ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳ ಕೋಷ್ಟಕ. ಟೇಲರ್, ಮ್ಯಾಕ್ಲೌರಿನ್, ಲಾರೆಂಟ್ ಸರಣಿಯಾಗಿ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸುವುದು

ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಸರಣಿಗಳಲ್ಲಿ, ಪ್ರಮುಖ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ವಿದ್ಯುತ್ ಸರಣಿಯು ಆಕ್ರಮಿಸಿಕೊಂಡಿದೆ.

ವಿದ್ಯುತ್ ಸರಣಿಯು ಒಂದು ಸರಣಿಯಾಗಿದೆ

ಅವರ ನಿಯಮಗಳು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಶಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುವಲ್ಲಿ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೊಳಿಸಲಾದ ಶಕ್ತಿ ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿವೆ X, ಎ ಸಿ 0 , ಸಿ 1 , ಸಿ 2 , ಸಿ n - ಸ್ಥಿರ ಮೌಲ್ಯಗಳು. ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಸಿ 1 , ಸಿ 2 , ಸಿ n - ಸರಣಿ ಪದಗಳ ಗುಣಾಂಕಗಳು, ಸಿ 0 - ಉಚಿತ ಸದಸ್ಯ. ವಿದ್ಯುತ್ ಸರಣಿಯ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯೊಂದಿಗೆ ಪರಿಚಯ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳೋಣ ವಿದ್ಯುತ್ ಸರಣಿಯ ಒಮ್ಮುಖದ ಪ್ರದೇಶಗಳು.ಇದು ವೇರಿಯಬಲ್ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಒಂದು ಸೆಟ್ ಆಗಿದೆ X, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಸರಣಿಯು ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ. ಪವರ್ ಸರಣಿಗಳು ಸಾಕಷ್ಟು ಸರಳವಾದ ಒಮ್ಮುಖ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ನೈಜ ವೇರಿಯಬಲ್ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗಾಗಿ Xಒಮ್ಮುಖ ಪ್ರದೇಶವು ಒಂದು ಬಿಂದುವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ, ಅಥವಾ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮಧ್ಯಂತರ (ಒಮ್ಮುಖ ಮಧ್ಯಂತರ), ಅಥವಾ ಸಂಪೂರ್ಣ ಅಕ್ಷದೊಂದಿಗೆ ಸೇರಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಎತ್ತು .

ಪವರ್ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಬದಲಿಸಿದಾಗ X= 0 ಸಂಖ್ಯೆ ಸರಣಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ

ಸಿ 0 +0+0+...+0+... ,

ಇದು ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಯಾವಾಗ X= 0 ಯಾವುದೇ ವಿದ್ಯುತ್ ಸರಣಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ, ಅದರ ಒಮ್ಮುಖ ಪ್ರದೇಶಖಾಲಿ ಸೆಟ್ ಆಗಿರಬಾರದು. ಎಲ್ಲಾ ವಿದ್ಯುತ್ ಸರಣಿಗಳ ಒಮ್ಮುಖದ ಪ್ರದೇಶದ ರಚನೆಯು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಇದನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಬಹುದು.

ಪ್ರಮೇಯ 1 (ಅಬೆಲ್ನ ಪ್ರಮೇಯ). ವಿದ್ಯುತ್ ಸರಣಿಯು ಕೆಲವು ಮೌಲ್ಯದಲ್ಲಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗಿದ್ದರೆ X = X 0, ಶೂನ್ಯದಿಂದ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ, ನಂತರ ಅದು ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು, ಮೇಲಾಗಿ, ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ, ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ | X| < |X 0 | . ದಯವಿಟ್ಟು ಗಮನಿಸಿ: ಆರಂಭಿಕ ಮೌಲ್ಯ "X ಶೂನ್ಯ" ಮತ್ತು "X" ನ ಯಾವುದೇ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಆರಂಭಿಕ ಮೌಲ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಹೋಲಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ - ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳದೆಯೇ ಮಾಡ್ಯೂಲೋ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಪರಿಣಾಮ. ಒಂದು ವೇಳೆ ವಿದ್ಯುತ್ ಸರಣಿಯು ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆಕೆಲವು ಮೌಲ್ಯದಲ್ಲಿ X = X 1, ನಂತರ ಅದು | ನ ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ X| > |X 1 | .

