Y 2x1 그래프. 모듈을 사용한 그래프 변환
평면에서 직각 좌표계를 선택하고 가로축에 인수 값을 플로팅합니다. 엑스, y 축 - 함수의 값 와이 = 에프(엑스).
함수 그래프 와이 = 에프(엑스)가로 좌표가 함수의 영역에 속하고 세로 좌표가 함수의 해당 값과 동일한 모든 점 집합이 호출됩니다.
즉, 함수 y \u003d f (x)의 그래프는 평면의 모든 점 집합, 좌표 엑스, ~에관계를 만족시키는 와이 = 에프(엑스).
무화과. 45와 46은 함수 그래프 y = 2x + 1그리고 y \u003d x 2-2x.
엄밀히 말하면 함수의 그래프(정확한 수학적 정의는 위에 나와 있음)와 그래프의 대략적인 스케치만 제공하는 그려진 곡선을 구별해야 합니다. 전체 그래프가 아니라 평면의 마지막 부분에 있는 부분만). 그러나 다음에서는 일반적으로 "차트 스케치"가 아닌 "차트"를 참조합니다.
그래프를 사용하면 한 지점에서 함수의 값을 찾을 수 있습니다. 즉, 포인트라면 엑스 = 에이함수의 범위에 속합니다 와이 = 에프(엑스), 그런 다음 번호를 찾으려면 파)(즉, 시점에서의 함수 값 엑스 = 에이) 그렇게 해야 합니다. 가로 좌표가 있는 점을 통해 필요 엑스 = 에이 y축에 평행한 직선을 그립니다. 이 선은 함수의 그래프와 교차합니다. 와이 = 에프(엑스)한 지점에서; 이 점의 세로 좌표는 그래프의 정의에 따라 다음과 같습니다. 파)(그림 47).
예를 들어 함수의 경우 에프(엑스) = 엑스 2 - 2엑스그래프(그림 46)를 사용하여 f(-1) = 3, f(0) = 0, f(1) = -l, f(2) = 0 등을 찾습니다.
함수 그래프는 함수의 동작과 속성을 시각적으로 보여줍니다. 예를 들어, Fig. 46 함수가 y \u003d x 2-2x때 양수 값을 취합니다. 엑스< 0 그리고 에서 엑스 > 2, 음수 - 0에서< x < 2; наименьшее значение функция y \u003d x 2-2x에서 수락 엑스 = 1.
함수를 플롯하려면 에프엑스평면의 모든 점, 좌표를 찾아야 합니다. 엑스,~에방정식을 만족하는 와이 = 에프(엑스). 대부분의 경우 이러한 점이 무한히 많기 때문에 불가능합니다. 따라서 함수의 그래프는 정확도가 높거나 낮은 대략적으로 묘사됩니다. 가장 간단한 방법은 다점 플로팅 방법입니다. 주장이 있다는 사실로 구성되어 있습니다. 엑스 x 1 , x 2 , x 3 ,..., x k와 같이 유한한 수의 값을 제공하고 선택한 함수 값을 포함하는 표를 만듭니다.
테이블은 다음과 같습니다.
이러한 표를 작성하면 함수 그래프의 여러 지점을 요약할 수 있습니다. 와이 = 에프(엑스). 그런 다음 이 점들을 부드러운 선으로 연결하면 함수 그래프의 대략적인 보기를 얻을 수 있습니다. y = 에프(엑스).
그러나 다점 플로팅 방법은 매우 신뢰할 수 없다는 점에 유의해야 합니다. 실제로 표시된 지점 사이의 그래프 동작과 극단 지점 사이의 세그먼트 외부 동작은 알려지지 않은 상태로 남아 있습니다.
예 1. 함수를 플롯하려면 와이 = 에프(엑스)누군가 인수 및 함수 값의 테이블을 컴파일했습니다.
해당하는 5개의 지점이 그림 1에 나와 있습니다. 48.
이 점들의 위치에 기초하여 그는 함수의 그래프가 직선이라고 결론지었습니다(그림 48에서 점선으로 표시됨). 이 결론을 신뢰할 수 있는 것으로 간주할 수 있습니까? 이 결론을 뒷받침할 추가 고려 사항이 없다면 신뢰할 수 있는 것으로 간주하기 어렵습니다. 믿을 수 있는.
