ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಸರಳೀಕರಿಸುವುದು ಹೇಗೆ. ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಗುರುತಿನ ರೂಪಾಂತರಗಳು

ವೀಡಿಯೊ ಪಾಠ "ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಸರಳೀಕರಣ" ಮೂಲಭೂತ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಗುರುತುಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಲ್ಲಿ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ಕೌಶಲ್ಯಗಳನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಲು ವಿನ್ಯಾಸಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ. ವೀಡಿಯೊ ಪಾಠದ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಗುರುತುಗಳ ಪ್ರಕಾರಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅವುಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಉದಾಹರಣೆಗಳು. ದೃಶ್ಯ ಸಾಧನಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದರಿಂದ, ಪಾಠದ ಉದ್ದೇಶಗಳನ್ನು ಸಾಧಿಸಲು ಶಿಕ್ಷಕರಿಗೆ ಸುಲಭವಾಗುತ್ತದೆ. ವಸ್ತುವಿನ ಎದ್ದುಕಾಣುವ ಪ್ರಸ್ತುತಿ ಪ್ರಮುಖ ಅಂಶಗಳ ಕಂಠಪಾಠಕ್ಕೆ ಕೊಡುಗೆ ನೀಡುತ್ತದೆ. ಅನಿಮೇಷನ್ ಪರಿಣಾಮಗಳು ಮತ್ತು ಧ್ವನಿ ನಟನೆಯ ಬಳಕೆಯು ವಿಷಯವನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಶಿಕ್ಷಕರನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಬದಲಾಯಿಸಲು ನಿಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಗಣಿತದ ಪಾಠಗಳಲ್ಲಿ ಈ ದೃಶ್ಯ ಸಾಧನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಶಿಕ್ಷಕರು ಬೋಧನೆಯ ಪರಿಣಾಮಕಾರಿತ್ವವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸಬಹುದು.

ವೀಡಿಯೊ ಪಾಠದ ಆರಂಭದಲ್ಲಿ, ಅದರ ವಿಷಯವನ್ನು ಘೋಷಿಸಲಾಗಿದೆ. ನಂತರ ಹಿಂದೆ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಗುರುತುಗಳನ್ನು ಮರುಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪರದೆಯು sin 2 t+cos 2 t=1, tg t=sin t/cos t, ಇಲ್ಲಿ kϵZ ಗಾಗಿ t≠π/2+πk, ctg t=cos t/sin t, t≠πk ಗೆ ಸರಿ, ಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸುತ್ತದೆ. ಅಲ್ಲಿ kϵZ, tan t · ctg t=1, t≠πk/2 ನಲ್ಲಿ, ಅಲ್ಲಿ kϵZ, ಮೂಲ ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಗುರುತುಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಅಥವಾ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಸರಳೀಕರಿಸಲು ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಲ್ಲಿ ಈ ಗುರುತುಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಗಮನಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಇದಲ್ಲದೆ, ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಲ್ಲಿ ಈ ಗುರುತುಗಳ ಅನ್ವಯದ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮೊದಲಿಗೆ, ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸುವ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಬಗ್ಗೆ ಪರಿಗಣಿಸಲು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಲಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆ 1 ರಲ್ಲಿ, cos 2 t- cos 4 t+ sin 4 t ಎಂಬ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಸರಳೀಕರಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ಕಾಸ್ 2 ಟಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂಶವನ್ನು ಮೊದಲು ಬ್ರಾಕೆಟ್ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ. ಆವರಣದಲ್ಲಿ ಅಂತಹ ರೂಪಾಂತರದ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, 1-cos 2 t ಎಂಬ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಮೂಲ ಗುರುತಿನಿಂದ ಅದರ ಮೌಲ್ಯವು ಪಾಪ 2 t ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ರೂಪಾಂತರದ ನಂತರ, ಇನ್ನೊಂದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂಶವಾದ sin 2 t ಅನ್ನು ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳಿಂದ ಹೊರತೆಗೆಯಬಹುದು ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ, ಅದರ ನಂತರ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ sin 2 t (sin 2 t + cos 2 t) ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಅದೇ ಮೂಲ ಗುರುತಿನಿಂದ, ನಾವು ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳಲ್ಲಿನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು 1 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿ ಕಳೆಯುತ್ತೇವೆ. ಸರಳೀಕರಣದ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ನಾವು cos 2 t- cos 4 t+ sin 4 t= sin 2 t ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 2 ರಲ್ಲಿ, ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ವೆಚ್ಚ/(1- ಸಿಂಟ್)+ ವೆಚ್ಚ/(1+ ಸಿಂಟ್) ಅನ್ನು ಸಹ ಸರಳಗೊಳಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ವೆಚ್ಚವು ಎರಡೂ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಅಂಶಗಳಲ್ಲಿರುವುದರಿಂದ, ಅದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂಶವಾಗಿ ಬ್ರಾಕೆಟ್ ಮಾಡಬಹುದು. ನಂತರ ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳಲ್ಲಿನ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು (1- ಸಿಂಟ್) (1+ ಸಿಂಟ್) ಗುಣಿಸುವ ಮೂಲಕ ಸಾಮಾನ್ಯ ಛೇದಕ್ಕೆ ಇಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದೇ ರೀತಿಯ ಪದಗಳ ಕಡಿತದ ನಂತರ, 2 ಅಂಶದಲ್ಲಿ ಉಳಿದಿದೆ, ಮತ್ತು 1 - ಛೇದದಲ್ಲಿ 2 t ಪಾಪ. ಪರದೆಯ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ, ಮೂಲ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಗುರುತು sin 2 t+cos 2 t=1 ಅನ್ನು ಮರುಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನಾವು ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ಛೇದವನ್ನು 2 ಟಿ. ಭಾಗವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಿದ ನಂತರ, ನಾವು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ವೆಚ್ಚ / (1- ಸಿಂಟ್) + ವೆಚ್ಚ / (1 + ಸಿಂಟ್) \u003d 2 / ವೆಚ್ಚದ ಸರಳೀಕೃತ ರೂಪವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಮುಂದೆ, ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಮೂಲ ಗುರುತುಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಸ್ವಾಧೀನಪಡಿಸಿಕೊಂಡ ಜ್ಞಾನವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವ ಗುರುತನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನಾವು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ. ಉದಾಹರಣೆ 3 ರಲ್ಲಿ, ಗುರುತನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ (tg 2 t-sin 2 t)·ctg 2 t=sin 2 t. ಪರದೆಯ ಬಲಭಾಗವು ಪುರಾವೆಗಾಗಿ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಮೂರು ಗುರುತುಗಳನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸುತ್ತದೆ - tg t ctg t=1, ctg t=cos t/sin t ಮತ್ತು tg t=sin t/cos t ನಿರ್ಬಂಧಗಳೊಂದಿಗೆ. ಗುರುತನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು, ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳನ್ನು ಮೊದಲು ತೆರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅದರ ನಂತರ ಮುಖ್ಯ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಗುರುತಿನ tg t·ctg t=1 ನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಪ್ರತಿಬಿಂಬಿಸುವ ಉತ್ಪನ್ನವು ರೂಪುಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ನಂತರ, ಕೋಟಾಂಜೆಂಟ್ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ಗುರುತಿನ ಪ್ರಕಾರ, ctg 2 t ರೂಪಾಂತರಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ರೂಪಾಂತರಗಳ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ 1-ಕಾಸ್ 2 ಟಿ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮೂಲ ಗುರುತನ್ನು ಬಳಸಿ, ನಾವು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಹೀಗಾಗಿ, (tg 2 t-sin 2 t)·ctg 2 t=sin 2 t ಎಂದು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 4 ರಲ್ಲಿ, ನೀವು tg t+ctg t=6 ಆಗಿದ್ದರೆ tg 2 t+ctg 2 t ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಲು, ಸಮೀಕರಣದ ಬಲ ಮತ್ತು ಎಡ ಬದಿಗಳು (tg t+ctg t) 2 =6 2 ಅನ್ನು ಮೊದಲು ವರ್ಗೀಕರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ಗುಣಾಕಾರ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪರದೆಯ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ಪ್ರದರ್ಶಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳನ್ನು ತೆರೆದ ನಂತರ, ಮೊತ್ತ tg 2 t+2 tg t ctg t+ctg 2 t ರಚನೆಯಾಗುತ್ತದೆ, ಅದರ ರೂಪಾಂತರಕ್ಕಾಗಿ tg t ctg t=1 ಎಂಬ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಗುರುತುಗಳನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು, ಅದರ ರೂಪವನ್ನು ಪರದೆಯ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ಮರುಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ರೂಪಾಂತರದ ನಂತರ, ಸಮಾನತೆ tg 2 t+ctg 2 t=34 ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಮಾನತೆಯ ಎಡಭಾಗವು ಸಮಸ್ಯೆಯ ಸ್ಥಿತಿಯೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಉತ್ತರವು 34. ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲಾಗಿದೆ.

"ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸುವುದು" ಎಂಬ ವೀಡಿಯೊ ಪಾಠವನ್ನು ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕ ಶಾಲಾ ಗಣಿತ ಪಾಠದಲ್ಲಿ ಬಳಸಲು ಶಿಫಾರಸು ಮಾಡಲಾಗಿದೆ. ಅಲ್ಲದೆ, ದೂರಶಿಕ್ಷಣವನ್ನು ಒದಗಿಸುವ ಶಿಕ್ಷಕರಿಗೆ ವಸ್ತುವು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಲ್ಲಿ ಕೌಶಲ್ಯವನ್ನು ರೂಪಿಸುವ ಸಲುವಾಗಿ.

ಪಠ್ಯದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ:

"ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಸರಳೀಕರಣ".

ಸಮಾನತೆ

1)ಸಿನ್ 2 ಟಿ + ಕಾಸ್ 2 ಟಿ = 1 (ಸೈನ್ ಸ್ಕ್ವೇರ್ಡ್ ಟೆ ಪ್ಲಸ್ ಕೊಸೈನ್ ಸ್ಕ್ವೇರ್ಡ್ ಟೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ)

2) tgt =, t ≠ + πk ನಲ್ಲಿ, kϵZ (te ನ ಸ್ಪರ್ಶಕವು te ಯ ಸೈನ ಅನುಪಾತಕ್ಕೆ te ಯ ಕೊಸೈನ್ ಅನುಪಾತಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, te ಎರಡು ಪ್ಲಸ್ pi ka, ka zet ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ)

3) ctgt = , t ≠ πk ನಲ್ಲಿ, kϵZ (te ಯ ಕೋಟಾಂಜೆಂಟ್ te ನ ಕೊಸೈನ್‌ನ ಅನುಪಾತಕ್ಕೆ te ಯ ಸೈನ್‌ನ ಅನುಪಾತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಇದು z ಗೆ ಸೇರಿರುವ ka ದ ಶಿಖರಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ).

4)tgt ∙ ctgt = 1 t ≠ , kϵZ

ಮೂಲಭೂತ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಗುರುತುಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅವುಗಳನ್ನು ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸುವ ಮತ್ತು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಸರಳೀಕರಿಸುವಾಗ ಈ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸುವ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ.

ಉದಾಹರಣೆ 1. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸಿ: cos 2 t - cos 4 t + sin 4 t. (ಎಕ್ಸ್‌ಪ್ರೆಶನ್ ಎ ಕೊಸೈನ್ ಸ್ಕ್ವೇರ್ಡ್ ಟೆ ಮೈನಸ್ ಕೊಸೈನ್ ಆಫ್ ದಿ ನಾಲ್ಕನೇ ಡಿಗ್ರಿ ಆಫ್ ಟೆ ಪ್ಲಸ್ ಸೈನ್ ಆಫ್ ಟೆ ನಾಲ್ಕನೇ ಡಿಗ್ರಿ).

