ಮನೆ > ಹೇಗೆ ಕಲಿಯುವುದು > ಎಲಿಮೆಂಟರಿ ಅಫೈನ್ ರೂಪಾಂತರಗಳು. ಅಫೈನ್ ರೂಪಾಂತರ ಮತ್ತು ಅದರ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಅಫೈನ್ ಕಾರ್ಯಗಳ ರೂಪಾಂತರಗಳು


ಎಲಿಮೆಂಟರಿ ಅಫೈನ್ ರೂಪಾಂತರಗಳು. ಅಫೈನ್ ರೂಪಾಂತರ ಮತ್ತು ಅದರ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಅಫೈನ್ ಕಾರ್ಯಗಳ ರೂಪಾಂತರಗಳು




UDC 004.932

ಕುದ್ರಿನಾ ಎಂ.ಎ., ಮುರ್ಜಿನ್ ಎ.ವಿ.

ಫೆಡರಲ್ ಸ್ಟೇಟ್ ಬಜೆಟ್ ಎಜುಕೇಷನಲ್ ಇನ್‌ಸ್ಟಿಟ್ಯೂಷನ್ ಆಫ್ ಹೈಯರ್ ಪ್ರೊಫೆಷನಲ್ ಎಜುಕೇಶನ್ "ಸಮಾರಾ ಸ್ಟೇಟ್ ಏರೋಸ್ಪೇಸ್ ಯೂನಿವರ್ಸಿಟಿ Ak. S.P. ಕೊರೊಲೆವ್ (ರಾಷ್ಟ್ರೀಯ ಸಂಶೋಧನಾ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯ)", ಸಮರಾ, ರಷ್ಯಾ

ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಗ್ರಾಫಿಕ್ಸ್‌ನಲ್ಲಿ ವಸ್ತುಗಳ ಅಫೈನ್ ರೂಪಾಂತರಗಳು

ರಾಸ್ಟರ್ ಗ್ರಾಫಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪರಿಹರಿಸಬೇಕಾದ ವಿಶಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಚಿತ್ರದ ರೂಪಾಂತರ ಮತ್ತು ಅದರ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ತುಣುಕುಗಳಾದ ಚಲಿಸುವುದು, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕೇಂದ್ರದ ಸುತ್ತಲೂ ತಿರುಗುವುದು, ರೇಖೀಯ ಆಯಾಮಗಳನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವುದು ಇತ್ಯಾದಿ.

ಅಫೈನ್ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಕೆಳಗಿನ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಅಫೈನ್ ರೂಪಾಂತರಗಳು ತುಂಬಾ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿವೆ:

1. ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಜೋಡಿಸುವ ಮೂಲಕ ಸಮತಟ್ಟಾದ ಚಿತ್ರ ಅಥವಾ ಮೂರು ಆಯಾಮದ ದೃಶ್ಯವನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸಲು, ಅವುಗಳನ್ನು ನಕಲಿಸುವ ಮೂಲಕ, ರೂಪಾಂತರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿನ ವಿವಿಧ ಸ್ಥಳಗಳಿಗೆ ಸ್ಥಳಾಂತರಿಸುವುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸ್ನೋಫ್ಲೇಕ್ನಂತಹ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ರಚಿಸಲು. ನೀವು ಒಂದು ಮೋಟಿಫ್ ಅನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಈ ಮೋಟಿಫ್ ಅನ್ನು ಪ್ರತಿಬಿಂಬಿಸುವ, ತಿರುಗಿಸುವ ಮತ್ತು ಚಲಿಸುವ ಮೂಲಕ ಸಂಪೂರ್ಣ ವಸ್ತುವಿನ ಚಿತ್ರವನ್ನು ರಚಿಸಬಹುದು.

2. ವಿಭಿನ್ನ ದೃಷ್ಟಿಕೋನಗಳಿಂದ ಮೂರು ಆಯಾಮದ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ವೀಕ್ಷಿಸಲು. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ನೀವು ಕ್ಯಾಮರಾ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ಸರಿಪಡಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ದೃಶ್ಯವನ್ನು ತಿರುಗಿಸಬಹುದು, ಅಥವಾ ಪ್ರತಿಯಾಗಿ, ದೃಶ್ಯವನ್ನು ಚಲನರಹಿತವಾಗಿ ಬಿಡಿ ಮತ್ತು ಅದರ ಸುತ್ತಲೂ ಕ್ಯಾಮರಾವನ್ನು ಸರಿಸಿ. ಅಂತಹ ಕುಶಲತೆಯನ್ನು ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಅಫೈನ್ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕೈಗೊಳ್ಳಬಹುದು.

3. ಮೂರು ಆಯಾಮದ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಸಮತಲದ ಮೇಲೆ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಿಸಲು ಮತ್ತು ದೃಶ್ಯವನ್ನು ವಿಂಡೋದಲ್ಲಿ ಪ್ರದರ್ಶಿಸಲು. ಆದ್ದರಿಂದ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಆಕ್ಸಾನೊಮೆಟ್ರಿಕ್ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ಗಾಗಿ, ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ಪ್ಲೇನ್ನ ಎರಡು ತಿರುಗುವಿಕೆಗಳ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ವಿಂಡೋದಲ್ಲಿ ಪ್ರದರ್ಶಿಸಲು, ಸ್ಕೇಲಿಂಗ್ ಮತ್ತು ಅನುವಾದದ ಸಂಯೋಜನೆಯನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಸಮತಲದಲ್ಲಿನ ಅಫೈನ್ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸೂತ್ರಗಳಿಂದ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ:

J X = Ax + By + C, . ಪರೀಕ್ಷಾ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ರಚಿಸುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತಗೊಳಿಸಲು ಪ್ರೋಗ್ರಾಂ ನಿಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ.

ಸಾಹಿತ್ಯ

1. ಪೊರೆವ್ ವಿ.ಎನ್. ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಗ್ರಾಫಿಕ್ಸ್. - ಸೇಂಟ್ ಪೀಟರ್ಸ್ಬರ್ಗ್: BHV-ಪೀಟರ್ಸ್ಬರ್ಗ್, 2002. - 432 ಪು. : ಅನಾರೋಗ್ಯ.

2. ಹಿಲ್ ಎಫ್. ಓಪನ್ ಜಿಎಲ್. ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಗ್ರಾಫಿಕ್ಸ್ ಪ್ರೋಗ್ರಾಮಿಂಗ್. ವೃತ್ತಿಪರರಿಗೆ. - ಸೇಂಟ್ ಪೀಟರ್ಸ್ಬರ್ಗ್: ಪೀಟರ್,

2002. - 1088 ಪುಟಗಳು: ಅನಾರೋಗ್ಯ. ISBN 5-318-00219-6

3. ಕುದ್ರಿನಾ M.A., ಕುದ್ರಿನ್ K.A., Vytyagov A.A., Ionov D.O. ಮೂಡಲ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು "ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಗ್ರಾಫಿಕ್ಸ್" ಕೋರ್ಸ್‌ಗಾಗಿ ದೂರಶಿಕ್ಷಣ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಅಭಿವೃದ್ಧಿ: ಅಂತರರಾಷ್ಟ್ರೀಯ ವಿಚಾರ ಸಂಕಿರಣದ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳು ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹತೆ ಮತ್ತು ಗುಣಮಟ್ಟ. 2010. T. I. P. 165.

4. ಕುದ್ರಿನಾ M.A., ಕುದ್ರಿನ್ K.A., Degtyareva O.A. ಕೋರ್ಸ್ "ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಗ್ರಾಫಿಕ್ಸ್" // ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹತೆ ಮತ್ತು ಗುಣಮಟ್ಟ 2008 ಗಾಗಿ ಪ್ರಮಾಣೀಕರಣ ಶಿಕ್ಷಣಶಾಸ್ತ್ರದ ಅಳತೆ ವಸ್ತು. ಅಂತರಾಷ್ಟ್ರೀಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳು. ವಿಚಾರ ಸಂಕಿರಣ. ಪೆನ್ಜಾ, 2008, ಪುಟಗಳು 162-163.

5. ಕುದ್ರಿನಾ ಎಂ.ಎ. ಕೋರ್ಸ್‌ಗಾಗಿ ಪ್ರಮಾಣೀಕರಣ ಮತ್ತು ಶಿಕ್ಷಣ ಮಾಪನ ಸಾಮಗ್ರಿಗಳ ಬಳಕೆ

ಶೈಕ್ಷಣಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ "ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಗ್ರಾಫಿಕ್ಸ್""// ಶಿಕ್ಷಣ - ಯಶಸ್ಸಿನಲ್ಲಿ ಹೂಡಿಕೆಗಳು: ವೈಜ್ಞಾನಿಕ ವಸ್ತುಗಳು -

ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯ ವಿಷಯವು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಅಫೈನ್ ರೂಪಾಂತರಗಳ ನಿಯೋಜನೆಯಾಗಿದೆ. ಈ ವಿಷಯವು ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ಹಿಂದೆ ಹೇಳಿದ ಎಲ್ಲದರ ಸಾರಾಂಶವಾಗಿದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ.ಪ್ಲೇನ್ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಅಫೈನ್, ವೇಳೆ

  • ಇದು ಒಂದರಿಂದ ಒಂದು;
  • ಯಾವುದೇ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಚಿತ್ರವು ನೇರ ರೇಖೆಯಾಗಿದೆ.

ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಒಂದರಿಂದ ಒಂದು, ವೇಳೆ

  • ವಿಭಿನ್ನ ಬಿಂದುಗಳು ವಿಭಿನ್ನವಾದವುಗಳಿಗೆ ಹೋಗುತ್ತವೆ;
  • ಕೆಲವು ಹಂತವು ಪ್ರತಿ ಹಂತಕ್ಕೂ ಹೋಗುತ್ತದೆ.

ಏಕರೂಪದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು

ನಾವು ಸಮಾನಾಂತರ ವರ್ಗಾವಣೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿದರೆ, ಅದನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು 2x2 ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ಸಾಕಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಅದು ತಿರುಗುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಇದನ್ನು 3x3 ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಬಳಸಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಬಹುದು. ಪ್ರಶ್ನೆ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತದೆ, ಎರಡು ಆಯಾಮದ ಬಿಂದುವಿನ ಮೂರನೇ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕವನ್ನು ಎಲ್ಲಿ ಪಡೆಯಬೇಕು?