ನಾವು ಮೊದಲೇ ಕಂಡುಕೊಂಡಂತೆ, ಯಾವುದೇ ವಿದ್ಯುತ್ ಸರಣಿಯು ಮೌಲ್ಯದಲ್ಲಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ X= 0. ಯಾವಾಗ ಮಾತ್ರ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುವ ವಿದ್ಯುತ್ ಸರಣಿಗಳಿವೆ X= 0 ಮತ್ತು ಇತರ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸ X. ಪರಿಗಣನೆಯಿಂದ ಈ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ, ವಿದ್ಯುತ್ ಸರಣಿಯು ಕೆಲವು ಮೌಲ್ಯದಲ್ಲಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ಭಾವಿಸುತ್ತೇವೆ X = X 0, ಶೂನ್ಯದಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ. ನಂತರ, ಅಬೆಲ್ನ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ, ಮಧ್ಯಂತರದ ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಅದು ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ ]-| X 0 |, |X 0 |[ (ಅದರ ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲ ಗಡಿಗಳು x ಮೌಲ್ಯಗಳು ಪವರ್ ಸರಣಿಗಳು ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತವೆ, ಕ್ರಮವಾಗಿ ಮೈನಸ್ ಚಿಹ್ನೆ ಮತ್ತು ಪ್ಲಸ್ ಚಿಹ್ನೆಯೊಂದಿಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ), ಮೂಲದ ಬಗ್ಗೆ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿದೆ.

ವಿದ್ಯುತ್ ಸರಣಿಯು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮೌಲ್ಯದಲ್ಲಿ ಭಿನ್ನವಾಗಿದ್ದರೆ X = X 1, ನಂತರ, ಅಬೆಲ್‌ನ ಪ್ರಮೇಯದ ಅನುಬಂಧವನ್ನು ಆಧರಿಸಿ, ಇದು ವಿಭಾಗದ ಹೊರಗಿನ ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ [-| X 1 |, |X 1 |] . ಯಾವುದೇ ವಿದ್ಯುತ್ ಸರಣಿಗೆ ಮೂಲಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಮಧ್ಯಂತರ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಿದೆ ಎಂದು ಅದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ ಒಮ್ಮುಖ ಮಧ್ಯಂತರ, ಸರಣಿಯು ಒಮ್ಮುಖವಾಗುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ, ಗಡಿಗಳಲ್ಲಿ ಅದು ಒಮ್ಮುಖವಾಗಬಹುದು, ಅಥವಾ ಅದು ಬೇರೆಯಾಗಬಹುದು, ಮತ್ತು ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ, ಮತ್ತು ವಿಭಾಗದ ಹೊರಗೆ ಸರಣಿಯು ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸಂಖ್ಯೆ ಆರ್ವಿದ್ಯುತ್ ಸರಣಿಯ ಒಮ್ಮುಖದ ತ್ರಿಜ್ಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ವಿಶೇಷ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ವಿದ್ಯುತ್ ಸರಣಿಯ ಒಮ್ಮುಖ ಮಧ್ಯಂತರಒಂದು ಹಂತಕ್ಕೆ ಕ್ಷೀಣಿಸಬಹುದು (ನಂತರ ಸರಣಿಯು ಯಾವಾಗ ಮಾತ್ರ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ X= 0 ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಆರ್= 0) ಅಥವಾ ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ರೇಖೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ (ನಂತರ ಸರಣಿಯು ಸಂಖ್ಯಾ ರೇಖೆಯ ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಊಹಿಸಲಾಗಿದೆ ).

ಹೀಗಾಗಿ, ವಿದ್ಯುತ್ ಸರಣಿಯ ಒಮ್ಮುಖದ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು ಅದರ ನಿರ್ಧರಿಸುವಲ್ಲಿ ಒಳಗೊಂಡಿದೆ ಒಮ್ಮುಖ ತ್ರಿಜ್ಯ ಆರ್ಮತ್ತು ಒಮ್ಮುಖ ಮಧ್ಯಂತರದ ಗಡಿಗಳಲ್ಲಿ ಸರಣಿಯ ಒಮ್ಮುಖವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವುದು ( ನಲ್ಲಿ ).

ಪ್ರಮೇಯ 2. ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಒಂದರಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುವ ವಿದ್ಯುತ್ ಸರಣಿಯ ಎಲ್ಲಾ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದರ ಒಮ್ಮುಖ ತ್ರಿಜ್ಯವು ಸಾಮಾನ್ಯ ನಿಯಮಗಳ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿ ಮಿತಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಅದನ್ನು ಅನುಸರಿಸುವ ಸರಣಿ, ಅಂದರೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 1. ವಿದ್ಯುತ್ ಸರಣಿಯ ಒಮ್ಮುಖದ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಹುಡುಕಿ

ಪರಿಹಾರ. ಇಲ್ಲಿ

ಸೂತ್ರವನ್ನು (28) ಬಳಸಿ, ಈ ಸರಣಿಯ ಒಮ್ಮುಖದ ತ್ರಿಜ್ಯವನ್ನು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:

