕ ಅಥವಾ ಋಣಾತ್ಮಕ ಎಂದು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿಲ್ಲ. ಮುಂದಿನ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ |ಬಿ 2 | ಸುರಕ್ಷಿತವಾಗಿ ಬಿಟ್ಟುಬಿಡಬಹುದು: ಯಾವುದೇ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಬಿ 2 ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ. ಆದರೆ ಸುಮಾರು |ಸಿ 3 | - ಇಲ್ಲಿ ಈಗಾಗಲೇ ಸಮಸ್ಯೆ ಇದೆ.) ವೇಳೆ, ನಂತರ ಸಿ 3 <0. Стало быть, модуль надо раскрыть ಒಂದು ಮೈನಸ್ ಜೊತೆ: | ಸಿ 3 | = - ಸಿ 3 . ಒಟ್ಟಾರೆಯಾಗಿ, ಸರಿಯಾದ ಪರಿಹಾರವೆಂದರೆ:
ಮತ್ತು ಈಗ - ರಿವರ್ಸ್ ಸಮಸ್ಯೆ. ಸುಲಭವಲ್ಲ, ನಾನು ಈಗಿನಿಂದಲೇ ನಿಮಗೆ ಎಚ್ಚರಿಕೆ ನೀಡುತ್ತೇನೆ!
ಮೂಲ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಗುಣಕವನ್ನು ನಮೂದಿಸಿ: .
ನೀವು ತಕ್ಷಣ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೀಗೆ ಬರೆದರೆ
ನಂತರ ನೀವು ಬಲೆಗೆ ಬಿದ್ದ. ಈ ತಪ್ಪು ನಿರ್ಧಾರ! ಏನು ವಿಷಯ?
ರೂಟ್ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಹತ್ತಿರದಿಂದ ನೋಡೋಣ. ನಾಲ್ಕನೇ ಪದವಿಯ ಮೂಲದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ, ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿರುವಂತೆ, ಇರಬೇಕು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ. ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಮೂಲವು ಯಾವುದೇ ಅರ್ಥವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ.) ಆದ್ದರಿಂದ ಮತ್ತು ಇದು ಪ್ರತಿಯಾಗಿ, ಅಂದರೆ ಮತ್ತು, ಆದ್ದರಿಂದ, ಸ್ವತಃ ಸಹ ಧನಾತ್ಮಕವಲ್ಲ: .
ಮತ್ತು ಇಲ್ಲಿ ತಪ್ಪು ಎಂದರೆ ನಾವು ಮೂಲದಲ್ಲಿ ಪರಿಚಯಿಸುತ್ತಿದ್ದೇವೆ ಧನಾತ್ಮಕವಲ್ಲದಸಂಖ್ಯೆ: ನಾಲ್ಕನೇ ಪದವಿ ಅದನ್ನು ತಿರುಗಿಸುತ್ತದೆ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದಮತ್ತು ತಪ್ಪು ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ - ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ ಉದ್ದೇಶಪೂರ್ವಕ ಮೈನಸ್ ಇದೆ, ಮತ್ತು ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ಈಗಾಗಲೇ ಪ್ಲಸ್ ಇದೆ. ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಮೂಲದಲ್ಲಿ ಇರಿಸಿ ಸಹಪದವಿ ನಮಗೆ ಮಾತ್ರ ಹಕ್ಕಿದೆ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಅಥವಾ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು. ಮತ್ತು ರೂಟ್ನ ಮುಂದೆ ಒಂದು ಇದ್ದರೆ ಮೈನಸ್ ಅನ್ನು ಬಿಡಿ.) ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಅಂಶವನ್ನು ನಾವು ಹೇಗೆ ಗುರುತಿಸಬಹುದು, ಇದು ಸ್ವತಃ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಋಣಾತ್ಮಕ ಎಂದು ತಿಳಿಯುವುದು? ಹೌದು, ನಿಖರವಾಗಿ ಅದೇ! ಮೈನಸ್ ಹಾಕಿ.) ಮತ್ತು ಇದರಿಂದ ಏನೂ ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಅದನ್ನು ಮತ್ತೊಂದು ಮೈನಸ್‌ನೊಂದಿಗೆ ಸರಿದೂಗಿಸಿ. ಹೀಗೆ:
ಮತ್ತು ಈಗ ಈಗಾಗಲೇ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದನಾವು ಎಲ್ಲಾ ನಿಯಮಗಳ ಪ್ರಕಾರ ರೂಟ್ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ (-b) ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಶಾಂತವಾಗಿ ನಮೂದಿಸುತ್ತೇವೆ:
ಈ ಉದಾಹರಣೆಯು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಇತರ ಶಾಖೆಗಳಿಗಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿ, ಬೇರುಗಳಲ್ಲಿ ಸರಿಯಾದ ಉತ್ತರವು ಯಾವಾಗಲೂ ಸೂತ್ರಗಳಿಂದ ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತವಾಗಿ ಅನುಸರಿಸುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ನೀವು ಯೋಚಿಸಬೇಕು ಮತ್ತು ವೈಯಕ್ತಿಕವಾಗಿ ಸರಿಯಾದ ನಿರ್ಧಾರವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು.) ಸೈನ್ ಇನ್ ಮಾಡುವಲ್ಲಿ ನೀವು ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಜಾಗರೂಕರಾಗಿರಬೇಕು ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಮತ್ತು ಅಸಮಾನತೆಗಳು.
ಬೇರುಗಳೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡುವಾಗ ಮುಂದಿನ ಪ್ರಮುಖ ತಂತ್ರವನ್ನು ನೋಡೋಣ - ಅತಾರ್ಕಿಕತೆಯನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕುವುದು.
ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳಲ್ಲಿನ ಅಭಾಗಲಬ್ಧತೆಯನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕುವುದು
ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ನಂತರ, ನಾನು ನಿಮಗೆ ನೆನಪಿಸುತ್ತೇನೆ, ಅಂತಹ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಅಭಾಗಲಬ್ಧತೆಯೊಂದಿಗೆ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ. ಕೆಲವು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಈ ಅಭಾಗಲಬ್ಧತೆಯನ್ನು (ಅಂದರೆ ಬೇರುಗಳು) ತೊಡೆದುಹಾಕಲು ಇದು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ. ನೀವು ಮೂಲವನ್ನು ಹೇಗೆ ತೊಡೆದುಹಾಕಬಹುದು? ಅಧಿಕಾರಕ್ಕೆ ಏರಿದಾಗ ನಮ್ಮ ಬೇರು ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ರೂಟ್ ಸೂಚಕಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಸೂಚಕ ಅಥವಾ ಅದರ ಬಹುಸಂಖ್ಯೆಯೊಂದಿಗೆ. ಆದರೆ, ನಾವು ಮೂಲವನ್ನು ಶಕ್ತಿಗೆ ಏರಿಸಿದರೆ (ಅಂದರೆ ಮೂಲವನ್ನು ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಬಾರಿ ಗುಣಿಸಿ), ನಂತರ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಳ್ಳೆಯದಲ್ಲ.) ಆದಾಗ್ಯೂ, ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಗುಣಾಕಾರವು ನೋವುರಹಿತವಾಗಿರುವ ವಿಷಯಗಳಿವೆ. ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳಲ್ಲಿ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ. ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ಮೂಲ ಆಸ್ತಿಯ ಪ್ರಕಾರ, ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದವನ್ನು ಒಂದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸಿದರೆ (ಭಾಗಿಸಿದರೆ), ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ಮೌಲ್ಯವು ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ.
ನಮಗೆ ಈ ಭಾಗವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳೋಣ:
ಛೇದದಲ್ಲಿರುವ ಮೂಲವನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕಲು ಸಾಧ್ಯವೇ? ಮಾಡಬಹುದು! ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಮೂಲವನ್ನು ಘನವಾಗಿರಬೇಕು. ಪೂರ್ಣ ಘನಕ್ಕಾಗಿ ಛೇದದಲ್ಲಿ ನಾವು ಏನು ಕಳೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ? ನಾವು ಗುಣಕವನ್ನು ಕಳೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ, ಅಂದರೆ.. ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದವನ್ನು ಗುಣಿಸುತ್ತೇವೆ
ಛೇದದಲ್ಲಿ ಬೇರು ಮಾಯವಾಗಿದೆ. ಆದರೆ... ಅವರು ಅಂಕಣದಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡರು. ಏನನ್ನೂ ಮಾಡಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಅಂತಹ ವಿಧಿ.) ಇದು ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ನಮಗೆ ಮುಖ್ಯವಲ್ಲ: ಛೇದವನ್ನು ಬೇರುಗಳಿಂದ ಮುಕ್ತಗೊಳಿಸಲು ನಮ್ಮನ್ನು ಕೇಳಲಾಯಿತು. ಬಿಡುಗಡೆಯಾಗಿದೆಯೇ? ನಿಸ್ಸಂದೇಹವಾಗಿ.)
ಮೂಲಕ, ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯೊಂದಿಗೆ ಈಗಾಗಲೇ ಆರಾಮದಾಯಕವಾಗಿರುವವರು ಕೆಲವು ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕಗಳು ಮತ್ತು ಕೋಷ್ಟಕಗಳಲ್ಲಿ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅವರು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿ ಗೊತ್ತುಪಡಿಸುತ್ತಾರೆ ಎಂಬ ಅಂಶಕ್ಕೆ ಗಮನ ಹರಿಸಿರಬಹುದು: ಎಲ್ಲೋ , ಮತ್ತು ಎಲ್ಲೋ . ಪ್ರಶ್ನೆ - ಯಾವುದು ಸರಿ? ಉತ್ತರ: ಎಲ್ಲವೂ ಸರಿಯಾಗಿದೆ!) ನೀವು ಊಹಿಸಿದರೆ- ಇದು ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ಛೇದದಲ್ಲಿ ಅಭಾಗಲಬ್ಧತೆಯಿಂದ ವಿಮೋಚನೆಯ ಫಲಿತಾಂಶವಾಗಿದೆ. :)
ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳಲ್ಲಿನ ಅಭಾಗಲಬ್ಧತೆಯಿಂದ ನಾವೇಕೆ ಮುಕ್ತರಾಗಬೇಕು? ಇದು ಯಾವ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಮಾಡುತ್ತದೆ - ಮೂಲವು ಅಂಶದಲ್ಲಿ ಅಥವಾ ಛೇದದಲ್ಲಿದೆ? ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್ ಹೇಗಾದರೂ ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುತ್ತದೆ.) ಸರಿ, ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್ನೊಂದಿಗೆ ಭಾಗವಾಗದವರಿಗೆ, ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ ಯಾವುದೇ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಿಲ್ಲ ... ಆದರೆ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್ ಅನ್ನು ಎಣಿಸಿದರೂ ಸಹ, ನೀವು ಇದಕ್ಕೆ ಗಮನ ಕೊಡಬಹುದು ಭಾಗಿಸಿಮೇಲೆ ಸಂಪೂರ್ಣಸಂಖ್ಯೆ ಯಾವಾಗಲೂ ಹೆಚ್ಚು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆನ್‌ಗಿಂತ ವೇಗವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಅಭಾಗಲಬ್ಧ. ಮತ್ತು ಕಾಲಮ್ ಆಗಿ ವಿಭಜನೆಯ ಬಗ್ಗೆ ನಾನು ಮೌನವಾಗಿರುತ್ತೇನೆ.)
ಕೆಳಗಿನ ಉದಾಹರಣೆಯು ನನ್ನ ಮಾತುಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ದೃಢೀಕರಿಸುತ್ತದೆ.