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ.ಏಕರೂಪದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು - ಎಲ್ಲಾ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಒಂದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ ಅವರು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ವಸ್ತುವು ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು.

ಏಕರೂಪದ ವೆಕ್ಟರ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು(x, y) ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಟ್ರಿಪಲ್ ಆಗಿದೆ(x", y", h), ಅಲ್ಲಿ x = x"/h, y = y"/h, ಮತ್ತು h - ಕೆಲವು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆ (ಯಾವಾಗ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ h = 0 ವಿಶೇಷವಾಗಿದೆ).

ಸೂಚನೆಈ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಬಿಂದುವನ್ನು ಅನನ್ಯವಾಗಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಲು ನಿಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ,(1, 1, 1) ಮತ್ತು (2, 2, 2) ಅದೇ ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೊಂದಿಸಿ(1, 1) . ಒಂದು ಸೆಟ್ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ(x, y, 1) , ಇದು ಸಮತಲದ ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ.

ಏಕರೂಪದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ರೂಪಾಂತರ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ 3x3 ಗಾತ್ರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಏಕರೂಪದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.

ಸಂಕೋಚನ / ಒತ್ತಡ

ಈ ರೂಪಾಂತರವು ಅಕ್ಷೀಯ ಸ್ಕೇಲಿಂಗ್ ಅಂಶಗಳಿಂದ ಅನುಗುಣವಾದ ಬಿಂದು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸುತ್ತದೆ:(x, y) -> (a x * x, a y * y) . ರೂಪಾಂತರ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ:

[a x 0 0]

ಎಲ್ಲಿ ಒಂದು x - ಅಕ್ಷೀಯ ವಿಸ್ತರಣೆ X,

ಒಂದು ವೈ - ಅಕ್ಷೀಯ ವಿಸ್ತರಣೆವೈ.

ಸೂಚನೆಸಂಕೋಚನ/ವಿಸ್ತರಣಾ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಋಣಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ, ಅನುಗುಣವಾದ ಅಕ್ಷಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಪ್ರತಿಫಲನವು ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಗಮನಿಸಬಹುದು. ಈ ರೂಪಾಂತರದಲ್ಲಿ ಈ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಸೇರಿಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು, ಅಥವಾ ಸ್ಕೇಲಿಂಗ್ ಅಂಶಗಳು ಧನಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ ಎಂದು ಹೇಳುವ ಮೂಲಕ ಅದನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು.

ತಿರುಗಿ


2x2 ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಮೊದಲು ವಿವರವಾಗಿ ಚರ್ಚಿಸಲಾಗಿದೆ. ಈಗ ಇದು ಸಾಲು ಮತ್ತು ಕಾಲಮ್‌ನಿಂದ ಪೂರಕವಾಗಿದೆ:

[-ಸಿನ್(ಫೈ)ಕೋಸ್(ಫೈ) 0]

ಸೂಚನೆಕೋನದಲ್ಲಿ ಫಿ = ಎನ್ ಈ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಮೂಲದ ಬಗ್ಗೆ ಕೇಂದ್ರ ಸಮ್ಮಿತಿಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿದೆ. ಸ್ಕ್ವ್ಯಾಷ್/ಸ್ಟ್ರೆಚ್ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು (ಋಣಾತ್ಮಕ ಸ್ಕೇಲಿಂಗ್ ಅಂಶಗಳಿಗೆ ಅನುಮತಿಸುವ) ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಈ ಸಮ್ಮಿತಿಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು ಎಂದು ನೀವು ಗಮನಿಸಬಹುದು.

ಸಮಾನಾಂತರ ವರ್ಗಾವಣೆ


ಮೂಲ ವೆಕ್ಟರ್ (x, y) (x + t x, y + t y) ಗೆ ಹೋಗುತ್ತದೆ . ರೂಪಾಂತರ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ:

[ 1 0 0]

[t x t y 1]

ಪ್ರತಿಬಿಂಬ


ಸ್ಕ್ವ್ಯಾಷ್/ಸ್ಟ್ರೆಚ್ ರೂಪಾಂತರದ ಟಿಪ್ಪಣಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳಿದಂತೆ, ಪ್ರತಿಫಲನಗಳನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ:

[-10 0]


x ಅಕ್ಷದ ಬಗ್ಗೆ ಪ್ರತಿಬಿಂಬ


ಅಕ್ಷದ ಬಗ್ಗೆ ಪ್ರತಿಬಿಂಬವೈ

ಅಫೈನ್ ರೂಪಾಂತರದ ಸಾಮಾನ್ಯ ನೋಟ

3x3 ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅದರ ಕೊನೆಯ ಕಾಲಮ್ (0 0 1) T ಸಮತಲದ ಅಫೈನ್ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ:

[ * * 0]

[ * * 0]

[ * * 1]

ಒಂದು ಗುಣಲಕ್ಷಣದ ಪ್ರಕಾರ, ಅಫೈನ್ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಹೀಗೆ ಬರೆಯಬಹುದು:

f (x) = x * R + t,

ಅಲ್ಲಿ ಆರ್ - ಇನ್ವರ್ಟಿಬಲ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ 2 x2, ಮತ್ತು ಟಿ - ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ವೆಕ್ಟರ್. ಏಕರೂಪದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ ಇದನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ:

[ಆರ್ 1.1 ಆರ್ 1.2 0]

[ಆರ್ 2.1 ಆರ್ 2.2 0]

[ t x t y 1 ]

ಈ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನಿಂದ ನಾವು ಸಾಲು ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಗುಣಿಸಿದರೆ ನಾವು ರೂಪಾಂತರ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

[xy1 ] *[ R 1.1 R 1.2 0 ]

[ಆರ್ 2.1 ಆರ್ 2.2 0]

[t x t y 1]

[x’y’1]+[ t x t y 1]

ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ [ x ’ y ’ ] = R *[ x y ]

ಸೂಚನೆಕುತೂಹಲಕಾರಿ ಓದುಗರು ಈಗಾಗಲೇ ಸ್ವತಃ ಪ್ರಶ್ನೆಯನ್ನು ಕೇಳಿಕೊಂಡಿದ್ದಾರೆ: ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ R ನ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಅರ್ಥವೇನು? ಅಫೈನ್ ರೂಪಾಂತರದೊಂದಿಗೆ, ಎಲ್ಲಾ ಅಂಕಿಗಳ ಪ್ರದೇಶಗಳು | ಗೆ ಬದಲಾಗುತ್ತವೆಆರ್ |. (ನೀವು ಇದನ್ನು ಗಣಿತದ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದು, ಆದರೆ ಈ ಸತ್ಯವನ್ನು ಪುರಾವೆಗಳಿಲ್ಲದೆ ಇಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ.)

ಅದು. ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದ ಕೆಲವು ರೂಪಾಂತರದ ಸಂಯೋಜನೆಯಾಗಿ ಅಫೈನ್ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆಆರ್ , ಮತ್ತು ಸಮಾನಾಂತರ ವರ್ಗಾವಣೆ. ಈ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಸ್ವರೂಪ ಮತ್ತು ಅದು ನಮಗೆ ನೀಡುವ ಅವಕಾಶಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ವಿವರವಾಗಿ ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ.

ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆರ್ ವಿಮಾನದ ಹೊಸ ಆಧಾರವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ. ಆ. ವೆಕ್ಟರ್(1, 0) (R 1,1, R 1,2) ಗೆ ಹೋಗುತ್ತದೆ, ವೆಕ್ಟರ್ (0, 1) (R 2,1, R 2,2) ಗೆ ಹೋಗುತ್ತದೆ ) ಹೊಸ ಆಧಾರವು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಸಾಲುಗಳುಆರ್.

ಉದಾಹರಣೆ.


y-ಅಕ್ಷದ ಬಗ್ಗೆ ಪ್ರತಿಬಿಂಬಿಸಿದಾಗ , ಆರ್ಡಿನೇಟ್ ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಆಧಾರ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಸಂರಕ್ಷಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಅದು ಆಗುತ್ತದೆ(-10) ಅದು. ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆರ್ ಈ ರೀತಿ ಕಾಣಿಸುತ್ತದೆ:


ಮೇಲಿನ ರೂಪಾಂತರಗಳ ಜೊತೆಗೆ, ಅಫೈನ್ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನೀವು ಬೆವೆಲ್ ಅನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು ಎಂಬುದು ಈಗ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ:


ಮೇಲಿನವು ಅಫೈನ್ ರೂಪಾಂತರದಂತಹ ಶಕ್ತಿಯುತ ಸಾಧನದ ಬಗ್ಗೆ ಮೂಲಭೂತ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ. ಅನೇಕ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳು ಉಳಿದಿವೆ: ಅಫೈನ್ ರೂಪಾಂತರಗಳ ಯಾವ ಉಪವರ್ಗವು ನೇರ ರೇಖೆಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನಗಳನ್ನು ಸಂರಕ್ಷಿಸುತ್ತದೆ? ಹಲವಾರು ಉಪವರ್ಗಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಯಾಗಿ ಅಫೈನ್ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ನಾವು ಹೇಗೆ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು? ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಹೊಂದಿಸುವುದು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ನೇರ ರೇಖೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಅಕ್ಷೀಯ ಸಮ್ಮಿತಿ?

ಈ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳಿಗೆ ಉತ್ತರಗಳು ಮತ್ತು ಅಫೈನ್ ರೂಪಾಂತರದ ಹೆಚ್ಚು ವಿವರವಾದ ಚರ್ಚೆಯನ್ನು ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಕೋರ್ಸ್‌ನ ವಿಭಾಗವಾಗಿ ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ನೀಡಲಾಗುವುದು.

ಪ್ರದರ್ಶನ ಕಾರ್ಯಕ್ರಮದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಅಫೈನ್ ರೂಪಾಂತರದ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಅನುಷ್ಠಾನದ ಮೇಲೆ ನಾವು ವಾಸಿಸೋಣ. ಮೌಸ್ನೊಂದಿಗೆ ಸಮತಲವನ್ನು ತಿರುಗಿಸುವುದನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸುವ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್ನ ಸಾಮರ್ಥ್ಯಗಳನ್ನು ಕೀಲಿಯನ್ನು ಒತ್ತಿದಾಗ ಸಮಾನಾಂತರ ಅನುವಾದದ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ಸೇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ CTRL.