ಒಮ್ಮುಖ ಮಧ್ಯಂತರದ ತುದಿಗಳಲ್ಲಿ ಸರಣಿಯ ಒಮ್ಮುಖವನ್ನು ನಾವು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡೋಣ. ಉದಾಹರಣೆ 13 ಈ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ X= 1 ಮತ್ತು ವಿಭಜಿಸುತ್ತದೆ X= -1. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಒಮ್ಮುಖದ ಪ್ರದೇಶವು ಅರ್ಧ-ಮಧ್ಯಂತರವಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 2. ವಿದ್ಯುತ್ ಸರಣಿಯ ಒಮ್ಮುಖದ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಹುಡುಕಿ

ಪರಿಹಾರ. ಸರಣಿಯ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಮತ್ತು

ಈ ಅನುಪಾತದ ಮಿತಿಯನ್ನು ನಾವು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ, ಅಂದರೆ. ವಿದ್ಯುತ್ ಸರಣಿಯ ಒಮ್ಮುಖದ ತ್ರಿಜ್ಯ:

ಮಧ್ಯಂತರದ ಅಂತ್ಯದಲ್ಲಿ ಸರಣಿಯ ಒಮ್ಮುಖವನ್ನು ನಾವು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡೋಣ. ಮೌಲ್ಯಗಳ ಪರ್ಯಾಯ X= -1/5 ಮತ್ತು X= 1/5 ಈ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ನೀಡುತ್ತದೆ:

ಈ ಸರಣಿಗಳಲ್ಲಿ ಮೊದಲನೆಯದು ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ (ಉದಾಹರಣೆ 5 ನೋಡಿ). ಆದರೆ ನಂತರ, "ಸಂಪೂರ್ಣ ಒಮ್ಮುಖ" ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿನ ಪ್ರಮೇಯದ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ, ಎರಡನೇ ಸರಣಿಯು ಕೂಡ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಒಮ್ಮುಖದ ಪ್ರದೇಶವು ವಿಭಾಗವಾಗಿದೆ

ಉದಾಹರಣೆ 3. ವಿದ್ಯುತ್ ಸರಣಿಯ ಒಮ್ಮುಖದ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಹುಡುಕಿ

ಪರಿಹಾರ. ಇಲ್ಲಿ

ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿ (28) ನಾವು ಸರಣಿಯ ಒಮ್ಮುಖದ ತ್ರಿಜ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:

ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗಾಗಿ ಸರಣಿಯ ಒಮ್ಮುಖವನ್ನು ನಾವು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡೋಣ. ಈ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿ ಅವುಗಳನ್ನು ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ, ನಾವು ಕ್ರಮವಾಗಿ ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

ಒಮ್ಮುಖವಾಗಲು ಅಗತ್ಯವಾದ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪೂರೈಸದ ಕಾರಣ ಎರಡೂ ಸರಣಿಗಳು ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತವೆ (ಅವುಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪದಗಳು ನಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರುವುದಿಲ್ಲ). ಆದ್ದರಿಂದ, ಒಮ್ಮುಖ ಮಧ್ಯಂತರದ ಎರಡೂ ತುದಿಗಳಲ್ಲಿ, ಈ ಸರಣಿಯು ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಒಮ್ಮುಖದ ಪ್ರದೇಶವು ಮಧ್ಯಂತರವಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 5. ವಿದ್ಯುತ್ ಸರಣಿಯ ಒಮ್ಮುಖದ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಹುಡುಕಿ

ಪರಿಹಾರ. ನಾವು ಎಲ್ಲಿ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ, ಮತ್ತು :

ಸೂತ್ರದ ಪ್ರಕಾರ (28), ಈ ಸರಣಿಯ ಒಮ್ಮುಖದ ತ್ರಿಜ್ಯ

ಅಂದರೆ, ಸರಣಿಯು ಯಾವಾಗ ಮಾತ್ರ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ X= 0 ಮತ್ತು ಇತರ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ X.

ಒಮ್ಮುಖ ಮಧ್ಯಂತರದ ತುದಿಗಳಲ್ಲಿ ಸರಣಿಯು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿ ವರ್ತಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಉದಾಹರಣೆಗಳು ತೋರಿಸುತ್ತವೆ. ಉದಾಹರಣೆ 1 ರಲ್ಲಿ, ಒಮ್ಮುಖ ಮಧ್ಯಂತರದ ಒಂದು ತುದಿಯಲ್ಲಿ ಸರಣಿಯು ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದರಲ್ಲಿ ಅದು ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ; ಉದಾಹರಣೆಗೆ 2, ಇದು ಎರಡೂ ತುದಿಗಳಲ್ಲಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ; ಉದಾಹರಣೆಗೆ 3, ಇದು ಎರಡೂ ತುದಿಗಳಲ್ಲಿ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುವ ಸರಣಿ ಪದಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಶೂನ್ಯದಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಎಂಬ ಊಹೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ವಿದ್ಯುತ್ ಸರಣಿಯ ಒಮ್ಮುಖದ ತ್ರಿಜ್ಯದ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಈ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಸೂತ್ರದ (28) ಬಳಕೆಯನ್ನು ಅನುಮತಿಸಲಾಗಿದೆ. ಈ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಉಲ್ಲಂಘಿಸಿದರೆ, ವಿದ್ಯುತ್ ಸರಣಿಯ ಒಮ್ಮುಖದ ತ್ರಿಜ್ಯವನ್ನು ಡಿ'ಅಲೆಂಬರ್ಟ್ ಪರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಹುಡುಕಬೇಕು, ಅಥವಾ, ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಅನ್ನು ಬದಲಿಸುವ ಮೂಲಕ, ಸರಣಿಯನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ರೂಪಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತಿಸಬೇಕು.

