ಮನೆ > ಪರಿಕರಗಳು > ಎರಡನೇ ಕ್ರಮದ ಸಾಲುಗಳು. ಸಮೀಕರಣದ ಅಂಗೀಕೃತ ರೂಪ ಯಾವುದು? ಒಂದು ಜೋಡಿ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಛೇದಿಸುವ ರೇಖೆಗಳ ಸಮೀಕರಣ


ಎರಡನೇ ಕ್ರಮದ ಸಾಲುಗಳು. ಸಮೀಕರಣದ ಅಂಗೀಕೃತ ರೂಪ ಯಾವುದು? ಒಂದು ಜೋಡಿ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಛೇದಿಸುವ ರೇಖೆಗಳ ಸಮೀಕರಣ




8.3.15. ಪಾಯಿಂಟ್ ಎ ಒಂದು ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಇರುತ್ತದೆ. A ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ವಿಮಾನಕ್ಕೆ ದೂರ

8.3.16. ನೇರ ರೇಖೆಗೆ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾದ ನೇರ ರೇಖೆಗೆ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ

ವಿಮಾನಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ .

8.3.17. ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಗಳ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ರಚಿಸಿ ಕೆಳಗಿನ ಸಾಲುಗಳು:

ಎ) ;

b)

ವಿ) .

8.3.18. ಸಮತಲ ಮತ್ತು ರೇಖೆಯ ನಡುವಿನ ಕೋನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ:

ಎ) ;

b) .

8.3.19. ಒಂದು ಬಿಂದುವಿಗೆ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಬಿಂದುವನ್ನು ಹುಡುಕಿ ರೇಖೆಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ವಿಮಾನಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ:

ಮತ್ತು

8.3.20. ಪಾಯಿಂಟ್ ಎ ಒಂದು ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಇರುತ್ತದೆ

A ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಅಂತರ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಪಾಯಿಂಟ್ A ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

§ 8.4 ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳು

ನಾವು ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಪದವಿಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ

ಯಾವುದರಲ್ಲಿ .

ಸಮತಲದಲ್ಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಅದರ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು (8.4.1) ಪೂರೈಸುತ್ತವೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ವಕ್ರವಾದ (ಸಾಲು) ಎರಡನೇ ಆದೇಶ.

ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಯಾವುದೇ ವಕ್ರರೇಖೆಗೆ, ಕ್ಯಾನೊನಿಕಲ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಒಂದು ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆ ಇದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಈ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೂಪಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:

1) (ಅಂಡವೃತ್ತ);

2) (ಕಾಲ್ಪನಿಕ ದೀರ್ಘವೃತ್ತ);

3) (ಒಂದು ಜೋಡಿ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಛೇದಿಸುವ ರೇಖೆಗಳು);

4) (ಹೈಪರ್ಬೋಲಾ);

5) (ಒಂದು ಜೋಡಿ ಛೇದಿಸುವ ರೇಖೆಗಳು);

6) (ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾ);

7) (ಸಮಾಂತರ ರೇಖೆಗಳ ಜೋಡಿ);

8) (ಒಂದು ಜೋಡಿ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳು);

9) (ಒಂದು ಜೋಡಿ ಕಾಕತಾಳೀಯ ಸಾಲುಗಳು).

ಸಮೀಕರಣಗಳು 1) - 9) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣಗಳು.

ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಅಂಗೀಕೃತ ರೂಪಕ್ಕೆ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಪರಿಹಾರವು ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣ ಮತ್ತು ಅಂಗೀಕೃತ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಅಂಗೀಕೃತ ರೂಪಕ್ಕೆ ಕಡಿತವು ಕರ್ವ್ನ ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಮತ್ತು ಮೂಲ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಅದರ ಸ್ಥಳವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ನಿಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ. ಮೂಲ ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಿಂದ ಪರಿವರ್ತನೆ ಅಂಗೀಕೃತ ಗೆ ಮೂಲ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಅಕ್ಷಗಳನ್ನು O ಬಿಂದುವಿನ ಸುತ್ತಲೂ ಕೆಲವು ಕೋನ j ಮೂಲಕ ತಿರುಗಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ನಂತರದ ಸಮಾನಾಂತರ ವರ್ಗಾವಣೆಯ ಮೂಲಕ ನಡೆಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಎರಡನೇ ಕ್ರಮದ ಕರ್ವ್ ಬದಲಾವಣೆಗಳು(8.4.1) ಅದರ ಸಮೀಕರಣದ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಅಂತಹ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಒಂದು ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಿಂದ ಅದೇ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಇನ್ನೊಂದಕ್ಕೆ ಚಲಿಸುವಾಗ ಅದರ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ.

ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ (8.4.1) ವಕ್ರರೇಖೆಗಾಗಿ, ವರ್ಗ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿನ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಮೊತ್ತ

,

ಪ್ರಮುಖ ಪದಗಳ ಗುಣಾಂಕಗಳಿಂದ ಕೂಡಿದ ನಿರ್ಣಾಯಕ

ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ನಿರ್ಣಾಯಕ

ಅಸ್ಥಿರಗಳಾಗಿವೆ.

s, d, D ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಪ್ರಕಾರವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಕರ್ವ್ನ ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ರಚಿಸಲು ಬಳಸಬಹುದು.

ಕೋಷ್ಟಕ 8.1.

ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ವರ್ಗೀಕರಣ

ಎಲಿಪ್ಟಿಕಲ್ ಕರ್ವ್

SD<0. Эллипс

SD>0. ಕಾಲ್ಪನಿಕ ದೀರ್ಘವೃತ್ತ

ನೈಜ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುವ ಜೋಡಿ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ರೇಖೆಗಳು

ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಪ್ರಕಾರದ ಕರ್ವ್

ಹೈಪರ್ಬೋಲಾ

ಒಂದು ಜೋಡಿ ಛೇದಿಸುವ ರೇಖೆಗಳು

ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಿಕ್ ಕರ್ವ್

ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾ

ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳ ಜೋಡಿ (ವಿಭಿನ್ನ, ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಅಥವಾ ಕಾಕತಾಳೀಯ)

ದೀರ್ಘವೃತ್ತ, ಹೈಪರ್ಬೋಲಾ ಮತ್ತು ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾವನ್ನು ಹತ್ತಿರದಿಂದ ನೋಡೋಣ.

ದೀರ್ಘವೃತ್ತ(ಚಿತ್ರ 8.1) ಸಮತಲದಲ್ಲಿನ ಬಿಂದುಗಳ ಸ್ಥಳವಾಗಿದೆ, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಎರಡು ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ದೂರದ ಮೊತ್ತ ಈ ವಿಮಾನವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ತಂತ್ರಗಳು, ಸ್ಥಿರ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ (ಫೋಸಿ ನಡುವಿನ ಅಂತರಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು). ಇದು ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಫೋಸಿಯ ಕಾಕತಾಳೀಯತೆಯನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಕೇಂದ್ರಬಿಂದುಗಳು ಒಂದೇ ಆಗಿದ್ದರೆ, ದೀರ್ಘವೃತ್ತವು ವೃತ್ತವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಅದರ ಕೇಂದ್ರಬಿಂದುಗಳವರೆಗಿನ ಅಂತರಗಳ ಅರ್ಧ-ಮೊತ್ತವನ್ನು a, foci - c ನಡುವಿನ ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಅಂತರದಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಆರಿಸಿದರೆ, ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಕೇಂದ್ರವು ಆಕ್ಸ್ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಮೂಲಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿ ನೆಲೆಗೊಂಡಿದ್ದರೆ, ಈ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ದೀರ್ಘವೃತ್ತವನ್ನು ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ.

, (8.4.2)

ಎಂದು ಕರೆದರು ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣ, ಎಲ್ಲಿ .

ಅಕ್ಕಿ. 8.1

ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಆಯ್ಕೆಯೊಂದಿಗೆ, ದೀರ್ಘವೃತ್ತವು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಅಕ್ಷಗಳು ಮತ್ತು ಮೂಲದ ಬಗ್ಗೆ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಸಮ್ಮಿತಿಯ ಅಕ್ಷಗಳು ಅದನ್ನು ಕರೆಯುತ್ತವೆ ಅಕ್ಷಗಳು, ಮತ್ತು ಸಮ್ಮಿತಿಯ ಕೇಂದ್ರವಾಗಿದೆ ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಕೇಂದ್ರ. ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, 2a ಮತ್ತು 2b ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಅಕ್ಷಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು a ಮತ್ತು b ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ದೊಡ್ಡದುಮತ್ತು ಅರೆ ಸಣ್ಣ ಅಕ್ಷಕ್ರಮವಾಗಿ.