ನಿರ್ಧಾರ. cos 2 t - cos 4 t + sin 4 t = cos 2 t· (1 - cos 2 t) + sin 4 t = cos 2 t ∙ sin 2 t + sin 4 t = sin 2 t (cos 2 t + sin 2 t) = ಪಾಪ 2 ಟಿ 1 = ಪಾಪ 2 ಟಿ

(ನಾವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂಶ ಕೊಸೈನ್ ಸ್ಕ್ವೇರ್ te ಅನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯುತ್ತೇವೆ, ಆವರಣಗಳಲ್ಲಿ ನಾವು ಏಕತೆ ಮತ್ತು ಕೊಸೈನ್ ಟೆಯ ವರ್ಗದ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಇದು ಮೊದಲ ಗುರುತಿನ ಮೂಲಕ ಸೈನ್ ಟೆಯ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನಾವು ನಾಲ್ಕನೆಯ ಸೈನ್‌ನ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ಕೊಸೈನ್ ಸ್ಕ್ವೇರ್ te ಮತ್ತು ಸೈನ್ ಸ್ಕ್ವೇರ್ te ಉತ್ಪನ್ನದ ಡಿಗ್ರಿ te. ನಾವು ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳ ಹೊರಗಿನ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂಶ ಸೈನ್ ಸ್ಕ್ವೇರ್ te ಅನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯುತ್ತೇವೆ, ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ನಾವು ಕೊಸೈನ್ ಮತ್ತು ಸೈನ್‌ನ ವರ್ಗಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಇದು ಮೂಲ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಪ್ರಕಾರ ಗುರುತು, 1 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ನಾವು ಸೈನ್ ಟೆ ಯ ವರ್ಗವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ).

ಉದಾಹರಣೆ 2. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸಿ: + .

(ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯು ಛೇದದ ಮೊದಲ ಕೊಸೈನ್ ಟೆಯ ಅಂಶದಲ್ಲಿನ ಎರಡು ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ.

(ನಾವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂಶವಾದ ಕೊಸೈನ್ ಟೆ ಅನ್ನು ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳಿಂದ ಹೊರತೆಗೆಯುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ನಾವು ಅದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಛೇದಕ್ಕೆ ತರುತ್ತೇವೆ, ಇದು ಒಂದು ಮೈನಸ್ ಸೈನ್ ಟೆಯಿಂದ ಒಂದು ಪ್ಲಸ್ ಸೈನ್ ಟೆಯ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ.

ನಾವು ಪಡೆಯುವ ಅಂಶಗಳಲ್ಲಿ: ಒನ್ ಪ್ಲಸ್ ಸೈನ್ ಟೆ ಪ್ಲಸ್ ಒನ್ ಮೈನಸ್ ಸೈನ್ ಟೆ, ನಾವು ಸಮಾನವಾದವುಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತೇವೆ, ಸಮಾನವಾದವುಗಳನ್ನು ತಂದ ನಂತರ ಅಂಶವು ಎರಡಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಛೇದದಲ್ಲಿ, ನೀವು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ಗುಣಾಕಾರ ಸೂತ್ರವನ್ನು (ಚೌಕಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸ) ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಸೈನ್ ಟೆಯ ಘಟಕ ಮತ್ತು ಚೌಕದ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು, ಇದು ಮೂಲ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಗುರುತಿನ ಪ್ರಕಾರ

ಕೊಸೈನ್ ಟೆಯ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಕೊಸೈನ್ ಟೆಯಿಂದ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಿದ ನಂತರ, ನಾವು ಅಂತಿಮ ಉತ್ತರವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: ಎರಡು ಕೊಸೈನ್ ಟೆಯಿಂದ ಭಾಗಿಸಲಾಗಿದೆ).

ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಪುರಾವೆಯಲ್ಲಿ ಈ ಸೂತ್ರಗಳ ಬಳಕೆಯ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ.

ಉದಾಹರಣೆ 3. ಗುರುತನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ (tg 2 t - sin 2 t) ∙ ctg 2 t \u003d sin 2 t (te ಮತ್ತು te ನ ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್‌ನ ವರ್ಗಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಉತ್ಪನ್ನ ಮತ್ತು ಕೋಟಾಂಜೆಂಟ್‌ನ ವರ್ಗ te ಎಂಬುದು te ನ ಸೈನ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ).

ಪುರಾವೆ.

ಸಮಾನತೆಯ ಎಡಭಾಗವನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸೋಣ:

(tg 2 t - sin 2 t) ∙ ctg 2 t = tg 2 t ∙ ctg 2 t - sin 2 t ∙ ctg 2 t = 1 - sin 2 t ∙ ctg 2 t =1 - sin 2 t ∙ = 1 - cos 2 ಟಿ = ಪಾಪ 2 ಟಿ

(ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳನ್ನು ತೆರೆಯೋಣ, ಹಿಂದೆ ಪಡೆದ ಸಂಬಂಧದಿಂದ te ಯ ಕೋಟಾಂಜೆಂಟ್‌ನಿಂದ te ಆಫ್ ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್‌ನ ವರ್ಗಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವು ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ತಿಳಿದುಬಂದಿದೆ. te ಯ ಕೋಟಾಂಜೆಂಟ್ ಕೊಸೈನ್‌ನ ಅನುಪಾತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ te ಯ ಸೈನ್ ಗೆ te, ಅಂದರೆ ಕೋಟಾಂಜೆಂಟ್ ನ ವರ್ಗವು te ನ ಕೊಸೈನ್ ನ ವರ್ಗದ ಅನುಪಾತವು te ನ ಸೈನ್ ವರ್ಗಕ್ಕೆ.

te ನ ಸೈನ್ ಸ್ಕ್ವೇರ್‌ನಿಂದ ಕಡಿತಗೊಳಿಸಿದ ನಂತರ, ನಾವು ಏಕತೆ ಮತ್ತು te ಯ ವರ್ಗದ ಕೊಸೈನ್ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಇದು te ನ ವರ್ಗದ ಸೈನ್‌ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ). ಕ್ಯೂ.ಇ.ಡಿ.

ಉದಾಹರಣೆ 4. tgt + ctgt = 6 ಆಗಿದ್ದರೆ tg 2 t + ctg 2 t ಎಂಬ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

(ಸ್ಪರ್ಶ ಮತ್ತು ಕೋಟಾಂಜೆಂಟ್‌ನ ಮೊತ್ತವು ಆರು ಆಗಿದ್ದರೆ, te ಮತ್ತು te ನ ಕೋಟಾಂಜೆಂಟ್‌ನ ವರ್ಗಗಳ ಮೊತ್ತ).

ನಿರ್ಧಾರ. (tgt + ctgt) 2 = 6 2

tg 2 t + 2 ∙ tgt ∙ctgt + ctg 2 t = 36

tg 2 t + 2 + ctg 2 t = 36

tg 2 t + ctg 2 t = 36-2

tg 2 t + ctg 2 t = 34

ಮೂಲ ಸಮಾನತೆಯ ಎರಡೂ ಭಾಗಗಳನ್ನು ವರ್ಗ ಮಾಡೋಣ:

(tgt + ctgt) 2 = 6 2 (te ಮತ್ತು te ನ ಕೋಟಾಂಜೆಂಟ್‌ನ ಒಟ್ಟು ಮೊತ್ತದ ವರ್ಗವು ಆರು ವರ್ಗವಾಗಿದೆ). ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ಗುಣಾಕಾರ ಸೂತ್ರವನ್ನು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ: ಎರಡು ಪ್ರಮಾಣಗಳ ಮೊತ್ತದ ವರ್ಗವು ಮೊದಲನೆಯ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದು ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯ ವರ್ಗದ ಎರಡು ಪಟ್ಟು. (a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 ನಾವು tg 2 t + 2 ∙ tgt ∙ctgt + ctg 2 t = 36 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

Te ಯ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಮತ್ತು te ಯ ಕೋಟಾಂಜೆಂಟ್‌ನ ಗುಣಲಬ್ಧವು ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ನಂತರ tg 2 t + 2 + ctg 2 t \u003d 36 (te ಮತ್ತು te ಮತ್ತು ಎರಡರ ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್‌ನ ವರ್ಗಗಳ ಮೊತ್ತ ಮೂವತ್ತಾರು),

ವಿಭಾಗಗಳು: ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರ

ವರ್ಗ: 11

ಪಾಠ 1

ಥೀಮ್: ಗ್ರೇಡ್ 11 (ಪರೀಕ್ಷೆಗೆ ತಯಾರಿ)

ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಸರಳೀಕರಣ.

ಸರಳವಾದ ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಪರಿಹಾರ. (2 ಗಂಟೆಗಳು)

ಗುರಿಗಳು:

ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸೂತ್ರಗಳ ಬಳಕೆ ಮತ್ತು ಸರಳವಾದ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಪರಿಹಾರಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ಜ್ಞಾನ ಮತ್ತು ಕೌಶಲ್ಯಗಳನ್ನು ವ್ಯವಸ್ಥಿತಗೊಳಿಸಿ, ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿ, ವಿಸ್ತರಿಸಿ.

ಪಾಠಕ್ಕೆ ಸಲಕರಣೆಗಳು:

ಪಾಠ ರಚನೆ:

ಆರ್ಗ್ಮೊಮೆಂಟ್
ಲ್ಯಾಪ್‌ಟಾಪ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಪರೀಕ್ಷೆ. ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಚರ್ಚೆ.
ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸುವುದು
ಸರಳವಾದ ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಪರಿಹಾರ
ಸ್ವತಂತ್ರ ಕೆಲಸ.
ಪಾಠದ ಸಾರಾಂಶ. ಮನೆಕೆಲಸದ ವಿವರಣೆ.

1. ಸಂಘಟನೆಯ ಕ್ಷಣ. (2 ನಿಮಿಷಗಳು.)

ಶಿಕ್ಷಕರು ಪ್ರೇಕ್ಷಕರನ್ನು ಸ್ವಾಗತಿಸುತ್ತಾರೆ, ಪಾಠದ ವಿಷಯವನ್ನು ಪ್ರಕಟಿಸುತ್ತಾರೆ, ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸಲು ಈ ಹಿಂದೆ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿತ್ತು ಎಂದು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ ಮತ್ತು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳನ್ನು ಪರೀಕ್ಷೆಗೆ ಹೊಂದಿಸುತ್ತಾರೆ.

2. ಪರೀಕ್ಷೆ. (15ನಿಮಿ + 3ನಿಮಿಷ ಚರ್ಚೆ)

ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸೂತ್ರಗಳ ಜ್ಞಾನ ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವ ಸಾಮರ್ಥ್ಯವನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸುವುದು ಗುರಿಯಾಗಿದೆ. ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯು ತನ್ನ ಮೇಜಿನ ಮೇಲೆ ಲ್ಯಾಪ್‌ಟಾಪ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದು ಅದರಲ್ಲಿ ಪರೀಕ್ಷಾ ಆಯ್ಕೆ ಇರುತ್ತದೆ.

ಯಾವುದೇ ಆಯ್ಕೆಗಳಿರಬಹುದು, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ನಾನು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿ ನೀಡುತ್ತೇನೆ:

ನಾನು ಆಯ್ಕೆ.

ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸಿ:

a) ಮೂಲ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಗುರುತುಗಳು

1. ಪಾಪ 2 3y + cos 2 3y + 1;

ಬಿ) ಸೇರ್ಪಡೆ ಸೂತ್ರಗಳು

3. sin5x - sin3x;

ಸಿ) ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತಿಸುವುದು

6. 2sin8y cos3y;

ಡಿ) ಡಬಲ್ ಕೋನ ಸೂತ್ರಗಳು

7.2sin5x cos5x;

ಇ) ಅರ್ಧ ಕೋನ ಸೂತ್ರಗಳು

ಎಫ್) ಟ್ರಿಪಲ್ ಕೋನ ಸೂತ್ರಗಳು

g) ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಪರ್ಯಾಯ

h) ಪದವಿಯನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವುದು

16. ಕಾಸ್ 2 (3x/7);

ಪ್ರತಿ ಸೂತ್ರದ ಮುಂದೆ ಲ್ಯಾಪ್‌ಟಾಪ್‌ನಲ್ಲಿ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ತಮ್ಮ ಉತ್ತರಗಳನ್ನು ನೋಡುತ್ತಾರೆ.

ಕೆಲಸವನ್ನು ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ನಿಂದ ತಕ್ಷಣವೇ ಪರಿಶೀಲಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಎಲ್ಲರಿಗೂ ನೋಡಲು ದೊಡ್ಡ ಪರದೆಯ ಮೇಲೆ ಪ್ರದರ್ಶಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಅಲ್ಲದೆ, ಕೆಲಸದ ಅಂತ್ಯದ ನಂತರ, ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ಲ್ಯಾಪ್ಟಾಪ್ಗಳಲ್ಲಿ ಸರಿಯಾದ ಉತ್ತರಗಳನ್ನು ತೋರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯು ಎಲ್ಲಿ ತಪ್ಪು ಮಾಡಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ ಮತ್ತು ಯಾವ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸಬೇಕು ಎಂದು ನೋಡುತ್ತಾನೆ.

3. ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಸರಳೀಕರಣ. (25 ನಿಮಿಷ)

ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಮೂಲ ಸೂತ್ರಗಳ ಅನ್ವಯವನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸುವುದು, ಕೆಲಸ ಮಾಡುವುದು ಮತ್ತು ಏಕೀಕರಿಸುವುದು ಗುರಿಯಾಗಿದೆ. ಪರೀಕ್ಷೆಯಿಂದ B7 ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು.

ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ, ವರ್ಗವನ್ನು ಬಲವಾದ ಗುಂಪುಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಲು ಸಲಹೆ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ (ನಂತರದ ಪರಿಶೀಲನೆಯೊಂದಿಗೆ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಕೆಲಸ ಮಾಡಿ) ಮತ್ತು ಶಿಕ್ಷಕರೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡುವ ದುರ್ಬಲ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು.

ಬಲವಾದ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ನಿಯೋಜನೆ (ಮುದ್ರಿತ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಮುಂಚಿತವಾಗಿ ತಯಾರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ). USE 2011 ರ ಪ್ರಕಾರ ಕಡಿತ ಮತ್ತು ಡಬಲ್ ಕೋನ ಸೂತ್ರಗಳ ಮೇಲೆ ಮುಖ್ಯ ಒತ್ತು ನೀಡಲಾಗಿದೆ.

ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸಿ (ಬಲವಾದ ಕಲಿಯುವವರಿಗೆ):

ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿ, ಶಿಕ್ಷಕರು ದುರ್ಬಲ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡುತ್ತಾರೆ, ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ನಿರ್ದೇಶನದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಪರದೆಯ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಚರ್ಚಿಸುತ್ತಾರೆ ಮತ್ತು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತಾರೆ.

ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ:

5) sin(270º - α) + cos(270º + α)

ಸರಳಗೊಳಿಸುವ:

ಬಲವಾದ ಗುಂಪಿನ ಕೆಲಸದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಚರ್ಚಿಸುವ ಸರದಿ ಇದು.

ಉತ್ತರಗಳು ಪರದೆಯ ಮೇಲೆ ಗೋಚರಿಸುತ್ತವೆ, ಮತ್ತು ವೀಡಿಯೊ ಕ್ಯಾಮೆರಾದ ಸಹಾಯದಿಂದ, 5 ವಿಭಿನ್ನ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ಕೆಲಸವನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ (ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ ಒಂದು ಕಾರ್ಯ).

ದುರ್ಬಲ ಗುಂಪು ಪರಿಸ್ಥಿತಿ ಮತ್ತು ಪರಿಹಾರ ವಿಧಾನವನ್ನು ನೋಡುತ್ತದೆ. ಚರ್ಚೆ ಮತ್ತು ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಇದೆ. ತಾಂತ್ರಿಕ ವಿಧಾನಗಳ ಬಳಕೆಯೊಂದಿಗೆ, ಇದು ತ್ವರಿತವಾಗಿ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ.

4. ಸರಳವಾದ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಪರಿಹಾರ. (30 ನಿಮಿಷಗಳು.)

ಸರಳವಾದ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸುವುದು, ವ್ಯವಸ್ಥಿತಗೊಳಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸುವುದು, ಅವುಗಳ ಬೇರುಗಳನ್ನು ದಾಖಲಿಸುವುದು ಗುರಿಯಾಗಿದೆ. ಸಮಸ್ಯೆಯ ಪರಿಹಾರ B3.

ಯಾವುದೇ ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಸಮೀಕರಣ, ನಾವು ಅದನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸುತ್ತೇವೆ ಎಂಬುದರ ಹೊರತಾಗಿಯೂ, ಸರಳವಾದವುಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ.

ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುವಾಗ, ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪ್ರಕರಣಗಳ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪವನ್ನು ಬರೆಯಲು ಮತ್ತು ಕೊನೆಯ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಬೇರುಗಳ ಆಯ್ಕೆಗೆ ಗಮನ ಕೊಡಬೇಕು.

ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ:

ಉತ್ತರದ ಚಿಕ್ಕ ಧನಾತ್ಮಕ ಮೂಲವನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

5. ಸ್ವತಂತ್ರ ಕೆಲಸ (10 ನಿಮಿಷ.)

ಸ್ವಾಧೀನಪಡಿಸಿಕೊಂಡ ಕೌಶಲ್ಯಗಳನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸುವುದು, ಸಮಸ್ಯೆಗಳು, ದೋಷಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕಲು ಮಾರ್ಗಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸುವುದು ಗುರಿಯಾಗಿದೆ.

ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯ ಆಯ್ಕೆಯಲ್ಲಿ ವಿವಿಧ ಕೆಲಸಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ.

"3" ಗಾಗಿ ಆಯ್ಕೆ

1) ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ

2) ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ 1 - ಪಾಪ 2 3α - cos 2 3α ಅನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸಿ

3) ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ

"4" ಗಾಗಿ ಆಯ್ಕೆ

1) ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ

2) ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ ನಿಮ್ಮ ಉತ್ತರದ ಸಣ್ಣ ಧನಾತ್ಮಕ ಮೂಲವನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

"5" ಗಾಗಿ ಆಯ್ಕೆ

1) ವೇಳೆ tgα ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ

2) ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲವನ್ನು ಹುಡುಕಿ ನಿಮ್ಮ ಉತ್ತರದ ಸಣ್ಣ ಧನಾತ್ಮಕ ಮೂಲವನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

6. ಪಾಠದ ಸಾರಾಂಶ (5 ನಿ.)

ಸರಳವಾದ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಪರಿಹಾರವಾದ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಮತ್ತು ಕ್ರೋಢೀಕರಿಸಿದ ಪಾಠವನ್ನು ಶಿಕ್ಷಕರು ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸುತ್ತಾರೆ.

ಮುಂದಿನ ಪಾಠದಲ್ಲಿ ಸ್ಪಾಟ್ ಚೆಕ್‌ನೊಂದಿಗೆ ಹೋಮ್‌ವರ್ಕ್ ಅನ್ನು ನಿಗದಿಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ (ಮುಂಚಿತವಾಗಿ ಮುದ್ರಿತ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ತಯಾರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ).

ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ:

10) ನಿಮ್ಮ ಉತ್ತರವನ್ನು ಚಿಕ್ಕ ಧನಾತ್ಮಕ ಮೂಲವಾಗಿ ನೀಡಿ.

ಪಾಠ 2

ಥೀಮ್: ಗ್ರೇಡ್ 11 (ಪರೀಕ್ಷೆಗೆ ತಯಾರಿ)

ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ವಿಧಾನಗಳು. ರೂಟ್ ಆಯ್ಕೆ. (2 ಗಂಟೆಗಳು)

ಗುರಿಗಳು:

ವಿವಿಧ ಪ್ರಕಾರಗಳ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಜ್ಞಾನವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿ ಮತ್ತು ವ್ಯವಸ್ಥಿತಗೊಳಿಸಿ.
ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ಗಣಿತದ ಚಿಂತನೆಯ ಬೆಳವಣಿಗೆಯನ್ನು ಉತ್ತೇಜಿಸಲು, ವೀಕ್ಷಿಸುವ, ಹೋಲಿಸುವ, ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸುವ, ವರ್ಗೀಕರಿಸುವ ಸಾಮರ್ಥ್ಯ.
ಮಾನಸಿಕ ಚಟುವಟಿಕೆಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ ತೊಂದರೆಗಳನ್ನು ನಿವಾರಿಸಲು, ಸ್ವಯಂ ನಿಯಂತ್ರಣಕ್ಕೆ, ಅವರ ಚಟುವಟಿಕೆಗಳ ಆತ್ಮಾವಲೋಕನಕ್ಕೆ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳನ್ನು ಪ್ರೋತ್ಸಾಹಿಸಿ.

ಪಾಠಕ್ಕೆ ಸಲಕರಣೆಗಳು:ಕೆಆರ್‌ಎಂಯು, ಪ್ರತಿ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗೆ ಲ್ಯಾಪ್‌ಟಾಪ್.

ಪಾಠ ರಚನೆ:

ಆರ್ಗ್ಮೊಮೆಂಟ್
ಚರ್ಚೆ d/s ಮತ್ತು samot. ಕೊನೆಯ ಪಾಠದ ಕೆಲಸ
ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ವಿಧಾನಗಳ ಪುನರಾವರ್ತನೆ.
ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು
ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ಬೇರುಗಳ ಆಯ್ಕೆ.
ಸ್ವತಂತ್ರ ಕೆಲಸ.
ಪಾಠದ ಸಾರಾಂಶ. ಮನೆಕೆಲಸ.

1. ಸಂಘಟಿಸುವ ಕ್ಷಣ (2 ನಿಮಿಷ.)

ಶಿಕ್ಷಕರು ಪ್ರೇಕ್ಷಕರನ್ನು ಸ್ವಾಗತಿಸುತ್ತಾರೆ, ಪಾಠದ ವಿಷಯ ಮತ್ತು ಕೆಲಸದ ಯೋಜನೆಯನ್ನು ಪ್ರಕಟಿಸುತ್ತಾರೆ.

2. a) ಮನೆಕೆಲಸದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ (5 ನಿಮಿಷ.)

ಕಾರ್ಯಕ್ಷಮತೆಯನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸುವುದು ಗುರಿಯಾಗಿದೆ. ವೀಡಿಯೊ ಕ್ಯಾಮೆರಾದ ಸಹಾಯದಿಂದ ಒಂದು ಕೆಲಸವನ್ನು ಪರದೆಯ ಮೇಲೆ ಪ್ರದರ್ಶಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಉಳಿದವುಗಳನ್ನು ಶಿಕ್ಷಕರಿಗೆ ಪರಿಶೀಲಿಸಲು ಆಯ್ದವಾಗಿ ಸಂಗ್ರಹಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಬಿ) ಸ್ವತಂತ್ರ ಕೆಲಸದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ (3 ನಿಮಿಷ.)

ತಪ್ಪುಗಳನ್ನು ವಿಂಗಡಿಸುವುದು, ಅವುಗಳನ್ನು ಜಯಿಸಲು ಮಾರ್ಗಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುವುದು ಗುರಿಯಾಗಿದೆ.