ಏಕೆಂದರೆ ಈ ಲೇಖನವು ಈ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಅಂತಿಮವಾಗಿದೆ, ಡೆಮೊ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್ ಕೋಡ್ ಸೂಕ್ತವಾಗಿರಬೇಕು. ಗ್ರಾಫಿಕಲ್ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್‌ನಲ್ಲಿ ಯಾವ ಬ್ಲಾಕ್‌ಗಳು ಅಗತ್ಯವಿದೆಯೆಂದು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸೋಣ, ಈ ಪ್ರೋಗ್ರಾಂನಲ್ಲಿ ಅವುಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಕಾರ್ಯಗತಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ನೋಡುತ್ತೇವೆ:

  • ವಿಂಡೋವನ್ನು ರಚಿಸಲಾದ ಮತ್ತು ಆಪರೇಟಿಂಗ್ ಸಿಸ್ಟಮ್ ಸಂದೇಶಗಳನ್ನು ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗೊಳಿಸಲಾದ ಬ್ಲಾಕ್ ಅನ್ನು ಫೈಲ್ನಲ್ಲಿ ಅಳವಡಿಸಲಾಗಿದೆಮುಖ್ಯ. cpp
  • ಚಿತ್ರಗಳನ್ನು ನಿರೂಪಿಸುವ ಗ್ರಾಫಿಕ್ಸ್ ಎಂಜಿನ್, ವರ್ಗಇಂಜಿನ್
  • ತಾರ್ಕಿಕ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ವಿಂಡೋ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಗೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯಾಗಿ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತಿಸಲು ಲೇಯರ್ ಅಗತ್ಯವಿದೆವ್ಯೂಪೋರ್ಟ್
  • ಬಳಕೆದಾರರ ಕ್ರಿಯೆಗಳಿಗೆ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯಿಸುವ ಜವಾಬ್ದಾರಿ ವಸ್ತು, ವರ್ಗಕ್ರಿಯೆ

ಕೆಳಗಿನ ಉದಾಹರಣೆಯು ವಿವರವಾದ ಕಾಮೆಂಟ್‌ಗಳೊಂದಿಗೆ ಈ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಬ್ಲಾಕ್‌ಗಳನ್ನು ಕಾರ್ಯಗತಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ.

ಅಫೈನ್ ರೂಪಾಂತರವು ರೇಖೆಗಳ ಸಮಾನಾಂತರತೆಯನ್ನು ಸಂರಕ್ಷಿಸುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಕೋನಗಳು ಅಥವಾ ಉದ್ದಗಳ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ.
ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಗ್ರಾಫಿಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿ, ಎರಡು ಆಯಾಮದ ಪ್ರಕರಣಕ್ಕೆ ಸೇರಿದ ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ 2D (2-ಆಯಾಮ) ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ವಿಮಾನದಲ್ಲಿ ರೆಕ್ಟಿಲಿನಿಯರ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ನಂತರ ಪ್ರತಿ ಪಾಯಿಂಟ್ M ಗೆ ಅದರ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ (ಅಂಜೂರ 1) ಸಂಖ್ಯೆಗಳ (x, y) ಆದೇಶದ ಜೋಡಿಯನ್ನು ನಿಗದಿಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ.


ಮೇಲಿನ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಎರಡು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು: ಬಿಂದುವನ್ನು ಸಂರಕ್ಷಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಪಾಯಿಂಟ್ M ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಅದರ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು (x, y) (x*, y*) ಮಾತ್ರ ಬದಲಾಗುತ್ತವೆ, ಅಥವಾ ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಪಾಯಿಂಟ್ ಬದಲಾವಣೆಗಳು ಮತ್ತು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಸಂರಕ್ಷಿಸಲಾಗಿದೆ ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಸೂತ್ರಗಳು ಒಂದು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಪಾಯಿಂಟ್ M(x, y) ಅನ್ನು M*(x*, y*) ಬಿಂದುವಿಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ, ಇವುಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಅದೇ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಭವಿಷ್ಯದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತೇವೆ, ನಿಯಮದಂತೆ, ಸಮತಲದ ಬಿಂದುಗಳು ರೆಕ್ಟಿಲಿನಿಯರ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ರೂಪಾಂತರಗೊಳ್ಳುತ್ತವೆ.
ಸಮತಲದ ಅಫೈನ್ ರೂಪಾಂತರಗಳಲ್ಲಿ, ಚೆನ್ನಾಗಿ ಪತ್ತೆಹಚ್ಚಬಹುದಾದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಹಲವಾರು ಪ್ರಮುಖ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಗಳಿಂದ ವಿಶೇಷ ಪಾತ್ರವನ್ನು ವಹಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಪ್ರಕರಣಗಳಿಗೆ ಸೂತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅರ್ಥವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವಾಗ, ನೀಡಿರುವ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಆಯತಾಕಾರದ ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ಎಂದು ಊಹಿಸಲು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ.
ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬಳಸುವ ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಗ್ರಾಫಿಕ್ಸ್ ತಂತ್ರಗಳು: ಅನುವಾದ, ಸ್ಕೇಲಿಂಗ್, ತಿರುಗುವಿಕೆ, ಪ್ರತಿಫಲನ. ಈ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ಬೀಜಗಣಿತದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು ಮತ್ತು ಅಂಕಿಗಳನ್ನು ಕೋಷ್ಟಕ 1 ರಲ್ಲಿ ಸಂಕ್ಷೇಪಿಸಲಾಗಿದೆ.

ವಿಮಾನದಲ್ಲಿ ಅಫೈನ್ ರೂಪಾಂತರಗಳು

ವರ್ಗಾವಣೆಯ ಮೂಲಕ ನಾವು ಔಟ್‌ಪುಟ್ ಪ್ರೈಮಿಟಿವ್‌ಗಳನ್ನು ಅದೇ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗೆ ಬದಲಾಯಿಸುವುದು ಎಂದರ್ಥ.
ಸ್ಕೇಲಿಂಗ್ ಎಂದರೆ ಸಂಪೂರ್ಣ ಚಿತ್ರ ಅಥವಾ ಅದರ ಭಾಗವನ್ನು ಹಿಗ್ಗಿಸುವುದು ಅಥವಾ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವುದು. ಸ್ಕೇಲಿಂಗ್ ಮಾಡುವಾಗ, ಚಿತ್ರದ ಬಿಂದುಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
ತಿರುಗುವಿಕೆಯು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅಕ್ಷದ ಸುತ್ತ ಔಟ್ಪುಟ್ ಆದಿಮಾನಗಳ ತಿರುಗುವಿಕೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. (ಡ್ರಾಯಿಂಗ್ ಪ್ಲೇನ್‌ನಲ್ಲಿ, ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ಸುತ್ತ ತಿರುಗುವಿಕೆ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ.)
ಪ್ರತಿಬಿಂಬವು ಒಂದು ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, X) ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಒಂದು ಚಿತ್ರದ ಕನ್ನಡಿ ಚಿತ್ರವನ್ನು ಪಡೆಯುವುದನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.
ಈ ನಾಲ್ಕು ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಗಳ ಆಯ್ಕೆಯನ್ನು ಎರಡು ಸಂದರ್ಭಗಳಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:
1. ಮೇಲಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ರೂಪಾಂತರಗಳು ಸರಳ ಮತ್ತು ಸ್ಪಷ್ಟವಾದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅರ್ಥವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ (ಮೇಲಿನ ಸೂತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲಾದ ಸ್ಥಿರ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅರ್ಥವನ್ನು ಸಹ ಹೊಂದಿವೆ).
2. ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಹಾದಿಯಲ್ಲಿ ಸಾಬೀತಾಗಿರುವಂತೆ, ರೂಪದ (*) ಯಾವುದೇ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಯಾವಾಗಲೂ A, B, C ಮತ್ತು D (ಅಥವಾ ಇವುಗಳ ಭಾಗಗಳ) ಸರಳ ರೂಪಾಂತರಗಳ ಅನುಕ್ರಮ ಮರಣದಂಡನೆ (ಸೂಪರ್ಪೊಸಿಷನ್) ಎಂದು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು. ರೂಪಾಂತರಗಳು).
ಹೀಗಾಗಿ, ಸಮತಲದ ಅಫೈನ್ ರೂಪಾಂತರಗಳ ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರಮುಖ ಗುಣಲಕ್ಷಣವು ನಿಜವಾಗಿದೆ: ರೂಪ (*) ನ ಯಾವುದೇ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಅನ್ನು A, B, C ಮತ್ತು D ಸೂತ್ರಗಳಿಂದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವಿವರಿಸಬಹುದು.
ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಗ್ರಾಫಿಕ್ಸ್ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಈ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾಗಿ ಬಳಸಲು, ಅವುಗಳ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಸಂಕೇತವು ಹೆಚ್ಚು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ.
ಈ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸಲು, ಏಕರೂಪದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಲಾಗಿದೆ. ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ಏಕರೂಪದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಯಾವುದೇ ಟ್ರಿಪಲ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ x1, x2, x3, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಂಬಂಧಗಳ ಮೂಲಕ x ಮತ್ತು y ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ:



ನಂತರ M(x, y) ಬಿಂದುವನ್ನು M(hX, hY, h) ಎಂದು ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇಲ್ಲಿ h 0 ಪ್ರಮಾಣಕ ಅಂಶವಾಗಿದೆ. ಎರಡು ಆಯಾಮದ ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೀಗೆ ಕಾಣಬಹುದು

ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ರೇಖಾಗಣಿತದಲ್ಲಿ, ಅನಂತ ದೂರದ (ಅಸಮರ್ಪಕ) ಅಂಶಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುವಾಗ ಉಂಟಾಗುವ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಗಳನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕಲು ಈ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಲಾಗಿದೆ. ಏಕರೂಪದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ Z= h ಸಮತಲಕ್ಕೆ h ಅಂಶದಿಂದ ಅಳೆಯಲಾದ ಸಮತಲದ ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ ಎಂದು ಅರ್ಥೈಸಬಹುದು.
ಏಕರೂಪದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿನ ಅಂಕಗಳನ್ನು ಮೂರು ಅಂಶಗಳ ಸಾಲು ವೆಕ್ಟರ್ಗಳಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ರೂಪಾಂತರ ಮಾತೃಕೆಗಳು 3x3 ಗಾತ್ರದಲ್ಲಿರಬೇಕು.
ಏಕರೂಪದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ಗಳ ಟ್ರಿಪಲ್‌ಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಸಮತಲದ ಯಾವುದೇ ಅಫೈನ್ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ವಿವರಿಸಬಹುದು.
ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, h = 1 ಎಂದು ಊಹಿಸಿ, ಎರಡು ನಮೂದುಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಕೆ ಮಾಡೋಣ: ಚಿಹ್ನೆ (*) ನೊಂದಿಗೆ ಗುರುತಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಕೆಳಗಿನ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಒಂದು:

ಈಗ ನೀವು ರೂಪಾಂತರಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು, ಪರಸ್ಪರ ಅನುಸರಿಸುವ ರೂಪಾಂತರಗಳ ಸರಣಿಯ ಬದಲಿಗೆ ಒಂದು ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಬಳಸಿ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನೀವು ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಹಲವಾರು ಸರಳವಾದವುಗಳಾಗಿ ಒಡೆಯಬಹುದು. ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಬಿಂದು ಬಿ ಸುತ್ತಲೂ ತಿರುಗುವ ಬಿಂದುವನ್ನು ಮೂರು ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಬಹುದು:
ವರ್ಗಾವಣೆ, ಇದರಲ್ಲಿ B = 0 (ಇಲ್ಲಿ 0 ಮೂಲವಾಗಿದೆ);
ತಿರುವು;
ರಿವರ್ಸ್ ವರ್ಗಾವಣೆ, ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಬಿ ಅದರ ಸ್ಥಳಕ್ಕೆ ಮರಳುತ್ತದೆ, ಇತ್ಯಾದಿ.
T, D, R, M ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂಯೋಜನೆಯು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:

ಮೇಲಿನ 2x2 ಭಾಗವು ಸಂಯೋಜಿತ ತಿರುಗುವಿಕೆ ಮತ್ತು ಸ್ಕೇಲಿಂಗ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದೆ, ಮತ್ತು tx ಮತ್ತು ty ಒಟ್ಟು ಅನುವಾದವನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ.
ವಿವರಿಸಿದ ಮೂಲಭೂತ ರೂಪಾಂತರಗಳು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿವೆ:
ಸ್ಕ್ರೋಲಿಂಗ್ರೆಂಡರಿಂಗ್ ಮೇಲ್ಮೈಯಲ್ಲಿ ವಿಂಡೋವನ್ನು ಚಲಿಸುವುದು (ಚಲನೆಯು ಮೇಲಕ್ಕೆ ಮತ್ತು ಕೆಳಕ್ಕೆ ಮಾತ್ರ ಸೀಮಿತವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದನ್ನು ಲಂಬ ಸ್ಕ್ರೋಲಿಂಗ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ);

ಜೂಮ್ಚಿತ್ರದ ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ ಕ್ರಮೇಣ ಬದಲಾವಣೆ;
ಪಲ್ಟಿಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅಕ್ಷದ ಸುತ್ತ ತಿರುಗುವ ಔಟ್‌ಪುಟ್ ಆದಿಮಾನಗಳ ಡೈನಾಮಿಕ್ ಚಿತ್ರ, ಅದರ ದೃಷ್ಟಿಕೋನವು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ;
ಪ್ಯಾನ್ಚಲನೆಯ ದೃಶ್ಯ ಪ್ರಜ್ಞೆಯನ್ನು ರಚಿಸಲು ಚಿತ್ರದ ಕ್ರಮೇಣ ವರ್ಗಾವಣೆ.

ಅಫೈನ್ ರೂಪಾಂತರದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು

1. ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳ ಚಿತ್ರವು ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳು.

ವಿರೋಧಾಭಾಸದಿಂದ ಪುರಾವೆ. ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳು l ಮತ್ತು m ನ ಚಿತ್ರವು ನೇರ ರೇಖೆಗಳು l" ಮತ್ತು m" ಎ" (ಚಿತ್ರ 8) ನಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುವ ಸರಳ ರೇಖೆಗಳು ಎಂದು ನಾವು ಊಹಿಸೋಣ (ಚಿತ್ರ 8). ಒಂದರಿಂದ ಒಂದು ರೂಪಾಂತರದ ಕಾರಣ, ಬಿಂದುವು ವಿಲೋಮ ಚಿತ್ರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಅದು ನಾವು A ನಿಂದ ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ. ಆದರೆ A"єl" ರಿಂದ, ನಂತರ Aєl . Аєm ಗೆ ಹೋಲುತ್ತದೆ. ಇದು l ಮತ್ತು m ರೇಖೆಗಳ ಸಮಾನಾಂತರತೆಯನ್ನು ವಿರೋಧಿಸುತ್ತದೆ.

2. ಅಫೈನ್ ರೂಪಾಂತರದ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ಒಂದೇ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಇರುವ ಎರಡು ವಿಭಾಗಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಸಂರಕ್ಷಿಸಲಾಗಿದೆ: (ಚಿತ್ರ 9)

ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಅಫೈನ್ ರೂಪಾಂತರದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ:

3. ಅಫೈನ್ ರೂಪಾಂತರದ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ಸಮಾನಾಂತರ ವಿಭಾಗಗಳ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಸಂರಕ್ಷಿಸಲಾಗಿದೆ.

ನೀಡಲಾಗಿದೆ: ಎಬಿ||ಸಿಡಿ. ಆಸ್ತಿ 2 ರ ಮೂಲಕ A"B"||C"D" (ಚಿತ್ರ 10) ಸಹ ಇರುತ್ತದೆ.

ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ:

ಇದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು, ನಾವು AC ಮಾಡೋಣ, ನಂತರ DL||AC. A"C" ಮತ್ತು D"L"||A"C" ಅನ್ನು ಸಹ ನಿರ್ಮಿಸೋಣ. ಆಸ್ತಿ 2 ರ ಮೂಲಕ, ನೇರ ರೇಖೆಯ DL D"L" ಗೆ ಹೋಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ, . ಈಗ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ: . ಆದರೆ AL=CD, A"L"=C"L", ಆದ್ದರಿಂದ ಇಲ್ಲಿಂದ ನಾವು ನಮಗೆ ಬೇಕಾದುದನ್ನು ತಕ್ಷಣವೇ ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

4. ಅಫೈನ್ ರೂಪಾಂತರದ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಭಾಗಗಳ ಕೋನ ಮತ್ತು ಅನುಪಾತವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಯಾವುದೇ ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ಬೇರೆ ಯಾವುದಾದರೂ ಆಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಬಹುದು. ಆದ್ದರಿಂದ, ತ್ರಿಕೋನದ ಎತ್ತರ ಮತ್ತು ದ್ವಿಭಾಜಕವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಇತರ ರೇಖೆಗಳಾಗಿ ರೂಪಾಂತರಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಮಧ್ಯದ ಮಧ್ಯಭಾಗವು ಮಧ್ಯಕ್ಕೆ ತಿರುಗುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ವಿಭಾಗದ ಮಧ್ಯಭಾಗವು ಮಧ್ಯಕ್ಕೆ ತಿರುಗುತ್ತದೆ.

5. ಅಫೈನ್ ರೂಪಾಂತರದೊಂದಿಗೆ, ಒಂದು ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜವು ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜಕ್ಕೆ ಹೋಗುತ್ತದೆ, ಒಂದು ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡ್ ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡ್ ಆಗಿ ಹೋಗುತ್ತದೆ.

ಸಮಾನ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳು

ಸಮಾನತೆ ಮತ್ತು ಅಂಕಿಗಳ ಹೋಲಿಕೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯಂತೆಯೇ, ಅವರ ಅಫೈನ್ ಸಮಾನತೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಅಫೈನ್ ರೂಪಾಂತರದ ಮೂಲಕ ಎಫ್ 1 ಅನ್ನು ಎಫ್ 2 ಆಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಬಹುದಾದರೆ ಫಿಗರ್ ಎಫ್ 1 ಅನ್ನು ಫಿಗರ್ ಎಫ್ 2 ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಅಫೈನ್ ರೂಪಾಂತರಗಳು ಒಂದು ಗುಂಪನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ, ಇಲ್ಲಿ ಪರಿಚಯಿಸಲಾದ ಅಫೈನ್ ಸಮಾನತೆಯು ಟ್ರಾನ್ಸಿಟಿವಿಟಿ, ಪ್ರತಿಫಲಿತತೆ ಮತ್ತು ಸಮ್ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂಬ ಅಂಶದಿಂದ ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಸರಿಯಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಅನುಗುಣವಾದ ಸಮಾನ ಅಂಕಿಗಳ ಕೆಲವು ವರ್ಗಗಳನ್ನು ನಾವು ಗಮನಿಸೋಣ.

1) ಎಲ್ಲಾ ತ್ರಿಕೋನಗಳು ಅಫಿನ್ಲಿ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಮುಖ್ಯ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ).

2) ಎಲ್ಲಾ ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜಗಳು ಅಫೈನ್ಲಿ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ.

3) ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡ್‌ಗಳ ಅಫೈನ್ ಸಮಾನತೆಗಾಗಿ, ಅವುಗಳ ಆಧಾರಗಳು ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರುವುದು ಅವಶ್ಯಕ ಮತ್ತು ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ.

ಎರಡು ವಿಮಾನಗಳ ದೃಷ್ಟಿಕೋನ-ಸಂಬಂಧ ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರ

ಎರಡು ವಿಮಾನಗಳು w ಮತ್ತು w" xx ರೇಖೆಯ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಛೇದಿಸುತ್ತವೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ (ಚಿತ್ರ 1). ನಾವು ಎರಡೂ ಸಮತಲಗಳನ್ನು ಛೇದಿಸುವ ಕೆಲವು ಸರಳ ರೇಖೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸೋಣ. ನಾವು ಸಮತಲದ ಮೇಲೆ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಬಿಂದು A ಅನ್ನು ಗುರುತಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು w ಪ್ಲೇನ್‌ಗೆ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಿಸೋಣ. ", ಎ ಮೂಲಕ ನೇರ ರೇಖೆಯನ್ನು ಎಳೆಯುವುದು, ಎಲ್ ಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿ. ಪ್ರಕ್ಷೇಪಿಸುವ ನೇರ ರೇಖೆಯು A" ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ w" ಸಮತಲವನ್ನು ಛೇದಿಸಲಿ. ಪಾಯಿಂಟ್ A" ಅನ್ನು ಪ್ಲೇನ್ w" ಗೆ ಪಾಯಿಂಟ್ A ನ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ಅಂತಹ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣವನ್ನು ಸಮಾನಾಂತರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನೇರ ರೇಖೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುವ ಮೂಲಕ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ l.