ಇಲ್ಲಿ ಛೇದದ ವರ್ಗಮೂಲವನ್ನು ನಾವು ಹೇಗೆ ತೊಡೆದುಹಾಕಬಹುದು? ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದವನ್ನು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಿಂದ ಗುಣಿಸಿದರೆ, ಛೇದವು ಮೊತ್ತದ ವರ್ಗವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವರ್ಗಗಳ ಮೊತ್ತವು ನಮಗೆ ಯಾವುದೇ ಬೇರುಗಳಿಲ್ಲದೆ ಕೇವಲ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಇದು ತುಂಬಾ ಸಂತೋಷಕರವಾಗಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ... ಅದು ಪಾಪ್ ಅಪ್ ಆಗುತ್ತದೆ ಎರಡು ಉತ್ಪನ್ನಮೊದಲ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಎರಡನೆಯದಕ್ಕೆ, ಅಲ್ಲಿ ಮೂರರ ಮೂಲವು ಇನ್ನೂ ಉಳಿಯುತ್ತದೆ. ಇದು ಚಾನಲ್ ಮಾಡುವುದಿಲ್ಲ. ನಾನು ಏನು ಮಾಡಲಿ? ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ಗುಣಾಕಾರಕ್ಕಾಗಿ ಮತ್ತೊಂದು ಅದ್ಭುತ ಸೂತ್ರವನ್ನು ನೆನಪಿಡಿ! ಎರಡು ಉತ್ಪನ್ನಗಳಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಚೌಕಗಳು ಮಾತ್ರ:
ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮೊತ್ತದಿಂದ (ಅಥವಾ ವ್ಯತ್ಯಾಸ) ಗುಣಿಸಿದಾಗ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಚೌಕಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸ, ಎಂದೂ ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ ಸಂಯೋಜಿತ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ. ನಮ್ಮ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ, ಸಂಯೋಜಿತ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಈ ವ್ಯತ್ಯಾಸದಿಂದ ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದವನ್ನು ಗುಣಿಸುತ್ತೇವೆ:
ನಾನೇನು ಹೇಳಲಿ? ನಮ್ಮ ಕುಶಲತೆಯ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಛೇದದ ಮೂಲವು ಕಣ್ಮರೆಯಾಯಿತು, ಆದರೆ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಕಣ್ಮರೆಯಾಯಿತು! :) ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್ನೊಂದಿಗೆ ಸಹ, ಮೂರರಿಂದ ಮೂರರ ಮೂಲವನ್ನು ಕಳೆಯುವುದು ಛೇದದಲ್ಲಿನ ಮೂಲದೊಂದಿಗೆ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದಕ್ಕಿಂತ ಸುಲಭವಾಗಿದೆ. ಇನ್ನೊಂದು ಉದಾಹರಣೆ.
ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ಛೇದದಲ್ಲಿ ಅಭಾಗಲಬ್ಧತೆಯಿಂದ ನಿಮ್ಮನ್ನು ಮುಕ್ತಗೊಳಿಸಿ:
ಇದರಿಂದ ಹೊರಬರುವುದು ಹೇಗೆ? ಚೌಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ಗುಣಾಕಾರಕ್ಕಾಗಿ ಸೂತ್ರಗಳು ಈಗಿನಿಂದಲೇ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವುದಿಲ್ಲ - ಈ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ನಮ್ಮ ಮೂಲವು ಚೌಕವಾಗಿಲ್ಲ ಎಂಬ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ತೊಡೆದುಹಾಕಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಘನ. ಮೂಲವನ್ನು ಹೇಗಾದರೂ ಘನವಾಗಿ ಬೆಳೆಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಘನಗಳೊಂದಿಗೆ ಸೂತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಬಳಸಬೇಕು. ಯಾವುದು? ಅದರ ಬಗ್ಗೆ ಯೋಚಿಸೋಣ. ಛೇದವು ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ. ನಾವು ರೂಟ್ನ ಘನವನ್ನು ಹೇಗೆ ಸಾಧಿಸಬಹುದು? ಗುಣಿಸಿ ಭಾಗಶಃ ವರ್ಗ ವ್ಯತ್ಯಾಸ! ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತೇವೆ ಘನಗಳ ಮೊತ್ತ. ಇದು ಒಂದು:
ಅಂತೆ ಎನಾವು ಮೂರು ಮತ್ತು ಒಂದು ಗುಣಮಟ್ಟವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಬಿ- ಐದು ಘನ ಮೂಲ:
ಮತ್ತು ಮತ್ತೆ ಭಾಗವು ಕಣ್ಮರೆಯಾಯಿತು.) ಅಂತಹ ಸಂದರ್ಭಗಳು, ಒಂದು ಭಾಗದ ಛೇದದಲ್ಲಿ ಅಭಾಗಲಬ್ಧತೆಯಿಂದ ಮುಕ್ತವಾದಾಗ, ಭಾಗವು ಬೇರುಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುತ್ತದೆ, ಆಗಾಗ್ಗೆ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೀವು ಹೇಗೆ ಇಷ್ಟಪಡುತ್ತೀರಿ!
ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ:
ಈ ಮೂರು ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ! ತಪ್ಪುಗಳಿಲ್ಲ! :) ಒಂದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಛೇದವು ಯೋಗ್ಯವಾಗಿದೆ. ಪ್ರತಿ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ಛೇದದಲ್ಲಿನ ಅಭಾಗಲಬ್ಧತೆಯಿಂದ ನಿಮ್ಮನ್ನು ಮುಕ್ತಗೊಳಿಸಲು ನೀವು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿದರೆ ಏನು? ಸರಿ, ಪ್ರಯತ್ನಿಸೋಣ:
ವಾಹ್, ಎಷ್ಟು ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ! ಎಲ್ಲಾ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳು ಹೋಗಿವೆ! ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ. ಮತ್ತು ಈಗ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಎರಡು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು:
ಸರಳ ಮತ್ತು ಸೊಗಸಾದ. ಮತ್ತು ದೀರ್ಘ ಮತ್ತು ಬೇಸರದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳಿಲ್ಲದೆ. :)
ಅದಕ್ಕಾಗಿಯೇ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳಲ್ಲಿ ಅತಾರ್ಕಿಕತೆಯಿಂದ ವಿಮೋಚನೆಯ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಅತ್ಯಾಧುನಿಕ ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲಿ, ಇದು ಉಳಿಸುವ ಏಕೈಕ ವಿಷಯವಾಗಿದೆ, ಹೌದು.) ಸಹಜವಾಗಿ, ಯಾರೂ ಗಮನಿಸುವಿಕೆಯನ್ನು ರದ್ದುಗೊಳಿಸಲಿಲ್ಲ. ಅಭಾಗಲಬ್ಧತೆಯನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕಲು ನಿಮ್ಮನ್ನು ಕೇಳುವ ಕಾರ್ಯಗಳಿವೆ ಸಂಖ್ಯಾಕಾರಕ. ಈ ಕಾರ್ಯಗಳು ಪರಿಗಣಿಸಿದ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ, ಕೇವಲ ಅಂಶವನ್ನು ಬೇರುಗಳಿಂದ ತೆರವುಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ.)
ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣ ಉದಾಹರಣೆಗಳು
ಬೇರುಗಳೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡಲು ಕೆಲವು ವಿಶೇಷ ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲು ಮತ್ತು ಸರಳವಾದ ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲದ ಗೋಜಲುಗಳನ್ನು ಅಭ್ಯಾಸ ಮಾಡಲು ಇದು ಉಳಿದಿದೆ. ತದನಂತರ ಸ್ವೀಕರಿಸಿದ ಮಾಹಿತಿಯು ಯಾವುದೇ ಮಟ್ಟದ ಸಂಕೀರ್ಣತೆಯ ಬೇರುಗಳೊಂದಿಗೆ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಸಾಕಷ್ಟು ಇರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ - ಮುಂದುವರಿಯಿರಿ.) ಮೊದಲಿಗೆ, ಮೂಲ ಸೂತ್ರದಿಂದ ಮೂಲವು ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸದಿದ್ದಾಗ ನೆಸ್ಟೆಡ್ ಬೇರುಗಳೊಂದಿಗೆ ಏನು ಮಾಡಬೇಕೆಂದು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆ ಇಲ್ಲಿದೆ.
ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ:
ಮೂಲವು ಮೂಲದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿದೆ ... ಮೇಲಾಗಿ, ಬೇರುಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಮೊತ್ತ ಅಥವಾ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಮೂಲದ ಮೂಲ ಸೂತ್ರವು (ಘಾತಾಂಕಗಳ ಗುಣಾಕಾರದೊಂದಿಗೆ) ಇಲ್ಲಿದೆ ಇದು ಕೆಲಸ ಮಾಡುವುದಿಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ ಏನಾದರೂ ಮಾಡಬೇಕಾಗಿದೆ ಆಮೂಲಾಗ್ರ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು: ನಮಗೆ ಬೇರೆ ಆಯ್ಕೆಗಳಿಲ್ಲ. ಅಂತಹ ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲಿ, ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ದೊಡ್ಡ ಮೂಲವನ್ನು ಎನ್‌ಕ್ರಿಪ್ಟ್ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಪರಿಪೂರ್ಣ ಚೌಕಯಾವುದೇ ಮೊತ್ತ. ಅಥವಾ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು. ಮತ್ತು ಚೌಕದ ಮೂಲವನ್ನು ಈಗಾಗಲೇ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಹೊರತೆಗೆಯಬಹುದು! ಮತ್ತು ಈಗ ಅದನ್ನು ಡೀಕ್ರಿಪ್ಟ್ ಮಾಡುವುದು ನಮ್ಮ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ.) ಅಂತಹ ಡೀಕ್ರಿಪ್ಶನ್ ಅನ್ನು ಸುಂದರವಾಗಿ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆ. ಈಗ ನೀವು ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ನಿಮಗಾಗಿ ನೋಡುತ್ತೀರಿ.)
ಆದ್ದರಿಂದ, ಮೊದಲ ಮೂಲದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ನಾವು ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ:
ನೀವು ಸರಿಯಾಗಿ ಊಹಿಸದಿದ್ದರೆ ಏನು? ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ! ಮೊತ್ತದ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಾವು ಅದನ್ನು ವರ್ಗೀಕರಿಸುತ್ತೇವೆ:
ಅದು ಸರಿ.) ಆದರೆ... ನಾನು ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಎಲ್ಲಿಂದ ಪಡೆದುಕೊಂಡೆ? ಆಕಾಶದಿಂದ?
ಇಲ್ಲ) ನಾವು ಅದನ್ನು ಪ್ರಾಮಾಣಿಕವಾಗಿ ಸ್ವಲ್ಪ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಸರಳವಾಗಿ ಬಳಸುವುದರಿಂದ, ಟಾಸ್ಕ್ ರೈಟರ್‌ಗಳು ಅಂತಹ ಚೌಕಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಎನ್‌ಕ್ರಿಪ್ಟ್ ಮಾಡುತ್ತಾರೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಾನು ತೋರಿಸುತ್ತೇನೆ. :) 54 ಎಂದರೇನು? ಈ ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವರ್ಗಗಳ ಮೊತ್ತ. ಮತ್ತು, ಗಮನ ಕೊಡಿ, ಈಗಾಗಲೇ ಬೇರುಗಳಿಲ್ಲದೆ! ಮತ್ತು ಮೂಲವು ಉಳಿದಿದೆ ಎರಡು ಉತ್ಪನ್ನ, ಇದು ನಮ್ಮ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಅಂತಹ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಬಿಚ್ಚಿಡುವುದು ಡಬಲ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕುವುದರೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ. ನೀವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಆಯ್ಕೆಯೊಂದಿಗೆ ಗೋಜುಬಿಡಿಸಿದರೆ. ಮತ್ತು, ಮೂಲಕ, ಚಿಹ್ನೆಗಳ ಬಗ್ಗೆ. ಇಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲವೂ ಸರಳವಾಗಿದೆ. ಡಬಲ್ ಮೊದಲು ಪ್ಲಸ್ ಇದ್ದರೆ, ಮೊತ್ತದ ವರ್ಗ. ಇದು ಒಂದು ಮೈನಸ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು.) ನಾವು ಪ್ಲಸ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ - ಅಂದರೆ ಮೊತ್ತದ ವರ್ಗ.) ಮತ್ತು ಈಗ - ಡಿಕೋಡಿಂಗ್ನ ಭರವಸೆಯ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ವಿಧಾನ. ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಮೂಲಕ.)