ಉದಾಹರಣೆ 6. ವಿದ್ಯುತ್ ಸರಣಿಯ ಒಮ್ಮುಖದ ಮಧ್ಯಂತರವನ್ನು ಹುಡುಕಿ

ಪರಿಹಾರ. ಈ ಸರಣಿಯು ಬೆಸ ಡಿಗ್ರಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಪದಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ X. ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಸರಣಿಯನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸುತ್ತೇವೆ, ಸೆಟ್ಟಿಂಗ್ . ನಂತರ ನಾವು ಸರಣಿಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

ಒಮ್ಮುಖದ ತ್ರಿಜ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ನಾವು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು (28). ರಿಂದ , a , ನಂತರ ಈ ಸರಣಿಯ ಒಮ್ಮುಖದ ತ್ರಿಜ್ಯ

ನಾವು ಪಡೆಯುವ ಸಮಾನತೆಯಿಂದ, ಈ ಸರಣಿಯು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ.

ವಿದ್ಯುತ್ ಸರಣಿಯ ಮೊತ್ತ. ವಿದ್ಯುತ್ ಸರಣಿಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಮತ್ತು ಏಕೀಕರಣ

ವಿದ್ಯುತ್ ಸರಣಿಗೆ ಅವಕಾಶ ಮಾಡಿಕೊಡಿ

ಒಮ್ಮುಖದ ತ್ರಿಜ್ಯ ಆರ್> 0, ಅಂದರೆ. ಈ ಸರಣಿಯು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ.

ನಂತರ ಪ್ರತಿ ಮೌಲ್ಯ Xಒಮ್ಮುಖ ಮಧ್ಯಂತರದಿಂದ ಸರಣಿಯ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ವಿದ್ಯುತ್ ಸರಣಿಯ ಮೊತ್ತವು ಒಂದು ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ Xಒಮ್ಮುಖ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ. ಇದನ್ನು ಸೂಚಿಸುವುದು f(X), ನಾವು ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಬರೆಯಬಹುದು

ಪ್ರತಿ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಸರಣಿಯ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು Xಒಮ್ಮುಖ ಮಧ್ಯಂತರದಿಂದ ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ f(X) ಈ ಸಮಯದಲ್ಲಿ. ಅದೇ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ, ವಿದ್ಯುತ್ ಸರಣಿ (29) ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ f(X) ಒಮ್ಮುಖ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ.

ಒಮ್ಮುಖ ಮಧ್ಯಂತರದ ಹೊರಗೆ, ಸಮಾನತೆ (30) ಯಾವುದೇ ಅರ್ಥವಿಲ್ಲ.

ಉದಾಹರಣೆ 7. ವಿದ್ಯುತ್ ಸರಣಿಯ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಹುಡುಕಿ

ಪರಿಹಾರ. ಇದು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸರಣಿಯಾಗಿದೆ ಎ= 1, ಎ q= X. ಆದ್ದರಿಂದ, ಅದರ ಮೊತ್ತವು ಒಂದು ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ . ಒಂದು ಸರಣಿಯು ಒಮ್ಮುಖವಾಗುವುದು , ಮತ್ತು ಅದರ ಒಮ್ಮುಖ ಮಧ್ಯಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಸಮಾನತೆ

ಕಾರ್ಯವಾಗಿದ್ದರೂ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಮಾತ್ರ ಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ X, ಹೊರತುಪಡಿಸಿ X= 1.

ವಿದ್ಯುತ್ ಸರಣಿಯ ಮೊತ್ತ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದು f(X) ಒಮ್ಮುಖ ಮಧ್ಯಂತರದೊಳಗೆ ಯಾವುದೇ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿ ಮತ್ತು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಸರಣಿಯ ಒಮ್ಮುಖ ಮಧ್ಯಂತರದ ಯಾವುದೇ ಹಂತದಲ್ಲಿ.

ಪದದಿಂದ-ಅವಧಿಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಮತ್ತು ವಿದ್ಯುತ್ ಸರಣಿಯ ಏಕೀಕರಣದ ಕುರಿತು ನಾವು ಪ್ರಮೇಯಗಳನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸೋಣ.