우리의 주장을 입증하기 위해 다음 함수를 고려하십시오.
.
계산에 따르면 -2, -1, 0, 1, 2 지점에서 이 함수의 값은 위 표에 설명되어 있습니다. 그러나 이 함수의 그래프는 전혀 직선이 아닙니다(그림 49 참조). 또 다른 예는 함수입니다. y = x + l + sinx;그 의미는 위의 표에도 설명되어 있습니다.
이러한 예는 "순수한" 형식에서 다중점 플로팅 방법이 신뢰할 수 없음을 보여줍니다. 따라서 주어진 함수를 플롯하려면 원칙적으로 다음과 같이 진행하십시오. 먼저 이 함수의 속성을 연구하여 그래프 스케치를 구성할 수 있습니다. 그런 다음 여러 지점에서 함수 값을 계산하여 (선택은 함수의 설정 속성에 따라 다름) 그래프의 해당 지점을 찾습니다. 그리고 마지막으로 이 함수의 속성을 이용하여 구성된 점들을 통해 곡선을 그립니다.
나중에 그래프 스케치를 찾는 데 사용되는 함수의 일부(가장 간단하고 자주 사용되는) 속성을 고려할 것이며 이제 그래프를 그리는 데 일반적으로 사용되는 몇 가지 방법을 분석할 것입니다.
함수 y = |f(x)|의 그래프.
함수를 플롯해야 하는 경우가 많습니다. 와이 = |에프(엑스)|, 여기서 에프(엑스) -주어진 기능. 이것이 어떻게 수행되는지 기억하십시오. 숫자의 절대값을 정의하면 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
이것은 함수의 그래프를 의미합니다. y=|에프(엑스)|그래프, 함수에서 얻을 수 있습니다. 와이 = 에프(엑스)다음과 같이: 함수 그래프의 모든 포인트 와이 = 에프(엑스)세로좌표가 음수가 아닌 는 변경하지 않고 그대로 두어야 합니다. 또한 함수 그래프의 포인트 대신 와이 = 에프(엑스), 음수 좌표를 갖는 경우 함수 그래프의 해당 지점을 구성해야 합니다. y = -에프(엑스)(즉, 함수 그래프의 일부
와이 = 에프(엑스), 축 아래에 있음 엑스,축에 대해 대칭으로 반사되어야 합니다. 엑스).
예 2함수 플롯 y = |엑스|.
우리는 함수의 그래프를 취합니다 y = x(그림 50, a) 이 그래프의 일부는 엑스< 0 (축 아래 누워 엑스)는 축에 대해 대칭적으로 반영됩니다. 엑스. 결과적으로 함수의 그래프를 얻습니다. 와이 = |엑스|(그림 50, b).
예 3. 함수 플롯 y = |x 2 - 2x|.
먼저 함수를 플로팅합니다. y = x 2 - 2x.이 함수의 그래프는 가지가 위쪽을 향하는 포물선이며 포물선의 상단 좌표는 (1; -1)이고 그래프는 점 0과 2에서 가로축과 교차합니다. 간격 (0; 2 ) 함수는 음수 값을 취하므로 그래프의 이 부분은 x축에 대해 대칭으로 반영됩니다. 그림 51은 함수의 그래프를 보여줍니다. y \u003d |x 2 -2x |, 함수의 그래프를 기반으로 y = x 2 - 2x
함수 그래프 y = f(x) + g(x)
함수를 플로팅하는 문제를 고려하십시오. 와이 = 에프(엑스) + 지(엑스).함수의 그래프가 주어지면 와이 = 에프(엑스)그리고 y = 지(엑스).
함수 y = |f(x) + g(x)| 함수 y = f(x) 및 y = g(x)가 모두 정의되는 x의 모든 값 집합입니다. 즉, 이 정의 영역은 정의 영역의 교차점입니다. 함수 f(x) ) 및 g(x).
