x 제곱으로 나눈 그래프 1. 함수와 그래프
"자연 로그" - 0.1. 자연 로그. 4. "대수 다트". 0.04. 7.121.
"Power function grade 9" - U. 입방체 포물선. Y = x3. 9 학년 교사 Ladoshkina I.A. 와이 = x2. 쌍곡선. 0. Y \u003d xn, y \u003d x-n 여기서 n은 주어진 자연수입니다. X. 지수는 짝수 자연수(2n)이다.
"이차 함수" - 1 이차 함수 정의 2 함수 속성 3 함수 그래프 4 이차 부등식 5 결론. 속성: 불평등: 8A 학년 학생인 Andrey Gerlitz 작성. 계획: 그래프: -a > 0 at a에서 단조성 구간< 0. Квадратичная функция. Квадратичные функции используются уже много лет.
"이차 함수 및 그 그래프"-결정 y \u003d 4x A (0.5 : 1) 1 \u003d 1 A- 속합니다. a=1일 때 공식 y=ax는 형식을 취합니다.
"클래스 8 이차 함수" - 1) 포물선의 꼭지점을 구성합니다. 이차 함수를 플로팅합니다. 엑스. -7. 함수를 플로팅합니다. 대수8학년 교사496학교 보비나TV -1. 건설 계획. 2) 대칭축 x=-1을 구성합니다. 와이.
모듈을 포함하는 함수의 그래프 구성은 일반적으로 학생들에게 상당한 어려움을 야기합니다. 그러나 모든 것이 그렇게 나쁘지는 않습니다. 이러한 문제를 해결하기 위한 몇 가지 알고리즘을 기억하는 것으로 충분하며 가장 복잡해 보이는 함수도 쉽게 그릴 수 있습니다. 이 알고리즘이 무엇인지 봅시다.
1. 함수 y = |f(x)|
함수 값 세트 y = |f(x)| : y ≥ 0. 따라서 이러한 함수의 그래프는 항상 위쪽 절반 평면에 완전히 위치합니다.
함수 플로팅 y = |f(x)| 다음의 간단한 4단계로 구성됩니다.
1) 함수 y = f(x)의 그래프를 신중하고 신중하게 구성하십시오.
2) 0x 축 위 또는 위에 있는 그래프의 모든 점을 변경하지 않고 그대로 둡니다.
3) 0x 축 아래에 있는 그래프 부분은 0x 축을 중심으로 대칭적으로 표시됩니다.
예 1. 함수 y = |x 2 - 4x + 3|의 그래프 그리기
1) 함수 y \u003d x 2-4x + 3의 그래프를 작성합니다. 이 함수의 그래프가 포물선이라는 것은 분명합니다. 좌표축과 포물선의 정점 좌표와 포물선의 모든 교점의 좌표를 찾아 봅시다.
x 2 - 4x + 3 = 0.
x 1 = 3, x 2 = 1.
따라서 포물선은 점 (3, 0) 및 (1, 0)에서 0x 축과 교차합니다.
y \u003d 0 2-4 0 + 3 \u003d 3.
따라서 포물선은 점 (0, 3)에서 0y 축과 교차합니다.
포물선 정점 좌표:
x in \u003d-(-4/2) \u003d 2, y in \u003d 2 2-4 2 + 3 \u003d -1.
따라서 점 (2, -1)은 이 포물선의 정점입니다.
받은 데이터를 이용하여 포물선 그리기 (그림 1)
2) 그래프에서 0x축 아래에 있는 부분이 0x축을 기준으로 대칭으로 표시됩니다.
3) 원래 함수의 그래프를 얻습니다 ( 쌀. 2, 점선으로 표시됨).
2. 함수 플로팅 y = f(|x|)
y = f(|x|) 형식의 함수는 짝수입니다.
y(-x) = f(|-x|) = f(|x|) = y(x). 이는 이러한 함수의 그래프가 0y 축에 대해 대칭임을 의미합니다.
함수 y = f(|x|)를 플로팅하는 것은 다음과 같은 간단한 작업 체인으로 구성됩니다.
1) 함수 y = f(x)를 플로팅합니다.
2) 그래프에서 x ≥ 0인 부분, 즉 오른쪽 반평면에 있는 그래프 부분을 그대로 둡니다.
3) (2)항에서 지정한 그래프 부분을 0y축을 기준으로 대칭으로 표시한다.
4) 최종 그래프로 (2)와 (3)에서 구한 곡선의 합집합을 선택한다.