ಪ್ರಮೇಯ 1. ಅದರ ಒಮ್ಮುಖದ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಪವರ್ ಸರಣಿ (30) ಅನ್ನು ಅನಿಯಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಬಾರಿ ಪದದಿಂದ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಬಹುದು, ಮತ್ತು ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ವಿದ್ಯುತ್ ಸರಣಿಯು ಮೂಲ ಸರಣಿಯಂತೆಯೇ ಒಮ್ಮುಖದ ತ್ರಿಜ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಮೊತ್ತವು ಕ್ರಮವಾಗಿ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಪ್ರಮೇಯ 2. ಪವರ್ ಸೀರೀಸ್ (30) ಅನ್ನು 0 ರಿಂದ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯಲ್ಲಿ ಅನಿಯಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಬಾರಿ ಪದದಿಂದ ಸಂಯೋಜಿಸಬಹುದು X, ವೇಳೆ , ಮತ್ತು ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಬರುವ ಪವರ್ ಸರಣಿಯು ಮೂಲ ಸರಣಿಯಂತೆಯೇ ಒಮ್ಮುಖದ ತ್ರಿಜ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಮೊತ್ತಗಳು ಅನುಗುಣವಾಗಿ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ

ಪವರ್ ಸೀರೀಸ್ ಆಗಿ ಕಾರ್ಯಗಳ ವಿಸ್ತರಣೆ

ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನೀಡಲಿ f(X), ಇದು ವಿದ್ಯುತ್ ಸರಣಿಯಾಗಿ ವಿಸ್ತರಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ. ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಿ (30):

ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ ಸಾಲು (30). ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಸಮಾನತೆ (30) ಪದವನ್ನು ಪದದಿಂದ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಿ, ನಾವು ಸ್ಥಿರವಾಗಿ ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:

……………………………………………….. (31)

ಸಮಾನತೆಗಳಲ್ಲಿ ಊಹಿಸುವುದು (30) ಮತ್ತು (31) X= 0, ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ

ಕಂಡುಬರುವ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಸಮಾನತೆ (30) ಆಗಿ ಬದಲಿಸಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

(32)

ಕೆಲವು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳ ಮ್ಯಾಕ್ಲೌರಿನ್ ಸರಣಿಯ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ನಾವು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆ 8. ಮ್ಯಾಕ್ಲೌರಿನ್ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಿ

ಪರಿಹಾರ. ಈ ಕಾರ್ಯದ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಕಾರ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತವೆ:

ಆದ್ದರಿಂದ, ಯಾವಾಗ X= 0 ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ

ಈ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ (32) ಬದಲಿಸಿ, ನಾವು ಬಯಸಿದ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

(33)

ಈ ಸರಣಿಯು ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ (ಅದರ ಒಮ್ಮುಖದ ತ್ರಿಜ್ಯ) ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ.

16.1 ಟೇಲರ್ ಮತ್ತು ಮ್ಯಾಕ್ಲೌರಿನ್ ಸರಣಿಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳ ವಿಸ್ತರಣೆ

ಒಂದು ಸೆಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದರೆ ಅದನ್ನು ತೋರಿಸೋಣ
, ಬಿಂದುವಿನ ಸಮೀಪದಲ್ಲಿ
ಅನೇಕ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಮತ್ತು ಇದು ವಿದ್ಯುತ್ ಸರಣಿಯ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ:

ನಂತರ ನೀವು ಈ ಸರಣಿಯ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಾಣಬಹುದು.

ಪವರ್ ಸೀರೀಸ್‌ನಲ್ಲಿ ಬದಲಿ ಮಾಡೋಣ
. ನಂತರ
.

ಕಾರ್ಯದ ಮೊದಲ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ
:

ನಲ್ಲಿ
:
.

ಎರಡನೇ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕಾಗಿ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ನಲ್ಲಿ
:
.

ಈ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನವನ್ನು ಮುಂದುವರಿಸುವುದು ಎನ್ಒಮ್ಮೆ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:
.

ಹೀಗಾಗಿ, ನಾವು ರೂಪದ ವಿದ್ಯುತ್ ಸರಣಿಯನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ:

ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಟೇಲರ್ ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ
ಬಿಂದುವಿನ ಸಮೀಪದಲ್ಲಿ
.