ಆದ್ದರಿಂದ, ನಮ್ಮ ಮೂಲದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಸ್ಥಗಿತಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ (ಎ+ಬಿ) 2, ಮತ್ತು ನಮ್ಮ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಎಮತ್ತು ಬಿ. ನಮ್ಮ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಚೌಕಗಳ ಮೊತ್ತವು 54 ಅನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ:
ಈಗ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ದ್ವಿಗುಣಗೊಳಿಸಿ. ನಮ್ಮ ಬಳಿ ಇದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ:
ನಾವು ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ:
ನಾವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರ್ಯಾಯ ವಿಧಾನದಿಂದ ಪರಿಹರಿಸುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಮೊದಲನೆಯದಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸಿ:
ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸೋಣ:
ಸಿಕ್ಕಿತು ದ್ವಿಚಕ್ರಾಕಾರದಸಮೀಕರಣ ಸಂಬಂಧಿಎ . ನಾವು ತಾರತಮ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ:
ಅಂದರೆ,
ನಾವು ನಾಲ್ಕು ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆಎ. ನಮಗೆ ಭಯವಿಲ್ಲ. ಈಗ ನಾವು ಎಲ್ಲಾ ಅನಗತ್ಯ ವಿಷಯಗಳನ್ನು ಹೊರಹಾಕುತ್ತೇವೆ.) ನಾವು ಈಗ ನಾಲ್ಕು ಕಂಡುಬರುವ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿದರೆ, ನಮ್ಮ ಸಿಸ್ಟಮ್ಗೆ ನಾವು ನಾಲ್ಕು ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಅವು ಇಲ್ಲಿವೆ:
ಮತ್ತು ಇಲ್ಲಿ ಪ್ರಶ್ನೆ - ಯಾವ ಪರಿಹಾರವು ನಮಗೆ ಸೂಕ್ತವಾಗಿದೆ? ಅದರ ಬಗ್ಗೆ ಯೋಚಿಸೋಣ. ಋಣಾತ್ಮಕ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ತಕ್ಷಣವೇ ತಿರಸ್ಕರಿಸಬಹುದು: ಸ್ಕ್ವೇರ್ ಮಾಡುವಾಗ, ಮೈನಸಸ್ಗಳು "ಬರ್ನ್ ಔಟ್" ಆಗುತ್ತವೆ, ಮತ್ತು ಒಟ್ಟಾರೆಯಾಗಿ ಸಂಪೂರ್ಣ ಆಮೂಲಾಗ್ರ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ.) ಮೊದಲ ಎರಡು ಆಯ್ಕೆಗಳು ಉಳಿದಿವೆ. ನೀವು ಅವುಗಳನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ನಿರಂಕುಶವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬಹುದು: ನಿಯಮಗಳ ಮರುಹೊಂದಿಸುವಿಕೆಯು ಇನ್ನೂ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವುದಿಲ್ಲ.) ಅವಕಾಶ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, , a .
ಒಟ್ಟಾರೆಯಾಗಿ, ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಮೊತ್ತದ ವರ್ಗವನ್ನು ರೂಟ್ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ:
ಎಲ್ಲವೂ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ.)
ನಿರ್ಧಾರ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ನಾನು ವಿವರವಾಗಿ ವಿವರಿಸಲು ಇದು ಏನೂ ಅಲ್ಲ. ಡೀಕ್ರಿಪ್ಶನ್ ಹೇಗೆ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟಪಡಿಸಲು.) ಆದರೆ ಒಂದು ಸಮಸ್ಯೆ ಇದೆ. ಡಿಕೋಡಿಂಗ್ನ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ವಿಧಾನವು ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹವಾಗಿದ್ದರೂ, ಬಹಳ ಉದ್ದವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ತೊಡಕಿನದ್ದಾಗಿದೆ: ನೀವು ಬೈಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬೇಕು, ಸಿಸ್ಟಮ್ಗೆ ನಾಲ್ಕು ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಬೇಕು ಮತ್ತು ನಂತರ ಯಾವುದನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬೇಕೆಂದು ಇನ್ನೂ ಯೋಚಿಸಬೇಕು ... ತೊಂದರೆ? ನಾನು ಒಪ್ಪುತ್ತೇನೆ, ಇದು ತೊಂದರೆದಾಯಕವಾಗಿದೆ. ಈ ವಿಧಾನವು ಹೆಚ್ಚಿನ ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲಿ ದೋಷರಹಿತವಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಆಗಾಗ್ಗೆ ನೀವು ಸಾಕಷ್ಟು ಕೆಲಸವನ್ನು ಉಳಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಎರಡೂ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸೃಜನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು. ಆಯ್ಕೆಯ ಮೂಲಕ.) ಹೌದು, ಹೌದು! ಈಗ, ಎರಡನೇ ಪದದ (ಎರಡನೆಯ ಮೂಲ) ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಸಂಪೂರ್ಣ ಚೌಕವನ್ನು ರೂಟ್ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಲು ನಾನು ಸುಲಭ ಮತ್ತು ವೇಗವಾದ ಮಾರ್ಗವನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತೇನೆ.
ಈಗ ನಾವು ಈ ಮೂಲವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ: 
.
ಈ ರೀತಿ ಯೋಚಿಸೋಣ: “ಮೂಲದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಎನ್‌ಕ್ರಿಪ್ಟ್ ಮಾಡಲಾದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಚೌಕವಿದೆ. ಒಮ್ಮೆ ದ್ವಿಗುಣದ ಮೊದಲು ಮೈನಸ್ ಇದ್ದರೆ, ಅದು ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ವರ್ಗವನ್ನು ಅರ್ಥೈಸುತ್ತದೆ. ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವರ್ಗಗಳ ಮೊತ್ತವು ನಮಗೆ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ 54. ಆದರೆ ಇವು ಯಾವ ರೀತಿಯ ಚೌಕಗಳು? 1 ಮತ್ತು 53? 49 ಮತ್ತು 5 ? ಹಲವಾರು ಆಯ್ಕೆಗಳಿವೆ... ಇಲ್ಲ, ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ದ್ವಿಗುಣಗೊಳಿಸುವ ಮೂಲಕ ಬಿಚ್ಚಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುವುದು ಉತ್ತಮ. ನಮ್ಮಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು. ಟೈಮ್ಸ್ ಉತ್ಪನ್ನ ದುಪ್ಪಟ್ಟಾಯಿತು, ನಂತರ ನಾವು ತಕ್ಷಣವೇ ಎರಡನ್ನು ತ್ಯಜಿಸುತ್ತೇವೆ. ನಂತರ ಪಾತ್ರಕ್ಕಾಗಿ ಅಭ್ಯರ್ಥಿಗಳು a ಮತ್ತು b 7 ಮತ್ತು . ಅದು 14 ಆಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು/2 ? ಅದು ಸಾಧ್ಯ. ಆದರೆ ನಾವು ಯಾವಾಗಲೂ ಸರಳವಾದದ್ದನ್ನು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತೇವೆ!ಆದ್ದರಿಂದ, ಅವಕಾಶ, ಎ. ಚೌಕಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕಾಗಿ ಅವುಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ:
ಸಂಭವಿಸಿದ! ಇದರರ್ಥ ನಮ್ಮ ಮೂಲಭೂತ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ವರ್ಗವಾಗಿದೆ:
ಸಿಸ್ಟಮ್ನೊಂದಿಗೆ ಗೊಂದಲಕ್ಕೀಡಾಗುವುದನ್ನು ತಪ್ಪಿಸಲು ಇಲ್ಲಿ ಒಂದು ಲಘು ಮಾರ್ಗವಿದೆ. ಇದು ಯಾವಾಗಲೂ ಕೆಲಸ ಮಾಡುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಈ ಅನೇಕ ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲಿ ಇದು ಸಾಕಷ್ಟು ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಬೇರುಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸಂಪೂರ್ಣ ಚೌಕಗಳಿವೆ. ಬೇರುಗಳನ್ನು ಸರಿಯಾಗಿ ಹೊರತೆಗೆಯಲು ಮತ್ತು ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಮಾತ್ರ ಉಳಿದಿದೆ:
ಈಗ ಬೇರುಗಳಲ್ಲಿ ಇನ್ನೂ ಹೆಚ್ಚು ಪ್ರಮಾಣಿತವಲ್ಲದ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನೋಡೋಣ.)