예 2. 함수 y = x 2 – 4 · |x|의 그래프 그리기 + 3
x 2 = |x|이므로 2 이면 원래 함수를 다음과 같이 다시 작성할 수 있습니다. y = |x| 2 – 4 · |엑스| + 3. 이제 위에서 제안한 알고리즘을 적용할 수 있습니다.
1) 함수 y \u003d x 2-4 x + 3의 그래프를 신중하고 신중하게 작성합니다 (참조 쌀. 1).
2) 그래프에서 x ≥ 0인 부분, 즉 오른쪽 반평면에 있는 그래프 부분을 그대로 둡니다.
3) 그래프의 오른쪽을 0y축에 대칭으로 표시합니다.
(그림 3).
예 3. 함수 y = log 2 |x|의 그래프 그리기
우리는 위에 주어진 체계를 적용합니다.
1) 함수 y = log 2 x를 플로팅합니다. (그림 4).
3. 함수 y = |f(|x|)|
y = |f(|x|)| 형식의 함수는 또한 짝수입니다. 사실, y(-x) = y = |f(|-x|)| = 와이 = |에프(|엑스|)| = y(x)이므로 그래프는 0y 축에 대해 대칭입니다. 이러한 함수의 값 집합: y ≥ 0. 따라서 이러한 함수의 그래프는 완전히 위쪽 절반 평면에 위치합니다.
함수 y = |f(|x|)|를 플로팅하려면 다음을 수행해야 합니다.
1) 함수 y = f(|x|)의 깔끔한 그래프를 구성합니다.
2) 그래프에서 0x 축 위 또는 위에 있는 부분은 변경하지 않고 그대로 둡니다.
3) 그래프에서 0x축 아래에 위치한 부분은 0x축을 기준으로 대칭적으로 나타나야 한다.
4) 최종 그래프로 (2)와 (3)에서 구한 곡선의 합집합을 선택한다.
예 4. 함수 y = |-x 2 + 2|x|의 그래프 그리기 – 1|.
1) x 2 = |x| 2. 따라서 원래 함수 대신 y = -x 2 + 2|x| - 1
y = -|x| 함수를 사용할 수 있습니다. 2 + 2|엑스| – 1, 그래프가 동일하기 때문입니다.
우리는 그래프 y = -|x|를 만듭니다. 2 + 2|엑스| – 1. 이를 위해 알고리즘 2를 사용합니다.
a) 함수 y \u003d -x 2 + 2x-1을 플로팅합니다. (그림 6).
b) 오른쪽 반면에 위치한 그래프 부분을 그대로 둡니다.
c) 그래프의 결과 부분을 0y 축에 대칭적으로 표시합니다.
d) 결과 그래프는 그림에서 점선으로 표시됩니다. (그림 7).
2) 0x 축 위에는 점이 없으며 0x 축의 점은 변경하지 않고 그대로 둡니다.
3) 그래프에서 0x 축 아래에 위치한 부분이 0x를 기준으로 대칭적으로 표시됩니다.
4) 결과 그래프는 그림에서 점선으로 표시됩니다. (그림 8).
예 5. 함수 y = |(2|x| – 4) / (|x| + 3)|
1) 먼저 함수 y = (2|x| – 4) / (|x| + 3)을 플로팅해야 합니다. 이를 위해 알고리즘 2로 돌아갑니다.
a) 함수 y = (2x – 4) / (x + 3)을 주의 깊게 플로팅합니다. (그림 9).
이 함수는 선형 소수 함수이고 그 그래프는 쌍곡선입니다. 곡선을 만들려면 먼저 그래프의 점근선을 찾아야 합니다. 수평 - y \u003d 2/1 (분수의 분자와 분모에서 x의 계수 비율), 수직 - x \u003d -3.
2) 차트에서 0x 축 위 또는 위에 있는 부분은 변경되지 않습니다.
3) 차트에서 0x 축 아래에 있는 부분은 0x를 기준으로 대칭으로 표시됩니다.
4) 최종 그래프는 그림에 표시됩니다. (그림 11).
사이트, 자료의 전체 또는 부분 복사와 함께 소스에 대한 링크가 필요합니다.
1. 선형분수함수와 그 그래프
y = P(x) / Q(x) 형식의 함수(여기서 P(x) 및 Q(x)는 다항식임)를 분수 유리 함수라고 합니다.
당신은 이미 유리수의 개념에 익숙할 것입니다. 비슷하게 유리 함수두 다항식의 몫으로 나타낼 수 있는 함수입니다.