ಟೇಲರ್ ಸರಣಿಯ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣ ಮ್ಯಾಕ್ಲೌರಿನ್ ಸರಣಿನಲ್ಲಿ
:

ಟೇಲರ್ (ಮ್ಯಾಕ್ಲೌರಿನ್) ಸರಣಿಯ ಉಳಿದ ಭಾಗವನ್ನು ಮುಖ್ಯ ಸರಣಿಯನ್ನು ತ್ಯಜಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಎನ್ಮೊದಲ ಸದಸ್ಯರು ಮತ್ತು ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ
. ನಂತರ ಕಾರ್ಯ
ಮೊತ್ತವಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದು ಎನ್ಸರಣಿಯ ಮೊದಲ ಸದಸ್ಯರು
ಮತ್ತು ಉಳಿದ
:,

ಉಳಿದವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ
ವಿವಿಧ ಸೂತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಲ್ಯಾಗ್ರೇಂಜ್ ರೂಪದಲ್ಲಿದೆ:

, ಎಲ್ಲಿ
.
.

ಆಚರಣೆಯಲ್ಲಿ ಮ್ಯಾಕ್ಲೌರಿನ್ ಸರಣಿಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಹೀಗಾಗಿ, ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಬರೆಯುವ ಸಲುವಾಗಿ
ವಿದ್ಯುತ್ ಸರಣಿಯ ಮೊತ್ತದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಇದು ಅವಶ್ಯಕ:

1) ಮ್ಯಾಕ್ಲೌರಿನ್ (ಟೇಲರ್) ಸರಣಿಯ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ;

2) ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ವಿದ್ಯುತ್ ಸರಣಿಯ ಒಮ್ಮುಖದ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ;

3) ಈ ಸರಣಿಯು ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ
.

ಪ್ರಮೇಯ 1 (ಮ್ಯಾಕ್ಲೌರಿನ್ ಸರಣಿಯ ಒಮ್ಮುಖಕ್ಕೆ ಅಗತ್ಯವಾದ ಮತ್ತು ಸಾಕಷ್ಟು ಸ್ಥಿತಿ). ಸರಣಿಯ ಒಮ್ಮುಖದ ತ್ರಿಜ್ಯವನ್ನು ಅನುಮತಿಸಿ
. ಈ ಸರಣಿಯು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗಲು
ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸಲು
, ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪೂರೈಸಲು ಇದು ಅವಶ್ಯಕ ಮತ್ತು ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ:
ನಿಗದಿತ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ.

ಪ್ರಮೇಯ 2. ಕಾರ್ಯದ ಯಾವುದೇ ಕ್ರಮದ ಉತ್ಪನ್ನಗಳಾಗಿದ್ದರೆ
ಕೆಲವು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ
ಅದೇ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯದಲ್ಲಿ ಸೀಮಿತವಾಗಿದೆ ಎಂ, ಅದು
, ನಂತರ ಈ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯ
ಮ್ಯಾಕ್ಲೌರಿನ್ ಸರಣಿಯಾಗಿ ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು.

ಉದಾಹರಣೆ 1. ಪಾಯಿಂಟ್ ಸುತ್ತ ಟೇಲರ್ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿ ವಿಸ್ತರಿಸಿ
ಕಾರ್ಯ.

ಪರಿಹಾರ.

,
;

.......................................................................................................................................

,
;

ಒಮ್ಮುಖ ಪ್ರದೇಶ
.

ಉದಾಹರಣೆ 2. ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಿ ಒಂದು ಹಂತದ ಸುತ್ತ ಟೇಲರ್ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿ
.

ಪರಿಹಾರ:

ನಲ್ಲಿ ಫಂಕ್ಷನ್ ಮತ್ತು ಅದರ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ
.

,
;

...........……………………………

,
.

ಈ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಸತತವಾಗಿ ಇಡೋಣ. ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಅಥವಾ
.

ಈ ಸರಣಿಯ ಒಮ್ಮುಖದ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ. ಡಿ'ಅಲೆಂಬರ್ಟ್ ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಪ್ರಕಾರ, ಒಂದು ಸರಣಿಯು ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ

ಆದ್ದರಿಂದ, ಯಾವುದಕ್ಕೂ ಈ ಮಿತಿಯು 1 ಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಸರಣಿಯ ಒಮ್ಮುಖದ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯು ಹೀಗಿರುತ್ತದೆ:
.

ಮೂಲಭೂತ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳ ಮ್ಯಾಕ್ಲೌರಿನ್ ಸರಣಿಯ ವಿಸ್ತರಣೆಯ ಹಲವಾರು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನಾವು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ. ಮ್ಯಾಕ್ಲೌರಿನ್ ಸರಣಿಯನ್ನು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ:

ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ
ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸಲು
.

ಒಂದು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸರಣಿಯಾಗಿ ವಿಸ್ತರಿಸಲು ಇದು ಅವಶ್ಯಕವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ:

ಎ) ಈ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಮ್ಯಾಕ್ಲೌರಿನ್ ಸರಣಿಯ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ;

ಬಿ) ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಸರಣಿಗಾಗಿ ಒಮ್ಮುಖದ ತ್ರಿಜ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿ;

ಸಿ) ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಸರಣಿಯು ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ
.