ಪರದೆಯ ಮೇಲೆ ಉತ್ತರಗಳು ಮತ್ತು ಪರಿಹಾರಗಳಿವೆ, ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ತಮ್ಮ ಕೆಲಸವನ್ನು ಮೊದಲೇ ನೀಡಿದ್ದಾರೆ. ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ವೇಗವಾಗಿ ನಡೆಯುತ್ತಿದೆ.

3. ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ವಿಧಾನಗಳ ಪುನರಾವರ್ತನೆ (5 ನಿಮಿಷಗಳು)

ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಮರುಪಡೆಯುವುದು ಗುರಿಯಾಗಿದೆ.

ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ತಿಳಿದಿರುವ ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಕೇಳಿ. ಮೂಲಭೂತ (ಆಗಾಗ್ಗೆ ಬಳಸುವ) ವಿಧಾನಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತವೆ ಎಂದು ಒತ್ತಿಹೇಳುತ್ತದೆ:

ವೇರಿಯಬಲ್ ಪರ್ಯಾಯ,
ಅಪವರ್ತನ,
ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣಗಳು,

ಮತ್ತು ಅನ್ವಯಿಕ ವಿಧಾನಗಳಿವೆ:

ಮೊತ್ತವನ್ನು ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಮತ್ತು ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತಿಸುವ ಸೂತ್ರಗಳ ಪ್ರಕಾರ,
ಕಡಿತ ಸೂತ್ರಗಳ ಮೂಲಕ,
ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಪರ್ಯಾಯ
ಸಹಾಯಕ ಕೋನದ ಪರಿಚಯ,
ಕೆಲವು ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕ್ರಿಯೆಯಿಂದ ಗುಣಾಕಾರ.

ಒಂದು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ವಿಭಿನ್ನ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ಸಹ ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು.

4. ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು (30 ನಿಮಿಷ.)

ಈ ವಿಷಯದ ಕುರಿತು ಜ್ಞಾನ ಮತ್ತು ಕೌಶಲ್ಯಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಕ್ರೋಢೀಕರಿಸುವುದು, USE ನಿಂದ C1 ಅನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ತಯಾರಿ ಮಾಡುವುದು ಗುರಿಯಾಗಿದೆ.

ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಪ್ರತಿ ವಿಧಾನಕ್ಕೂ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು ಸೂಕ್ತವೆಂದು ನಾನು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇನೆ.

ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯು ಪರಿಹಾರವನ್ನು ನಿರ್ದೇಶಿಸುತ್ತಾನೆ, ಶಿಕ್ಷಕರು ಟ್ಯಾಬ್ಲೆಟ್ನಲ್ಲಿ ಬರೆಯುತ್ತಾರೆ, ಇಡೀ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಪರದೆಯ ಮೇಲೆ ಪ್ರದರ್ಶಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಿಮ್ಮ ಸ್ಮರಣೆಯಲ್ಲಿ ಹಿಂದೆ ಮುಚ್ಚಿದ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ತ್ವರಿತವಾಗಿ ಮತ್ತು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾಗಿ ಪುನಃಸ್ಥಾಪಿಸಲು ಇದು ನಿಮ್ಮನ್ನು ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ.

ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ:

1) ವೇರಿಯಬಲ್ ಬದಲಾವಣೆ 6cos 2 x + 5sinx - 7 = 0

2) ಅಪವರ್ತನ 3cos(x/3) + 4cos 2 (x/3) = 0

3) ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣಗಳು sin 2 x + 3cos 2 x - 2sin2x = 0

4) ಮೊತ್ತವನ್ನು ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತಿಸುವುದು cos5x + cos7x = cos(π + 6x)

5) ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಮೊತ್ತ 2sinx sin2x + cos3x = 0 ಗೆ ಪರಿವರ್ತಿಸುವುದು

6) sin2x ಮಟ್ಟವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವುದು - sin 2 2x + sin 2 3x \u003d 0.5

7) ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಪರ್ಯಾಯ ಸಿಂಕ್ಸ್ + 5ಕೋಸ್‌ಎಕ್ಸ್ + 5 = 0.

ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, ಈ ವಿಧಾನದ ಬಳಕೆಯು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್‌ನ ಕಿರಿದಾಗುವಿಕೆಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಗಮನಿಸಬೇಕು, ಏಕೆಂದರೆ ಸೈನ್ ಮತ್ತು ಕೊಸೈನ್ ಅನ್ನು tg(x/2) ನಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಉತ್ತರವನ್ನು ಬರೆಯುವ ಮೊದಲು, π + 2πn, n Z ಸೆಟ್‌ನಿಂದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಈ ಸಮೀಕರಣದ ಕುದುರೆಗಳಾಗಿವೆಯೇ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ.

8) ಸಹಾಯಕ ಕೋನ √3sinx + cosx - √2 = 0 ಪರಿಚಯ

9) ಕೆಲವು ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕ್ರಿಯೆಯಿಂದ ಗುಣಾಕಾರ cosx cos2x cos4x = 1/8.

5. ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಬೇರುಗಳ ಆಯ್ಕೆ (20 ನಿಮಿಷ.)

ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾನಿಲಯಗಳಿಗೆ ಪ್ರವೇಶಿಸುವಾಗ ತೀವ್ರ ಸ್ಪರ್ಧೆಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿ, ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಒಂದು ಮೊದಲ ಭಾಗದ ಪರಿಹಾರವು ಸಾಕಾಗುವುದಿಲ್ಲವಾದ್ದರಿಂದ, ಹೆಚ್ಚಿನ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಎರಡನೇ ಭಾಗದ (C1, C2, C3) ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ಗಮನ ಕೊಡಬೇಕು.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಪಾಠದ ಈ ಹಂತದ ಉದ್ದೇಶವು ಹಿಂದೆ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳುವುದು, 2011 ರಲ್ಲಿ USE ನಿಂದ C1 ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ತಯಾರಿ ಮಾಡುವುದು.

ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳಿವೆ, ಅದರಲ್ಲಿ ಉತ್ತರವನ್ನು ಬರೆಯುವಾಗ ನೀವು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಆರಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಕೆಲವು ನಿರ್ಬಂಧಗಳಿಂದಾಗಿ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ: ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ಛೇದವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ, ಸಮ ಪದವಿಯ ಮೂಲದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲ, ಲಾಗರಿಥಮ್ನ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಇತ್ಯಾದಿ.

ಅಂತಹ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿದ ಸಂಕೀರ್ಣತೆಯ ಸಮೀಕರಣಗಳೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು USE ಆವೃತ್ತಿಯಲ್ಲಿ ಅವು ಎರಡನೇ ಭಾಗದಲ್ಲಿವೆ, ಅವುಗಳೆಂದರೆ C1.

ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ:

ಹಾಗಿದ್ದಲ್ಲಿ ಭಾಗವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಯುನಿಟ್ ಸರ್ಕಲ್ ಬಳಸಿ, ನಾವು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ (ಚಿತ್ರ 1 ನೋಡಿ)

ಚಿತ್ರ 1.

ನಾವು x = π + 2πn, n Z ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

ಉತ್ತರ: π + 2πn, n Z

ಪರದೆಯ ಮೇಲೆ, ಬೇರುಗಳ ಆಯ್ಕೆಯನ್ನು ಬಣ್ಣದ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ವೃತ್ತದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಅಂಶವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದಾಗ ಉತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಆರ್ಕ್ ಅದರ ಅರ್ಥವನ್ನು ಕಳೆದುಕೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ. ನಂತರ

ಘಟಕ ವೃತ್ತವನ್ನು ಬಳಸಿ, ಬೇರುಗಳನ್ನು ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿ (ಚಿತ್ರ 2 ನೋಡಿ)

ಚಿತ್ರ 2.

ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಹೋಗೋಣ:

ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಬದಲಾವಣೆ ಲಾಗ್ 2 (ಸಿನ್ಕ್ಸ್) = y ಅನ್ನು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ, ನಂತರ ನಾವು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ , ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಹಿಂತಿರುಗಿ

ಯುನಿಟ್ ಸರ್ಕಲ್ ಬಳಸಿ, ನಾವು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ (ಚಿತ್ರ 5 ನೋಡಿ),

ಚಿತ್ರ 5

6. ಸ್ವತಂತ್ರ ಕೆಲಸ (15 ನಿಮಿಷ.)

ವಸ್ತುವಿನ ಸಂಯೋಜನೆಯನ್ನು ಕ್ರೋಢೀಕರಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಪರಿಶೀಲಿಸುವುದು, ದೋಷಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಸರಿಪಡಿಸುವ ಮಾರ್ಗಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸುವುದು ಗುರಿಯಾಗಿದೆ.

ಕೆಲಸವನ್ನು ಮೂರು ಆವೃತ್ತಿಗಳಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ಆಯ್ಕೆಯಲ್ಲಿ ಮುದ್ರಿತ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಮುಂಚಿತವಾಗಿ ತಯಾರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಯಾವುದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು.

"3" ಗಾಗಿ ಆಯ್ಕೆ

ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ:

1) 2sin 2 x + sinx - 1 = 0

2) sin2x = √3cosx

"4" ಗಾಗಿ ಆಯ್ಕೆ

ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ:

1) cos2x = 11sinx - 5

2) (2sinx + √3) ಲಾಗ್ 8 (cosx) = 0

"5" ಗಾಗಿ ಆಯ್ಕೆ

ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ:

1) 2sinx - 3cosx = 2

7. ಪಾಠದ ಸಾರಾಂಶ, ಮನೆಕೆಲಸ (5 ನಿಮಿಷ.)

ಶಿಕ್ಷಕರು ಪಾಠವನ್ನು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತಗೊಳಿಸುತ್ತಾರೆ, ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಹಲವಾರು ವಿಧಗಳಲ್ಲಿ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು ಎಂಬ ಅಂಶಕ್ಕೆ ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ಗಮನ ಸೆಳೆಯುತ್ತಾರೆ. ತ್ವರಿತ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಸಾಧಿಸಲು ಉತ್ತಮ ಮಾರ್ಗವೆಂದರೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯಿಂದ ಉತ್ತಮವಾಗಿ ಕಲಿಯುವುದು.

ಪರೀಕ್ಷೆಗೆ ತಯಾರಿ ನಡೆಸುವಾಗ, ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಸೂತ್ರಗಳು ಮತ್ತು ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ನೀವು ವ್ಯವಸ್ಥಿತವಾಗಿ ಪುನರಾವರ್ತಿಸಬೇಕು.

ಹೋಮ್ವರ್ಕ್ (ಮುದ್ರಿತ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಮುಂಚಿತವಾಗಿ ತಯಾರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ) ವಿತರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಕೆಲವು ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಮಾರ್ಗಗಳನ್ನು ಕಾಮೆಂಟ್ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ:

1) cosx + cos5x = cos3x + cos7x

2) 5sin(x/6) - cos(x/3) + 3 = 0

3) 4sin 2x + sin2x = 3

4) ಪಾಪ 2 x + ಪಾಪ 2 2x - ಪಾಪ 2 3x - ಪಾಪ 2 4x = 0

5) cos3x cos6x = cos4x cos7x

6) 4sinx - 6cosx = 1

7) 3sin2x + 4 cos2x = 5

8) cosx cos2x cos4x cos8x = (1/8) cos15x

9) (2sin 2 x - sinx) ಲಾಗ್ 3 (2cos 2 x + cosx) = 0

10) (2cos 2 x - √3cosx) ಲಾಗ್ 7 (-tgx) = 0

11)

ವಿಭಾಗಗಳು: ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರ

ವರ್ಗ: 11

ಪಾಠ 1

ಥೀಮ್: ಗ್ರೇಡ್ 11 (ಪರೀಕ್ಷೆಗೆ ತಯಾರಿ)

ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಸರಳೀಕರಣ.

ಸರಳವಾದ ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಪರಿಹಾರ. (2 ಗಂಟೆಗಳು)

ಗುರಿಗಳು:

ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸೂತ್ರಗಳ ಬಳಕೆ ಮತ್ತು ಸರಳವಾದ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಪರಿಹಾರಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ಜ್ಞಾನ ಮತ್ತು ಕೌಶಲ್ಯಗಳನ್ನು ವ್ಯವಸ್ಥಿತಗೊಳಿಸಿ, ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿ, ವಿಸ್ತರಿಸಿ.

ಪಾಠಕ್ಕೆ ಸಲಕರಣೆಗಳು:

ಪಾಠ ರಚನೆ:

ಆರ್ಗ್ಮೊಮೆಂಟ್
ಲ್ಯಾಪ್‌ಟಾಪ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಪರೀಕ್ಷೆ. ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಚರ್ಚೆ.
ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸುವುದು
ಸರಳವಾದ ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಪರಿಹಾರ
ಸ್ವತಂತ್ರ ಕೆಲಸ.
ಪಾಠದ ಸಾರಾಂಶ. ಮನೆಕೆಲಸದ ವಿವರಣೆ.

1. ಸಂಘಟನೆಯ ಕ್ಷಣ. (2 ನಿಮಿಷಗಳು.)

2. ಪರೀಕ್ಷೆ. (15ನಿಮಿ + 3ನಿಮಿಷ ಚರ್ಚೆ)

ಯಾವುದೇ ಆಯ್ಕೆಗಳಿರಬಹುದು, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ನಾನು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿ ನೀಡುತ್ತೇನೆ:

ನಾನು ಆಯ್ಕೆ.

ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸಿ:

a) ಮೂಲ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಗುರುತುಗಳು

1. ಪಾಪ 2 3y + cos 2 3y + 1;

ಬಿ) ಸೇರ್ಪಡೆ ಸೂತ್ರಗಳು

3. sin5x - sin3x;

ಸಿ) ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತಿಸುವುದು

6. 2sin8y cos3y;

ಡಿ) ಡಬಲ್ ಕೋನ ಸೂತ್ರಗಳು

7.2sin5x cos5x;

ಇ) ಅರ್ಧ ಕೋನ ಸೂತ್ರಗಳು

ಎಫ್) ಟ್ರಿಪಲ್ ಕೋನ ಸೂತ್ರಗಳು

g) ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಪರ್ಯಾಯ

h) ಪದವಿಯನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವುದು

16. ಕಾಸ್ 2 (3x/7);

3. ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಸರಳೀಕರಣ. (25 ನಿಮಿಷ)

ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸಿ (ಬಲವಾದ ಕಲಿಯುವವರಿಗೆ):

ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ:

5) sin(270º - α) + cos(270º + α)

ಸರಳಗೊಳಿಸುವ:

ಬಲವಾದ ಗುಂಪಿನ ಕೆಲಸದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಚರ್ಚಿಸುವ ಸರದಿ ಇದು.

4. ಸರಳವಾದ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಪರಿಹಾರ. (30 ನಿಮಿಷಗಳು.)

ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ:

ಉತ್ತರದ ಚಿಕ್ಕ ಧನಾತ್ಮಕ ಮೂಲವನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

5. ಸ್ವತಂತ್ರ ಕೆಲಸ (10 ನಿಮಿಷ.)

ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯ ಆಯ್ಕೆಯಲ್ಲಿ ವಿವಿಧ ಕೆಲಸಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ.

"3" ಗಾಗಿ ಆಯ್ಕೆ

1) ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ

2) ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ 1 - ಪಾಪ 2 3α - cos 2 3α ಅನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸಿ

3) ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ

"4" ಗಾಗಿ ಆಯ್ಕೆ

1) ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ

2) ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ ನಿಮ್ಮ ಉತ್ತರದ ಸಣ್ಣ ಧನಾತ್ಮಕ ಮೂಲವನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

"5" ಗಾಗಿ ಆಯ್ಕೆ

1) ವೇಳೆ tgα ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ

2) ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲವನ್ನು ಹುಡುಕಿ ನಿಮ್ಮ ಉತ್ತರದ ಸಣ್ಣ ಧನಾತ್ಮಕ ಮೂಲವನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

6. ಪಾಠದ ಸಾರಾಂಶ (5 ನಿ.)

ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ:

10) ನಿಮ್ಮ ಉತ್ತರವನ್ನು ಚಿಕ್ಕ ಧನಾತ್ಮಕ ಮೂಲವಾಗಿ ನೀಡಿ.

ಪಾಠ 2

ಥೀಮ್: ಗ್ರೇಡ್ 11 (ಪರೀಕ್ಷೆಗೆ ತಯಾರಿ)

ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ವಿಧಾನಗಳು. ರೂಟ್ ಆಯ್ಕೆ. (2 ಗಂಟೆಗಳು)

ಗುರಿಗಳು:

ವಿವಿಧ ಪ್ರಕಾರಗಳ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಜ್ಞಾನವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿ ಮತ್ತು ವ್ಯವಸ್ಥಿತಗೊಳಿಸಿ.
ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ಗಣಿತದ ಚಿಂತನೆಯ ಬೆಳವಣಿಗೆಯನ್ನು ಉತ್ತೇಜಿಸಲು, ವೀಕ್ಷಿಸುವ, ಹೋಲಿಸುವ, ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸುವ, ವರ್ಗೀಕರಿಸುವ ಸಾಮರ್ಥ್ಯ.
ಮಾನಸಿಕ ಚಟುವಟಿಕೆಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ ತೊಂದರೆಗಳನ್ನು ನಿವಾರಿಸಲು, ಸ್ವಯಂ ನಿಯಂತ್ರಣಕ್ಕೆ, ಅವರ ಚಟುವಟಿಕೆಗಳ ಆತ್ಮಾವಲೋಕನಕ್ಕೆ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳನ್ನು ಪ್ರೋತ್ಸಾಹಿಸಿ.

ಪಾಠಕ್ಕೆ ಸಲಕರಣೆಗಳು:ಕೆಆರ್‌ಎಂಯು, ಪ್ರತಿ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗೆ ಲ್ಯಾಪ್‌ಟಾಪ್.

ಪಾಠ ರಚನೆ:

ಆರ್ಗ್ಮೊಮೆಂಟ್
ಚರ್ಚೆ d/s ಮತ್ತು samot. ಕೊನೆಯ ಪಾಠದ ಕೆಲಸ
ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ವಿಧಾನಗಳ ಪುನರಾವರ್ತನೆ.
ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು
ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ಬೇರುಗಳ ಆಯ್ಕೆ.
ಸ್ವತಂತ್ರ ಕೆಲಸ.
ಪಾಠದ ಸಾರಾಂಶ. ಮನೆಕೆಲಸ.

1. ಸಂಘಟಿಸುವ ಕ್ಷಣ (2 ನಿಮಿಷ.)

2. a) ಮನೆಕೆಲಸದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ (5 ನಿಮಿಷ.)

ಬಿ) ಸ್ವತಂತ್ರ ಕೆಲಸದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ (3 ನಿಮಿಷ.)

3. ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ವಿಧಾನಗಳ ಪುನರಾವರ್ತನೆ (5 ನಿಮಿಷಗಳು)

ವೇರಿಯಬಲ್ ಪರ್ಯಾಯ,
ಅಪವರ್ತನ,
ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣಗಳು,

ಮತ್ತು ಅನ್ವಯಿಕ ವಿಧಾನಗಳಿವೆ:

ಮೊತ್ತವನ್ನು ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಮತ್ತು ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತಿಸುವ ಸೂತ್ರಗಳ ಪ್ರಕಾರ,
ಕಡಿತ ಸೂತ್ರಗಳ ಮೂಲಕ,
ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಪರ್ಯಾಯ
ಸಹಾಯಕ ಕೋನದ ಪರಿಚಯ,
ಕೆಲವು ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕ್ರಿಯೆಯಿಂದ ಗುಣಾಕಾರ.

4. ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು (30 ನಿಮಿಷ.)

ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ:

1) ವೇರಿಯಬಲ್ ಬದಲಾವಣೆ 6cos 2 x + 5sinx - 7 = 0

2) ಅಪವರ್ತನ 3cos(x/3) + 4cos 2 (x/3) = 0

3) ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣಗಳು sin 2 x + 3cos 2 x - 2sin2x = 0

4) ಮೊತ್ತವನ್ನು ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತಿಸುವುದು cos5x + cos7x = cos(π + 6x)

5) ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಮೊತ್ತ 2sinx sin2x + cos3x = 0 ಗೆ ಪರಿವರ್ತಿಸುವುದು

6) sin2x ಮಟ್ಟವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವುದು - sin 2 2x + sin 2 3x \u003d 0.5

7) ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಪರ್ಯಾಯ ಸಿಂಕ್ಸ್ + 5ಕೋಸ್‌ಎಕ್ಸ್ + 5 = 0.

8) ಸಹಾಯಕ ಕೋನ √3sinx + cosx - √2 = 0 ಪರಿಚಯ

9) ಕೆಲವು ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕ್ರಿಯೆಯಿಂದ ಗುಣಾಕಾರ cosx cos2x cos4x = 1/8.

5. ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಬೇರುಗಳ ಆಯ್ಕೆ (20 ನಿಮಿಷ.)

ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ:

ಚಿತ್ರ 1.

ನಾವು x = π + 2πn, n Z ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

ಉತ್ತರ: π + 2πn, n Z

ಘಟಕ ವೃತ್ತವನ್ನು ಬಳಸಿ, ಬೇರುಗಳನ್ನು ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿ (ಚಿತ್ರ 2 ನೋಡಿ)

ವೊರೊಂಕೋವಾ ಓಲ್ಗಾ ಇವನೊವ್ನಾ

MBOU "ಮಾಧ್ಯಮಿಕ ಶಾಲೆ

ಸಂಖ್ಯೆ 18"

ಎಂಗೆಲ್ಸ್, ಸರಟೋವ್ ಪ್ರದೇಶ.

ಗಣಿತ ಶಿಕ್ಷಕ.

"ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ರೂಪಾಂತರಗಳು"

ಪರಿಚಯ …………………………………………………………………………………………… 3

ಅಧ್ಯಾಯ 1 ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ರೂಪಾಂತರಗಳ ಬಳಕೆಗಾಗಿ ಕಾರ್ಯಗಳ ವರ್ಗೀಕರಣ …………………………………………………….

1.1. ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಕಾರ್ಯಗಳು ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳು........5

1.2.ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸುವ ಕಾರ್ಯಗಳು .... 7

1.3 ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಪರಿವರ್ತನೆಗಾಗಿ ಕಾರ್ಯಗಳು ... ..7

1.4 ಮಿಶ್ರ ಕಾರ್ಯಗಳು ……………………………………………………. 9

ಅಧ್ಯಾಯ 2

2.1 ಗ್ರೇಡ್ 10 ರಲ್ಲಿ ವಿಷಯಾಧಾರಿತ ಪುನರಾವರ್ತನೆ ………………………………………………………… 11

ಪರೀಕ್ಷೆ 1 ………………………………………………………………………………… 12

ಪರೀಕ್ಷೆ 2 ………………………………………………………………………………… ..13

ಪರೀಕ್ಷೆ 3 …………………………………………………………………………………………… ..14

2.2 ಗ್ರೇಡ್ 11 ರಲ್ಲಿ ಅಂತಿಮ ಪುನರಾವರ್ತನೆ ……………………………………………………… 15

ಪರೀಕ್ಷೆ 1 ………………………………………………………………………………… ..17

ಪರೀಕ್ಷೆ 2 ………………………………………………………………………………… ..17

ಪರೀಕ್ಷೆ 3 …………………………………………………………………………………………… 18

ತೀರ್ಮಾನ. ……………………………………………………………………………… 19

ಬಳಸಿದ ಸಾಹಿತ್ಯದ ಪಟ್ಟಿ …………………………………………………….20

ಪರಿಚಯ.