ಪಾಯಿಂಟ್ A ನ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ A" ಯ ನಿರ್ಮಾಣದಿಂದ, ಪಾಯಿಂಟ್ A ಅನ್ನು ಪ್ಲೇನ್ w ಮೇಲೆ ಪಾಯಿಂಟ್ A" ನ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಮಾನಾಂತರ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣವು w ಮತ್ತು w ಎರಡೂ ಸಮತಲಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಅರ್ಥವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಾಧನವಾಗಿದೆ." ಇದು ಮೊದಲ ಸಮತಲದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬಿಂದುವಿಗೆ (A) ಎರಡನೆಯದ ಸಂಪೂರ್ಣ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಿಂದುವನ್ನು (A") ನಿಯೋಜಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯಾಗಿ . ನಾವು w ಮತ್ತು w ಸಮತಲಗಳ ಬಿಂದುಗಳ ಜೋಡಿಯಾಗಿ ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ." ಈ ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರವು ಒಂದರಿಂದ ಒಂದು, ಅಂದರೆ, ಒಂದು ಸಮತಲದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬಿಂದುವು ಎರಡನೆಯ ವಿಶಿಷ್ಟ ಬಿಂದುವಿಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯಾಗಿ.

ಸಮಾನಾಂತರ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸ್ಥಾಪಿಸಲಾದ w ಮತ್ತು w" ವಿಮಾನಗಳ ನಡುವಿನ ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರವನ್ನು ದೃಷ್ಟಿಕೋನ-ಅಫೈನ್ ಅಥವಾ ಸಂಬಂಧಿತ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಈ ಸಮತಲಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದರಿಂದ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, w) ಮತ್ತೊಂದು ಸಮತಲಕ್ಕೆ (w") ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ನಾವು ಪರಿಗಣಿಸಿದರೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸಮತಲದ (w) ಪ್ರತಿ ಪಾಯಿಂಟ್ (A) ಮತ್ತೊಂದು ಸಮತಲದ ಅನುಗುಣವಾದ ಬಿಂದು (A") ಗೆ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ. ಸಮತಲ (w"), ಏಕಪಕ್ಷೀಯವಾಗಿ, ನಂತರ ಅದನ್ನು ಸಮತಲ (w) ಅನ್ನು ಸಮತಲಕ್ಕೆ (w") ರೂಪಾಂತರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ - ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಪಾಯಿಂಟ್ A ಅನ್ನು ವಿಲೋಮ ಚಿತ್ರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪಾಯಿಂಟ್ A" ಅದರ ಚಿತ್ರಣವಾಗಿದೆ. .

ಒಂದು ಸಮಾನಾಂತರ ಸಮತಲವನ್ನು w" ಸಮತಲದ ಮೇಲೆ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಿಸುವ ಮೂಲಕ ನಾವು ಸಮತಲವನ್ನು w ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಒಂದು ದೃಷ್ಟಿಕೋನ-ಸಂಬಂಧದ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ.

ನಾವು ಸಮತಲದ ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳ ಸಂಗ್ರಹವನ್ನು ಬಿಂದುಗಳ ಕ್ಷೇತ್ರ ಎಂದು ಕರೆಯಬಹುದು ಮತ್ತು ಬಿಂದುಗಳ ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು w ಬಿಂದುಗಳ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸುವ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡಬಹುದು."

ವಿಮಾನಗಳ ದೃಷ್ಟಿಕೋನ-ಸಂಬಂಧ ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನಾವು ಹೊಂದಿಸೋಣ.

ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ನಮ್ಮ ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರದ ಎರಡು ಅಥವಾ ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುಗಳ ಪ್ರಶ್ನೆಯೊಂದಿಗೆ, ಅಂದರೆ, ಅವುಗಳ ಅನುಗುಣವಾದ ಬಿಂದುಗಳೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವ ಅಂತಹ ಬಿಂದುಗಳೊಂದಿಗೆ ನಾವು ವ್ಯವಹರಿಸೋಣ. ಪ್ರತಿ ಎರಡು ಬಿಂದುವು ಒಂದು ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದು ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಸೇರಿರಬೇಕು, ಅವು w ಮತ್ತು w ಸಮತಲಗಳ ಛೇದಕ ರೇಖೆಯ xx ಮೇಲೆ ಮಲಗಿರಬೇಕು." ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, xx ರೇಖೆಯ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬಿಂದುವು ಎರಡು ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ. ಏಕೆಂದರೆ ಅದು ಸ್ವತಃ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ, ನೇರ ರೇಖೆಯನ್ನು ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರದ ಅಕ್ಷ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.ಹಿಂದಿನದ ಪ್ರಕಾರ, ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರದ ಅಕ್ಷವನ್ನು ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳ ಲೊಕಸ್ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು.

ಹೀಗಾಗಿ, ಒಂದು ಸಮತಲದ ಮೇಲಿನ ನೇರ ರೇಖೆಯು ಇನ್ನೊಂದರ ನೇರ ರೇಖೆಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. ದೃಷ್ಟಿಕೋನ-ಸಂಬಂಧ ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರದ ಈ ಗುಣವನ್ನು ಕೊಲಿನಿಯರಿಟಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಆಕೃತಿಯ ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಗಳ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಲೊಕಸ್ ಆಗಿ ಆಕೃತಿಯ ಸಮಾನಾಂತರ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣದ ಅತ್ಯಂತ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ, ಒಂದು ಸಾಲಿನ ಮೇಲೆ ಇರುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬಿಂದುವು ಯಾವಾಗಲೂ ಅನುಗುಣವಾದ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಇರುವ ಬಿಂದುಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಒಂದು ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಬಿಂದು ಮತ್ತು ರೇಖೆಯ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧವು ಎರಡನೆಯದಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಅಂಶಗಳ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಒಳಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.

2. ಪರ್ಸ್ಪೆಕ್ಟಿವ್-ಅಫೈನ್ ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರದ ಮುಂದಿನ ಆಸ್ತಿಯು ಒಂದು ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಮೂರು ಬಿಂದುಗಳ ಸರಳ ಅನುಪಾತ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತದೆ.

ಎ, ಬಿ, ಸಿ ಎಂಬ ಮೂರು ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಒಂದೇ ಸರಳ ರೇಖೆಯಲ್ಲಿ (ಚಿತ್ರ 1) ಬಿದ್ದಿರುವುದನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ. ಎ, ಬಿ, ಸಿ ಬಿಂದುಗಳ ಸರಳ ಅನುಪಾತವನ್ನು ಸೂತ್ರದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ರೂಪಾಂತರ ಅಫೈನ್ ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರ

ಈ ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ, ಎ ಮತ್ತು ಬಿ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಮುಖ್ಯ (ಅಥವಾ ಮೂಲಭೂತ) ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪಾಯಿಂಟ್ ಸಿ ಅನ್ನು ವಿಭಜಿಸುವುದು ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸರಳ ಅನುಪಾತ (ಎಬಿಸಿ) ಎಂಬುದು ಆ ವಿಭಾಗಗಳ ಉದ್ದಗಳ ಅನುಪಾತವಾಗಿದ್ದು, ವಿಭಜಿಸುವ ಬಿಂದುವು ಮುಖ್ಯವಾದವುಗಳೊಂದಿಗೆ ರೂಪುಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಬಿಂದು A B ವಿಭಾಗದ ಹೊರಗೆ ಇದ್ದರೆ, AC ಮತ್ತು BC ಎರಡೂ ವಿಭಾಗಗಳನ್ನು ಸಮಾನವಾಗಿ ನಿರ್ದೇಶಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಸರಳ ಅನುಪಾತ (ABC) ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ವಿಭಜಿಸುವ ಬಿಂದು C A ಮತ್ತು B ನಡುವೆ ಇರುವ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಸರಳ ಅನುಪಾತ (ABC) ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಡ್ರಾಯಿಂಗ್ 1 ರಲ್ಲಿ, W ಪ್ಲೇನ್‌ನ A, B, C ಬಿಂದುಗಳು W ಪ್ಲೇನ್‌ನ A, B, C ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿರುವುದನ್ನು ನೀವು ನೋಡಬಹುದು. AA, BB, SS ಪ್ರಕ್ಷೇಪಿಸುವ ನೇರ ರೇಖೆಗಳು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಹೊಂದಿರುತ್ತೇವೆ:

ಅಥವಾ (ABC) = (A"B"C").

ದೃಷ್ಟಿಕೋನ-ಸಂಬಂಧ ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರದಲ್ಲಿ, ಒಂದು ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಮೂರು ಬಿಂದುಗಳ ಸರಳ ಅನುಪಾತವು ಯಾವಾಗಲೂ ಇತರ ಮೂರು ಅನುಗುಣವಾದ ಬಿಂದುಗಳ ಸರಳ ಅನುಪಾತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ತೀರ್ಮಾನಕ್ಕೆ ಬರುತ್ತೇವೆ.

3. ಪರ್ಸ್ಪೆಕ್ಟಿವ್-ಅಫೈನ್ ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರದ ಹೆಚ್ಚಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವ ಮೊದಲು, ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಅನುಗುಣವಾದ ವಿಮಾನಗಳು w ಮತ್ತು w" ಸಂಭವನೀಯ ಸ್ಥಳದ ಪ್ರಶ್ನೆಯ ಮೇಲೆ ನಾವು ವಾಸಿಸೋಣ.