ದೀರ್ಘವೃತ್ತವನ್ನು ಅದರ ಅಕ್ಷಗಳೊಂದಿಗೆ ಛೇದಿಸುವ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಶೃಂಗಗಳು. ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಶೃಂಗಗಳು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ (a,0), (–a,0), (0,b), (0,–b).

ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ವಿಕೇಂದ್ರೀಯತೆಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕರೆದರು

0£c ರಿಂದ

.

ವಿಕೇಂದ್ರೀಯತೆಯು ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಆಕಾರವನ್ನು ನಿರೂಪಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಇದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ: ಇ ಸೊನ್ನೆಗೆ ಹತ್ತಿರವಾಗಿದ್ದರೆ, ದೀರ್ಘವೃತ್ತವು ವೃತ್ತದಂತೆ ಕಾಣುತ್ತದೆ; ಇ ಹೆಚ್ಚಾದಂತೆ, ದೀರ್ಘವೃತ್ತವು ಹೆಚ್ಚು ಉದ್ದವಾಗುತ್ತದೆ.

ಇದನ್ನು ಕಾಂಕ್ರೀಟ್ ಉದಾಹರಣೆಯೊಂದಿಗೆ ವಿವರಿಸಲು, ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಲ್ಲಿ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಹೇಳಿಕೆಗೆ ಏನು ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಾನು ನಿಮಗೆ ತೋರಿಸುತ್ತೇನೆ: (ನೈಜ ಅಥವಾ ಕಾಲ್ಪನಿಕ) ಪಾಯಿಂಟ್ P (ನೈಜ ಅಥವಾ ಕಾಲ್ಪನಿಕ) ಲೈನ್ g ನಲ್ಲಿದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಸಹಜವಾಗಿ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರಕರಣಗಳ ನಡುವೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಅವಶ್ಯಕ:

1) ನೈಜ ಬಿಂದು ಮತ್ತು ನೈಜ ರೇಖೆ,

2) ನೈಜ ಬಿಂದು ಮತ್ತು ಕಾಲ್ಪನಿಕ ರೇಖೆ,

ಪ್ರಕರಣ 1) ನಮ್ಮಿಂದ ಯಾವುದೇ ವಿಶೇಷ ವಿವರಣೆ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ; ಇಲ್ಲಿ ನಾವು ಸಾಮಾನ್ಯ ರೇಖಾಗಣಿತದ ಮೂಲಭೂತ ಸಂಬಂಧಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ.

ಪ್ರಕರಣ 2), ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ರೇಖೆಯ ಜೊತೆಗೆ, ರೇಖೆಯ ಸಂಕೀರ್ಣವು ಅದಕ್ಕೆ ಸಂಯೋಜಿತವಾಗಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ನೈಜ ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗಬೇಕು; ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಈ ಹಂತವು ಕಾಲ್ಪನಿಕ ರೇಖೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲು ನಾವು ಬಳಸುವ ಕಿರಣಗಳ ಬಂಡಲ್‌ನ ಶೃಂಗದೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗಬೇಕು.

ಅಂತೆಯೇ, ಪ್ರಕರಣ 3) ನೈಜ ರೇಖೆಯು ಆ ರೆಕ್ಟಿಲಿನಿಯರ್ ಇನ್ವಲ್ಯೂಷನ್ ಬಿಂದುಗಳ ಬೆಂಬಲದೊಂದಿಗೆ ಒಂದೇ ಆಗಿರಬೇಕು, ಅದು ನೀಡಿದ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಬಿಂದುವಿನ ಪ್ರತಿನಿಧಿಯಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ.

ಅತ್ಯಂತ ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ಪ್ರಕರಣವೆಂದರೆ 4) (ಚಿತ್ರ 96): ಇಲ್ಲಿ, ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಯೋಜಕ ಬಿಂದುವು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಯೋಜಕ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಇರಬೇಕು ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಪಾಯಿಂಟ್ P ಅನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಬಿಂದುಗಳ ಆಕ್ರಮಣದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಜೋಡಿ ಬಿಂದುಗಳು ಸುಳ್ಳು ಮಾಡಬೇಕು ಜಿ ನೇರ ರೇಖೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ರೇಖೆಗಳ ಆಕ್ರಮಣದ ಕೆಲವು ಜೋಡಿ ರೇಖೆಗಳ ಮೇಲೆ, ಅಂದರೆ ಈ ಎರಡೂ ಒಳಹರಿವುಗಳು ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ಸಂಬಂಧಿತ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ ನೆಲೆಗೊಂಡಿರಬೇಕು; ಇದಲ್ಲದೆ, ಎರಡೂ ಆಕ್ರಮಣಗಳ ಬಾಣಗಳನ್ನು ಸಹ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಲ್ಲಿ ಇರಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಅದು ತಿರುಗುತ್ತದೆ.

ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಸಮತಲದ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ರೇಖಾಗಣಿತದಲ್ಲಿ, ಸಂಕೀರ್ಣ ಡೊಮೇನ್‌ಗೆ ಗಮನ ಕೊಡುತ್ತದೆ, ನಾವು ಈ ಸಮತಲದ ಸಂಪೂರ್ಣ ನೈಜ ಚಿತ್ರವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ನಾವು ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ನೈಜ ಬಿಂದುಗಳು ಮತ್ತು ರೇಖೆಗಳ ಸೆಟ್‌ಗೆ ಹೊಸ ಅಂಶಗಳಾಗಿ ಸೇರಿಸಿದರೆ ಆಕ್ರಮಣಕಾರಿ ಮೇಲೆ ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳು, ಅವುಗಳ ದಿಕ್ಕುಗಳ ಬಾಣಗಳೊಂದಿಗೆ. ಸಂಕೀರ್ಣ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಅಂತಹ ನೈಜ ಚಿತ್ರದ ನಿರ್ಮಾಣವು ಯಾವ ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಾನು ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪರೇಖೆಯಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಿದರೆ ಸಾಕು. ಹಾಗೆ ಮಾಡುವಾಗ, ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಮೊದಲ ಪ್ರಸ್ತಾಪಗಳನ್ನು ಈಗ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸುವ ಕ್ರಮವನ್ನು ನಾನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತೇನೆ.

1) ಅವು ಅಸ್ತಿತ್ವದ ಮೂಲತತ್ವಗಳೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತವೆ, ಇದರ ಉದ್ದೇಶವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯೊಂದಿಗೆ ಹೋಲಿಸಿದರೆ ವಿಸ್ತರಿಸಿದ ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿ ಈಗ ಉಲ್ಲೇಖಿಸಲಾದ ಅಂಶಗಳ ಉಪಸ್ಥಿತಿಯ ನಿಖರವಾದ ಸೂತ್ರೀಕರಣವನ್ನು ನೀಡುವುದು.

2) ನಂತರ ಸಂಪರ್ಕದ ಮೂಲತತ್ವಗಳು, ಇದು ಐಟಂ 1 ರಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ವಿಸ್ತೃತ ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿ ಸಹ ಹೇಳುತ್ತದೆ! ಒಂದು ಮತ್ತು ಕೇವಲ ಒಂದು ಸಾಲು (ಪ್ರತಿ) ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು (ಯಾವುದೇ) ಎರಡು ಸಾಲುಗಳು ಒಂದೇ ಮತ್ತು ಒಂದೇ ಒಂದು ಬಿಂದುವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ.

ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಮೇಲಿನಂತೆ, ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಅಂಶಗಳು ನಿಜವೇ ಎಂಬುದನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ ನಾವು ಪ್ರತಿ ಬಾರಿ ನಾಲ್ಕು ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಬಿಂದುಗಳು ಮತ್ತು ರೇಖೆಗಳ ಆಕ್ರಮಣಗಳೊಂದಿಗೆ ಯಾವ ನೈಜ ನಿರ್ಮಾಣಗಳು ಚಿತ್ರವಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತವೆ ಎಂದು ಯೋಚಿಸುವುದು ತುಂಬಾ ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕವಾಗಿದೆ. ಈ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಬಂಧಗಳು.

3) ವ್ಯವಸ್ಥೆ (ಆದೇಶ) ತತ್ವಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ, ಇಲ್ಲಿ, ನಿಜವಾದ ಸಂಬಂಧಗಳಿಗೆ ಹೋಲಿಸಿದರೆ, ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಹೊಸ ಸಂದರ್ಭಗಳು ಕಾರ್ಯರೂಪಕ್ಕೆ ಬರುತ್ತವೆ; ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಒಂದು ಸ್ಥಿರ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಇರುವ ಎಲ್ಲಾ ನೈಜ ಮತ್ತು ಸಂಕೀರ್ಣ ಬಿಂದುಗಳು, ಹಾಗೆಯೇ ಒಂದು ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ಎಲ್ಲಾ ಕಿರಣಗಳು ಎರಡು ಆಯಾಮದ ನಿರಂತರತೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. ಎಲ್ಲಾ ನಂತರ, ನಾವು ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬರೂ ಕಾರ್ಯಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಅಧ್ಯಯನದಿಂದ ಸಮತಲದ ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳಿಂದ ಸಂಕೀರ್ಣ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣತೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಅಭ್ಯಾಸವನ್ನು ಕಲಿತಿದ್ದೇವೆ.

4) ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ನಿರಂತರತೆಯ ಮೂಲತತ್ವಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ, ಕೆಲವು ನೈಜ ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ನೀವು ಇಷ್ಟಪಡುವಷ್ಟು ಹತ್ತಿರವಿರುವ ಸಂಕೀರ್ಣ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬೇಕೆಂದು ನಾನು ಇಲ್ಲಿ ಸೂಚಿಸುತ್ತೇನೆ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ತೆಗೆದ ನೈಜ ಬಿಂದು P ಮೂಲಕ (ಅಥವಾ ಅದರ ಹತ್ತಿರವಿರುವ ಕೆಲವು ನೈಜ ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ), ನೀವು ಕೆಲವು ಸರಳ ರೇಖೆಯನ್ನು ಎಳೆಯಬೇಕು ಮತ್ತು ಅದರ ಮೇಲೆ ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ಬೇರ್ಪಡಿಸುವ ಎರಡು ಜೋಡಿ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಬೇಕು (ಅಂದರೆ, "ಅಡ್ಡ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಮಲಗಿರುವುದು. ") ಜೋಡಿ ಬಿಂದುಗಳು (Fig. 97) ಆದ್ದರಿಂದ ವಿಭಿನ್ನ ಜೋಡಿಗಳಿಂದ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾದ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳು ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ಹತ್ತಿರ ಮತ್ತು ಪಾಯಿಂಟ್ P ಗೆ ಇರುತ್ತದೆ; ನಾವು ಈಗ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಒಟ್ಟಿಗೆ ತಂದರೆ, ಹೆಸರಿಸಲಾದ ಜೋಡಿ ಬಿಂದುಗಳಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಆಕ್ರಮಣವು ಕ್ಷೀಣಿಸುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ಇದುವರೆಗಿನ ಸಂಕೀರ್ಣ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳು ಬಿಂದುದೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತವೆ. ಈ ಆಕ್ರಮಣದಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಎರಡು ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ (ಒಟ್ಟಿಗೆ ಒಂದು ಅಥವಾ ಇತರ ಬಾಣ) ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ P ಗೆ ಹತ್ತಿರವಿರುವ ಕೆಲವು ಹಂತಗಳಿಗೆ ಅಥವಾ ನೇರವಾಗಿ P ಗೆ ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸಹಜವಾಗಿ, ಈ ನಿರಂತರತೆಯ ಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಉತ್ತಮ ಬಳಕೆಗೆ ಬಳಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುವಂತೆ, ಒಬ್ಬರು ಅವರೊಂದಿಗೆ ವಿವರವಾಗಿ ಕೆಲಸ ಮಾಡಬೇಕು.

ಸಾಮಾನ್ಯ ನೈಜ ಜ್ಯಾಮಿತಿಗೆ ಹೋಲಿಸಿದರೆ ಈ ಎಲ್ಲಾ ನಿರ್ಮಾಣವು ತೊಡಕಿನ ಮತ್ತು ಬೇಸರದ ಸಂಗತಿಯಾಗಿದ್ದರೂ, ಇದು ಹೋಲಿಸಲಾಗದಷ್ಟು ಹೆಚ್ಚಿನದನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಇದು ಸಂಪೂರ್ಣ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸ್ಪಷ್ಟತೆಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಚಿತ್ರಗಳ ಮಟ್ಟಕ್ಕೆ ಏರಿಸುವ ಸಾಮರ್ಥ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಅವುಗಳ ನೈಜ ಮತ್ತು ಸಂಕೀರ್ಣ ಅಂಶಗಳ ಸೆಟ್ ಎಂದು ಅರ್ಥೈಸಿಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಸಹಾಯದಿಂದ ಬೀಜಗಣಿತದ ಮೂಲಭೂತ ಪ್ರಮೇಯದಂತಹ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳ ಮೇಲೆ ಸ್ವತಃ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಅಥವಾ ಎರಡು ಕರ್ವ್ ಆರ್ಡರ್‌ಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ನಿಖರವಾಗಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಬೆಝೌಟ್‌ನ ಪ್ರಮೇಯ. ಈ ಉದ್ದೇಶಕ್ಕಾಗಿ, ಇಲ್ಲಿಯವರೆಗೆ ಮಾಡಲಾಗಿದ್ದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾದ ಮತ್ತು ವಿವರಣಾತ್ಮಕ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಮೂಲಭೂತ ನಿಬಂಧನೆಗಳನ್ನು ಗ್ರಹಿಸಲು ಇದು ಅವಶ್ಯಕವಾಗಿದೆ; ಆದಾಗ್ಯೂ, ಸಾಹಿತ್ಯವು ಈಗಾಗಲೇ ಅಂತಹ ತನಿಖೆಗಳಿಗೆ ಅಗತ್ಯವಾದ ಎಲ್ಲಾ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ.

ಆದರೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಈ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಅನ್ವಯವು ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಪ್ರಯೋಜನಗಳೊಂದಿಗೆ, ಅಂತಹ ತೊಡಕುಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ, ಅದರ ಮೂಲಭೂತ ಸಾಧ್ಯತೆಯೊಂದಿಗೆ ತೃಪ್ತರಾಗಿರಬೇಕು ಮತ್ತು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚು ನಿಷ್ಕಪಟವಾದ ದೃಷ್ಟಿಕೋನಕ್ಕೆ ಹಿಂತಿರುಗಬೇಕು, ಅದು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿರುತ್ತದೆ: ಸಂಕೀರ್ಣ ಬಿಂದುವು ಮೂರು ಸಂಕೀರ್ಣ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಸಂಗ್ರಹವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಅದರೊಂದಿಗೆ ನೈಜ ಬಿಂದುಗಳೊಂದಿಗೆ ನಿಖರವಾಗಿ ಅದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸಬಹುದು. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಅಂಶಗಳ ಅಂತಹ ಪರಿಚಯವು, ಯಾವುದೇ ಮೂಲಭೂತ ತಾರ್ಕಿಕತೆಯಿಂದ ದೂರವಿರುವುದು, ನಾವು ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಆವರ್ತಕ ಬಿಂದುಗಳೊಂದಿಗೆ ಅಥವಾ ಗೋಳಗಳ ವೃತ್ತದೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸಬೇಕಾದ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವಾಗಲೂ ಫಲಪ್ರದವಾಗಿದೆ. ಈಗಾಗಲೇ ಹೇಳಿದಂತೆ, ಪೊನ್ಸೆಲೆಟ್ ಮೊದಲ ಬಾರಿಗೆ ಈ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಬಳಸಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿದರು; ಈ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ಅವನ ಅನುಯಾಯಿಗಳು ಇತರ ಫ್ರೆಂಚ್ ಜಿಯೋಮೀಟರ್‌ಗಳು, ಮುಖ್ಯವಾಗಿ ಚಾಲ್ ಮತ್ತು ಡಾರ್ಬೌಕ್ಸ್; ಜರ್ಮನಿಯಲ್ಲಿ, ಹಲವಾರು ಜಿಯೋಮೀಟರ್‌ಗಳು, ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಲೈ, ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಅಂಶಗಳ ಈ ತಿಳುವಳಿಕೆಯನ್ನು ಉತ್ತಮ ಯಶಸ್ಸಿನೊಂದಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಿದರು.

ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಕ್ಷೇತ್ರಕ್ಕೆ ಈ ವಿಚಲನದೊಂದಿಗೆ, ನಾನು ನನ್ನ ಕೋರ್ಸ್‌ನ ಸಂಪೂರ್ಣ ಎರಡನೇ ವಿಭಾಗವನ್ನು ಮುಕ್ತಾಯಗೊಳಿಸುತ್ತೇನೆ ಮತ್ತು ಹೊಸ ಅಧ್ಯಾಯಕ್ಕೆ ತಿರುಗುತ್ತೇನೆ,

ಇದು ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅಂಗೀಕರಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ಪ್ರಮಾಣಿತ ರೂಪವಾಗಿದೆ, ಕೆಲವೇ ಸೆಕೆಂಡುಗಳಲ್ಲಿ ಅದು ಯಾವ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವಸ್ತುವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ. ಇದರ ಜೊತೆಗೆ, ಅನೇಕ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಅಂಗೀಕೃತ ರೂಪವು ತುಂಬಾ ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣದ ಪ್ರಕಾರ "ಫ್ಲಾಟ್" ನೇರವಾಗಿ, ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಇದು ನೇರ ರೇಖೆ ಎಂದು ತಕ್ಷಣವೇ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದಾಗಿ, ಅದಕ್ಕೆ ಸೇರಿದ ಬಿಂದು ಮತ್ತು ದಿಕ್ಕಿನ ವೆಕ್ಟರ್ ಸರಳವಾಗಿ ಗೋಚರಿಸುತ್ತದೆ.

ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಯಾವುದೇ 1 ನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಸಾಲುನೇರ ರೇಖೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. ಎರಡನೇ ಮಹಡಿಯಲ್ಲಿ, ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ದ್ವಾರಪಾಲಕನು ನಮಗಾಗಿ ಕಾಯುತ್ತಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಒಂಬತ್ತು ಪ್ರತಿಮೆಗಳ ಹೆಚ್ಚು ವೈವಿಧ್ಯಮಯ ಕಂಪನಿ:

ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಸಾಲುಗಳ ವರ್ಗೀಕರಣ

ವಿಶೇಷ ಕ್ರಿಯೆಗಳ ಸಹಾಯದಿಂದ, ಯಾವುದೇ ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಸಾಲಿನ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರಕಾರಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಕ್ಕೆ ಇಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

(ಮತ್ತು ಧನಾತ್ಮಕ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು)

1) ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ;

2) ಹೈಪರ್ಬೋಲಾದ ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ;

3) ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾದ ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ;

4) – ಕಾಲ್ಪನಿಕದೀರ್ಘವೃತ್ತ;

5) - ಛೇದಿಸುವ ರೇಖೆಗಳ ಜೋಡಿ;

6) - ದಂಪತಿಗಳು ಕಾಲ್ಪನಿಕಛೇದಿಸುವ ರೇಖೆಗಳು (ಮೂಲದಲ್ಲಿ ಛೇದನದ ಏಕೈಕ ನೈಜ ಬಿಂದುವಿನೊಂದಿಗೆ);

7) - ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳ ಜೋಡಿ;

8) - ದಂಪತಿಗಳು ಕಾಲ್ಪನಿಕಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳು;

9) ಒಂದು ಜೋಡಿ ಕಾಕತಾಳೀಯ ರೇಖೆಗಳು.

ಕೆಲವು ಓದುಗರು ಪಟ್ಟಿಯು ಅಪೂರ್ಣವಾಗಿದೆ ಎಂಬ ಅಭಿಪ್ರಾಯವನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್ ಸಂಖ್ಯೆ 7 ರಲ್ಲಿ, ಸಮೀಕರಣವು ಜೋಡಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿಸುತ್ತದೆ ನೇರ, ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿ, ಮತ್ತು ಪ್ರಶ್ನೆ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತದೆ: y-ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುವ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವ ಸಮೀಕರಣ ಎಲ್ಲಿದೆ? ಅದಕ್ಕೆ ಉತ್ತರಿಸು ಕ್ಯಾನನ್ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ. ನೇರ ರೇಖೆಗಳು 90 ಡಿಗ್ರಿಗಳಿಂದ ತಿರುಗಿಸಲಾದ ಅದೇ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ವರ್ಗೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಪ್ರವೇಶವು ಅನಗತ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ಹೊಸದನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ.

ಹೀಗಾಗಿ, ಒಂಬತ್ತು ಮತ್ತು ಕೇವಲ ಒಂಬತ್ತು ವಿಭಿನ್ನ ವಿಧದ 2 ನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಸಾಲುಗಳಿವೆ, ಆದರೆ ಆಚರಣೆಯಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ ದೀರ್ಘವೃತ್ತ, ಹೈಪರ್ಬೋಲಾ ಮತ್ತು ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾ.

ಮೊದಲು ದೀರ್ಘವೃತ್ತವನ್ನು ನೋಡೋಣ. ಎಂದಿನಂತೆ, ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಹೆಚ್ಚಿನ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆ ಹೊಂದಿರುವ ಅಂಶಗಳ ಮೇಲೆ ನಾನು ಗಮನಹರಿಸುತ್ತೇನೆ ಮತ್ತು ನಿಮಗೆ ಸೂತ್ರಗಳ ವಿವರವಾದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ, ಪ್ರಮೇಯಗಳ ಪುರಾವೆಗಳು ಅಗತ್ಯವಿದ್ದರೆ, ದಯವಿಟ್ಟು ಉಲ್ಲೇಖಿಸಿ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಬಾಜಿಲೆವ್ / ಅಟನಾಸ್ಯನ್ ಅಥವಾ ಅಲೆಕ್ಸಾಂಡ್ರೋವ್ ಅವರ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕವನ್ನು ನೋಡಿ ..



ಎಲಿಪ್ಸ್ ಮತ್ತು ಅದರ ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣ

ಕಾಗುಣಿತ ... ದಯವಿಟ್ಟು "ಎಲಿಪ್ಸ್ ಅನ್ನು ಹೇಗೆ ನಿರ್ಮಿಸುವುದು", "ಎಲಿಪ್ಸ್ ಮತ್ತು ಅಂಡಾಕಾರದ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸ" ಮತ್ತು "ಎಲಿಬ್ಸ್ ವಿಕೇಂದ್ರೀಯತೆ" ಯಲ್ಲಿ ಆಸಕ್ತಿ ಹೊಂದಿರುವ ಕೆಲವು ಯಾಂಡೆಕ್ಸ್ ಬಳಕೆದಾರರ ತಪ್ಪುಗಳನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸಬೇಡಿ.

ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣವು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಧನಾತ್ಮಕ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು . ನಾನು ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ನಂತರ ರೂಪಿಸುತ್ತೇನೆ, ಆದರೆ ಸದ್ಯಕ್ಕೆ ಮಾತನಾಡುವುದರಿಂದ ವಿರಾಮ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಸಮಯ ಬಂದಿದೆ:

ದೀರ್ಘವೃತ್ತವನ್ನು ಹೇಗೆ ನಿರ್ಮಿಸುವುದು?

ಹೌದು, ಅದನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಅದನ್ನು ಸೆಳೆಯಿರಿ. ನಿಯೋಜನೆಯು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ಗಮನಾರ್ಹ ಭಾಗವು ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ಸಾಕಷ್ಟು ಸಮರ್ಥವಾಗಿ ನಿಭಾಯಿಸುವುದಿಲ್ಲ:

ಉದಾಹರಣೆ 1

ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ನೀಡಿದ ದೀರ್ಘವೃತ್ತವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿ

ಪರಿಹಾರ: ಮೊದಲು ನಾವು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಅಂಗೀಕೃತ ರೂಪಕ್ಕೆ ತರುತ್ತೇವೆ:

ಏಕೆ ತರಬೇಕು? ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣದ ಒಂದು ಪ್ರಯೋಜನವೆಂದರೆ ಅದು ತಕ್ಷಣವೇ ನಿರ್ಧರಿಸಲು ನಿಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಶೃಂಗಗಳು, ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಇವು . ಈ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬಿಂದುಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತವೆ ಎಂದು ನೋಡುವುದು ಸುಲಭ.

ಈ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ :


ಲೈನ್ ವಿಭಾಗಎಂದು ಕರೆದರು ಪ್ರಮುಖ ಅಕ್ಷದೀರ್ಘವೃತ್ತ;
ಸಾಲಿನ ವಿಭಾಗ – ಸಣ್ಣ ಅಕ್ಷ;
ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದು ಕರೆದರು ಅರೆ-ಪ್ರಮುಖ ಅಕ್ಷದೀರ್ಘವೃತ್ತ;
ಸಂಖ್ಯೆ – ಅರೆ ಸಣ್ಣ ಅಕ್ಷ.
ನಮ್ಮ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ: .

ಈ ಅಥವಾ ಆ ದೀರ್ಘವೃತ್ತವು ಹೇಗೆ ಕಾಣುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ತ್ವರಿತವಾಗಿ ಊಹಿಸಲು, ಅದರ ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣದ "a" ಮತ್ತು "be" ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನೋಡಿ.