포인트하자 (x 0, y 1) 그리고 (x0,y2)는 각각 함수 그래프에 속합니다. 와이 = 에프(엑스)그리고 y = 지(엑스), 즉 y 1 \u003d f (x 0), y 2 \u003d g (x 0).그런 다음 점 (x0;.y1 + y2)은 함수의 그래프에 속합니다. 와이 = 에프(엑스) + 지(엑스)(을 위한 에프(엑스 0) + 지(엑스 0) = 와이 1+y2),. 함수 그래프의 임의의 지점 와이 = 에프(엑스) + 지(엑스)이런 식으로 얻을 수 있습니다. 따라서 함수의 그래프는 와이 = 에프(엑스) + 지(엑스)함수 그래프에서 얻을 수 있습니다. 와이 = 에프(엑스). 그리고 y = 지(엑스)각 점을 교체하여 ( xn, y 1) 기능 그래픽 와이 = 에프(엑스)점 (xn, y1 + y2),어디 y 2 = 지(엑스엔), 즉 각 점을 이동하여( xn, y 1) 함수 그래프 와이 = 에프(엑스)축을 따라 ~에금액만큼 y 1 \u003d g (엑스엔). 이 경우 해당 사항만 고려됩니다. 엑스두 함수가 모두 정의된 n 와이 = 에프(엑스)그리고 y = 지(엑스).
함수 그래프를 그리는 이 방법 와이 = 에프(엑스) + 지(엑스)) 함수의 그래프 추가라고합니다. 와이 = 에프(엑스)그리고 y = 지(엑스)
예 4. 그림에서 그래프를 추가하는 방법으로 함수의 그래프를 구성한다.
y = x + sinx.
함수를 그릴 때 y = x + sinx우리는 가정 에프(엑스) = 엑스,ㅏ g(x) = sinx.함수 그래프를 작성하기 위해 가로 좌표가 -1.5π, -, -0.5, 0, 0.5,, 1.5, 2인 점을 선택합니다. 값 f(x) = x, g(x) = sinx, y = x + sinx선택한 지점에서 계산하고 결과를 테이블에 배치합니다.
"자연 로그" - 0.1. 자연 로그. 4. "대수 다트". 0.04. 7.121.
"Power function grade 9" - U. 입방체 포물선. Y = x3. 9 학년 교사 Ladoshkina I.A. 와이 = x2. 쌍곡선. 0. Y \u003d xn, y \u003d x-n 여기서 n은 주어진 자연수입니다. X. 지수는 짝수 자연수(2n)이다.
"이차 함수" - 1 이차 함수 정의 2 함수 속성 3 함수 그래프 4 이차 부등식 5 결론. 속성: 불평등: 8A 학년 학생인 Andrey Gerlitz 작성. 계획: 그래프: -a > 0 at a에서 단조성 구간< 0. Квадратичная функция. Квадратичные функции используются уже много лет.
"이차 함수 및 그 그래프"-결정 y \u003d 4x A (0.5 : 1) 1 \u003d 1 A- 속합니다. a=1일 때 공식 y=ax는 형식을 취합니다.
"클래스 8 이차 함수" - 1) 포물선의 꼭지점을 구성합니다. 이차 함수를 플로팅합니다. 엑스. -7. 함수를 플로팅합니다. 대수8학년 교사496학교 보비나TV -1. 건설 계획. 2) 대칭축 x=-1을 구성합니다. 와이.
1. 선형분수함수와 그 그래프
y = P(x) / Q(x) 형식의 함수(여기서 P(x) 및 Q(x)는 다항식임)를 분수 유리 함수라고 합니다.
당신은 이미 유리수의 개념에 익숙할 것입니다. 비슷하게 유리 함수두 다항식의 몫으로 나타낼 수 있는 함수입니다.
분수 유리 함수가 두 선형 함수의 몫인 경우 - 1차 다항식, 즉 보기 기능
y = (ax + b) / (cx + d)이면 분수 선형이라고 합니다.