ಇಲ್ಲಿಯವರೆಗೆ, ಸಮಾನಾಂತರ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣೆಯ ಮೂಲಕ ಮೇಲೆ ಚರ್ಚಿಸಿದ ದೃಷ್ಟಿಕೋನ-ಸಂಬಂಧ ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರವನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಲು ಈ ವಿಮಾನಗಳು ಕಾಕತಾಳೀಯವಲ್ಲ ಮತ್ತು xx ರೇಖೆಯ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಛೇದಿಸುತ್ತವೆ ಎಂದು ನಾವು ಭಾವಿಸಿದ್ದೇವೆ. ಅಂತಹ ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರವನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಿದ ನಂತರ, xx ಅಕ್ಷದ ಸುತ್ತ ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದಾದರೂ ಒಂದನ್ನು ತಿರುಗಿಸುವ ಮೂಲಕ ಎರಡೂ ವಿಮಾನಗಳನ್ನು ಕಾಕತಾಳೀಯವಾಗಿ ತರಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಒಂದು ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದು ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಇರುವ ಎಲ್ಲಾ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಚಿತ್ರಗಳು ಯಾವುದೇ ಬದಲಾವಣೆಗೆ ಒಳಗಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಸಮತಲದ ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಯಾವುದೇ ಕ್ಷಣದಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಎರಡನೇ ಸಮತಲದೊಂದಿಗೆ ಸಂಯೋಜಿಸಿದಾಗ, ಹಿಂದೆ ಸ್ಥಾಪಿಸಲಾದ ದೃಷ್ಟಿಕೋನ-ಸಂಬಂಧ ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರವನ್ನು ಉಲ್ಲಂಘಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ.

AA", BB", SS",... ನಂತಹ ಅನುಗುಣವಾದ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸುವ ಸರಳ ರೇಖೆಗಳು ತಿರುಗುವ ಸಮತಲದ ಯಾವುದೇ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿ ಉಳಿಯುತ್ತವೆ, ಹಾಗೆಯೇ ಸ್ಥಿರ ಸಮತಲದೊಂದಿಗೆ ಅದರ ಜೋಡಣೆಯ ನಂತರ. ಇದು ಸತ್ಯದಿಂದ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ. ಉಲ್ಲೇಖಿಸಲಾದ ಪ್ರತಿ ಎರಡು ಸರಳ ರೇಖೆಗಳು (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, AA" ಮತ್ತು BB") ಯಾವಾಗಲೂ ಒಂದೇ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಇರುತ್ತವೆ, ಒಂದು ಜೋಡಿ ಛೇದಿಸುವ ನೇರ ರೇಖೆಗಳಿಂದ (AB ಮತ್ತು A"B") ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಬದಿಗಳಲ್ಲಿ ಅನುಪಾತದ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಕತ್ತರಿಸಿ ಕೋನದ, ರಿಂದ (ABX) = (A"B"X) ವಿಮಾನಗಳು w ಮತ್ತು w" ಪ್ರಕ್ಷೇಪಿಸುವ ನೇರ ರೇಖೆಗಳನ್ನು (AA", BB",...) ಸಂಯೋಜಿಸುವಾಗ ಎರಡು ಕಾಕತಾಳೀಯದಿಂದ ರೂಪುಗೊಂಡ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಸುಳ್ಳಾಗುತ್ತದೆ. ವಿಮಾನಗಳು w ಮತ್ತು w" (ಚಿತ್ರ 2).

ನಮಗೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಆಸಕ್ತಿಯು ವಿಮಾನಗಳ ಸಂಯೋಜಿತ ಸ್ಥಾನದ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ನಾವು ಅಸ್ಪಷ್ಟತೆ ಇಲ್ಲದೆ ಸ್ಥಾಪಿತ ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರವನ್ನು ಚಿತ್ರಿಸುವ ಫ್ಲಾಟ್ ಡ್ರಾಯಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು.

ಸಂಯೋಜನೆಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, (ಡಬಲ್) ಸಮತಲದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬಿಂದುವು w ಅಥವಾ w" ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಸೇರಿದೆ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಥವಾ ಅವಿಭಾಜ್ಯದೊಂದಿಗೆ ದೊಡ್ಡ ಅಕ್ಷರದಿಂದ ಇದನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ನಾವು ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಸಮತಲವು ತನ್ನೊಳಗೆ, ಮತ್ತು ಅದರ ಆರಂಭಿಕ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು (ರೂಪಾಂತರಕ್ಕೆ ಮುಂಚಿನ ಸಮತಲ) w ಅಕ್ಷರದಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಹೊಸ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು (ರೂಪಾಂತರದ ನಂತರದ ವಿಮಾನ) w ಅಕ್ಷರದಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ವಿಮಾನಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸಿದ ನಂತರ, ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರದ ಅಕ್ಷ xx ಈ ವಿಮಾನಗಳ ಛೇದನದ ರೇಖೆಯನ್ನು ನಿಲ್ಲಿಸುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಇದು ಎರಡು ಅಥವಾ ಸ್ಥಿರ, ಬಿಂದುಗಳ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸ್ಥಳವಾಗಿ ಎರಡನೇ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಉಳಿಸಿಕೊಂಡಿದೆ.

4. ಈಗ ನಾವು ಎರಡು ವಿಮಾನಗಳ ನಡುವೆ ದೃಷ್ಟಿಕೋನ-ಸಂಬಂಧ ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರವನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಲು ನಮಗೆ ಸೇವೆ ಸಲ್ಲಿಸಿದ ಪ್ರಾದೇಶಿಕ ಉಪಕರಣವನ್ನು (ಸಮಾನಾಂತರ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣ) ತ್ಯಜಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶಕ್ಕೆ ಹೋಗದೆ ಡಬಲ್ ಪ್ಲೇನ್‌ಗಾಗಿ ಎರಡನೆಯದನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಬಹುದು. ಈ ನಿಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ, ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಊಹೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ: ಸಮತಲದ ದೃಷ್ಟಿಕೋನ-ಅಫೈನ್ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಅಕ್ಷ (xx) ಮತ್ತು ಅನುಗುಣವಾದ ಬಿಂದುಗಳ ಜೋಡಿ (A, A") ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ.

ಪುರಾವೆ. xx ಅಕ್ಷ ಮತ್ತು ಪರ್ಸ್ಪೆಕ್ಟಿವ್-ಅಫೈನ್ ರೂಪಾಂತರದ ಅನುಗುಣವಾದ ಬಿಂದುಗಳ (AA") ಜೋಡಿಯನ್ನು ನೀಡೋಣ (ಚಿತ್ರ 3) ಸಮತಲದಲ್ಲಿನ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವಿಗೆ ಉತ್ತಮವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಮತ್ತು ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಅನುಗುಣವಾದವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ. ಪಾಯಿಂಟ್ ಬಿ".

ಎಬಿ ನೇರ ರೇಖೆಯನ್ನು ಎಳೆಯೋಣ. X ಎಂಬುದು xx ಅಕ್ಷದೊಂದಿಗೆ ಅದರ ಛೇದನದ ಬಿಂದುವಾಗಿರಲಿ. ಬಿಂದು X ಸ್ವತಃ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವುದರಿಂದ (ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಮಲಗಿರುವಂತೆ), ನಂತರ ನೇರ ರೇಖೆ AX ನೇರ ರೇಖೆ A"X ಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. ಅಂತಿಮವಾಗಿ, B" ಪಾಯಿಂಟ್ A" X ಮತ್ತು ಪ್ರಕ್ಷೇಪಿಸುವ ಸರಳ ರೇಖೆ BB" ಯಲ್ಲಿ A A ಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರಬೇಕು. . ಇದು ನಮಗೆ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಬಿಂದುವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ ಬಿ." ಹೀಗಾಗಿ, ಸಾಕಷ್ಟು ಡೇಟಾ ಇತ್ತು, ಮತ್ತು ಅನುಗುಣವಾದ ಬಿಂದು ಬಿ" ಮಾತ್ರ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ.

ಸೂಚಿಸಿದ ನಿರ್ಮಾಣವು ವಿರೋಧಾಭಾಸಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗದ ಕಾರಣ ದೃಷ್ಟಿಕೋನ-ಸಂಬಂಧ ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರವು ನಿಜವಾಗಿ ಅರಿತುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ನಿರ್ಮಾಣವನ್ನು ಸಮಾನಾಂತರ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ಉಪಕರಣಕ್ಕೆ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ಇದನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಪರಿಶೀಲಿಸಬಹುದು.

ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ನಾವು xx ರೇಖೆಯ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಡ್ರಾಯಿಂಗ್ 3 ಅನ್ನು ಬಾಗಿಸಿದರೆ w ಮತ್ತು w" ವಿಮಾನಗಳು ದ್ವಿಮುಖ ಕೋನವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ, ನಂತರ ಎಲ್ಲಾ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣ ನೇರ ರೇಖೆಗಳು (ಅನುಗುಣವಾದ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸುವ ನೇರ ರೇಖೆಗಳು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ BB") ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿ ಹೊರಹೊಮ್ಮುತ್ತವೆ. ನೇರ ರೇಖೆಗೆ AA" (ವಿಭಾಗಗಳ ಅನುಪಾತದ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ) ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ನಾವು ನಿರ್ಮಿಸಿದ ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರವನ್ನು ಸಮಾನಾಂತರ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣದ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು.

ಸೂಚನೆ. ಡ್ರಾಯಿಂಗ್ 3 ರಲ್ಲಿ ನಾವು ಪಾಯಿಂಟ್ ಬಿ ಅನ್ನು w ಪ್ಲೇನ್‌ಗೆ ನಿಗದಿಪಡಿಸಿದರೆ, ಅದನ್ನು ಸಿ ಯಿಂದ ಸೂಚಿಸಿದರೆ, ಅನುಗುಣವಾದ ಬಿಂದುವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವುದು ನಮ್ಮನ್ನು ಪಾಯಿಂಟ್ ಸಿಗೆ ಕರೆದೊಯ್ಯುತ್ತದೆ, ಇದು ಡ್ರಾಯಿಂಗ್ 3 ರಿಂದ ನೋಡಬಹುದಾದಂತೆ ಯಾವಾಗಲೂ ಬಿ ಯೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಅಂತಹ ಕಾಕತಾಳೀಯಕ್ಕೆ ಅಗತ್ಯವಾದ ಮತ್ತು ಸಾಕಷ್ಟು ಷರತ್ತು, ಅಂದರೆ, ಪಾಯಿಂಟ್ ಅನ್ನು ಒಂದು ಅಥವಾ ಇನ್ನೊಂದು ಸಮತಲಕ್ಕೆ ನಿಯೋಜಿಸಲಾಗಿದೆಯೇ ಎಂಬ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ-ಅಫೈನ್ ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರದ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯವು ಛೇದನದ ಹಂತದಲ್ಲಿ A A" ವಿಭಾಗವನ್ನು ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಭಾಗಿಸುವುದು. xx ಅಕ್ಷ

ಆದ್ದರಿಂದ, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರವು ಓರೆಯಾದ ಅಥವಾ ನೇರ ಸಮ್ಮಿತಿಯಾಗಿದೆ (xx ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ).