ಎಲ್ಲವೂ ಉತ್ತಮ, ಅಚ್ಚುಕಟ್ಟಾಗಿ ಮತ್ತು ಸುಂದರವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಒಂದು ಎಚ್ಚರಿಕೆ ಇದೆ: ನಾನು ಪ್ರೋಗ್ರಾಂ ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಡ್ರಾಯಿಂಗ್ ಮಾಡಿದ್ದೇನೆ. ಮತ್ತು ನೀವು ಯಾವುದೇ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್ನೊಂದಿಗೆ ಸೆಳೆಯಬಹುದು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಕಠಿಣ ವಾಸ್ತವದಲ್ಲಿ, ಒಂದು ಚೆಕ್ಕರ್ ಕಾಗದದ ತುಂಡು ಮೇಜಿನ ಮೇಲೆ ಇರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇಲಿಗಳು ನಮ್ಮ ಕೈಯಲ್ಲಿ ನೃತ್ಯ ಮಾಡುತ್ತವೆ. ಕಲಾತ್ಮಕ ಪ್ರತಿಭೆ ಹೊಂದಿರುವ ಜನರು, ಸಹಜವಾಗಿ, ವಾದಿಸಬಹುದು, ಆದರೆ ನೀವು ಇಲಿಗಳನ್ನು ಸಹ ಹೊಂದಿದ್ದೀರಿ (ಸಣ್ಣ ಆದರೂ). ಮಾನವಕುಲವು ಆಡಳಿತಗಾರ, ದಿಕ್ಸೂಚಿ, ಪ್ರೊಟ್ರಾಕ್ಟರ್ ಮತ್ತು ರೇಖಾಚಿತ್ರಕ್ಕಾಗಿ ಇತರ ಸರಳ ಸಾಧನಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿದಿದೆ ಎಂಬುದು ವ್ಯರ್ಥವಾಗಿಲ್ಲ.

ಈ ಕಾರಣಕ್ಕಾಗಿ, ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ತಿಳಿದಿರುವ ನಾವು ದೀರ್ಘವೃತ್ತವನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿ ಸೆಳೆಯಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಇನ್ನೂ ಸರಿ, ದೀರ್ಘವೃತ್ತವು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದ್ದರೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸೆಮಿಯಾಕ್ಸ್‌ಗಳೊಂದಿಗೆ. ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ, ನೀವು ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬಹುದು ಮತ್ತು ಅದರ ಪ್ರಕಾರ, ರೇಖಾಚಿತ್ರದ ಆಯಾಮಗಳು. ಆದರೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಅಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಹೆಚ್ಚು ಅಪೇಕ್ಷಣೀಯವಾಗಿದೆ.

ದೀರ್ಘವೃತ್ತವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಎರಡು ವಿಧಾನಗಳಿವೆ - ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಮತ್ತು ಬೀಜಗಣಿತ. ಚಿಕ್ಕ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಮತ್ತು ರೇಖಾಚಿತ್ರದ ಗಮನಾರ್ಹ ಅಸ್ತವ್ಯಸ್ತತೆಯಿಂದಾಗಿ ನಾನು ದಿಕ್ಸೂಚಿ ಮತ್ತು ಆಡಳಿತಗಾರನೊಂದಿಗೆ ನಿರ್ಮಿಸಲು ಇಷ್ಟಪಡುವುದಿಲ್ಲ. ತುರ್ತು ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ದಯವಿಟ್ಟು ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕವನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸಿ, ಆದರೆ ವಾಸ್ತವದಲ್ಲಿ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಾಧನಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಹೆಚ್ಚು ತರ್ಕಬದ್ಧವಾಗಿದೆ. ಡ್ರಾಫ್ಟ್‌ನಲ್ಲಿನ ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ, ನಾವು ತ್ವರಿತವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ:

ನಂತರ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಎರಡು ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ:
- ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಮೇಲಿನ ಚಾಪವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ;
- ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಕೆಳಗಿನ ಆರ್ಕ್ ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ.

ಯಾವುದೇ ದೀರ್ಘವೃತ್ತವು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಅಕ್ಷಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಮತ್ತು ಮೂಲದ ಬಗ್ಗೆ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಮತ್ತು ಅದು ಅದ್ಭುತವಾಗಿದೆ - ಸಮ್ಮಿತಿಯು ಯಾವಾಗಲೂ ಉಚಿತವಾದ ಮುಂಚೂಣಿಯಲ್ಲಿದೆ. ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, 1 ನೇ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ತ್ರೈಮಾಸಿಕವನ್ನು ಎದುರಿಸಲು ಸಾಕು, ಆದ್ದರಿಂದ ನಮಗೆ ಒಂದು ಕಾರ್ಯ ಬೇಕು . ಇದು ಅಬ್ಸಿಸಾಸ್ನೊಂದಿಗೆ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಅಂಕಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಲು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ . ನಾವು ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್‌ನಲ್ಲಿ ಮೂರು SMS ಅನ್ನು ಹೊಡೆದಿದ್ದೇವೆ:

ಸಹಜವಾಗಿ, ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದಲ್ಲಿ ಗಂಭೀರ ದೋಷವನ್ನು ಮಾಡಿದರೆ, ನಿರ್ಮಾಣದ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಇದು ತಕ್ಷಣವೇ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದು ಸಹ ಆಹ್ಲಾದಕರವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ರೇಖಾಚಿತ್ರದ ಮೇಲೆ ಅಂಕಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಿ (ಕೆಂಪು ಬಣ್ಣ), ಇತರ ಆರ್ಕ್‌ಗಳ ಮೇಲೆ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಬಿಂದುಗಳು (ನೀಲಿ ಬಣ್ಣ) ಮತ್ತು ಇಡೀ ಕಂಪನಿಯನ್ನು ಎಚ್ಚರಿಕೆಯಿಂದ ರೇಖೆಯೊಂದಿಗೆ ಸಂಪರ್ಕಿಸಿ:


ಆರಂಭಿಕ ಸ್ಕೆಚ್ ಅನ್ನು ತೆಳುವಾಗಿ ಮತ್ತು ತೆಳುವಾಗಿ ಸೆಳೆಯುವುದು ಉತ್ತಮ, ಮತ್ತು ನಂತರ ಮಾತ್ರ ಪೆನ್ಸಿಲ್ಗೆ ಒತ್ತಡವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಿ. ಫಲಿತಾಂಶವು ಸಾಕಷ್ಟು ಯೋಗ್ಯವಾದ ದೀರ್ಘವೃತ್ತವಾಗಿರಬೇಕು. ಅಂದಹಾಗೆ, ಈ ಕರ್ವ್ ಏನೆಂದು ತಿಳಿಯಲು ನೀವು ಬಯಸುವಿರಾ?

ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ಅಫೈನ್ ವರ್ಗೀಕರಣವನ್ನು ವಕ್ರರೇಖೆಗಳ ಹೆಸರಿನಿಂದಲೇ ನೀಡಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಈಗ ತೋರಿಸುತ್ತೇವೆ, ಅಂದರೆ, ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ಅಫೈನ್ ವರ್ಗಗಳು ವರ್ಗಗಳಾಗಿವೆ:

ನಿಜವಾದ ದೀರ್ಘವೃತ್ತಗಳು;

ಕಾಲ್ಪನಿಕ ದೀರ್ಘವೃತ್ತಗಳು;

ಅತಿಶಯೋಕ್ತಿ;

ನಿಜವಾದ ಛೇದಿಸುವ ರೇಖೆಗಳ ಜೋಡಿಗಳು;

ಕಾಲ್ಪನಿಕ (ಸಂಯೋಜಕ) ಛೇದಿಸುವ ಜೋಡಿಗಳು;

ಸಮಾನಾಂತರ ನೈಜ ರೇಖೆಗಳ ಜೋಡಿಗಳು;

ಸಮಾನಾಂತರ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಸಂಯೋಜಿತ ರೇಖೆಗಳ ಜೋಡಿಗಳು;

ಕಾಕತಾಳೀಯ ನೈಜ ರೇಖೆಗಳ ಜೋಡಿಗಳು.