ಉದಾಹರಣೆ 3. ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ
.

ಪರಿಹಾರ.

ನಾವು ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಮತ್ತು ಅದರ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ
.

ನಂತರ ಸರಣಿಯ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಗುಣಾಂಕಗಳು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ:

ಯಾರಿಗಾದರೂ ಎನ್.ಕಂಡುಬರುವ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಮ್ಯಾಕ್ಲೌರಿನ್ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿ ಬದಲಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಪಡೆಯೋಣ:

ಫಲಿತಾಂಶದ ಸರಣಿಯ ಒಮ್ಮುಖದ ತ್ರಿಜ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ, ಅವುಗಳೆಂದರೆ:

ಆದ್ದರಿಂದ, ಸರಣಿಯು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ
.

ಈ ಸರಣಿಯು ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ ಯಾವುದೇ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ , ಏಕೆಂದರೆ ಯಾವುದೇ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ
ಕಾರ್ಯ ಮತ್ತು ಅದರ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯದ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಸೀಮಿತವಾಗಿವೆ .

ಉದಾಹರಣೆ 4. ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ
.

ಪರಿಹಾರ.

ಸಮ ಕ್ರಮದ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ನೋಡುವುದು ಸುಲಭ
, ಮತ್ತು ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಬೆಸ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿವೆ. ನಾವು ಕಂಡುಕೊಂಡ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಮ್ಯಾಕ್ಲೌರಿನ್ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿ ಬದಲಿಸೋಣ ಮತ್ತು ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ಪಡೆಯೋಣ:

ಈ ಸರಣಿಯ ಒಮ್ಮುಖದ ಮಧ್ಯಂತರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ. ಡಿ'ಅಲೆಂಬರ್ಟ್ ಚಿಹ್ನೆಯ ಪ್ರಕಾರ:

ಯಾರಿಗಾದರೂ . ಆದ್ದರಿಂದ, ಸರಣಿಯು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ
.

ಈ ಸರಣಿಯು ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ
, ಏಕೆಂದರೆ ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಏಕತೆಗೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿವೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 5.
.

ಪರಿಹಾರ.

ನಲ್ಲಿ ಫಂಕ್ಷನ್ ಮತ್ತು ಅದರ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ
:

ಹೀಗಾಗಿ, ಈ ಸರಣಿಯ ಗುಣಾಂಕಗಳು:
ಮತ್ತು
, ಆದ್ದರಿಂದ:

ಹಿಂದಿನ ಸಾಲಿನಂತೆಯೇ, ಒಮ್ಮುಖದ ಪ್ರದೇಶ
. ಸರಣಿಯು ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ
, ಏಕೆಂದರೆ ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಏಕತೆಗೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿವೆ.

ಕಾರ್ಯವನ್ನು ದಯವಿಟ್ಟು ಗಮನಿಸಿ
ಬೆಸ ಶಕ್ತಿಗಳಲ್ಲಿ ಬೆಸ ಮತ್ತು ಸರಣಿ ವಿಸ್ತರಣೆ, ಕಾರ್ಯ
- ಸಮ ಮತ್ತು ಸಮಾನ ಶಕ್ತಿಗಳಲ್ಲಿ ಸರಣಿಯಾಗಿ ವಿಸ್ತರಣೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 6. ದ್ವಿಪದ ಸರಣಿ:
.

ಪರಿಹಾರ.

ನಲ್ಲಿ ಫಂಕ್ಷನ್ ಮತ್ತು ಅದರ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ
:

ಇದರಿಂದ ಇದನ್ನು ಕಾಣಬಹುದು:

ನಾವು ಈ ಗುಣಾಂಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಮ್ಯಾಕ್ಲೌರಿನ್ ಸರಣಿಗೆ ಬದಲಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಈ ಕಾರ್ಯದ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ವಿದ್ಯುತ್ ಸರಣಿಯಾಗಿ ಪಡೆಯೋಣ:

ಈ ಸರಣಿಯ ಒಮ್ಮುಖದ ತ್ರಿಜ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ:

ಆದ್ದರಿಂದ, ಸರಣಿಯು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ
. ನಲ್ಲಿ ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸುವ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ
ಮತ್ತು
ಘಾತವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ ಸರಣಿಯು ಒಮ್ಮುಖವಾಗಬಹುದು ಅಥವಾ ಒಮ್ಮುಖವಾಗದೇ ಇರಬಹುದು
.

ಅಧ್ಯಯನದ ಸರಣಿಯು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ
ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸಲು
, ಅಂದರೆ, ಸರಣಿಯ ಮೊತ್ತ
ನಲ್ಲಿ
.

ಉದಾಹರಣೆ 7. ಮ್ಯಾಕ್ಲೌರಿನ್ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸೋಣ
.

ಪರಿಹಾರ.