5. ಪರ್ಸ್ಪೆಕ್ಟಿವ್-ಅಫೈನ್ ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರದ ಹೆಚ್ಚಿನ ಅಧ್ಯಯನದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಮೇಲೆ ಸ್ಥಾಪಿಸಲಾದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸುತ್ತೇವೆ: 1) ಕೋಲಿನಿಯರಿಟಿ ಮತ್ತು 2) ಅನುಗುಣವಾದ ಬಿಂದುಗಳ ತ್ರಿವಳಿಗಳ ಸರಳ ಸಂಬಂಧಗಳ ಸಮಾನತೆ.

ದೃಷ್ಟಿಕೋನ-ಅಫೈನ್ ರೂಪಾಂತರಗಳಲ್ಲಿ ಈ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ ಮತ್ತು ರೇಖೆಯ ಮೂರು ಬಿಂದುಗಳ ಸರಳ ಸಂಬಂಧದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯ ಅಸ್ಥಿರತೆ ಅಥವಾ ಅಸ್ಥಿರತೆಯನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ.

ಈ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿಂದ ದೃಷ್ಟಿಕೋನ-ಅಫೈನ್ ರೂಪಾಂತರದ ಇತರ "ಅಸ್ಥಿರತೆಗಳ" ಸಂಪೂರ್ಣ ಸರಣಿಯನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು, ಅದು ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ರೇಖೆಗಳ ಸಮಾನಾಂತರತೆಯ ಅಸ್ಥಿರತೆಯನ್ನು ನಾವು ಮೊದಲು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ. ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ನಾವು ಎ ಮತ್ತು ಬಿ ಎರಡು ಸರಳ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ, ಇದು ಸಮತಲದಲ್ಲಿ w" ನೇರ ರೇಖೆಗಳು a" ಮತ್ತು b" ಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ. a ಮತ್ತು b ರೇಖೆಗಳು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿವೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ (a || b). ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ. ಅದು "|| b". ವಿರೋಧಾಭಾಸದಿಂದ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸೋಣ. a" ಮತ್ತು b" ಸಾಲುಗಳು ಛೇದಿಸುತ್ತವೆ ಮತ್ತು M ಅಕ್ಷರದೊಂದಿಗೆ ಛೇದನದ ಬಿಂದುವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತವೆ ಎಂದು ನಾವು ಊಹಿಸೋಣ (ಚಿತ್ರ 4). ನಂತರ, w ಮತ್ತು w ಸಮತಲಗಳ ಒಂದರಿಂದ ಒಂದು ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರದ ಕಾರಣ, ಪಾಯಿಂಟ್ M ಸಮತಲ w ಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. ಸಾಲು b. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, M ಎಂಬುದು a ಮತ್ತು b ರೇಖೆಗಳ ಛೇದನದ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ನಾವು ಒಂದು ವಿರೋಧಾಭಾಸವನ್ನು ತಲುಪುತ್ತೇವೆ. a" ಮತ್ತು b" ರೇಖೆಗಳು ಛೇದಿಸುತ್ತವೆ ಎಂಬ ಊಹೆಯು ಅಸಾಧ್ಯ. ಆದ್ದರಿಂದ a" || ಬಿ".

ಹೀಗಾಗಿ, ರೇಖೆಗಳ ಸಮಾನಾಂತರತೆಯು ದೃಷ್ಟಿಕೋನ-ಸಂಬಂಧ ರೂಪಾಂತರದ ಅಸ್ಥಿರ ಆಸ್ತಿಯಾಗಿದೆ.

B ಅನ್ನು D ಯೊಂದಿಗೆ ಸಂಪರ್ಕಿಸೋಣ ಮತ್ತು CF || ರೇಖೆಯನ್ನು C ಮೂಲಕ ಎಳೆಯೋಣ. DВ. ಸಮತಲದಲ್ಲಿ w" ನೇರ ರೇಖೆ СF ನೇರ ರೇಖೆ С"F" D"В" (ಸಮಾನಾಂತರದ ಅಸ್ಥಿರತೆಯಿಂದಾಗಿ) ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ, ಪಾಯಿಂಟ್ F ಬಿಂದುವಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತದೆ". ಮೂರು ಬಿಂದುಗಳ ಸರಳ ಸಂಬಂಧವು ಅಸ್ಥಿರವಾಗಿದೆ ಎಂದು ತಿಳಿದುಕೊಂಡು, ನಾವು ಬರೆಯಬಹುದು:

ಹೀಗಾಗಿ, ನಾವು ಸಮಾನತೆಗೆ ಬರುತ್ತೇವೆ:

ಎರಡನೆಯದು ಎರಡು ಸಮಾನಾಂತರ ವಿಭಾಗಗಳ ಸಂಬಂಧವು ದೃಷ್ಟಿಕೋನ-ಸಂಬಂಧ ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರದ ಅಸ್ಥಿರವಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ.

AB ಮತ್ತು CD ವಿಭಾಗಗಳು ಒಂದೇ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿದ್ದರೆ (ಚಿತ್ರ 6), ನಂತರ ಅವರ ಸಂಬಂಧವು ದೃಷ್ಟಿಕೋನ-ಅಫೈನ್ ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರದಲ್ಲಿ ಅಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, PQ ಸರಳ ರೇಖೆ AB ಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುವ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ವಿಭಾಗವಾಗಿರಲಿ. ನಂತರ ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ:

6. ಅನುಗುಣವಾದ ಅಂಕಿಗಳ ಪ್ರದೇಶಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲು ನಾವು ಮುಂದುವರಿಯೋಣ. ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಲೆಮ್ಮಾವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ: ಎರಡು ಅನುಗುಣವಾದ ಬಿಂದುಗಳ (A, A") ಅಂತರವು ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರದ ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ (xx) ಸ್ಥಿರ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ, ಅನುಗುಣವಾದ ಬಿಂದುಗಳ ಜೋಡಿಯ ಆಯ್ಕೆಯಿಂದ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಪುರಾವೆ. ಬಿಂದುಗಳು A ಮತ್ತು B ಬಿಂದುಗಳು A" ಮತ್ತು B" (ಚಿತ್ರ 7) ಈ ಬಿಂದುಗಳಿಂದ xx ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಲಂಬಗಳನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ, ನಾವು ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಅವುಗಳ ಅಂತರವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಲಂಬಗಳ ದಿಕ್ಕನ್ನು ಲೆಕ್ಕಿಸದೆ ದೂರವನ್ನು ಯಾವಾಗಲೂ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ನಾವು ಬರೆಯಬಹುದು:

ಆದರೆ ರೇಖಾಚಿತ್ರದಿಂದ ನೋಡಬಹುದಾದಂತೆ:

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಸಮಾನತೆಯು ಮೇಲೆ ರೂಪಿಸಲಾದ ಲೆಮ್ಮಾವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತದೆ.

ಅನುಗುಣವಾದ ಬಿಂದುಗಳ ಅಂತರಗಳ ಸ್ಥಿರ ಅನುಪಾತವನ್ನು ನಾವು k ನಿಂದ ಸೂಚಿಸೋಣ. ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ.

ಎರಡು ಅನುಗುಣವಾದ ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಪ್ರದೇಶಗಳ ಅನುಪಾತವು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಪ್ರಮೇಯದ ಪುರಾವೆಯು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ವಿಭಜಿಸುತ್ತದೆ:

1. ತ್ರಿಕೋನಗಳು xx ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಗವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ.

ಅಂತಹ ತ್ರಿಕೋನಗಳನ್ನು ಚಿತ್ರ 8 ರಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಅವುಗಳ ಪ್ರದೇಶಗಳ ಅನುಪಾತವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

2. ತ್ರಿಕೋನಗಳು xx ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಶೃಂಗವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ.

ರೇಖಾಚಿತ್ರ 9 ರಲ್ಲಿ ಇವು ಎರಡು ತ್ರಿಕೋನಗಳಾಗಿವೆ. ಈ ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಅನುಗುಣವಾದ ಬದಿಗಳು BC ಮತ್ತು BC xx ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ (ಬಿಂದು X ನಲ್ಲಿ) ಛೇದಿಸಬೇಕು. ಪರಿಗಣನೆಯಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಹಿಂದಿನದಕ್ಕೆ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಹಿಂದಿನದನ್ನು ಆಧರಿಸಿ, ನಾವು ಬರೆಯಬಹುದು:

ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಹೊಂದಿರುತ್ತೇವೆ:

3. ಎರಡು ಅನುಗುಣವಾದ ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪ್ರಕರಣ.