ಸಂಖ್ಯೆ ಎ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ- ಪೂರ್ಣಾಂಕ, ವೇಳೆ .
ಯಾವುದನ್ನೂ ನೇರವಾಗಿ ಹೊರತೆಗೆಯಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹುದುಗಿಸಲಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ವಿವಿಧ ಹಂತಗಳಲ್ಲಿಯೂ ಸಹ ... ಒಂದು ದುಃಸ್ವಪ್ನ! ಆದಾಗ್ಯೂ, ಕಾರ್ಯವು ಅರ್ಥಪೂರ್ಣವಾಗಿದೆ.) ಆದ್ದರಿಂದ, ಅದನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಒಂದು ಕೀಲಿಯು ಇದೆ.) ಮತ್ತು ಇಲ್ಲಿ ಪ್ರಮುಖವಾದದ್ದು ಇದು. ನಮ್ಮ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ
ಹೇಗೆ ಸಮೀಕರಣ ಸಂಬಂಧಿ ಎ. ಹೌದು ಹೌದು! ಬೇರುಗಳನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕಲು ಇದು ಒಳ್ಳೆಯದು. ನಮ್ಮ ಬೇರುಗಳು ಘನವಾಗಿವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಘನಗೊಳಿಸೋಣ. ಸೂತ್ರದ ಪ್ರಕಾರ ಮೊತ್ತದ ಘನ:
ಘನಗಳು ಮತ್ತು ಘನ ಬೇರುಗಳು ಪರಸ್ಪರ ರದ್ದುಗೊಳ್ಳುತ್ತವೆ, ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ದೊಡ್ಡ ಮೂಲದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ನಾವು ಚೌಕದಿಂದ ಒಂದು ಬ್ರಾಕೆಟ್ ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಮತ್ತು ಮೊತ್ತವನ್ನು ಚೌಕಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸಕ್ಕೆ ಕುಗ್ಗಿಸುತ್ತೇವೆ:
ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ, ನಾವು ಬೇರುಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಚೌಕಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುತ್ತೇವೆ:
ನಾನು ಮತ್ತೆ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ನೋಡಿದೆ ... ಮತ್ತು, ಹೋಗೋಣ!
ಸರಳವಾದ ಯಾವುದನ್ನಾದರೂ ಪ್ರಾರಂಭಿಸೋಣ:
ಕೇವಲ ಒಂದು ನಿಮಿಷ. ಇದು, ಅಂದರೆ ನಾವು ಇದನ್ನು ಈ ರೀತಿ ಬರೆಯಬಹುದು:
ಅರ್ಥವಾಯಿತು? ನಿಮಗಾಗಿ ಮುಂದಿನದು ಇಲ್ಲಿದೆ:
ಫಲಿತಾಂಶದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಬೇರುಗಳನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿ ಹೊರತೆಗೆಯಲಾಗಿಲ್ಲವೇ? ತೊಂದರೆ ಇಲ್ಲ - ಇಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ಉದಾಹರಣೆಗಳು:
ಎರಡು ಅಲ್ಲ, ಆದರೆ ಹೆಚ್ಚು ಗುಣಕಗಳು ಇದ್ದರೆ ಏನು? ಅದೇ! ಬೇರುಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸುವ ಸೂತ್ರವು ಯಾವುದೇ ಅಂಶಗಳೊಂದಿಗೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ:
ಈಗ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ನಿಮ್ಮದೇ ಆದ ಮೇಲೆ:
ಉತ್ತರಗಳು:ಚೆನ್ನಾಗಿದೆ! ಒಪ್ಪುತ್ತೇನೆ, ಎಲ್ಲವೂ ತುಂಬಾ ಸುಲಭ, ಮುಖ್ಯ ವಿಷಯವೆಂದರೆ ಗುಣಾಕಾರ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದು!
ರೂಟ್ ವಿಭಾಗ
ನಾವು ಬೇರುಗಳ ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ವಿಂಗಡಿಸಿದ್ದೇವೆ, ಈಗ ನಾವು ವಿಭಜನೆಯ ಆಸ್ತಿಗೆ ಹೋಗೋಣ.
ಸಾಮಾನ್ಯ ಸೂತ್ರವು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾನು ನಿಮಗೆ ನೆನಪಿಸುತ್ತೇನೆ:
ಅಂದರೆ ಅಂಶದ ಮೂಲವು ಬೇರುಗಳ ಅಂಶಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ಸರಿ, ಕೆಲವು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ:
ವಿಜ್ಞಾನವೂ ಅಷ್ಟೆ. ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆ ಇಲ್ಲಿದೆ:
ಮೊದಲ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿರುವಂತೆ ಎಲ್ಲವೂ ಸುಗಮವಾಗಿಲ್ಲ, ಆದರೆ, ನೀವು ನೋಡುವಂತೆ, ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ಏನೂ ಇಲ್ಲ.
ನೀವು ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಕಂಡರೆ ಏನು:
ನೀವು ವಿರುದ್ಧ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ:
ಮತ್ತು ಇಲ್ಲಿ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆ:
ನೀವು ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಸಹ ನೋಡಬಹುದು:
ಎಲ್ಲವೂ ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಇಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ನೀವು ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಭಾಷಾಂತರಿಸಬೇಕು ಎಂಬುದನ್ನು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಬೇಕು (ನಿಮಗೆ ನೆನಪಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ವಿಷಯವನ್ನು ನೋಡಿ ಮತ್ತು ಹಿಂತಿರುಗಿ!). ನಿನಗೆ ನೆನಪಿದೆಯಾ? ಈಗ ನಿರ್ಧರಿಸೋಣ!