ನಾವು ಎರಡು ಹೇಳಿಕೆಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ:

A. ಒಂದೇ ಹೆಸರಿನ ಎಲ್ಲಾ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳು (ಅಂದರೆ, ಎಲ್ಲಾ ದೀರ್ಘವೃತ್ತಗಳು, ಎಲ್ಲಾ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾಗಳು, ಇತ್ಯಾದಿ.) ಪರಸ್ಪರ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

B. ವಿಭಿನ್ನ ಹೆಸರುಗಳ ಎರಡು ವಕ್ರರೇಖೆಗಳು ಎಂದಿಗೂ ಸಮಾನವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ.

ನಾವು ಸಮರ್ಥನೆ A. ಅಧ್ಯಾಯ XV, § 3 ರಲ್ಲಿ, ಎಲ್ಲಾ ದೀರ್ಘವೃತ್ತಗಳು ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಈಗಾಗಲೇ ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ, ಅವುಗಳೆಂದರೆ, ವಲಯಗಳು ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾಗಳು ಹೈಪರ್ಬೋಲಾಗಳು ಆದ್ದರಿಂದ, ಎಲ್ಲಾ ದೀರ್ಘವೃತ್ತಗಳು, ಕ್ರಮವಾಗಿ, ಎಲ್ಲಾ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾಗಳು, ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಪರಸ್ಪರ. ಎಲ್ಲಾ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ದೀರ್ಘವೃತ್ತಗಳು, ಒಂದು ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ - - 1 ತ್ರಿಜ್ಯದ, ಸಹ ಪರಸ್ಪರ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಎಲ್ಲಾ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾಗಳ ಅಫೈನ್ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ. ನಾವು ಇನ್ನೂ ಹೆಚ್ಚಿನದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ, ಅವುಗಳೆಂದರೆ ಎಲ್ಲಾ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಹೋಲುತ್ತವೆ. ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾವನ್ನು ಅದರ ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಕೆಲವು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಸಾಕು

ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾದಂತೆ

ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನಾವು ವಿಮಾನವನ್ನು ಗುಣಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ಹೋಲಿಕೆಯ ರೂಪಾಂತರಕ್ಕೆ ಒಳಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ - :

ನಂತರ ನಮ್ಮ ರೂಪಾಂತರದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಕರ್ವ್

ಒಂದು ವಕ್ರರೇಖೆಗೆ ಹೋಗುತ್ತದೆ

ಅಂದರೆ ಒಂದು ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾ ಆಗಿ

ಕ್ಯೂ.ಇ.ಡಿ.

ಕೊಳೆಯುತ್ತಿರುವ ವಕ್ರರೇಖೆಗಳಿಗೆ ಹೋಗೋಣ. § ಸೂತ್ರಗಳಲ್ಲಿ (9) ಮತ್ತು (11), ಪುಟಗಳು. 401 ಮತ್ತು 402) ಕೆಲವು (ಆಯತಾಕಾರದ) ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಒಂದು ಜೋಡಿ ಛೇದಿಸುವ ರೇಖೆಗಳಾಗಿ ಕೊಳೆಯುವ ವಕ್ರರೇಖೆಯು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತಾಯಿತು.

ಹೆಚ್ಚುವರಿ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಮಾಡಲಾಗುತ್ತಿದೆ

ಯಾವುದೇ ವಕ್ರರೇಖೆಯು ಛೇದಿಸುವ ನೈಜ, ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ, ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಸಂಯೋಗ, ನೇರ ರೇಖೆಗಳ ಜೋಡಿಯಾಗಿ ವಿಭಜನೆಯಾಗುವುದನ್ನು ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ, ಕೆಲವು ಅಫೈನ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ

ಒಂದು ಜೋಡಿ ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುವ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ನೀಡಲ್ಪಟ್ಟ (ಕೆಲವು ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿಯೂ ಸಹ) ಆಗಿರಬಹುದು

ಕ್ರಮವಾಗಿ ನಿಜಕ್ಕಾಗಿ

ಕಾಲ್ಪನಿಕ, ನೇರ. ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ರೂಪಾಂತರವು ಈ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಹಾಕಲು ನಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ (ಅಥವಾ ಕಾಕತಾಳೀಯ ರೇಖೆಗಳಿಗೆ) ಇದು ಒಂದೇ ಹೆಸರನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಕೊಳೆಯುತ್ತಿರುವ ಎರಡನೇ-ಕ್ರಮದ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ಅಫೈನ್ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.

ನಾವು ಸಮರ್ಥನೆ B ಯ ಪುರಾವೆಗೆ ತಿರುಗುತ್ತೇವೆ.

ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಸಮತಲದ ಅಫೈನ್ ರೂಪಾಂತರದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ, ಬೀಜಗಣಿತದ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಕ್ರಮವು ಬದಲಾಗದೆ ಉಳಿಯುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ಗಮನಿಸುತ್ತೇವೆ. ಮತ್ತಷ್ಟು: ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಯಾವುದೇ ಕೊಳೆಯುವ ವಕ್ರರೇಖೆಯು ಒಂದು ಜೋಡಿ ರೇಖೆಗಳು, ಮತ್ತು ಅಫೈನ್ ರೂಪಾಂತರದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ, ಒಂದು ರೇಖೆಯು ಒಂದು ರೇಖೆಯಾಗಿ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ, ಛೇದಿಸುವ ರೇಖೆಗಳ ಜೋಡಿಯು ಛೇದಿಸುವ ಜೋಡಿಯಾಗಿ ಮತ್ತು ಒಂದು ಜೋಡಿ ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳು ಜೋಡಿಯಾಗಿ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ. ಸಮಾನಾಂತರ ಪದಗಳಿಗಿಂತ; ಜೊತೆಗೆ, ನೈಜ ರೇಖೆಗಳು ನಿಜವಾಗುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಕಾಲ್ಪನಿಕ ರೇಖೆಗಳು ಕಾಲ್ಪನಿಕವಾಗುತ್ತವೆ. ಅಫೈನ್ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಸೂತ್ರಗಳಲ್ಲಿ (3) (ಅಧ್ಯಾಯ XI, § 3) ಎಲ್ಲಾ ಗುಣಾಂಕಗಳು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿವೆ ಎಂಬ ಅಂಶದಿಂದ ಇದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ.

ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಕೊಳೆಯುತ್ತಿರುವ ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ವಕ್ರರೇಖೆಗೆ ಸಮನಾದ ರೇಖೆಯು ಅದೇ ಹೆಸರಿನ ಕೊಳೆಯುವ ವಕ್ರರೇಖೆಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳಿರುವುದನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ.

ನಾವು ಕೊಳೆಯದ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳಿಗೆ ಹಾದು ಹೋಗುತ್ತೇವೆ. ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ, ಅಫೈನ್ ರೂಪಾಂತರದೊಂದಿಗೆ, ನಿಜವಾದ ವಕ್ರರೇಖೆಯು ಕಾಲ್ಪನಿಕವಾಗಿ ಹೋಗುವುದಿಲ್ಲ, ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯಾಗಿ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಕಾಲ್ಪನಿಕ ದೀರ್ಘವೃತ್ತಗಳ ವರ್ಗವು ಅಫಿನ್ ಅಸ್ಥಿರವಾಗಿದೆ.

ನಿಜವಾದ ಕೊಳೆಯದ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ವರ್ಗಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ: ದೀರ್ಘವೃತ್ತಗಳು, ಹೈಪರ್ಬೋಲಾಗಳು, ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾಗಳು.

ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಎಲ್ಲಾ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳಲ್ಲಿ, ಪ್ರತಿ ದೀರ್ಘವೃತ್ತ, ಮತ್ತು ಕೇವಲ ಒಂದು ದೀರ್ಘವೃತ್ತವು ಕೆಲವು ಆಯತದಲ್ಲಿ ಇರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾಗಳು ಮತ್ತು ಹೈಪರ್ಬೋಲಾಗಳು (ಹಾಗೆಯೇ ಎಲ್ಲಾ ಕೊಳೆಯುವ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳು) ಅನಂತತೆಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತವೆ.

ಅಫೈನ್ ರೂಪಾಂತರದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ, ನೀಡಿದ ದೀರ್ಘವೃತ್ತವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಆಯತ ABCD ರೂಪಾಂತರಗೊಂಡ ವಕ್ರರೇಖೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜಕ್ಕೆ ಹೋಗುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ಅನಂತಕ್ಕೆ ಹೋಗುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ದೀರ್ಘವೃತ್ತವಾಗಿದೆ.

ಹೀಗಾಗಿ, ದೀರ್ಘವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ವಕ್ರರೇಖೆಯು ಅಗತ್ಯವಾಗಿ ದೀರ್ಘವೃತ್ತವಾಗಿದೆ. ಹೈಪರ್ಬೋಲಾ ಅಥವಾ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾಕ್ಕೆ ಸಮನಾದ ವಕ್ರರೇಖೆಯು ದೀರ್ಘವೃತ್ತವಾಗಿರಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ (ಮತ್ತು, ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿರುವಂತೆ, ಇದು ಕೊಳೆಯುವ ವಕ್ರರೇಖೆಯೂ ಆಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಇದು ಅಫೈನ್ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಮಾತ್ರ ಉಳಿದಿದೆ. ಸಮತಲದ ರೂಪಾಂತರ, ಹೈಪರ್ಬೋಲಾವು ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾ ಆಗಿ ಹಾದುಹೋಗಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ, ಮತ್ತು ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ಇದು ಪ್ರಾಯಶಃ ಅತ್ಯಂತ ಸರಳವಾಗಿ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾವು ಸಮ್ಮಿತಿಯ ಕೇಂದ್ರವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಸಮ್ಮಿತಿಯ ಕೇಂದ್ರವು ಇಲ್ಲದಿರುವುದರಿಂದ ಒಂದು ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾವನ್ನು ಮುಂದಿನ ಅಧ್ಯಾಯದಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲಾಗುವುದು, ನಾವು ಈಗ ಎರಡನೆಯದನ್ನು ನೀಡುತ್ತೇವೆ, ಹೈಪರ್ಬೋಲಾ ಮತ್ತು ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾಗಳ ಅಫೈನ್ ಅಲ್ಲದ ಸಮಾನತೆಯ ಅತ್ಯಂತ ಸರಳವಾದ ಪುರಾವೆ.

ಲೆಮ್ಮಾ. ಒಂದು ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ರೇಖೆಯ d ನ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಎರಡು ಅರ್ಧ-ಪ್ಲೇನ್‌ಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಅದು ರೇಖೆಯೊಂದಿಗೆ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ.

ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ನೀಡಿರುವ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆ ಇದೆ ಎಂದು ನಾವು ನೋಡಿದ್ದೇವೆ

ಈ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ, ನೇರ ರೇಖೆ d ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ

ಊಹೆಯ ಮೂಲಕ, ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾದಲ್ಲಿ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳಿವೆ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದು ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ (1) ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಋಣಾತ್ಮಕ ಅರ್ಧ ಸಮತಲದಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಭಾವಿಸುತ್ತೇವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಬರೆಯಬಹುದು ಎಂದು ನೆನಪಿನಲ್ಲಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವುದು

ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಸಾಲುಗಳು

ಕಾರ್ಟೇಸಿಯನ್ ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಸಮತಲ ರೇಖೆಗಳು 2 ನೇ ಡಿಗ್ರಿ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತವೆ

a 11 x 2 + a 12 xy + a 22 y 2 + 2a 13 x + 2a 23 y + a 11 = 0. (*)

ಸಮೀಕರಣವು (*) ನಿಜವಾದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಚಿತ್ರವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸದಿರಬಹುದು, ಆದರೆ ಅಂತಹ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯತೆಯ ಸಲುವಾಗಿ ಇದು ಕಾಲ್ಪನಿಕ ರೇಖೀಯ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. n. ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣದ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ (*), ಕೆಳಗಿನ 9 ಅಂಗೀಕೃತ ರೂಪಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಕ್ಕೆ ಕೆಲವು ಕೋನದಿಂದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಮೂಲ ಮತ್ತು ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಸಮಾನಾಂತರ ಅನುವಾದದಿಂದ ಅದನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸಬಹುದು, ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವರ್ಗದ ಸಾಲುಗಳಿಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. ನಿಖರವಾಗಿ,

ಮುರಿಯಲಾಗದ ಸಾಲುಗಳು:

y 2 = 2px - ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾಸ್,

ಮುರಿಯುವ ಸಾಲುಗಳು:

x 2 - a 2 \u003d 0 - ಜೋಡಿ ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳು,

x 2 + a 2 \u003d 0 - ಜೋಡಿ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳು,

x 2 = 0 - ಜೋಡಿ ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳು.

L. ಇನ್ ನೋಟದ ಸಂಶೋಧನೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಅಂಗೀಕೃತ ರೂಪಕ್ಕೆ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡದೆಯೇ ಕೈಗೊಳ್ಳಬಹುದು. ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಜಂಟಿ ಪರಿಗಣನೆಯಿಂದ ಇದನ್ನು ಸಾಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. L.v ಯ ಮೂಲ ಬದಲಾವಣೆಗಳು n. - ಸಮೀಕರಣದ ಗುಣಾಂಕಗಳಿಂದ ಕೂಡಿದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು (*), ಸಮಾನಾಂತರ ಅನುವಾದ ಮತ್ತು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ತಿರುಗುವಿಕೆಯೊಂದಿಗೆ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ:

S \u003d a 11 + a 22,(a ij = a ji).

ಆದ್ದರಿಂದ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ದೀರ್ಘವೃತ್ತಗಳು, ಕೊಳೆಯದ ರೇಖೆಗಳಂತೆ, ಅವುಗಳಿಗೆ Δ ≠ 0; ಅಸ್ಥಿರ δ ನ ಧನಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯವು ದೀರ್ಘವೃತ್ತಗಳನ್ನು ಇತರ ರೀತಿಯ ಕೊಳೆಯದ ರೇಖೆಗಳಿಂದ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುತ್ತದೆ (ಹೈಪರ್ಬೋಲಾಸ್ δ ಗಾಗಿ

ಮೂರು ಮುಖ್ಯ ಬದಲಾವಣೆಗಳು Δ, δ ಮತ್ತು S LV ಅನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತವೆ. (ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ) ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಸಮತಲದ ಚಲನೆಯವರೆಗೆ (ಚಲನೆಯನ್ನು ನೋಡಿ): ಎರಡು ಸಾಲುಗಳ ಅನುಗುಣವಾದ ಅಸ್ಥಿರತೆಗಳು Δ, δ ಮತ್ತು S ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅಂತಹ ಸಾಲುಗಳನ್ನು ಚಲನೆಯಿಂದ ಅತಿಕ್ರಮಿಸಬಹುದು. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಈ ಸಾಲುಗಳು ಸಮತಲದ ಚಲನೆಗಳ ಗುಂಪಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಮೆಟ್ರಿಕಲ್ ಸಮಾನ).

ಎಲ್ ನ ವರ್ಗೀಕರಣಗಳಿವೆ. ರೂಪಾಂತರಗಳ ಇತರ ಗುಂಪುಗಳ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ. ಹೀಗಾಗಿ, ಚಲನೆಗಳ ಗುಂಪಿಗಿಂತ ತುಲನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ - ಅಫೈನ್ ರೂಪಾಂತರಗಳ ಗುಂಪು (ಅಫೈನ್ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ನೋಡಿ) - ಒಂದೇ ಅಂಗೀಕೃತ ರೂಪದ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಸಾಲುಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಎರಡು ರೀತಿಯ L. in. n. (ಸಾಮ್ಯತೆಯನ್ನು ನೋಡಿ) ಸಮಾನವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ರೇಖೀಯ c.v ಯ ವಿವಿಧ ಅಫೈನ್ ವರ್ಗಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಪರ್ಕಗಳು. ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ರೇಖಾಗಣಿತದ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ ವರ್ಗೀಕರಣವನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಲು ನಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ (ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯನ್ನು ನೋಡಿ), ಇದರಲ್ಲಿ ಅನಂತದಲ್ಲಿರುವ ಅಂಶಗಳು ವಿಶೇಷ ಪಾತ್ರವನ್ನು ವಹಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ನಿಜವಾದ ವಿಘಟಿತವಲ್ಲದ L. in. ಇತ್ಯಾದಿ: ದೀರ್ಘವೃತ್ತಗಳು, ಹೈಪರ್ಬೋಲಾಗಳು ಮತ್ತು ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾಗಳು ಒಂದು ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ವರ್ಗವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ - ನಿಜವಾದ ಅಂಡಾಕಾರದ ರೇಖೆಗಳ ವರ್ಗ (ಅಂಡಾಕಾರಗಳು). ನಿಜವಾದ ಅಂಡಾಕಾರದ ರೇಖೆಯು ದೀರ್ಘವೃತ್ತವಾಗಿದೆ, ಹೈಪರ್ಬೋಲಾ ಅಥವಾ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾ, ಇದು ಅನಂತದಲ್ಲಿ ರೇಖೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಹೇಗೆ ನೆಲೆಗೊಂಡಿದೆ ಎಂಬುದರ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ: ದೀರ್ಘವೃತ್ತವು ಎರಡು ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಅಸಮರ್ಪಕ ರೇಖೆಯನ್ನು ಛೇದಿಸುತ್ತದೆ, ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ನೈಜ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾ, ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾ ಅಸಮರ್ಪಕ ರೇಖೆಯನ್ನು ಮುಟ್ಟುತ್ತದೆ. ; ಈ ಸಾಲುಗಳನ್ನು ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ರೂಪಾಂತರಗಳಿವೆ. L.v ಯ ಕೇವಲ 5 ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಸಮಾನತೆಯ ವರ್ಗಗಳಿವೆ. n. ನಿಖರವಾಗಿ,

ಕ್ಷೀಣಗೊಳ್ಳದ ಸಾಲುಗಳು

(x 1, x 2, x 3- ಏಕರೂಪದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು):

x 1 2 + x 2 2 - x 3 2= 0 - ನಿಜವಾದ ಅಂಡಾಕಾರದ,

x 1 2 + x 2 2 + x 3 2= 0 - ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಅಂಡಾಕಾರದ,

ಕ್ಷೀಣಿಸಿದ ಸಾಲುಗಳು:

x 1 2 - x 2 2= 0 - ಜೋಡಿ ನೈಜ ಸಾಲುಗಳು,

x 1 2 + x 2 2= 0 - ಒಂದು ಜೋಡಿ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ರೇಖೆಗಳು,

x 1 2= 0 - ಕಾಕತಾಳೀಯ ನೈಜ ರೇಖೆಗಳ ಜೋಡಿ.