ಡ್ರಾಯಿಂಗ್ 10 ರಲ್ಲಿ ಎರಡು ಅನುಗುಣವಾದ ತ್ರಿಕೋನಗಳ ABC ಮತ್ತು A"B"C ಅನ್ನು ಹೊಂದೋಣ. ಈ ತ್ರಿಕೋನಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ABC. ಈ ತ್ರಿಕೋನದ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು:

ಈ ಸಮಾನತೆಯ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ತ್ರಿಕೋನಗಳು ಈಗಾಗಲೇ ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ಎರಡು ಪ್ರಕರಣಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಾಬೀತಾದ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಅವರಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಿ, ನಾವು ಮೇಲಿನ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಪುನಃ ಬರೆಯಬಹುದು:

ಆದ್ದರಿಂದ,

7. ಎರಡು ಅನುಗುಣವಾದ ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಪ್ರದೇಶಗಳಿಂದ ನಾವು ಪಡೆದ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಅನುಗುಣವಾದ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಗಳ ಪ್ರಕರಣಕ್ಕೆ ಸುಲಭವಾಗಿ ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಪ್ರತಿ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯನ್ನು ಹಲವಾರು ತ್ರಿಕೋನಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಬಹುದು, ಮತ್ತು ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಅದರ ಘಟಕ ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಪ್ರದೇಶಗಳ ಮೊತ್ತದಿಂದ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಅನುಗುಣವಾದ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಗೆ ನಾವು ತ್ರಿಕೋನಗಳಾಗಿ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ವಿಭಾಗವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ಎರಡು ಅನುಗುಣವಾದ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಗಳ ಪ್ರದೇಶಗಳನ್ನು S ಮತ್ತು S" ಅಕ್ಷರಗಳಿಂದ ಮತ್ತು ಎರಡು ಅನುಗುಣವಾದ ಘಟಕ ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಪ್ರದೇಶಗಳನ್ನು ಅಕ್ಷರಗಳಿಂದ ಸೂಚಿಸಿದರೆ, ನಾವು ಬರೆಯಬಹುದು:

ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ಅನುಗುಣವಾದ ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಪ್ರದೇಶಗಳಿಗೆ ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ:

ಹೀಗೆ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ರೂಪದ ಅನುಗುಣವಾದ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳಿಂದ ಸುತ್ತುವರಿದ ಎರಡು ಪ್ರದೇಶಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ನಾವು ಪ್ರದೇಶ ಸಂಬಂಧ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಬಹುದು.

ಮತ್ತು ಮೂಲಕ ಎರಡು ಅನುಗುಣವಾದ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳಿಂದ ಸುತ್ತುವರಿದ ಪ್ರದೇಶಗಳನ್ನು ನಾವು ಸೂಚಿಸೋಣ. ನಾವು ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯನ್ನು ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಸುತ್ತುವರೆದಿರುವ ವಕ್ರರೇಖೆಗೆ ಬರೆಯೋಣ ಮತ್ತು ಈ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು S ಅಕ್ಷರದಿಂದ ಸೂಚಿಸೋಣ. ಪ್ರತಿ ಬದಿಯು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರಿದರೆ ನಾವು ಕೆತ್ತಲಾದ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಬದಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅನಂತಕ್ಕೆ ಹೆಚ್ಚಿಸುತ್ತೇವೆ, ನಂತರ ನಾವು ಪಡೆಯಲು:

ಪ್ರದೇಶಕ್ಕಾಗಿ ನಾವು ಇದೇ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ: ,

ಅಲ್ಲಿ S" ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿ S. ಸಂಪೂರ್ಣ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ (ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಗಳ ಬದಲಾವಣೆಗಳು), ಮೇಲೆ ಸಾಬೀತಾಗಿರುವ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ, ಅವುಗಳು ಹೊಂದಿರಬೇಕು:

ನಂತರ ಮಿತಿಗೆ ಹಾದುಹೋಗುವುದರಿಂದ =k ನೀಡುತ್ತದೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ,

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ದೃಷ್ಟಿಕೋನ-ಸಂಬಂಧ ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರದ ಅಸ್ಥಿರವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು.

ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ನಾವು ಸೂಚಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ರೂಪದ ಎರಡು ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳಿಂದ ಸುತ್ತುವರೆದಿರುವ ಪ್ರದೇಶಗಳು ಮತ್ತು "ಮತ್ತು" - ಅನುಗುಣವಾದ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳಿಂದ ಸುತ್ತುವರಿದ ಪ್ರದೇಶಗಳು, ನಂತರ, ಸಾಬೀತಾಗಿರುವ ಪ್ರಕಾರ, ನಾವು ಹೊಂದಿರುತ್ತೇವೆ:

ಅಥವಾ, ಅನುಪಾತದ ಮಧ್ಯದ ಪದಗಳನ್ನು ಮರುಹೊಂದಿಸುವುದು:

ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪದಗಳಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು: ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಪ್ರದೇಶಗಳ ಅನುಪಾತವು ದೃಷ್ಟಿಕೋನ-ಸಂಬಂಧ ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರದಲ್ಲಿ ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ (ಅಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ).

ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಫೈನ್ ಹೊಂದಾಣಿಕೆ

ಸಮಾನಾಂತರ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಎರಡು ವಿಮಾನಗಳ ನಡುವಿನ ದೃಷ್ಟಿಕೋನ-ಸಂಬಂಧ ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರವನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು.

ಸಮಾನಾಂತರ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣದ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಬಳಕೆಯಿಂದ ರೂಪುಗೊಂಡ ಎರಡು ವಿಮಾನಗಳ ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರವನ್ನು ನಾವು ಈಗ ಪರಿಗಣಿಸೋಣ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಡ್ರಾಯಿಂಗ್ 11 ರಲ್ಲಿ, ಪ್ಲೇನ್ w ಅನ್ನು ನೇರ ರೇಖೆಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿ ಎಲ್ ಪ್ಲೇನ್ w ಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿ ಯೋಜಿಸಲಾಗಿದೆ. " ಹೀಗಾಗಿ, w ಮತ್ತು w"" ವಿಮಾನಗಳ ನಡುವೆ ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರವನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಮೊದಲ ಸಮತಲದ A, B, C ಬಿಂದುಗಳು A"", B"", C" ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತವೆ. ಇದನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸುವುದು ಸುಲಭ. ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರವು ಸಮಾನಾಂತರ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣವಾಗಿರದೆ ಇರಬಹುದು, ಆದರೆ ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ದೃಷ್ಟಿಕೋನ-ಸಂಬಂಧ ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರದ ಅಸ್ಥಿರ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, w ಮತ್ತು w"" ವಿಮಾನಗಳ ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರವು ಸತತ ಸಮಾನಾಂತರ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಗಳ ಸರಪಳಿಯಾಗಿದೆ. ಏಕರೂಪತೆ ಮತ್ತು ಮೂರು ಬಿಂದುಗಳ ಸರಳ ಸಂಬಂಧ, ನಂತರ ಅದೇ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, w ಮತ್ತು w""" ವಿಮಾನಗಳ ನಡುವಿನ ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರವು ಸಹ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ.

ಪರ್ಸ್ಪೆಕ್ಟಿವ್-ಅಫೈನ್ ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ಇತರ ಅಸ್ಥಿರ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಬಗ್ಗೆಯೂ ಇದನ್ನು ಹೇಳಬಹುದು, ಇದು ಅನುಗುಣವಾದ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸುವ ರೇಖೆಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುವಾಗ ಮಾತ್ರ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿ ಹೊರಹೊಮ್ಮುತ್ತದೆ:

ಈ ಕಾರಣಕ್ಕಾಗಿ, ಅಂತಹ ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರವನ್ನು ದೃಷ್ಟಿಕೋನ-ಅಫೈನ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

w ಮತ್ತು w""" ವಿಮಾನಗಳ ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರವನ್ನು affine ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಾವು ಈ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗೆ ದೃಷ್ಟಿಕೋನ-ಅಫೈನ್ ರೂಪಾಂತರಗಳ ಸರಣಿಯನ್ನು (ಅಥವಾ ಸಮಾನಾಂತರ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣಗಳು) ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಬಂದಿದ್ದೇವೆ. ನಾವು ಪ್ರತಿಯೊಂದನ್ನು P, P, P ಅಕ್ಷರಗಳಿಂದ ಸೂಚಿಸಿದರೆ ಮತ್ತು A ಅಕ್ಷರದ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ರೂಪಾಂತರವು, ನಾವು ಕೆಳಗಿನ ಸಾಂಕೇತಿಕ ಸೂತ್ರದೊಂದಿಗೆ A ಫೈನ್ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು:

ಎ = ಪಿ * ಪಿ" * ಪಿ",

ಇದರಲ್ಲಿ ಬಲಭಾಗವು ದೃಷ್ಟಿಕೋನ-ಅಫೈನ್ ರೂಪಾಂತರಗಳ "ಉತ್ಪನ್ನ" ಆಗಿದೆ, ಅಂದರೆ, ಅವರ ಅನುಕ್ರಮ ಅನ್ವಯದ ಫಲಿತಾಂಶ.

ಒಂದೇ ಸಮತಲವನ್ನು ಬಿಡದೆಯೇ ಅದೇ ತರ್ಕವನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳಬಹುದು, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಸಮತಲದ ದೃಷ್ಟಿಕೋನ-ಸಂಬಂಧ ರೂಪಾಂತರಗಳ ಸರಪಳಿಯನ್ನು ಸ್ವತಃ ಪರಿಗಣಿಸಲು ಸಾಕು. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಅಕ್ಷ ಮತ್ತು ಅನುಗುಣವಾದ ಬಿಂದುಗಳ ಜೋಡಿಯಿಂದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಬಹುದು. ಆದ್ದರಿಂದ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ರೇಖಾಚಿತ್ರ 12 ರಲ್ಲಿ, ಮೊದಲ ರೂಪಾಂತರ P ಅನ್ನು xx ಅಕ್ಷ ಮತ್ತು ಜೋಡಿ (A, A") ಮೂಲಕ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ; ಎರಡನೇ P" - ಅಕ್ಷ ಮತ್ತು ಜೋಡಿ (A", A"); ಮೂರನೇ P" - x-ಆಕ್ಸಿಸ್ "x" ಮತ್ತು ಜೋಡಿ (A" "A""). ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ರೂಪಾಂತರದಲ್ಲಿ A, ಪಾಯಿಂಟ್ A "" ಪಾಯಿಂಟ್‌ಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. ಅದೇ ರೇಖಾಚಿತ್ರವು ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ಮಾಣವನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ"" , ಬಿಂದುವಿಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ.

ಸಮಾನಾಂತರ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಗಳ (ಅಥವಾ ದೃಷ್ಟಿಕೋನ-ಅಫೈನ್ ರೂಪಾಂತರಗಳು) ಸರಪಳಿಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪಡೆದ ರೂಪಾಂತರಗಳು ಮೂರು ಬಿಂದುಗಳ ಸರಳ ಸಂಬಂಧದ ಏಕರೂಪತೆ ಮತ್ತು ಸಂರಕ್ಷಣೆಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಎಂದು ಮೇಲಿನ ತೋರಿಸುತ್ತದೆ.