분수 유리 함수가 두 선형 함수의 몫인 경우 - 1차 다항식, 즉 보기 기능
y = (ax + b) / (cx + d)이면 분수 선형이라고 합니다.
함수 y = (ax + b) / (cx + d)에서 c ≠ 0(그렇지 않으면 함수는 선형 y = ax/d + b/d가 됨)이고 a/c ≠ b/d(그렇지 않으면 함수는 상수입니다). 선형 분수 함수는 x = -d/c를 제외한 모든 실수에 대해 정의됩니다. 선형 분수 함수의 그래프는 y = 1/x라는 것을 알고 있는 그래프와 형식이 다르지 않습니다. 함수 y = 1/x의 그래프인 곡선을 다음이라고 합니다. 과장. x의 절대값이 무한대로 증가하면 함수 y = 1/x는 절대값이 무한히 감소하고 그래프의 두 가지가 가로축에 접근합니다. 오른쪽은 위에서 접근하고 왼쪽은 아래에서 접근합니다. 쌍곡선의 가지에 의해 접근되는 직선을 쌍곡선이라고 합니다. 점근선.
예 1
y = (2x + 1) / (x - 3).
결정.
정수 부분을 선택합시다: (2x + 1) / (x - 3) = 2 + 7 / (x - 3).
이제 이 함수의 그래프가 다음 변환에 의해 함수 y = 1/x의 그래프에서 얻어지는 것을 쉽게 알 수 있습니다. 2 단위 세그먼트 위로.
분수 y = (ax + b) / (cx + d)는 "전체 부분"을 강조 표시하여 같은 방식으로 작성할 수 있습니다. 결과적으로 모든 선형-분수 함수의 그래프는 좌표축을 따라 다양한 방식으로 이동되고 Oy축을 따라 늘어난 쌍곡선입니다.
임의의 선형 분수 함수의 그래프를 그리기 위해 이 함수를 정의하는 분수를 변환할 필요가 전혀 없습니다. 우리는 그래프가 쌍곡선이라는 것을 알고 있기 때문에 분기가 접근하는 선을 찾는 것으로 충분할 것입니다 - 쌍곡선 점근선 x = -d/c 및 y = a/c.
예 2
함수 y = (3x + 5)/(2x + 2) 그래프의 점근선을 찾으십시오.
결정.
x = -1에 대해 함수가 정의되지 않았습니다. 따라서 선 x = -1은 수직 점근선 역할을 합니다. 수평 점근선을 찾기 위해 인수 x가 절대값으로 증가할 때 함수 y(x)의 값이 어떻게 접근하는지 알아봅시다.
이를 위해 분수의 분자와 분모를 x로 나눕니다.
y = (3 + 5/x) / (2 + 2/x).
x → ∞일 때 분수는 3/2이 되는 경향이 있습니다. 따라서 수평 점근선은 직선 y = 3/2입니다.
예 3
함수 y = (2x + 1)/(x + 1)을 플로팅합니다.
결정.
분수의 "전체 부분"을 선택합니다.
(2x + 1) / (x + 1) = (2x + 2 - 1) / (x + 1) = 2(x + 1) / (x + 1) - 1/(x + 1) =
2 – 1/(x + 1).
이제 이 함수의 그래프는 함수 y = 1/x의 그래프에서 왼쪽으로 1단위 이동, Ox에 대한 대칭 표시, Oy 축을 따라 위로 2 단위 간격.
정의 영역 D(y) = (-∞; -1)ᴗ(-1; +∞).
값의 범위 이자형(y) = (-∞; 2)ᴗ(2; +∞).
축과의 교차점: c Oy: (0; 1); c 황소: (-1/2; 0). 함수는 정의 도메인의 각 간격에서 증가합니다.
답변: 그림 1.
2. 분수 합리 함수
y = P(x) / Q(x) 형식의 분수 유리 함수를 고려하십시오. 여기서 P(x) 및 Q(x)는 첫 번째 것보다 차수가 높은 다항식입니다.
그러한 유리 함수의 예:
y \u003d (x 3 - 5x + 6) / (x 7 - 6) 또는 y \u003d (x - 2) 2 (x + 1) / (x 2 + 3).
함수 y = P(x) / Q(x)가 첫 번째 것보다 차수가 높은 두 다항식의 몫이면 일반적으로 그래프가 더 복잡해지고 때로는 정확하게 작성하기 어려울 수 있습니다. , 모든 세부 사항과 함께. 그러나 위에서 이미 살펴본 것과 유사한 기술을 적용하는 것으로 충분할 때가 많습니다.