ಎ.ಬಿ. ಇವನೊವ್.


ಗ್ರೇಟ್ ಸೋವಿಯತ್ ಎನ್ಸೈಕ್ಲೋಪೀಡಿಯಾ. - ಎಂ.: ಸೋವಿಯತ್ ಎನ್ಸೈಕ್ಲೋಪೀಡಿಯಾ. 1969-1978 .

ಇತರ ನಿಘಂಟುಗಳಲ್ಲಿ "ಎರಡನೆಯ ಕ್ರಮದ ಸಾಲುಗಳು" ಏನೆಂದು ನೋಡಿ:

    ಆಯತಾಕಾರದ ಬಿಂದು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಸಮತಲ ರೇಖೆಗಳು 2 ನೇ ಡಿಗ್ರಿ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತವೆ. ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಸಾಲುಗಳಲ್ಲಿ ದೀರ್ಘವೃತ್ತಗಳು (ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ವಲಯಗಳು), ಹೈಪರ್ಬೋಲಾಗಳು, ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾಗಳು ... ಬಿಗ್ ಎನ್ಸೈಕ್ಲೋಪೀಡಿಕ್ ಡಿಕ್ಷನರಿ

    ಆಯತಾಕಾರದ ಬಿಂದು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಸಮತಲ ರೇಖೆಗಳು 2 ನೇ ಡಿಗ್ರಿ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತವೆ. ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಸಾಲುಗಳಲ್ಲಿ ದೀರ್ಘವೃತ್ತಗಳು (ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ವಲಯಗಳು), ಹೈಪರ್ಬೋಲಾಗಳು, ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾಗಳು. * * * ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಸಾಲುಗಳು ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಸಾಲುಗಳು,… … ವಿಶ್ವಕೋಶ ನಿಘಂಟು

    ಸಮತಟ್ಟಾದ ರೇಖೆಗಳು, ಆಯತಾಕಾರದ k px ಬಿಂದುಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಬೀಜಗಣಿತಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತವೆ. 2 ನೇ ಪದವಿಯ ಉರ್ನಿಯಮ್. ಎಲ್ ನಡುವೆ. n. ದೀರ್ಘವೃತ್ತಗಳು (ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ವಲಯಗಳು), ಹೈಪರ್ಬೋಲಾಗಳು, ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾಗಳು... ನೈಸರ್ಗಿಕ ವಿಜ್ಞಾನ. ವಿಶ್ವಕೋಶ ನಿಘಂಟು

    ಸಮತಟ್ಟಾದ ರೇಖೆ, ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಲು ಸಮೂಹಕ್ಕೆ ಕಾರ್ಟಿಸಿಯನ್ ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು. 2 ನೇ ಡಿಗ್ರಿ ಸಮೀಕರಣದ ಸಮೀಕರಣ (*) ನಿಜವಾದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸದಿರಬಹುದು. ಚಿತ್ರ, ಆದರೆ ಅಂತಹ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯತೆಯನ್ನು ಕಾಪಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು, ಅದು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಅವರು ಹೇಳುತ್ತಾರೆ ... ... ಗಣಿತದ ವಿಶ್ವಕೋಶ

    3-ಆಯಾಮದ ನೈಜ (ಅಥವಾ ಸಂಕೀರ್ಣ) ಜಾಗದ ಬಿಂದುಗಳ ಸೆಟ್, ಕಾರ್ಟಿಸಿಯನ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತವೆ. 2 ನೇ ಪದವಿಯ ಸಮೀಕರಣ (*) ಸಮೀಕರಣ (*) ನಿಜವಾದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸದಿರಬಹುದು. ಚಿತ್ರಗಳು, ಅಂತಹ ... ... ಗಣಿತದ ವಿಶ್ವಕೋಶ

    ಬಾಗಿದ ರೇಖೆಗಳ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುವ ಈ ಪದವು ಸಾಕಷ್ಟು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅರ್ಥವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ. ಈ ಪದವನ್ನು ಮುಚ್ಚದ ಮತ್ತು ಕವಲೊಡೆಯದೆ ಇರುವ ಬಾಗಿದ ರೇಖೆಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಿದಾಗ, ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಶಾಖೆ ಎಂದರೆ ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬ ನಿರಂತರ ವ್ಯಕ್ತಿ ... ... ವಿಶ್ವಕೋಶ ನಿಘಂಟು F.A. ಬ್ರೋಕ್ಹೌಸ್ ಮತ್ತು I.A. ಎಫ್ರಾನ್

    ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಸಾಲುಗಳು, ಎರಡು ವ್ಯಾಸಗಳು, ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಈ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಸ್ವರಮೇಳಗಳನ್ನು ವಿಭಜಿಸುತ್ತದೆ, ಇನ್ನೊಂದಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ರೇಖೆಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ SD ಗಳು ಪ್ರಮುಖ ಪಾತ್ರವನ್ನು ವಹಿಸುತ್ತವೆ. ಅದರ S. d. ವೃತ್ತದೊಳಗೆ ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಸಮಾನಾಂತರ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣದೊಂದಿಗೆ. ... ...

    ಬಲ ವೃತ್ತಾಕಾರದ ಕೋನ್ ಅನ್ನು ಅದರ ಶೃಂಗದ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗದ ಸಮತಲಗಳೊಂದಿಗೆ ವಿಭಾಗಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆದ ರೇಖೆಗಳು. ಕೆ.ಎಸ್. ಮೂರು ವಿಧಗಳಾಗಿರಬಹುದು: 1) ಕತ್ತರಿಸುವ ವಿಮಾನವು ಅದರ ಕುಹರದ ಒಂದು ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಕೋನ್ನ ಎಲ್ಲಾ ಜನರೇಟರ್ಗಳನ್ನು ಛೇದಿಸುತ್ತದೆ; ಸಾಲು…… ಗ್ರೇಟ್ ಸೋವಿಯತ್ ಎನ್ಸೈಕ್ಲೋಪೀಡಿಯಾ

    ಅದರ ಶೃಂಗದ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗದ ಸಮತಲಗಳೊಂದಿಗೆ ಬಲ ವೃತ್ತಾಕಾರದ ಕೋನ್ ಅನ್ನು ವಿಭಾಗಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆದ ಸಾಲುಗಳು. ಕೆ.ಎಸ್. ಮೂರು ವಿಧಗಳಾಗಿರಬಹುದು: 1) ಕತ್ತರಿಸುವ ಸಮತಲವು ಅದರ ಕುಹರದ ಒಂದು ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಕೋನ್ನ ಎಲ್ಲಾ ಜನರೇಟರ್ಗಳನ್ನು ಛೇದಿಸುತ್ತದೆ (ಚಿತ್ರ, ಎ): ಛೇದನದ ರೇಖೆ ... ... ಗಣಿತದ ವಿಶ್ವಕೋಶ

    ಜ್ಯಾಮಿತಿ ವಿಭಾಗ. ಬೀಜಗಣಿತದ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಮೂಲ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು ಸರಳವಾದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಚಿತ್ರಗಳಾಗಿವೆ (ಬಿಂದುಗಳು, ರೇಖೆಗಳು, ವಿಮಾನಗಳು, ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳು ಮತ್ತು ಎರಡನೇ-ಕ್ರಮದ ಮೇಲ್ಮೈಗಳು). A. g. ನಲ್ಲಿ ಸಂಶೋಧನೆಯ ಮುಖ್ಯ ವಿಧಾನವೆಂದರೆ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ವಿಧಾನ (ಕೆಳಗೆ ನೋಡಿ) ಮತ್ತು ವಿಧಾನಗಳು ... ... ಗ್ರೇಟ್ ಸೋವಿಯತ್ ಎನ್ಸೈಕ್ಲೋಪೀಡಿಯಾ

ಪುಸ್ತಕಗಳು

  • ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸಣ್ಣ ಕೋರ್ಸ್, ಎಫಿಮೊವ್ ನಿಕೊಲಾಯ್ ವ್ಲಾಡಿಮಿರೊವಿಚ್. ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ರೇಖಾಗಣಿತದ ಅಧ್ಯಯನದ ವಿಷಯವು ಅಂಕಿಗಳಾಗಿದ್ದು, ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ ಮೊದಲ ಪದವಿ ಅಥವಾ ಎರಡನೆಯ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಮತಲದಲ್ಲಿ, ಇವುಗಳು ನೇರ ರೇಖೆಗಳು ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಕ್ರಮದ ರೇಖೆಗಳು. ...