ಇಂದಿನ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿ, ಪ್ರಮುಖ ಪ್ರಶ್ನೆಯೆಂದರೆ: "ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ಜ್ಞಾನದಲ್ಲಿನ ಕೆಲವು ಅಂತರವನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕಲು ಮತ್ತು ಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ಸಂಭವನೀಯ ತಪ್ಪುಗಳ ವಿರುದ್ಧ ಅವರನ್ನು ಎಚ್ಚರಿಸಲು ನಾವು ಹೇಗೆ ಸಹಾಯ ಮಾಡಬಹುದು?" ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಂದ ಕಾರ್ಯಕ್ರಮದ ವಸ್ತುವಿನ ಔಪಚಾರಿಕ ಸಮೀಕರಣವಲ್ಲ, ಆದರೆ ಅದರ ಆಳವಾದ ಮತ್ತು ಜಾಗೃತ ತಿಳುವಳಿಕೆ, ಮೌಖಿಕ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳು ಮತ್ತು ರೂಪಾಂತರಗಳ ವೇಗದ ಅಭಿವೃದ್ಧಿ, ಹಾಗೆಯೇ ಸರಳವಾದದನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಕೌಶಲ್ಯಗಳ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಯನ್ನು ಸಾಧಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. "ಮನಸ್ಸಿನಲ್ಲಿ" ಸಮಸ್ಯೆಗಳು. ಸಕ್ರಿಯ ಸ್ಥಾನದ ಉಪಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ, ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಅಧ್ಯಯನದಲ್ಲಿ, ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಕೌಶಲ್ಯಗಳ ಸ್ವಾಧೀನ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಬಳಕೆಗೆ ಒಳಪಟ್ಟು, ನಿಜವಾದ ಯಶಸ್ಸನ್ನು ನಂಬಬಹುದು ಎಂದು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ಮನವರಿಕೆ ಮಾಡುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. 10-11 ನೇ ತರಗತಿಗಳಲ್ಲಿ ಚುನಾಯಿತ ವಿಷಯಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ ಪರೀಕ್ಷೆಗೆ ತಯಾರಾಗಲು ಪ್ರತಿ ಅವಕಾಶವನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ, ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ನಿಯಮಿತವಾಗಿ ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಲು, ತರಗತಿಯಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚುವರಿ ತರಗತಿಗಳಲ್ಲಿ ಅವುಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಹೆಚ್ಚು ತರ್ಕಬದ್ಧ ಮಾರ್ಗವನ್ನು ಆರಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ.ಧನಾತ್ಮಕ ಫಲಿತಾಂಶಗಣಿತ ಶಿಕ್ಷಕರು ರಚಿಸುವ ಮೂಲಕ ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ಸಾಧಿಸಬಹುದುವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ಉತ್ತಮ ಮೂಲಭೂತ ತರಬೇತಿ, ನಮ್ಮ ಮುಂದೆ ತೆರೆದಿರುವ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಲ್ಲಿ ಹೊಸ ಮಾರ್ಗಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಲು, ಸಕ್ರಿಯವಾಗಿ ಪ್ರಯೋಗಿಸಲು, ಆಧುನಿಕ ಶಿಕ್ಷಣ ತಂತ್ರಜ್ಞಾನಗಳನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಲು, ವಿಧಾನಗಳು, ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ಸ್ವಯಂ-ಸಾಕ್ಷಾತ್ಕಾರ ಮತ್ತು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ಸ್ವಯಂ-ನಿರ್ಣಯಕ್ಕೆ ಅನುಕೂಲಕರ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ಸೃಷ್ಟಿಸುವ ತಂತ್ರಗಳು ಹೊಸ ಸಾಮಾಜಿಕ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳು.

ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿ ಶಾಲೆಯ ಗಣಿತ ಕೋರ್ಸ್‌ನ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂಗವಾಗಿದೆ. ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಉತ್ತಮ ಜ್ಞಾನ ಮತ್ತು ಬಲವಾದ ಕೌಶಲ್ಯಗಳು ಸಾಕಷ್ಟು ಮಟ್ಟದ ಗಣಿತ ಸಂಸ್ಕೃತಿಯ ಸಾಕ್ಷಿಯಾಗಿದೆ, ಗಣಿತ, ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ಹಲವಾರು ತಾಂತ್ರಿಕತೆಯ ಯಶಸ್ವಿ ಅಧ್ಯಯನಕ್ಕೆ ಅನಿವಾರ್ಯ ಸ್ಥಿತಿಶಿಸ್ತುಗಳು.

ಕೆಲಸದ ಪ್ರಸ್ತುತತೆ. ಶಾಲಾ ಪದವೀಧರರಲ್ಲಿ ಗಮನಾರ್ಹ ಭಾಗವು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಈ ಪ್ರಮುಖ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ವರ್ಷದಿಂದ ವರ್ಷಕ್ಕೆ ಅತ್ಯಂತ ಕಳಪೆ ತಯಾರಿಯನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ, ಕಳೆದ ವರ್ಷಗಳ ಫಲಿತಾಂಶಗಳಿಂದ ಸಾಕ್ಷಿಯಾಗಿದೆ (2011-48.41%, 2012-51.05% ರಲ್ಲಿ ಪೂರ್ಣಗೊಂಡ ಶೇಕಡಾವಾರು), ತೇರ್ಗಡೆಯ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಿಂದ. ಈ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವಿಭಾಗದ ಕಾರ್ಯಯೋಜನೆಗಳನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುವಾಗ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಅನೇಕ ತಪ್ಪುಗಳನ್ನು ಮಾಡುತ್ತಾರೆ ಅಥವಾ ಅಂತಹ ಕಾರ್ಯಯೋಜನೆಗಳನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಏಕೀಕೃತ ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯು ತೋರಿಸಿದೆ. ಒಂದರಲ್ಲಿ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳು ಬಹುತೇಕ ಮೂರು ರೀತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತವೆ. ಇದು ಕಾರ್ಯ B5 ನಲ್ಲಿ ಸರಳವಾದ ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯ B7 ನಲ್ಲಿ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯ B14 ನಲ್ಲಿ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳ ಅಧ್ಯಯನ, ಹಾಗೆಯೇ B12 ಕಾರ್ಯಗಳು, ಇದರಲ್ಲಿ ಭೌತಿಕ ವಿದ್ಯಮಾನಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ಮತ್ತು ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಸೂತ್ರಗಳಿವೆ. . ಮತ್ತು ಇದು ಬಿ ಕಾರ್ಯಗಳ ಭಾಗವಾಗಿದೆ! ಆದರೆ C1 ಬೇರುಗಳ ಆಯ್ಕೆಯೊಂದಿಗೆ ನೆಚ್ಚಿನ ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಮತ್ತು "ಅತ್ಯಂತ ಮೆಚ್ಚಿನವಲ್ಲ" ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಕಾರ್ಯಗಳು C2 ಮತ್ತು C4 ಇವೆ.

ಉದ್ದೇಶ. ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ರೂಪಾಂತರಕ್ಕೆ ಮೀಸಲಾಗಿರುವ USE ಕಾರ್ಯಗಳ B7 ನ ವಸ್ತುವನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಿ ಮತ್ತು ಪರೀಕ್ಷೆಗಳಲ್ಲಿ ಅವುಗಳ ಪ್ರಸ್ತುತಿಯ ರೂಪಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ವರ್ಗೀಕರಿಸಿ.

ಕೃತಿಯು ಎರಡು ಅಧ್ಯಾಯಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ, ಪರಿಚಯ ಮತ್ತು ತೀರ್ಮಾನ. ಪರಿಚಯವು ಕೆಲಸದ ಪ್ರಸ್ತುತತೆಯನ್ನು ಒತ್ತಿಹೇಳುತ್ತದೆ. ಮೊದಲ ಅಧ್ಯಾಯವು ಏಕೀಕೃತ ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯ (2012) ಪರೀಕ್ಷಾ ಕಾರ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ರೂಪಾಂತರಗಳ ಬಳಕೆಗಾಗಿ ಕಾರ್ಯಗಳ ವರ್ಗೀಕರಣವನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ.

ಎರಡನೇ ಅಧ್ಯಾಯದಲ್ಲಿ, 10, 11 ನೇ ತರಗತಿಗಳಲ್ಲಿ "ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ರೂಪಾಂತರ" ಎಂಬ ವಿಷಯದ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ಸಂಘಟನೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಈ ವಿಷಯದ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಉಲ್ಲೇಖಗಳ ಪಟ್ಟಿಯು 17 ಮೂಲಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ.

ಅಧ್ಯಾಯ 1. ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ರೂಪಾಂತರಗಳ ಬಳಕೆಗಾಗಿ ಕಾರ್ಯಗಳ ವರ್ಗೀಕರಣ.

ಮಾಧ್ಯಮಿಕ (ಸಂಪೂರ್ಣ) ಶಿಕ್ಷಣದ ಮಾನದಂಡ ಮತ್ತು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ತರಬೇತಿಯ ಮಟ್ಟಕ್ಕೆ ಅಗತ್ಯತೆಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ, ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಮೂಲಭೂತ ಜ್ಞಾನಕ್ಕಾಗಿ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಅವಶ್ಯಕತೆಗಳ ಕೋಡಿಫೈಯರ್ನಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲಾಗಿದೆ.

ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಮೂಲಭೂತ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಕಲಿಯುವುದು ಯಾವಾಗ ಹೆಚ್ಚು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾಗಿರುತ್ತದೆ:

ಹಿಂದೆ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ ವಿಷಯವನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸಲು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಪ್ರೇರೇಪಿಸಲ್ಪಡುತ್ತಾರೆ;

ಶೈಕ್ಷಣಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿ-ಕೇಂದ್ರಿತ ವಿಧಾನವನ್ನು ಅಳವಡಿಸಲಾಗುವುದು;

ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ಜ್ಞಾನದ ವಿಸ್ತರಣೆ, ಆಳಗೊಳಿಸುವಿಕೆ, ವ್ಯವಸ್ಥಿತಗೊಳಿಸುವಿಕೆಗೆ ಕೊಡುಗೆ ನೀಡುವ ಕಾರ್ಯಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ;

ಸುಧಾರಿತ ಶಿಕ್ಷಣ ತಂತ್ರಜ್ಞಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುವುದು.

ಪರೀಕ್ಷೆಗೆ ತಯಾರಿಗಾಗಿ ಸಾಹಿತ್ಯ ಮತ್ತು ಇಂಟರ್ನೆಟ್ ಸಂಪನ್ಮೂಲಗಳನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಿದ ನಂತರ, ನಾವು B7 (KIM USE 2012-ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿ) ಕಾರ್ಯಗಳ ಸಂಭವನೀಯ ವರ್ಗೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿದ್ದೇವೆ: ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಕ್ಕಾಗಿ ಕಾರ್ಯಗಳುತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳು; ಗಾಗಿ ಕಾರ್ಯಯೋಜನೆಗಳುಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಪರಿವರ್ತನೆ; ಅಕ್ಷರಶಃ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ರೂಪಾಂತರಕ್ಕಾಗಿ ಕಾರ್ಯಯೋಜನೆಗಳು; ಮಿಶ್ರ ಕಾರ್ಯಗಳು.

1.1. ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಕಾರ್ಯಗಳು ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳು.

ಸರಳ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿಧವೆಂದರೆ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದರ ಮೌಲ್ಯದಿಂದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು:

a) ಮೂಲ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಗುರುತು ಮತ್ತು ಅದರ ಅನುಬಂಧಗಳ ಬಳಕೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 1 . ಇದ್ದರೆ ಹುಡುಕಿ
ಮತ್ತು
.

ನಿರ್ಧಾರ.
,
,

ಏಕೆಂದರೆ , ನಂತರ
.

ಉತ್ತರ.