함수 y = (ax + b) / (cx + d)에서 c ≠ 0(그렇지 않으면 함수는 선형 y = ax/d + b/d가 됨)이고 a/c ≠ b/d(그렇지 않으면 함수는 상수입니다). 선형 분수 함수는 x = -d/c를 제외한 모든 실수에 대해 정의됩니다. 선형 분수 함수의 그래프는 y = 1/x라는 것을 알고 있는 그래프와 형식이 다르지 않습니다. 함수 y = 1/x의 그래프인 곡선을 다음이라고 합니다. 과장. x의 절대값이 무한대로 증가하면 함수 y = 1/x는 절대값이 무한히 감소하고 그래프의 두 가지가 가로축에 접근합니다. 오른쪽은 위에서 접근하고 왼쪽은 아래에서 접근합니다. 쌍곡선의 가지에 의해 접근되는 직선을 쌍곡선이라고 합니다. 점근선.
예 1
y = (2x + 1) / (x - 3).
결정.
정수 부분을 선택합시다: (2x + 1) / (x - 3) = 2 + 7 / (x - 3).
이제 이 함수의 그래프가 다음 변환에 의해 함수 y = 1/x의 그래프에서 얻어지는 것을 쉽게 알 수 있습니다. 2 단위 세그먼트 위로.
분수 y = (ax + b) / (cx + d)는 "전체 부분"을 강조 표시하여 같은 방식으로 작성할 수 있습니다. 결과적으로 모든 선형-분수 함수의 그래프는 좌표축을 따라 다양한 방식으로 이동되고 Oy축을 따라 늘어난 쌍곡선입니다.
임의의 선형 분수 함수의 그래프를 그리기 위해 이 함수를 정의하는 분수를 변환할 필요가 전혀 없습니다. 우리는 그래프가 쌍곡선이라는 것을 알고 있기 때문에 분기가 접근하는 선을 찾는 것으로 충분할 것입니다 - 쌍곡선 점근선 x = -d/c 및 y = a/c.
예 2
함수 y = (3x + 5)/(2x + 2) 그래프의 점근선을 찾으십시오.
결정.
x = -1에 대해 함수가 정의되지 않았습니다. 따라서 선 x = -1은 수직 점근선 역할을 합니다. 수평 점근선을 찾기 위해 인수 x가 절대값으로 증가할 때 함수 y(x)의 값이 어떻게 접근하는지 알아봅시다.
이를 위해 분수의 분자와 분모를 x로 나눕니다.
y = (3 + 5/x) / (2 + 2/x).
x → ∞일 때 분수는 3/2이 되는 경향이 있습니다. 따라서 수평 점근선은 직선 y = 3/2입니다.
예 3
함수 y = (2x + 1)/(x + 1)을 플로팅합니다.
결정.
분수의 "전체 부분"을 선택합니다.
(2x + 1) / (x + 1) = (2x + 2 - 1) / (x + 1) = 2(x + 1) / (x + 1) - 1/(x + 1) =
2 – 1/(x + 1).
이제 이 함수의 그래프는 함수 y = 1/x의 그래프에서 왼쪽으로 1단위 이동, Ox에 대한 대칭 표시, Oy 축을 따라 위로 2 단위 간격.
정의 영역 D(y) = (-∞; -1)ᴗ(-1; +∞).
값의 범위 이자형(y) = (-∞; 2)ᴗ(2; +∞).
축과의 교차점: c Oy: (0; 1); c 황소: (-1/2; 0). 함수는 정의 도메인의 각 간격에서 증가합니다.
답변: 그림 1.
2. 분수 합리 함수
y = P(x) / Q(x) 형식의 분수 유리 함수를 고려하십시오. 여기서 P(x) 및 Q(x)는 첫 번째 것보다 차수가 높은 다항식입니다.
그러한 유리 함수의 예:
y \u003d (x 3 - 5x + 6) / (x 7 - 6) 또는 y \u003d (x - 2) 2 (x + 1) / (x 2 + 3).
함수 y = P(x) / Q(x)가 첫 번째 것보다 차수가 높은 두 다항식의 몫이면 일반적으로 그래프가 더 복잡해지고 때로는 정확하게 작성하기 어려울 수 있습니다. , 모든 세부 사항과 함께. 그러나 위에서 이미 살펴본 것과 유사한 기술을 적용하는 것으로 충분할 때가 많습니다.
분수를 적절하게 하자(n< m). Известно, что любую несократимую рациональную дробь можно представить, и притом единственным образом, в виде суммы конечного числа элементарных дробей, вид которых определяется разложением знаменателя дроби Q(x) в произведение действительных сомножителей:
피(엑스) / 큐(엑스) \u003d A 1 / (x - K 1) m1 + A 2 / (x - 케이 1) m1-1 + ... + A m1 / (x - 케이 1) + . .. +
L 1 /(x – K초) ms + L 2 /(x – K초) ms-1 + … + L ms /(x – K초) + …+
+ (B 1 x + C 1) / (x 2 +p 1 x + q 1) m1 + … + (B m1 x + C m1) / (x 2 +p 1 x + q 1) + …+
+ (M 1 x + N 1) / (x 2 + p t x + q t) m1 + ... + (M m1 x + N m1) / (x 2 + p t x + q t).
분명히 분수 유리 함수의 그래프는 기본 분수 그래프의 합으로 얻을 수 있습니다.
분수 유리 함수 플로팅
분수 유리 함수를 그리는 몇 가지 방법을 고려하십시오.
예 4
함수 y = 1/x 2 를 플로팅합니다.
결정.
함수 y \u003d x 2의 그래프를 사용하여 그래프 y \u003d 1 / x 2를 플로팅하고 그래프를 "나누는" 방법을 사용합니다.
도메인 D(y) = (-∞; 0)ᴗ(0; +∞).
값의 범위 E(y) = (0; +∞).
축과 교차하는 지점이 없습니다. 기능은 짝수입니다. 간격(-∞; 0)에서 모든 x에 대해 증가하고 0에서 +∞까지 x에 대해 감소합니다.
답: 그림 2.
실시예 5
함수 y = (x 2 - 4x + 3) / (9 - 3x)를 플로팅합니다.
결정.
도메인 D(y) = (-∞; 3)ᴗ(3; +∞).
y \u003d (x 2-4x + 3) / (9-3x) \u003d (x-3) (x-1) / (-3 (x-3)) \u003d-(x-1) / 3 \ u003d -x / 3 + 1/3.
여기서 우리는 인수분해, 감소 및 선형 함수로의 감소 기술을 사용했습니다.
답: 그림 3.
실시예 6
함수 y \u003d (x 2 - 1) / (x 2 + 1)을 플로팅합니다.
결정.
정의 영역은 D(y) = R입니다. 함수가 짝수이므로 그래프는 y축에 대해 대칭입니다. 플로팅하기 전에 정수 부분을 강조 표시하여 표현식을 다시 변환합니다.
y \u003d (x 2 - 1) / (x 2 + 1) \u003d 1 - 2 / (x 2 + 1).
분수 유리 함수의 공식에서 정수 부분을 선택하는 것은 그래프를 그릴 때 주요 부분 중 하나입니다.
x → ±∞이면 y → 1, 즉 직선 y = 1은 수평 점근선입니다.
답: 그림 4.
실시예 7
함수 y = x/(x 2 + 1)을 고려하고 정확히 가장 큰 값을 찾으십시오. 그래프 오른쪽 절반의 가장 높은 지점. 이 그래프를 정확하게 작성하려면 오늘날의 지식으로는 충분하지 않습니다. 우리의 곡선이 매우 높게 "오를" 수 없다는 것은 명백합니다. 분모는 빠르게 분자를 "추월"하기 시작합니다. 함수의 값이 1이 될 수 있는지 봅시다. 이렇게 하려면 방정식 x 2 + 1 \u003d x, x 2 - x + 1 \u003d 0을 풀어야 합니다. 이 방정식에는 실근이 없습니다. 따라서 우리의 가정은 틀렸습니다. 함수의 가장 큰 값을 찾으려면 방정식 A \u003d x / (x 2 + 1)이 솔루션을 가질 가장 큰 A를 찾아야합니다. 원래 방정식을 이차 방정식으로 바꾸겠습니다. Ax 2 - x + A \u003d 0. 이 방정식은 1 - 4A 2 ≥ 0일 때 해를 갖습니다. 여기에서 가장 큰 값 A \u003d 1/2를 찾습니다. 
답변: 그림 5, 최대 y(x) = ½.
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