ನೀವು ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ನಿಭಾಯಿಸಿದ್ದೀರಿ ಎಂದು ನನಗೆ ಖಾತ್ರಿಯಿದೆ, ಈಗ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಡಿಗ್ರಿಗಳಿಗೆ ಹೆಚ್ಚಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸೋಣ.
ಘಾತ
ವರ್ಗಮೂಲವು ವರ್ಗವಾಗಿದ್ದರೆ ಏನಾಗುತ್ತದೆ? ಇದು ಸರಳವಾಗಿದೆ, ಸಂಖ್ಯೆಯ ವರ್ಗಮೂಲದ ಅರ್ಥವನ್ನು ನೆನಪಿಡಿ - ಇದು ವರ್ಗಮೂಲವು ಸಮಾನವಾಗಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ.
ಆದ್ದರಿಂದ, ವರ್ಗಮೂಲವು ಸಮಾನವಾಗಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನಾವು ವರ್ಗ ಮಾಡಿದರೆ, ನಾವು ಏನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ?
ಸರಿ, ಖಂಡಿತ,!
ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ:
ಇದು ಸರಳವಾಗಿದೆ, ಸರಿ? ಬೇರು ಬೇರೆ ಬೇರೆ ಹಂತದಲ್ಲಿದ್ದರೆ ಏನು? ಪರವಾಗಿಲ್ಲ!
ಅದೇ ತರ್ಕವನ್ನು ಅನುಸರಿಸಿ ಮತ್ತು ಡಿಗ್ರಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಭವನೀಯ ಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ನೆನಪಿಡಿ.
"" ವಿಷಯದ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಓದಿ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲವೂ ನಿಮಗೆ ಹೆಚ್ಚು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ.
ಇಲ್ಲಿ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ:
ಈ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ, ಪದವಿ ಸಮವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಅದು ಬೆಸವಾಗಿದ್ದರೆ ಏನು? ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ, ಅಧಿಕಾರಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಿ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲದರ ಅಂಶ:
ಇದರೊಂದಿಗೆ ಎಲ್ಲವೂ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ತೋರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮೂಲವನ್ನು ಶಕ್ತಿಗೆ ಹೇಗೆ ಹೊರತೆಗೆಯುವುದು? ಇಲ್ಲಿ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಇದು:
ಬಹಳ ಸರಳ, ಸರಿ? ಪದವಿ ಎರಡಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿದ್ದರೆ ಏನು? ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಾವು ಅದೇ ತರ್ಕವನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತೇವೆ:
ಸರಿ, ಎಲ್ಲವೂ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆಯೇ? ನಂತರ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೀವೇ ಪರಿಹರಿಸಿ:
ಮತ್ತು ಉತ್ತರಗಳು ಇಲ್ಲಿವೆ:
ಮೂಲ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ರವೇಶಿಸುವುದು
ಬೇರುಗಳೊಂದಿಗೆ ಏನು ಮಾಡಲು ನಾವು ಕಲಿತಿಲ್ಲ! ಮೂಲ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನಮೂದಿಸುವುದನ್ನು ಅಭ್ಯಾಸ ಮಾಡುವುದು ಮಾತ್ರ ಉಳಿದಿದೆ!
ಇದು ನಿಜವಾಗಿಯೂ ಸುಲಭ!
ನಮ್ಮಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳೋಣ
ನಾವು ಅದನ್ನು ಏನು ಮಾಡಬಹುದು? ಸರಿ, ಸಹಜವಾಗಿ, ಮೂರನ್ನು ಮೂಲ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಮರೆಮಾಡಿ, ಮೂರು ವರ್ಗಮೂಲ ಎಂದು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ!
ನಮಗೆ ಇದು ಏಕೆ ಬೇಕು? ಹೌದು, ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ ನಮ್ಮ ಸಾಮರ್ಥ್ಯಗಳನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಲು:
ಬೇರುಗಳ ಈ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ನೀವು ಹೇಗೆ ಇಷ್ಟಪಡುತ್ತೀರಿ? ಇದು ಜೀವನವನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಸುಲಭಗೊಳಿಸುತ್ತದೆಯೇ? ನನಗೆ, ಇದು ನಿಖರವಾಗಿ ಸರಿ! ಮಾತ್ರ ವರ್ಗಮೂಲ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ನಾವು ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ನಮೂದಿಸಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ನಾವು ನೆನಪಿನಲ್ಲಿಡಬೇಕು.
ಈ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೀವೇ ಪರಿಹರಿಸಿ -
ನೀವು ನಿರ್ವಹಿಸಿದ್ದೀರಾ? ನೀವು ಏನನ್ನು ಪಡೆಯಬೇಕು ಎಂದು ನೋಡೋಣ:
ಚೆನ್ನಾಗಿದೆ! ನೀವು ಮೂಲ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನಮೂದಿಸಲು ನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತಿದ್ದೀರಿ! ಅಷ್ಟೇ ಮುಖ್ಯವಾದ ವಿಷಯಕ್ಕೆ ಹೋಗೋಣ - ವರ್ಗಮೂಲವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಹೋಲಿಸುವುದು ಎಂದು ನೋಡೋಣ!
ಬೇರುಗಳ ಹೋಲಿಕೆ
ವರ್ಗಮೂಲವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಸಲು ನಾವು ಏಕೆ ಕಲಿಯಬೇಕು?
ತುಂಬಾ ಸರಳ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ಎದುರಾಗುವ ದೊಡ್ಡ ಮತ್ತು ದೀರ್ಘವಾದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳಲ್ಲಿ, ನಾವು ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಉತ್ತರವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ (ಇದು ಏನೆಂದು ನೆನಪಿಡಿ? ನಾವು ಈಗಾಗಲೇ ಈ ಬಗ್ಗೆ ಇಂದು ಮಾತನಾಡಿದ್ದೇವೆ!)
ನಾವು ಸ್ವೀಕರಿಸಿದ ಉತ್ತರಗಳನ್ನು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಇರಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಯಾವ ಮಧ್ಯಂತರವು ಸೂಕ್ತವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು. ಮತ್ತು ಇಲ್ಲಿ ಸಮಸ್ಯೆ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತದೆ: ಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್ ಇಲ್ಲ, ಮತ್ತು ಅದು ಇಲ್ಲದೆ, ಯಾವ ಸಂಖ್ಯೆ ಹೆಚ್ಚು ಮತ್ತು ಯಾವುದು ಕಡಿಮೆ ಎಂದು ನೀವು ಹೇಗೆ ಊಹಿಸಬಹುದು? ಅಷ್ಟೇ!
ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಯಾವುದು ಹೆಚ್ಚು ಎಂಬುದನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ: ಅಥವಾ?
ನೀವು ತಕ್ಷಣ ಹೇಳಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಸರಿ, ಮೂಲ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನಮೂದಿಸುವ ಡಿಸ್ಅಸೆಂಬಲ್ ಮಾಡಿದ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಬಳಸೋಣವೇ?
ನಂತರ ಮುಂದುವರಿಯಿರಿ:
ಸರಿ, ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಮೂಲ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆ, ಮೂಲವು ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ!
ಆ. ವೇಳೆ, ನಂತರ,.
ಇದರಿಂದ ನಾವು ದೃಢವಾಗಿ ತೀರ್ಮಾನಿಸುತ್ತೇವೆ. ಮತ್ತು ಯಾರೂ ನಮಗೆ ಮನವರಿಕೆ ಮಾಡುವುದಿಲ್ಲ!
ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಂದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯುವುದು
ಇದಕ್ಕೂ ಮೊದಲು, ನಾವು ಮೂಲ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಗುಣಕವನ್ನು ನಮೂದಿಸಿದ್ದೇವೆ, ಆದರೆ ಅದನ್ನು ಹೇಗೆ ತೆಗೆದುಹಾಕಬೇಕು? ನೀವು ಅದನ್ನು ಅಂಶಗಳಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಬೇಕು ಮತ್ತು ನೀವು ಹೊರತೆಗೆಯುವುದನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯಬೇಕು!
ವಿಭಿನ್ನ ಮಾರ್ಗವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲು ಮತ್ತು ಇತರ ಅಂಶಗಳಿಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಯಿತು:
ಕೆಟ್ಟದ್ದಲ್ಲ, ಸರಿ? ಈ ವಿಧಾನಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದಾದರೂ ಸರಿಯಾಗಿದೆ, ನೀವು ಬಯಸಿದಂತೆ ನಿರ್ಧರಿಸಿ.
ಈ ರೀತಿಯ ಪ್ರಮಾಣಿತವಲ್ಲದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ ಅಪವರ್ತನವು ತುಂಬಾ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ:
ಭಯಪಡಬೇಡಿ, ಆದರೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸೋಣ! ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಂಶವನ್ನು ರೂಟ್ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಅಂಶಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸೋಣ:
ಈಗ ನೀವೇ ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ (ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್ ಇಲ್ಲದೆ! ಇದು ಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ಇರುವುದಿಲ್ಲ):
ಇದು ಅಂತ್ಯವೇ? ಅರ್ಧಕ್ಕೆ ನಿಲ್ಲಿಸೋಣ!
ಅಷ್ಟೆ, ಇದು ತುಂಬಾ ಭಯಾನಕವಲ್ಲ, ಸರಿ?
ಸಂಭವಿಸಿದ? ಚೆನ್ನಾಗಿದೆ, ಅದು ಸರಿ!
ಈಗ ಈ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ:
ಆದರೆ ಉದಾಹರಣೆಯು ಬಿರುಕು ಬಿಡಲು ಕಠಿಣವಾದ ಅಡಿಕೆಯಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ನೀವು ಅದನ್ನು ಹೇಗೆ ಸಮೀಪಿಸಬೇಕೆಂದು ತಕ್ಷಣವೇ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಆದರೆ, ಸಹಜವಾಗಿ, ನಾವು ಅದನ್ನು ನಿಭಾಯಿಸಬಹುದು.
ಸರಿ, ಅಪವರ್ತನವನ್ನು ಪ್ರಾರಂಭಿಸೋಣವೇ? ನೀವು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಭಾಗಿಸಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ನಾವು ತಕ್ಷಣ ಗಮನಿಸೋಣ (ವಿಭಜನೆಯ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ನೆನಪಿಡಿ):
ಈಗ, ನೀವೇ ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ (ಮತ್ತೆ, ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್ ಇಲ್ಲದೆ!):
ಸರಿ, ಅದು ಕೆಲಸ ಮಾಡಿದೆಯೇ? ಚೆನ್ನಾಗಿದೆ, ಅದು ಸರಿ!
ಅದನ್ನು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತಗೊಳಿಸೋಣ
- ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವರ್ಗಮೂಲವು (ಅಂಕಗಣಿತದ ವರ್ಗಮೂಲ) ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದ್ದು ಅದರ ವರ್ಗವು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
. - ನಾವು ಯಾವುದಾದರೂ ವರ್ಗಮೂಲವನ್ನು ಸರಳವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ, ನಾವು ಯಾವಾಗಲೂ ಒಂದು ನಕಾರಾತ್ಮಕ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.
- ಅಂಕಗಣಿತದ ಮೂಲದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು:
- ವರ್ಗಮೂಲಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಸಿದಾಗ, ಮೂಲ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆ, ಮೂಲವು ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವುದು ಅವಶ್ಯಕ.
ವರ್ಗಮೂಲ ಹೇಗಿದೆ? ಎಲ್ಲಾ ಸ್ಪಷ್ಟ?
ವರ್ಗಮೂಲದ ಬಗ್ಗೆ ಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ನೀವು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಬೇಕಾದ ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ನಾವು ಯಾವುದೇ ಮುಜುಗರವಿಲ್ಲದೆ ನಿಮಗೆ ವಿವರಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿದ್ದೇವೆ.
ಈಗ ನಿನ್ನ ಸರದಿ. ಈ ವಿಷಯವು ನಿಮಗೆ ಕಷ್ಟಕರವಾಗಿದೆಯೇ ಅಥವಾ ಇಲ್ಲವೇ ಎಂಬುದನ್ನು ನಮಗೆ ಬರೆಯಿರಿ.
ನೀವು ಹೊಸದನ್ನು ಕಲಿತಿದ್ದೀರಾ ಅಥವಾ ಎಲ್ಲವೂ ಈಗಾಗಲೇ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆಯೇ?
ಕಾಮೆಂಟ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಬರೆಯಿರಿ ಮತ್ತು ನಿಮ್ಮ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳಲ್ಲಿ ಶುಭವಾಗಲಿ!