ಉದಾಹರಣೆ 2 . ಹುಡುಕಿ
, ವೇಳೆ
ಮತ್ತು .

ನಿರ್ಧಾರ.
,
,
.

ಏಕೆಂದರೆ , ನಂತರ
.

ಉತ್ತರ. .

ಬಿ) ಡಬಲ್ ಕೋನ ಸೂತ್ರಗಳ ಬಳಕೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 3 . ಹುಡುಕಿ
, ವೇಳೆ
.

ನಿರ್ಧಾರ. , .

ಉತ್ತರ.
.

ಉದಾಹರಣೆ 4 . ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ
.

ನಿರ್ಧಾರ. .

ಉತ್ತರ.
.

1. ಹುಡುಕಿ , ವೇಳೆ

ಮತ್ತು

. ಉತ್ತರ. -0.2

2. ಹುಡುಕಿ , ವೇಳೆ
ಮತ್ತು
. ಉತ್ತರ. 0.4

3. ಹುಡುಕಿ

, ವೇಳೆ. ಉತ್ತರ. -12.884. ಹುಡುಕಿ

, ವೇಳೆ

. ಉತ್ತರ. -0.845. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ:

. ಉತ್ತರ. 66. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ

.ಉತ್ತರ. -ಹತ್ತೊಂಬತ್ತು

1.2.ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸುವ ಕಾರ್ಯಗಳು. ಕಡಿತ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಚೆನ್ನಾಗಿ ಕರಗತ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು, ಏಕೆಂದರೆ ಅವುಗಳನ್ನು ರೇಖಾಗಣಿತ, ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ಇತರ ಸಂಬಂಧಿತ ವಿಭಾಗಗಳ ಪಾಠಗಳಲ್ಲಿ ಮತ್ತಷ್ಟು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 5 . ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸಿ
.

ನಿರ್ಧಾರ. .

ಉತ್ತರ.
.

ಸ್ವತಂತ್ರ ಪರಿಹಾರಕ್ಕಾಗಿ ಕಾರ್ಯಗಳು:

1. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸಿ

. ಉತ್ತರ. 0.62. ಹುಡುಕಿ

, ವೇಳೆ

ಮತ್ತು. ಉತ್ತರ. 10.563. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ

, ವೇಳೆ

. ಉತ್ತರ. 2

1.3 ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ರೂಪಾಂತರಕ್ಕಾಗಿ ಕಾರ್ಯಗಳು.

ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸಲು ಕಾರ್ಯಗಳ ಕೌಶಲ್ಯ ಮತ್ತು ಸಾಮರ್ಥ್ಯಗಳನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸುವಾಗ, ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಕೋಷ್ಟಕ, ಸಮಾನತೆಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಮತ್ತು ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳ ಆವರ್ತಕತೆಯ ಜ್ಞಾನಕ್ಕೆ ಗಮನ ನೀಡಬೇಕು.

ಎ) ಕೆಲವು ಕೋನಗಳಿಗೆ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳ ನಿಖರವಾದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದು.

ಉದಾಹರಣೆ 6 . ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ
.

ನಿರ್ಧಾರ.
.

ಉತ್ತರ.
.

ಬಿ) ಸಮಾನತೆಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದು ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳು.

ಉದಾಹರಣೆ 7 . ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ
.

ನಿರ್ಧಾರ. .

ಉತ್ತರ.

ರಲ್ಲಿ) ಆವರ್ತಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದುತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳು.

ಉದಾಹರಣೆ 8 . ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ
.

ನಿರ್ಧಾರ. .

ಉತ್ತರ.
.

ಸ್ವತಂತ್ರ ಪರಿಹಾರಕ್ಕಾಗಿ ಕಾರ್ಯಗಳು:

1. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ

. ಉತ್ತರ. -40.52. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ

. ಉತ್ತರ. 17

3. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ
. ಉತ್ತರ. 6

. ಉತ್ತರ. -24

ಉತ್ತರ. -64

1.4 ಮಿಶ್ರ ಕಾರ್ಯಗಳು.

ಪ್ರಮಾಣೀಕರಣದ ಪರೀಕ್ಷಾ ರೂಪವು ಬಹಳ ಮಹತ್ವದ ಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಹಲವಾರು ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸೂತ್ರಗಳ ಬಳಕೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ಗಮನ ಕೊಡುವುದು ಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 9 ಹುಡುಕಿ
, ವೇಳೆ
.

ನಿರ್ಧಾರ.
.

ಉತ್ತರ.
.

ಉದಾಹರಣೆ 10 . ಹುಡುಕಿ
, ವೇಳೆ
ಮತ್ತು
.

ನಿರ್ಧಾರ. .

ಏಕೆಂದರೆ , ನಂತರ
.

ಉತ್ತರ.
.

ಉದಾಹರಣೆ 11. ಹುಡುಕಿ
, ವೇಳೆ.

ನಿರ್ಧಾರ. , ,
,
,
,
,
.

ಉತ್ತರ.

ಉದಾಹರಣೆ 12. ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ
.

ನಿರ್ಧಾರ. .

ಉತ್ತರ.
.

ಉದಾಹರಣೆ 13 ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ
, ವೇಳೆ
.

ನಿರ್ಧಾರ. .

ಉತ್ತರ.
.

ಸ್ವತಂತ್ರ ಪರಿಹಾರಕ್ಕಾಗಿ ಕಾರ್ಯಗಳು:

1. ಹುಡುಕಿ

, ವೇಳೆ

. ಉತ್ತರ. -1.75
2. ಹುಡುಕಿ

, ವೇಳೆ

. ಉತ್ತರ. 33. ಹುಡುಕಿ

, ವೇಳೆ.ಉತ್ತರ. 0.254. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ

, ವೇಳೆ

. ಉತ್ತರ. 0.35. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ

, ವೇಳೆ

. ಉತ್ತರ. ಐದು

ಅಧ್ಯಾಯ 2. ವಿಷಯದ ಅಂತಿಮ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ಕ್ರಮಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಅಂಶಗಳು ಸಂಘಟನೆ "ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ರೂಪಾಂತರ."

ಶೈಕ್ಷಣಿಕ ಕಾರ್ಯಕ್ಷಮತೆಯ ಮತ್ತಷ್ಟು ಸುಧಾರಣೆಗೆ ಕೊಡುಗೆ ನೀಡುವ ಪ್ರಮುಖ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ, ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಲ್ಲಿ ಆಳವಾದ ಮತ್ತು ಘನ ಜ್ಞಾನದ ಸಾಧನೆಯು ಹಿಂದೆ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸುವ ವಿಷಯವಾಗಿದೆ. ಅಭ್ಯಾಸವು 10 ನೇ ತರಗತಿಯಲ್ಲಿ ವಿಷಯಾಧಾರಿತ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯನ್ನು ಸಂಘಟಿಸಲು ಹೆಚ್ಚು ಸೂಕ್ತವಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ; 11 ನೇ ತರಗತಿಯಲ್ಲಿ - ಅಂತಿಮ ಪುನರಾವರ್ತನೆ.

2.1. 10 ನೇ ತರಗತಿಯಲ್ಲಿ ವಿಷಯಾಧಾರಿತ ಪುನರಾವರ್ತನೆ.

ಗಣಿತದ ವಸ್ತುಗಳ ಮೇಲೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ, ಪ್ರತಿ ಪೂರ್ಣಗೊಂಡ ವಿಷಯ ಅಥವಾ ಕೋರ್ಸ್‌ನ ಸಂಪೂರ್ಣ ವಿಭಾಗದ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯು ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆ.

ವಿಷಯಾಧಾರಿತ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯೊಂದಿಗೆ, ವಿಷಯದ ಬಗ್ಗೆ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ಜ್ಞಾನವನ್ನು ಅದರ ಅಂಗೀಕಾರದ ಅಂತಿಮ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಅಥವಾ ವಿರಾಮದ ನಂತರ ವ್ಯವಸ್ಥಿತಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ವಿಷಯಾಧಾರಿತ ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಾಗಿ, ವಿಶೇಷ ಪಾಠಗಳನ್ನು ಹಂಚಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅದರ ಮೇಲೆ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವಿಷಯದ ವಸ್ತುವನ್ನು ಕೇಂದ್ರೀಕರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಈ ಸಂಭಾಷಣೆಯಲ್ಲಿ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ವ್ಯಾಪಕ ಒಳಗೊಳ್ಳುವಿಕೆಯೊಂದಿಗೆ ಸಂಭಾಷಣೆಯ ಮೂಲಕ ಪಾಠದಲ್ಲಿ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯನ್ನು ನಡೆಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅದರ ನಂತರ, ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವಿಷಯವನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸಲು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪರೀಕ್ಷೆಗಳಲ್ಲಿ ಕ್ರೆಡಿಟ್ ವರ್ಕ್ ಇರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಎಚ್ಚರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ವಿಷಯದ ಮೇಲಿನ ಪರೀಕ್ಷೆಯು ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಮುಖ್ಯ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರಬೇಕು. ಕೆಲಸ ಮುಗಿದ ನಂತರ, ವಿಶಿಷ್ಟ ದೋಷಗಳನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕಲು ಪುನರಾವರ್ತನೆಯನ್ನು ಆಯೋಜಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ವಿಷಯಾಧಾರಿತ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ಪಾಠಗಳಿಗಾಗಿ, ನಾವು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದ್ದೇವೆ ಪರೀಕ್ಷಾ ಪತ್ರಿಕೆಗಳುವಿಷಯದ ಮೇಲೆ "ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಪರಿವರ್ತನೆ".

ಪರೀಕ್ಷೆ #1

ಪರೀಕ್ಷೆ #2

ಪರೀಕ್ಷೆ #3

ಉತ್ತರ ಕೋಷ್ಟಕ

ಪರೀಕ್ಷೆ

2.2 11 ನೇ ತರಗತಿಯಲ್ಲಿ ಅಂತಿಮ ಪುನರಾವರ್ತನೆ.

ಅಂತಿಮ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯನ್ನು ಗಣಿತದ ಕೋರ್ಸ್‌ನ ಮುಖ್ಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವ ಅಂತಿಮ ಹಂತದಲ್ಲಿ ನಡೆಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಈ ವಿಭಾಗಕ್ಕೆ ಅಥವಾ ಒಟ್ಟಾರೆಯಾಗಿ ಕೋರ್ಸ್‌ಗೆ ಶೈಕ್ಷಣಿಕ ವಸ್ತುಗಳ ಅಧ್ಯಯನದೊಂದಿಗೆ ತಾರ್ಕಿಕ ಸಂಪರ್ಕದಲ್ಲಿ ನಡೆಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಶೈಕ್ಷಣಿಕ ಸಾಮಗ್ರಿಯ ಅಂತಿಮ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಗುರಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:

1. ಸಂಪೂರ್ಣ ತರಬೇತಿ ಕೋರ್ಸ್‌ನ ವಸ್ತುವನ್ನು ಅದರ ತಾರ್ಕಿಕ ರಚನೆಯನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟಪಡಿಸಲು ಮತ್ತು ವಿಷಯ ಮತ್ತು ಅಂತರ ವಿಷಯದ ಸಂಬಂಧಗಳೊಳಗೆ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಸಕ್ರಿಯಗೊಳಿಸುವುದು.

2. ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ ಕೋರ್ಸ್‌ನ ಮುಖ್ಯ ವಿಷಯಗಳ ಕುರಿತು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ಜ್ಞಾನವನ್ನು ಆಳವಾಗಿ ಮತ್ತು, ಸಾಧ್ಯವಾದರೆ ವಿಸ್ತರಿಸುವುದು.