분수를 적절하게 하자(n< m). Известно, что любую несократимую рациональную дробь можно представить, и притом единственным образом, в виде суммы конечного числа элементарных дробей, вид которых определяется разложением знаменателя дроби Q(x) в произведение действительных сомножителей:
피(엑스) / 큐(엑스) \u003d A 1 / (x - K 1) m1 + A 2 / (x - 케이 1) m1-1 + ... + A m1 / (x - 케이 1) + . .. +
L 1 /(x – K초) ms + L 2 /(x – K초) ms-1 + … + L ms /(x – K초) + …+
+ (B 1 x + C 1) / (x 2 +p 1 x + q 1) m1 + … + (B m1 x + C m1) / (x 2 +p 1 x + q 1) + …+
+ (M 1 x + N 1) / (x 2 + p t x + q t) m1 + ... + (M m1 x + N m1) / (x 2 + p t x + q t).
분명히 분수 유리 함수의 그래프는 기본 분수 그래프의 합으로 얻을 수 있습니다.
분수 유리 함수 플로팅
분수 유리 함수를 그리는 몇 가지 방법을 고려하십시오.
예 4
함수 y = 1/x 2 를 플로팅합니다.
결정.
함수 y \u003d x 2의 그래프를 사용하여 그래프 y \u003d 1 / x 2를 플로팅하고 그래프를 "나누는" 방법을 사용합니다.
도메인 D(y) = (-∞; 0)ᴗ(0; +∞).
값의 범위 E(y) = (0; +∞).
축과 교차하는 지점이 없습니다. 기능은 짝수입니다. 간격(-∞; 0)에서 모든 x에 대해 증가하고 0에서 +∞까지 x에 대해 감소합니다.
답: 그림 2.
실시예 5
함수 y = (x 2 - 4x + 3) / (9 - 3x)를 플로팅합니다.
결정.
도메인 D(y) = (-∞; 3)ᴗ(3; +∞).
y \u003d (x 2-4x + 3) / (9-3x) \u003d (x-3) (x-1) / (-3 (x-3)) \u003d-(x-1) / 3 \ u003d -x / 3 + 1/3.
여기서 우리는 인수분해, 감소 및 선형 함수로의 감소 기술을 사용했습니다.
답: 그림 3.
실시예 6
함수 y \u003d (x 2 - 1) / (x 2 + 1)을 플로팅합니다.
결정.
정의 영역은 D(y) = R입니다. 함수가 짝수이므로 그래프는 y축에 대해 대칭입니다. 플로팅하기 전에 정수 부분을 강조 표시하여 표현식을 다시 변환합니다.
y \u003d (x 2 - 1) / (x 2 + 1) \u003d 1 - 2 / (x 2 + 1).
분수 유리 함수의 공식에서 정수 부분을 선택하는 것은 그래프를 그릴 때 주요 부분 중 하나입니다.
x → ±∞이면 y → 1, 즉 직선 y = 1은 수평 점근선입니다.
답: 그림 4.
실시예 7
함수 y = x/(x 2 + 1)을 고려하고 정확히 가장 큰 값을 찾으십시오. 그래프 오른쪽 절반의 가장 높은 지점. 이 그래프를 정확하게 작성하려면 오늘날의 지식으로는 충분하지 않습니다. 우리의 곡선이 매우 높게 "오를" 수 없다는 것은 명백합니다. 분모는 빠르게 분자를 "추월"하기 시작합니다. 함수의 값이 1이 될 수 있는지 봅시다. 이렇게 하려면 방정식 x 2 + 1 \u003d x, x 2 - x + 1 \u003d 0을 풀어야 합니다. 이 방정식에는 실근이 없습니다. 따라서 우리의 가정은 틀렸습니다. 함수의 가장 큰 값을 찾으려면 방정식 A \u003d x / (x 2 + 1)이 솔루션을 가질 가장 큰 A를 찾아야합니다. 원래 방정식을 이차 방정식으로 바꾸겠습니다. Ax 2 - x + A \u003d 0. 이 방정식은 1 - 4A 2 ≥ 0일 때 해를 갖습니다. 여기에서 가장 큰 값 A \u003d 1/2를 찾습니다. 
답변: 그림 5, 최대 y(x) = ½.
질문있으세요? 함수 그래프를 작성하는 방법을 모르십니까?
튜터의 도움을 받으려면 -.
첫 수업은 무료!
blog.site, 자료의 전체 또는 부분 복사와 함께 소스에 대한 링크가 필요합니다.