ಈ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸರಣಿಯಾಗಿ ವಿಸ್ತರಿಸಲು, ನಾವು ದ್ವಿಪದ ಸರಣಿಯನ್ನು ಇಲ್ಲಿ ಬಳಸುತ್ತೇವೆ
. ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ವಿದ್ಯುತ್ ಸರಣಿಯ ಆಸ್ತಿಯ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ (ಅದರ ಒಮ್ಮುಖದ ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿ ವಿದ್ಯುತ್ ಸರಣಿಯನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸಬಹುದು), ಈ ಸರಣಿಯ ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲ ಬದಿಗಳ ಅವಿಭಾಜ್ಯತೆಯನ್ನು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:

ಈ ಸರಣಿಯ ಒಮ್ಮುಖದ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ನಾವು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ:
,

ಅಂದರೆ, ಈ ಸರಣಿಯ ಒಮ್ಮುಖದ ಪ್ರದೇಶವು ಮಧ್ಯಂತರವಾಗಿದೆ
. ಮಧ್ಯಂತರದ ತುದಿಗಳಲ್ಲಿ ಸರಣಿಯ ಒಮ್ಮುಖವನ್ನು ನಾವು ನಿರ್ಧರಿಸೋಣ. ನಲ್ಲಿ

. ಈ ಸರಣಿಯು ಸಾಮರಸ್ಯದ ಸರಣಿಯಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ, ಅದು ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನಲ್ಲಿ
ನಾವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಪದದೊಂದಿಗೆ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸರಣಿಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ
.

ಲೀಬ್ನಿಜ್ ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಪ್ರಕಾರ ಸರಣಿಯು ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಈ ಸರಣಿಯ ಒಮ್ಮುಖದ ಪ್ರದೇಶವು ಮಧ್ಯಂತರವಾಗಿದೆ
.

16.2 ಅಂದಾಜು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳಲ್ಲಿ ವಿದ್ಯುತ್ ಸರಣಿಯ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್

ಅಂದಾಜು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದಲ್ಲಿ, ವಿದ್ಯುತ್ ಸರಣಿಯು ಅತ್ಯಂತ ಪ್ರಮುಖ ಪಾತ್ರವನ್ನು ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ಅವರ ಸಹಾಯದಿಂದ, ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳ ಕೋಷ್ಟಕಗಳು, ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ಕೋಷ್ಟಕಗಳು, ಇತರ ಕಾರ್ಯಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಕೋಷ್ಟಕಗಳನ್ನು ಸಂಕಲಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇವುಗಳನ್ನು ಜ್ಞಾನದ ವಿವಿಧ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಗಣಿತದ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳಲ್ಲಿ. ಇದರ ಜೊತೆಗೆ, ಕಾರ್ಯಗಳ ವಿಸ್ತರಣೆಯು ಶಕ್ತಿಯ ಸರಣಿಯಾಗಿ ಅವುಗಳ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಅಧ್ಯಯನಕ್ಕೆ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ. ಅಂದಾಜು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದಲ್ಲಿ ವಿದ್ಯುತ್ ಸರಣಿಯನ್ನು ಬಳಸುವಾಗ ಮುಖ್ಯ ಸಮಸ್ಯೆಯೆಂದರೆ ಸರಣಿಯ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಅದರ ಮೊದಲ ಮೊತ್ತದೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸುವಾಗ ದೋಷವನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡುವ ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಎನ್ಸದಸ್ಯರು.

ಎರಡು ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ:

ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಚಿಹ್ನೆ-ಪರ್ಯಾಯ ಸರಣಿಯಾಗಿ ವಿಸ್ತರಿಸಲಾಗಿದೆ;

ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸ್ಥಿರ ಚಿಹ್ನೆಯ ಸರಣಿಯಾಗಿ ವಿಸ್ತರಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಪರ್ಯಾಯ ಸರಣಿಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ

ಕಾರ್ಯ ಮಾಡಲಿ
ಪರ್ಯಾಯ ವಿದ್ಯುತ್ ಸರಣಿಯಾಗಿ ವಿಸ್ತರಿಸಲಾಗಿದೆ. ನಂತರ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಈ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವಾಗ ನಾವು ಲೈಬ್ನಿಜ್ ಮಾನದಂಡವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದಾದ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸರಣಿಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಈ ಮಾನದಂಡಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ, ಸರಣಿಯ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಅದರ ಮೊದಲನೆಯ ಮೊತ್ತದಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಿದರೆ ಎನ್ನಿಯಮಗಳು, ನಂತರ ಸಂಪೂರ್ಣ ದೋಷವು ಈ ಸರಣಿಯ ಉಳಿದ ಮೊದಲ ಪದವನ್ನು ಮೀರುವುದಿಲ್ಲ, ಅಂದರೆ:
.