ಎಲ್ಲಾ ಪದವೀಧರರಿಗೆ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಕಡ್ಡಾಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, USE ಯ ಕ್ರಮೇಣ ಪರಿಚಯವು ಶಿಕ್ಷಕರು ಪಾಠಗಳನ್ನು ತಯಾರಿಸಲು ಮತ್ತು ನಡೆಸಲು ಹೊಸ ವಿಧಾನವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವಂತೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ, ಎಲ್ಲಾ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಮೂಲಭೂತ ಮಟ್ಟದಲ್ಲಿ ಶೈಕ್ಷಣಿಕ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಕರಗತ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವ ಅಗತ್ಯವನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ, ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾನಿಲಯಕ್ಕೆ ಪ್ರವೇಶಕ್ಕಾಗಿ ಹೆಚ್ಚಿನ ಅಂಕಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಆಸಕ್ತಿ ಹೊಂದಿರುವ ಪ್ರೇರಿತ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ಅವಕಾಶ, ಹೆಚ್ಚಿದ ಮತ್ತು ಉನ್ನತ ಮಟ್ಟದಲ್ಲಿ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಮಾಸ್ಟರಿಂಗ್ ಮಾಡುವಲ್ಲಿ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಪ್ರಗತಿ.

ಅಂತಿಮ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ಪಾಠಗಳಲ್ಲಿ, ನೀವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು:

ಉದಾಹರಣೆ 1 . ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿ.ನಿರ್ಧಾರ. =

= =

=0,5. ಉತ್ತರ. 0.5 ಉದಾಹರಣೆ 2 ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದಾದ ದೊಡ್ಡ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಸೂಚಿಸಿ

ನಿರ್ಧಾರ. ಅಂತೆ
ವಿಭಾಗಕ್ಕೆ ಸೇರಿದ ಯಾವುದೇ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು [–1; 1], ನಂತರ
ವಿಭಾಗದ ಯಾವುದೇ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ [–0.4; 0.4], ಆದ್ದರಿಂದ . ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಮೌಲ್ಯವು ಒಂದು - ಸಂಖ್ಯೆ 4.

ಉತ್ತರ: 4 ಉದಾಹರಣೆ 3 . ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸಿ

ಪರಿಹಾರ: ಘನಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಅಪವರ್ತಿಸಲು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸೋಣ: . ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ

ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ:
.

ಉತ್ತರ: 1

ಉದಾಹರಣೆ 4 ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ
.

ನಿರ್ಧಾರ. .

ಉತ್ತರ: 0.28

ಅಂತಿಮ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ಪಾಠಗಳಿಗಾಗಿ, ನಾವು "ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಪರಿವರ್ತನೆ" ವಿಷಯದ ಮೇಲೆ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತೇವೆ.

1 ಅನ್ನು ಮೀರದ ದೊಡ್ಡ ಪೂರ್ಣಾಂಕವನ್ನು ಸೂಚಿಸಿ

ತೀರ್ಮಾನ.

ಈ ವಿಷಯದ ಬಗ್ಗೆ ಸಂಬಂಧಿತ ಕ್ರಮಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಸಾಹಿತ್ಯದ ಮೂಲಕ ಕೆಲಸ ಮಾಡಿದ ನಂತರ, ಶಾಲೆಯ ಗಣಿತದ ಕೋರ್ಸ್‌ನಲ್ಲಿ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ರೂಪಾಂತರಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಸಾಮರ್ಥ್ಯ ಮತ್ತು ಕೌಶಲ್ಯಗಳು ಬಹಳ ಮುಖ್ಯ ಎಂದು ನಾವು ತೀರ್ಮಾನಿಸಬಹುದು.

ಮಾಡಿದ ಕೆಲಸದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, B7 ಕಾರ್ಯಗಳ ವರ್ಗೀಕರಣವನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳಲಾಯಿತು. 2012 ರ CMM ಗಳಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುವ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪರಿಹಾರಗಳೊಂದಿಗೆ ಕಾರ್ಯಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಪರೀಕ್ಷೆಯ ತಯಾರಿಯಲ್ಲಿ ಜ್ಞಾನದ ಪುನರಾವರ್ತನೆ ಮತ್ತು ವ್ಯವಸ್ಥಿತಗೊಳಿಸುವಿಕೆಯನ್ನು ಸಂಘಟಿಸಲು ವಿಭಿನ್ನ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಪರಿಗಣಿಸಿ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿದ ಕೆಲಸವನ್ನು ಮುಂದುವರಿಸಲು ಸಲಹೆ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಕಾರ್ಯ B5 ನಲ್ಲಿ ಸರಳವಾದ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಪರಿಹಾರ, ಕಾರ್ಯ B14, ಕಾರ್ಯ B12 ನಲ್ಲಿ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳ ಅಧ್ಯಯನ, ಇದರಲ್ಲಿ ಭೌತಿಕ ವಿದ್ಯಮಾನಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ಮತ್ತು ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಸೂತ್ರಗಳಿವೆ.

ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ, ಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ಉತ್ತೀರ್ಣರಾಗುವ ಪರಿಣಾಮಕಾರಿತ್ವವು ಎಲ್ಲಾ ವರ್ಗದ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಶಿಕ್ಷಣದ ಎಲ್ಲಾ ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ ತಯಾರಿ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಎಷ್ಟು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾಗಿ ಆಯೋಜಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂಬುದರ ಮೂಲಕ ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾನು ಗಮನಿಸಲು ಬಯಸುತ್ತೇನೆ. ಮತ್ತು ನಾವು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯ, ಜವಾಬ್ದಾರಿ ಮತ್ತು ಅವರ ನಂತರದ ಜೀವನದುದ್ದಕ್ಕೂ ಕಲಿಕೆಯನ್ನು ಮುಂದುವರಿಸಲು ಸಿದ್ಧತೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸಲು ನಿರ್ವಹಿಸಿದರೆ, ನಾವು ರಾಜ್ಯ ಮತ್ತು ಸಮಾಜದ ಕ್ರಮವನ್ನು ಪೂರೈಸುವುದಲ್ಲದೆ, ನಮ್ಮ ಸ್ವಾಭಿಮಾನವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಶೈಕ್ಷಣಿಕ ವಸ್ತುಗಳ ಪುನರಾವರ್ತನೆಗೆ ಶಿಕ್ಷಕರಿಂದ ಸೃಜನಶೀಲ ಕೆಲಸ ಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಅವನು ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ಪ್ರಕಾರಗಳ ನಡುವೆ ಸ್ಪಷ್ಟವಾದ ಸಂಪರ್ಕವನ್ನು ಒದಗಿಸಬೇಕು, ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ಆಳವಾದ ಚಿಂತನೆಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಕಾರ್ಯಗತಗೊಳಿಸಬೇಕು. ಪುನರಾವರ್ತನೆಯನ್ನು ಸಂಘಟಿಸುವ ಕಲೆಯನ್ನು ಕರಗತ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಶಿಕ್ಷಕರ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ಜ್ಞಾನದ ಬಲವು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಅದರ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ.

ಸಾಹಿತ್ಯ.

ವೈಗೋಡ್ಸ್ಕಿ Ya.Ya., ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಗಣಿತದ ಕೈಪಿಡಿ. -ಎಂ.: ನೌಕಾ, 1970.

ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಿದ ತೊಂದರೆ ಮತ್ತು ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಪ್ರಾರಂಭದ ಕಾರ್ಯಗಳು: ಪ್ರೌಢಶಾಲೆಯ 10-11 ಶ್ರೇಣಿಗಳಿಗೆ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕ / ಬಿ.ಎಂ. ಇವ್ಲೆವ್, ಎ.ಎಂ. ಅಬ್ರಮೊವ್, ಯು.ಪಿ. ಡುಡ್ನಿಟ್ಸಿನ್, ಎಸ್.ಐ. ಶ್ವಾರ್ಜ್‌ಬರ್ಡ್. - ಎಂ.: ಜ್ಞಾನೋದಯ, 1990.

ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ರೂಪಾಂತರಕ್ಕೆ ಮೂಲ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸೂತ್ರಗಳ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್ (ಗ್ರೇಡ್ 10) // ಫೆಸ್ಟಿವಲ್ ಆಫ್ ಪೆಡಾಗೋಗಿಕಲ್ ಐಡಿಯಾಸ್. 2012-2013.

ಕೊರಿಯಾನೋವ್ ಎ.ಜಿ. , ಪ್ರೊಕೊಫೀವ್ ಎ.ಎ. ನಾವು ಉತ್ತಮ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಮತ್ತು ಅತ್ಯುತ್ತಮ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳನ್ನು ಪರೀಕ್ಷೆಗೆ ಸಿದ್ಧಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ. - ಎಂ.: ಪೆಡಾಗೋಗಿಕಲ್ ಯೂನಿವರ್ಸಿಟಿ "ಸೆಪ್ಟೆಂಬರ್ ಮೊದಲ", 2012.- 103 ಪು.

ಕುಜ್ನೆಟ್ಸೊವಾ ಇ.ಎನ್.ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಸರಳೀಕರಣ. ವಿವಿಧ ವಿಧಾನಗಳಿಂದ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು (ಪರೀಕ್ಷೆಗೆ ತಯಾರಿ). 11 ನೇ ತರಗತಿ. 2012-2013.

ಕುಲನಿನ್ E.D. ಗಣಿತದಲ್ಲಿ 3000 ಸ್ಪರ್ಧಾತ್ಮಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು. 4 ನೇ ಐಡಿ., ಸರಿ. ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚುವರಿ - ಎಂ.: ರೋಲ್ಫ್, 2000.

ಮೊರ್ಡ್ಕೊವಿಚ್ ಎ.ಜಿ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಶಿಕ್ಷಣ ಶಾಲೆಯಲ್ಲಿ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವ ಕ್ರಮಬದ್ಧ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು // ಶಾಲೆಯಲ್ಲಿ ಗಣಿತ. 2002. ಸಂ. 6.

ಪಿಚುರಿನ್ ಎಲ್.ಎಫ್. ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಬಗ್ಗೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತ್ರವಲ್ಲ: -ಎಂ. ಜ್ಞಾನೋದಯ, 1985

ರೆಶೆಟ್ನಿಕೋವ್ ಎನ್.ಎನ್. ಶಾಲೆಯಲ್ಲಿ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿ: -ಎಂ. : ಪೆಡಾಗೋಗಿಕಲ್ ಯೂನಿವರ್ಸಿಟಿ "ಸೆಪ್ಟೆಂಬರ್ ಮೊದಲ", 2006, lk 1.

ಶಬುನಿನ್ M.I., ಪ್ರೊಕೊಫೀವ್ A.A. ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರ. ಬೀಜಗಣಿತ. ಗಣಿತದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಪ್ರಾರಂಭಗಳು ಪ್ರೊಫೈಲ್ ಮಟ್ಟ: 10 ನೇ ತರಗತಿಯ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕ - M .: BINOM. ಜ್ಞಾನ ಪ್ರಯೋಗಾಲಯ, 2007.

ಪರೀಕ್ಷೆಗೆ ತಯಾರಿಗಾಗಿ ಶೈಕ್ಷಣಿಕ ಪೋರ್ಟಲ್.

ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಪರೀಕ್ಷೆಗೆ ತಯಾರಿ "ಓಹ್, ಈ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿ! http://festival.1september.ru/articles/621971/

ಯೋಜನೆ "ಗಣಿತ? ಸುಲಭ!!!" http://www.resolventa.ru/

ವರ್ಗಗಳು

ಸಂಪಾದಕರ ಆಯ್ಕೆ

ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಸರಳೀಕರಿಸುವುದು ಹೇಗೆ. ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಗುರುತಿನ ರೂಪಾಂತರಗಳು

ಪಾಠ 1

ಪಾಠ 2

ಪಾಠ 1

ಪಾಠ 2

ಹುಡುಕಿ Kannada

ಚಂದಾದಾರಿಕೆ

ಜನಪ್ರಿಯ ನಮೂದುಗಳು

ಕೊನೆಯ ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು