ප්රතිව්යුත්පන්න m. ප්රතිව්යුත්පන්න ශ්රිත සහ සාමාන්‍ය ස්වරූපය
ඉලක්කය:
- ප්රාථමික සංකල්පය ගොඩනැගීම.
- අනුකලනය පිළිබඳ සංජානනය සඳහා සූදානම් වීම.
- පරිගණක කුසලතා ගොඩනැගීම.
- අලංකාරය පිළිබඳ හැඟීමක් පිළිබඳ අධ්යාපනය (අසාමාන්ය ලෙස අලංකාරය දැකීමේ හැකියාව).
ගණිතමය විශ්ලේෂණය - අවකල සහ අනුකලිත කලනයේ ක්රම මගින් ශ්රිත සහ ඒවායේ සාමාන්‍යකරණයන් අධ්‍යයනය කිරීමට කැප වූ ගණිතයේ ශාඛා සමූහයකි.
මේ දක්වා, අපි ගණිතමය විශ්ලේෂණ අංශයක් අධ්‍යයනය කර ඇත අවකල්‍ය කැල්කියුලස්, එහි සාරය නම් “කුඩා” හි ශ්‍රිතයක් අධ්‍යයනය කිරීමයි.
එම. එක් එක් අර්ථ දැක්වීමේ ලක්ෂ්‍යයේ ප්‍රමාණවත් තරම් කුඩා අසල්වැසි ප්‍රදේශවල ක්‍රියාකාරිත්වය අධ්‍යයනය කිරීම. අවකලනය කිරීමේ එක් මෙහෙයුමක් වන්නේ ව්යුත්පන්න (අවකලනය) සොයා ගැනීම සහ එය ශ්රිත අධ්‍යයනයට යෙදීමයි.
ඒ හා සමානව වැදගත් වන්නේ ප්රතිලෝම ගැටළුවයි. ශ්‍රිතයක හැසිරීම එහි නිර්වචනයේ එක් එක් ලක්ෂ්‍ය ආසන්නයේ දන්නේ නම්, සමස්තයක් ලෙස ශ්රිතය ප්රතිස්ථාපනය කරන්නේ කෙසේද, i.e. එහි නිර්වචනයේ සමස්ත පරාසය පුරා. මෙම ගැටළුව ඊනියා අනුකලිත කලනය අධ්‍යයනය කිරීමේ විෂය වේ.
අනුකලනය යනු අවකලනයේ ප්රතිලෝම ක්‍රියාවයි. නැතහොත් දී ඇති ව්යුත්පන්නය f`(x) වෙතින් f(x) ශ්රිතය ප්‍රතිසාධනය කිරීම ලතින් වචනය "ඉන්ටිග්රෝ" යන්නෙන් අදහස් කරන්නේ ප්රතිස්ථාපනය කිරීමයි.
උදාහරණ #1.
කරමු (x)`=3x 2 .
f(x) සොයන්න
විසඳුමක්:
අවකලනය රීතිය මත පදනම්ව, f (x) \u003d x 3 අනුමාන කිරීම පහසුය, මන්ද (x 3)` \u003d 3x 2
කෙසේ වෙතත්, f(x) අපැහැදිලි ලෙස දක්නට ලැබෙන බව දැකීම පහසුය.
f(x) ලෙස අපට ගත හැක
f (x) \u003d x 3 +1
f (x) \u003d x 3 +2
f (x) \u003d x 3 -3, ආදිය.
මොකද ඒ හැම එකකම ව්යුත්පන්නය 3x2. (නියතයේ ව්යුත්පන්නය 0 වේ). මෙම සියලු කාර්යයන් නියත පදයකින් එකිනෙකට වෙනස් වේ. එබැවින්, ගැටලුවේ පොදු විසඳුම f(x)= x 3 +C ලෙස ලිවිය හැක, එහිදී C යනු ඕනෑම නියත තාත්වික සංඛ්‍යාවක් වේ.
සොයාගත් ඕනෑම ශ්‍රිතයක් f(x) ලෙස හැඳින්වේ ප්රාථමික F`(x) = 3x 2 ශ්රිතය සඳහා
අර්ථ දැක්වීම.
F(x) ශ්රිතය F(x) ශ්රිතය සඳහා ප්රතිව්යුත්පන්න ලෙස හඳුන්වනු ලැබේ, දී ඇති අන්තරයක J මත f(x) ශ්රිතය සඳහා, මෙම අන්තරය F`(x) = f(x) සඳහා නම්. එබැවින් F (x) \u003d x 3 ශ්රිතය f (x) \u003d 3x 2 මත (- ∞ ; ∞) සඳහා ප්රතිව්යුත්පන්න වේ.
සියලුම x ~ R සඳහා සමානාත්මතාවය සත්‍ය වන බැවින්: F`(x)=(x 3)`=3x 2
අප දැනටමත් දැක ඇති පරිදි, මෙම ශ්‍රිතයට අසීමිත ප්රතිව්යුත්පන්න කට්ටලයක් ඇත (උදාහරණ අංක 1 බලන්න).
උදාහරණ #2.
F(x)=x ශ්රිතය සියලු f(x)= 1/x අන්තරය (0; +) සඳහා ප්රතිව්යුත්පන්න වේ, මන්ද මෙම අන්තරයේ සිට සියලුම x සඳහා, සමානාත්මතාවය පවතී.
F`(x)=(x 1/2)`=1/2x -1/2=1/2x
උදාහරණ #3
F(x)=tg3x ශ්රිතය f(x)=3/cos3x සඳහා ප්රතිව්යුත්පන්න වේ (-p/) 2;
ප/ 2),
නිසා F`(x)=(tg3x)`= 3/cos 2 3x
උදාහරණ #4
F(x)=3sin4x+1/x-2 ශ්රිතය f(x)=12cos4x-1/x 2 සඳහා ප්රතිව්යුත්පන්න වේ (0;∞)
නිසා F`(x)=(3sin4x)+1/x-2)`= 4cos4x-1/x 2
දේශනය 2
විෂය: ප්රාථමික. ප්රතිව්යුත්පන්න ශ්රිතයේ ප්රධාන ගුණාංගය.
ප්රතිව්යුත්පන්න අධ්‍යයනය කරන විට, අපි පහත ප්රකාශය මත විශ්වාසය තබමු. ශ්රිතයේ ස්ථාවරත්වයේ සලකුණ: J අන්තරය මත ශ්රිතයේ ව්යුත්පන්න Ψ(х) 0 ට සමාන වේ නම්, මෙම අන්තරය මත Ψ(х) ශ්රිතය නියත වේ.
මෙම ප්රකාශය ජ්යාමිතිකව විදහා දැක්විය හැක.
Ψ`(x)=tgα, abscissa x 0 සමඟ ලක්ෂ්‍යයේ Ψ(x) ශ්රිතයේ ප්‍රස්ථාරයට ස්පර්ශකයේ ආනතියේ γde α-කෝණය බව දන්නා කරුණකි. J අන්තරයේ ඕනෑම ස්ථානයක Ψ`(υ)=0 නම්, Ψ(x) ශ්රිතයේ ප්‍රස්ථාරයට ඕනෑම ස්පර්ශකයක් සඳහා tgα=0 δ මෙයින් අදහස් කරන්නේ ඕනෑම ලක්ෂ්‍යයක ශ්රිත ප්‍රස්ථාරයට ස්පර්ශකය x-අක්ෂයට සමාන්තරව පවතින බවයි. එබැවින්, දක්වා ඇති පරතරය මත, Ψ(x) ශ්රිතයේ ප්රස්ථාරය සරල රේඛා ඛණ්ඩය y=C සමඟ සමපාත වේ.
එබැවින්, f(x)=c ශ්රිතය J ප්‍රාන්තරය මත f`(x)=0 නම් මෙම අන්තරය මත නියත වේ.
ඇත්ත වශයෙන්ම, J අන්තරයෙන් අත්තනෝමතික x 1 සහ x 2 සඳහා, ශ්රිතයේ මධ්යන්ය අගය පිළිබඳ ප්රමේයය අනුව, අපට ලිවිය හැකිය:
f (x 2) - f (x 1) \u003d f` (c) (x 2 - x 1), නිසා f`(c)=0, පසුව f(x 2)= f(x 1)
ප්රමේයය: (ප්රතිව්යුත්පන්න ශ්‍රිතයක මූලික ගුණය)
F(x) යනු J අන්තරය මත f(x) ශ්රිතය සඳහා වන ප්රතිව්යුත්පන්න වලින් එකක් නම්, මෙම ශ්රිතයේ සියලුම ප්රතිව්යුත්පන්න කට්ටලයට ආකෘතිය ඇත: F(x)+C, එහිදී C යනු ඕනෑම තාත්වික සංඛ්‍යාවක් වේ.
සාක්ෂි:
x − J සඳහා F`(x) = f(x), ඉන්පසු (F(x)+C)`= F`(x)+C`= f(x), යමු.
Φ(x) පවතී යැයි සිතමු - f (x) සඳහා තවත් ප්‍රතිව්‍යුත්පන්නයක් J පරතරය මත, i.e. Φ`(x) = f(x),
පසුව (Φ(х) - F(х))` = f (х) - f (х) = 0, x Є J සඳහා.
මෙයින් අදහස් කරන්නේ J අන්තරය මත Φ(x) - F(x) නියත බවයි.
එබැවින්, Φ(x) - F(x) = C.
කොහෙන්ද Φ(x)= F(x)+C.
මෙයින් අදහස් කරන්නේ F (x) යනු J අන්තරය මත f (x) ශ්රිතය සඳහා ප්රතිව්යුත්පන්න වේ නම්, මෙම ශ්රිතයේ සියලුම ප්රතිව්යුත්පන්න කට්ටලයට පෝරමය ඇත: F (x) + C, මෙහි C යනු ඕනෑම තාත්වික සංඛ්‍යාවක් වේ.
එබැවින්, දී ඇති ශ්‍රිතයක ඕනෑම ප්රතිව්යුත්පන්න දෙකක් නියත පදයකින් එකිනෙකට වෙනස් වේ.
උදාහරණයක්: f (x) = cos x ශ්රිතයේ ප්රතිව්යුත්පන්න කට්ටලය සොයන්න. පළමු තුනේ ප්‍රස්ථාර අඳින්න.
විසඳුමක්: Sin x - f (x) = cos x ශ්රිතය සඳහා වන ප්රතිව්යුත්පන්න වලින් එකකි
F(x) = Sin x + C යනු සියලුම ප්රතිව්යුත්පන්න කට්ටලයයි.
F 1 (x) = Sin x-1
F 2 (x) = Sin x
F 3 (x) \u003d Sin x + 1
ජ්යාමිතික නිදර්ශනය:ඕනෑම ප්රතිව්යුත්පන්න F(x)+C ප්රස්ථාරය සමාන්තර පරිවර්තන r (0;c) භාවිතයෙන් F(x) ප්රතිව්යුත්පන්න ප්‍රස්ථාරයෙන් ලබාගත හැක.
උදාහරණයක්: f (x) \u003d 2x ශ්රිතය සඳහා, t.M (1; 4) හරහා ගමන් කරන ප්රස්ථාරය ප්රතිව්යුත්පන්න සොයා ගන්න.
විසඳුමක්: F(х)=х 2 +С යනු සියලුම ප්රතිව්යුත්පන්නයන් සමූහයකි, F(1)=4 - ගැටලුවේ තත්ත්වය අනුව.
එබැවින්, 4 \u003d 1 2 +C
C = 3
F (x) \u003d x 2 +3
අවිනිශ්චිත අනුකලනය
අවකල්‍ය කලනයේ ප්රධාන කාර්යය වූයේ දී ඇති ශ්‍රිතයක ව්යුත්පන්න හෝ අවකලනය ගණනය කිරීමයි. අප දැන් අධ්‍යයනය කරමින් සිටින අනුකලිත කලනය මගින් ප්රතිලෝම ගැටළුව විසඳයි, එනම් ශ්රිතය එහි ව්‍යුත්පන්නයෙන් හෝ අවකලනයකින් සොයා ගැනීමයි. එනම් තිබීමයි dF(x)= f(x)d (7.1) හෝ F′(x)= f(x),
කොහෙද f(x)- දන්නා ශ්‍රිතයක්, ඔබ ශ්‍රිතයක් සොයා ගත යුතුය F(x).
අර්ථ දැක්වීම:F(x) ශ්රිතය හැඳින්වේ ප්රාථමිකමෙම කොටසේ සෑම අවස්ථාවකදීම සමානාත්මතාවය සත්‍ය නම් කොටසෙහි f (x) ශ්රිතය: F′(x) = f(x)හෝ dF(x)= f(x)d.
උදාහරණ වශයෙන්, කාර්යය සඳහා ප්රතිව්යුත්පන්න වලින් එකකි f(x)=3x2කැමැත්ත F (x) \u003d x 3, නිසා ( x 3)′=3x 2. නමුත් කාර්යය සඳහා ප්රතිව්යුත්පන්න f(x)=3x2ද කාර්යයන් වනු ඇත සහ , නිසා 
.
එබැවින් මෙම කාර්යය f(x)=3x2අසීමිත ප්රාථමික සංඛ්‍යාවක් ඇත, ඒ සෑම එකක්ම වෙනස් වන්නේ නියත පදයකින් පමණි. මෙම ප්‍රති result ලය සාමාන්‍ය නඩුවේ ද පවතින බව අපි පෙන්වමු.
ප්රමේයය එකම ශ්රිතයේ විවිධ ප්රතිව්යුත්පන්න දෙකක්, යම් කාල පරාසයක අර්ථ දක්වා ඇති අතර, නියත පදයකින් මෙම විරාමයේදී එකිනෙකට වෙනස් වේ.
සාක්ෂි
කාර්යයට ඉඩ දෙන්න f(x) පරතරය මත අර්ථ දක්වා ඇත (a¸b)සහ F 1 (x) සහ F 2 (x) - ප්රාථමික, i.e. F 1 ′(x)= f(x) සහ F 2 ′(x)= f(x).
ඉන්පසු F 1 ′(x)=F 2 ′(x)Þ F 1 ′(x) - F 2 ′(x) = (F 1 ′(x) - F 2 (x))′= 0. Þ F 1 (x) - F 2 (x) \u003d C
මෙතැන් සිට, F 2 (x) \u003d F 1 (x) + C
කොහෙද සමග නියතයකි (මෙහිදී අපි Lagrange ගේ ප්‍රමේයයේ අනුපිළිවෙල භාවිතා කරමු).
ප්රමේයය මෙසේ ඔප්පු වේ.
ජ්යාමිතික නිදර්ශනය. නම් හිදී = F 1 (x) සහ හිදී = F 2 (x) එකම ශ්රිතයේ ප්රතිව්යුත්පන්න වේ f(x), ඉන්පසු පොදු abscissa සහිත ලක්ෂ්‍යවල ඒවායේ ප්‍රස්ථාරවලට ස්පර්ශකය xඑකිනෙකට සමාන්තරව (රූපය 7.1).
මෙම නඩුවේදී, අක්ෂය ඔස්සේ මෙම වක්ර අතර දුර OUනියතව පවතී F 2 (x) - F 1 (x) \u003d C , එනම්, මෙම වක්ර ඇත යම් අවබෝධයක්එකිනෙකාට "සමාන්තර" වේ.
ප්රතිවිපාකය .
සමහර ප්රාථමික වලට එකතු කිරීම F(x) මෙම කාර්යය සඳහා f(x)පරතරය මත අර්ථ දක්වා ඇත x, හැකි සියලු නියතයන් සමග, අපි ශ්රිතය සඳහා හැකි සියලුම ප්රතිව්යුත්පන්න ලබා ගනිමු f(x).එබැවින් ප්රකාශනය F(x)+C , කොහෙද , සහ F(x) ශ්රිතයේ යම් ප්රතිව්යුත්පන්න වේ f(x)සඳහා හැකි සියලුම ප්රතිව්යුත්පන්න ඇතුළත් වේ f(x).
උදාහරණ 1කාර්යයන් තිබේදැයි පරීක්ෂා කරන්න කාර්යය සඳහා ප්රතිව්යුත්පන්න
විසඳුමක්:
පිළිතුර: කාර්යය සඳහා ප්රතිව්යුත්පන්න කාර්යයන් වනු ඇත සහ
අර්ථ දැක්වීම: F(x) ශ්රිතය f(x) ශ්රිතය සඳහා යම් ප්‍රතිව්‍යුත්පන්නයක් නම්, සියලුම ප්රතිව්යුත්පන්න F(x) + C කුලකය හඳුන්වනු ලැබේ. අවිනිශ්චිත අනුකලනය f(x) සහ දක්වන්න:
∫f(x)dx.
A-priory:
f(x) - ඒකාබද්ධ,
f(x)dx - අනුකලනය
මෙයින් පැහැදිලි වන්නේ අවිනිශ්චිත අනුකලය යනු සාමාන්‍ය ස්වරූපයේ ශ්‍රිතයක් වන අතර, එහි අවකලනය අනුකලනයට සමාන වන අතර විචල්‍යයට අදාළව එහි ව්‍යුත්පන්නයයි. xසෑම ලක්ෂයකම අනුකලනයට සමාන වේ.
ජ්යාමිතික දෘෂ්ටි කෝණයකින් indefinite integral යනු වක්ර පවුලක් වන අතර, ඒ සෑම එකක්ම තමන්ට සමාන්තරව ඉහළට හෝ පහළට එනම් අක්ෂය දිගේ එක් වක්‍රයක් මාරු කිරීමෙන් ලබා ගනී. OU(රූපය 7.2).
යම් ශ්‍රිතයක අවිනිශ්චිත අනුකලනය ගණනය කිරීමේ ක්‍රියාවලිය හැඳින්වේ අනුකලනය මෙම කාර්යය.
මූලික ශ්‍රිතයක ව්යුත්පන්නය සැමවිටම මුලික ශ්‍රිතයක් නම්, ප්රාථමික ශ්‍රිතයක ප්‍රතිව්‍යුත්පන්නය පරිමිත මූලික ශ්රිත සංඛ්‍යාවකින් නිරූපණය කිරීම අවශ්ය නොවන බව සලකන්න.
දැන් සලකා බලන්න අවිනිශ්චිත අනුකලනයේ ගුණාංග.
2 අර්ථ දැක්වීමෙන් ඇඟවෙන්නේ:
1. අවිනිශ්චිත අනුකලයේ ව්යුත්පන්නය අනුකලනයට සමාන වේ, එනම් නම් F′(x) = f(x) , එම
2. අවිනිශ්චිත අනුකලයේ අවකලනය අනුකලනයට සමාන වේ
. (7.4)
අවකලනය සහ දේපල අර්ථ දැක්වීමෙන් (7.3)
3. යම් ශ්‍රිතයක අවකලනයේ අවිනිශ්චිත අනුකලනය නියත පදයක් දක්වා මෙම ශ්‍රිතයට සමාන වේ, එනම් 
(7.5)
ප්රතිව්යුත්පන්න
ප්රතිව්යුත්පන්න ශ්රිතයේ අර්ථ දැක්වීම
- කාර්යය y=F(x)කාර්යය සඳහා ප්රතිව්යුත්පන්න ලෙස හැඳින්වේ y=f(x)දී ඇති පරතරයකදී X,සියල්ල සඳහා නම් x ∈xසමානාත්මතාවය පවතින්නේ: F′(x) = f(x)
එය ආකාර දෙකකින් කියවිය හැකිය:
- f ශ්රිත ව්යුත්පන්නය එෆ්
- එෆ් කාර්යය සඳහා ප්රතිව්යුත්පන්න f
ප්රතිව්යුත්පන්න දේපල
- නම් F(x)- කාර්යය සඳහා ප්රතිව්යුත්පන්න f(x)දී ඇති විරාමයක් මත, f(x) ශ්‍රිතයට අසීමිත ප්රතිව්යුත්පන්න ඇති අතර, මෙම ප්රතිව්යුත්පන්න සියල්ල මෙසේ ලිවිය හැක. F(x) + C, C යනු අත්තනෝමතික නියතයකි.
ජ්යාමිතික අර්ථ නිරූපණය
- දී ඇති ශ්‍රිතයක සියලුම ප්රතිව්යුත්පන්න වල ප්‍රස්තාර f(x) O අක්ෂය ඔස්සේ සමාන්තර මාරු කිරීම් මගින් ඕනෑම එක් ප්‍රතිව්‍යුත්පන්නයක ප්‍රස්ථාරයෙන් ලබා ගනී හිදී.
ප්රතිව්යුත්පන්න ගණනය කිරීම සඳහා නීති
- එකතුවේ ප්රතිව්යුත්පන්න ප්රතිව්යුත්පන්න එකතුවට සමාන වේ. නම් F(x)- සඳහා ප්රාථමික f(x), සහ G(x) යනු ප්රතිව්යුත්පන්න වේ g(x), එම F(x) + G(x)- සඳහා ප්රාථමික f(x) + g(x).
- නියත සාධකය ව්‍යුත්පන්නයේ ලකුණෙන් පිටතට ගත හැකිය. නම් F(x)- සඳහා ප්රාථමික f(x), සහ කේඑවිට නියත වේ kF(x)- සඳහා ප්රාථමික kf(x).
- නම් F(x)- සඳහා ප්රාථමික f(x), සහ k,b- ස්ථිර, සහ k ≠ 0, එම 1/k F(kx + b)- සඳහා ප්රාථමික f(kx + b).
මතක තබා ගන්න!
ඕනෑම කාර්යයක් F (x) \u003d x 2 + C , C යනු අත්තනෝමතික නියතයක් වන අතර එවැනි ශ්‍රිතයක් පමණක් ශ්රිතය සඳහා ප්‍රතිව්‍යුත්පන්නයක් වේ f(x) = 2x.
- උදාහරණ වශයෙන්:
F "(x) \u003d (x 2 + 1)" \u003d 2x \u003d f (x);
f(x) = 2x,නිසා F "(x) \u003d (x 2 - 1)" \u003d 2x \u003d f (x);
f(x) = 2x,නිසා F "(x) \u003d (x 2 -3)" \u003d 2x \u003d f (x);
ශ්‍රිතයක ප්‍රස්ථාර සහ එහි ප්රතිව්යුත්පන්න අතර සම්බන්ධතාවය:
- ශ්රිතයේ ප්රස්ථාරය නම් f(x)>0 F(x)මෙම කාල සීමාව තුළ වැඩි වේ.
- ශ්රිතයේ ප්රස්ථාරය නම් f(x)<0 පරතරය මත, පසුව එහි ප්රතිව්යුත්පන්නයේ ප්රස්ථාරය F(x)මෙම කාල සීමාව තුළ අඩු වේ.
- නම් f(x)=0, ඉන්පසු එහි ප්රතිව්යුත්පන්නයේ ප්රස්ථාරය F(x)මෙම අවස්ථාවෙහිදී වැඩිවීමේ සිට අඩුවීම දක්වා වෙනස් වේ (හෝ අනෙක් අතට).
ප්රතිව්යුත්පන්න දැක්වීම සඳහා, අවිනිශ්චිත අනුකලයේ ලකුණ, එනම් අනුකලනයේ සීමාවන් නොදක්වා අනුකලනය භාවිතා කරයි.
අවිනිශ්චිත අනුකලනය
අර්ථ දැක්වීම:
- f(x) ශ්රිතයේ අවිනිශ්චිත අනුකලනය යනු F(x) + C ප්‍රකාශනයයි, එනම් ලබා දී ඇති f(x) ශ්රිතයේ සියලුම ප්‍රතිව්‍යුත්පන්නයන්ගේ කට්ටලයයි. අවිනිශ්චිත අනුකලනය පහත පරිදි දැක්වේ: \int f(x) dx = F(x) + C
- f(x)අනුකලනය ලෙස හැඳින්වේ;
- f(x) dx- අනුකලනය ලෙස හැඳින්වේ;
- x- ඒකාබද්ධ කිරීමේ විචල්යය ලෙස හැඳින්වේ;
- F(x)- f(x) ශ්රිතයේ ප්රතිව්යුත්පන්න වලින් එකක්;
- සමගඅත්තනෝමතික නියතයකි.
අවිනිශ්චිත අනුකලයේ ගුණ
- අවිනිශ්චිත අනුකලයේ ව්යුත්පන්නය අනුකලනයට සමාන වේ: (\int f(x) dx)\prime= f(x) .
- අනුකලනයේ නියත සාධකය අනුකලිත ලකුණෙන් පිටතට ගත හැක: \int k \cdot f(x) dx = k \cdot \int f(x) dx.
- ශ්‍රිතවල එකතුවේ (වෙනස) අනුකලනය මෙම ශ්‍රිතවල අනුකලනයේ එකතුවට (වෙනස) සමාන වේ: \int (f(x) \pm g(x)) dx = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx.
- නම් k,bනියතයන් වන අතර, k ≠ 0, එවිට \int f(kx + b) dx = \frac(1)(k) \cdot F(kx + b) + C.
ප්රතිව්යුත්පන්න සහ අවිනිශ්චිත අනුකලක වගුව
| කාර්යය f(x) | ප්රතිව්යුත්පන්න F(x) + C | අවිනිශ්චිත අනුකලනය \int f(x) dx = F(x) + C |
| 0 | සී | \int 0 dx = C |
| f(x) = k | F(x) = kx + C | \int kdx = kx + C |
| f(x) = x^m, m\not =-1 | F(x) = \frac(x^(m+1))(m+1) + C | \int x(^m)dx = \frac(x^(m+1))(m+1) + C |
| f(x) = \frac(1)(x) | F(x) = l n \lvert x \rvert + C | \int \frac(dx)(x) = l n \lvert x \rvert + C |
| f(x) = e^x | F(x) = e^x + C | \int e(^x )dx = e^x + C |
| f(x) = a^x | F(x) = \frac(a^x)(l na) + C | \int a(^x )dx = \frac(a^x)(l na) + C |
| f(x) = \sin x | F(x) = -\cos x + C | \int \sin x dx = -\cos x + C |
| f(x) = \cos x | F(x)=\sin x + C | \int \cos x dx = \sin x + C |
| f(x) = \frac(1)(\sin (^2) x) | F(x) = -\ctg x + C | \int \frac (dx)(\sin (^2) x) = -\ctg x + C |
| f(x) = \frac(1)(\cos (^2) x) | F(x) = \tg x + C | \int \frac(dx)(\sin (^2) x) = \tg x + C |
| f(x) = \sqrt(x) | F(x) =\frac(2x \sqrt(x))(3) + C | |
| f(x) =\frac(1)( \sqrt(x)) | F(x) =2\sqrt(x) + C | |
| f(x) =\frac(1)( \sqrt(1-x^2)) | F(x)=\arcsin x + C | \int \frac(dx)( \sqrt(1-x^2))=\arcsin x + C |
| f(x) =\frac(1)( \sqrt(1+x^2)) | F(x)=\arctg x + C | \int \frac(dx)( \sqrt(1+x^2))=\arctg x + C |
| f(x)=\frac(1)( \sqrt(a^2-x^2)) | F(x)=\arcsin \frac (x)(a)+ C | \int \frac(dx)( \sqrt(a^2-x^2)) =\arcsin \frac (x)(a)+ C |
| f(x)=\frac(1)( \sqrt(a^2+x^2)) | F(x)=\arctg \frac (x)(a)+ C | \int \frac(dx)( \sqrt(a^2+x^2)) = \frac (1)(a) \arctg \frac (x)(a)+ C |
| f(x) =\frac(1)( 1+x^2) | F(x)=\arctg + C | \int \frac(dx)( 1+x^2)=\arctg + C |
| f(x)=\frac(1)( \sqrt(x^2-a^2)) (a \not= 0) | F(x)=\frac(1)(2a)l n \lvert \frac (x-a)(x+a) \rvert + C | \int \frac(dx)( \sqrt(x^2-a^2))=\frac(1)(2a)l n \lvert \frac (x-a)(x+a) \rvert + C |
| f(x)=\tg x | F(x)= - l n \lvert \cos x \rvert + C | \int \tg x dx =-l n \lvert \cos x \rvert + C |
| f(x)=\ctg x | F(x)= l n \lvert \sin x \rvert + C | \int \ctg x dx = l n \lvert \sin x \rvert + C |
| f(x)=\frac(1)(\sinx) | F(x)= l n \lvert \tg \frac(x)(2) \rvert + C | \int \frac (dx)(\sin x) = l n \lvert \tg \frac(x)(2) \rvert + C |
| f(x)=\frac(1)(\cos x) | F(x)= l n \lvert \tg (\frac(x)(2) +\frac(\pi)(4)) \rvert + C | \int \frac (dx)(\cos x) = l n \lvert \tg (\frac(x)(2) +\frac(\pi)(4)) \rvert + C |
නිව්ටන්-ලයිබ්නිස් සූත්රය
ඉඩ f(x)මෙම කාර්යය, එෆ්එහි අත්තනෝමතික ප්රාථමික.
\int_(a)^(b) f(x) dx =F(x)|_(a)^(b)= F(b) - F(a)
කොහෙද F(x)- සඳහා ප්රාථමික f(x)
එනම් ශ්රිතයේ අනුකලනයයි f(x)පරතරය මත ලක්ෂ්‍යවල ඇති ප්‍රතිව්‍යුත්පන්නවල වෙනසට සමාන වේ බීසහ ඒ.
වක්ර රේඛීය trapezoid ප්රදේශය
Curvilinear trapezoid කොටසක සෘණ නොවන සහ අඛණ්ඩ ශ්‍රිතයක ප්‍රස්ථාරයකින් සීමා වූ රූපයක් ලෙස හැඳින්වේ f, අක්ෂය Ox සහ සරල රේඛා x = aසහ x = b.
Curvilinear trapezoid ප්රදේශය නිව්ටන්-ලයිබ්නිස් සූත්රය භාවිතයෙන් සොයා ගනී:
S= \int_(a)^(b) f(x) dx
මෙම පාඩම ඒකාබද්ධ කිරීම පිළිබඳ වීඩියෝ මාලාවක පළමු පාඩම වේ. එහි දී, අපි ශ්‍රිතයක ප්රතිව්යුත්පන්න යනු කුමක්ද යන්න විශ්ලේෂණය කරනු ඇති අතර, මෙම ප්රතිව්යුත්පන්න ගණනය කිරීමේ මූලික ක්රම ද අධ්‍යයනය කරමු.
ඇත්ත වශයෙන්ම, මෙහි සංකීර්ණ කිසිවක් නොමැත: සාරාංශයක් ලෙස, සෑම දෙයක්ම ව්යුත්පන්න සංකල්පයට පැමිණේ, ඔබ දැනටමත් හුරුපුරුදු විය යුතුය. :)
අපගේ නව මාතෘකාවේ පළමු පාඩම මෙය වන බැවින් අද සංකීර්ණ ගණනය කිරීම් සහ සූත්‍ර නොමැත, නමුත් අපි අද අධ්‍යයනය කරන දේ සංකීර්ණ අනුකලනය සහ ප්‍රදේශ ගණනය කිරීමේදී වඩාත් සංකීර්ණ ගණනය කිරීම් සහ ව්‍යුහයන්ගේ පදනම සාදනු ඇති බව මම වහාම සටහන් කරමි. .
ඊට අමතරව, විශේෂයෙන් අනුකලනය සහ අනුකලනය අධ්‍යයනය කිරීම ආරම්භ කරන විට, ශිෂ්‍යයා දැනටමත් ව්‍යුත්පන්නයේ සංකල්ප සමඟ අවම වශයෙන් හුරුපුරුදු බවත් ඒවා ගණනය කිරීමේදී අවම වශයෙන් මූලික කුසලතා ඇති බවත් අපි ව්‍යංගයෙන් උපකල්පනය කරමු. මේ පිළිබඳව පැහැදිලි අවබෝධයක් නොමැතිව, ඒකාබද්ධ කිරීමේදී කිසිවක් කිරීමට කිසිවක් නැත.
කෙසේ වෙතත්, මෙහි වඩාත් නිරන්තර හා ද්‍රෝහී ගැටළු වලින් එකකි. කාරණය නම්, ඔවුන්ගේ පළමු ප්රතිව්යුත්පන්න ගණනය කිරීමට පටන් ගැනීම, බොහෝ සිසුන් ඒවා ව්‍යුත්පන්නයන් සමඟ පටලවා ගැනීමයි. ප්රතිඵලයක් වශයෙන්, විභාග සහ ස්වාධීන වැඩ වලදී මෝඩ හා අප්රසන්න වැරදි සිදු වේ.
ඒ නිසා දැන් මම ප්රතිව්යුත්පන්න ගැන පැහැදිලි නිර්වචනයක් දෙන්නෙ නෑ. ඒ වෙනුවට, එය සරල සංයුක්ත උදාහරණයක් මත සලකා බලන්නේ කෙසේදැයි බැලීමට මම ඔබට යෝජනා කරමි.
ප්රාථමික යනු කුමක්ද සහ එය සලකන්නේ කෙසේද
අපි මෙම සූත්රය දනිමු:
\[((\)
මෙම ව්යුත්පන්නය මූලික වශයෙන් සැලකේ:
\[(f)"\left(x \right)=((\left(((x)^(3)) \right))^(\prime ))=3((x)^(2))\ ]
ලැබෙන ප්රකාශනය දෙස සමීපව බලා $((x)^(2))$ ප්රකාශ කරමු:
\[((x)^(2))=\frac((\left(((x)^(3)) \right))^(\prime )))(3)\]
නමුත් ව්‍යුත්පන්නයේ නිර්වචනයට අනුව අපට එය මේ ආකාරයෙන් ලිවිය හැකිය:
\[((x)^(2))=((\left(\frac(((x))^(3)))(3) \දකුණ))^(\prime ))\]
දැන් අවධානය: අප දැන් ලියා ඇත්තේ ප්රතිව්යුත්පන්නයේ අර්ථ දැක්වීමයි. නමුත් එය නිවැරදිව ලිවීමට, ඔබ පහත සඳහන් දේ ලිවිය යුතුය:
පහත ප්රකාශනය එලෙසම ලියමු.
අපි මෙම රීතිය සාමාන්‍යකරණය කළහොත්, අපට පහත සූත්රය ලබා ගත හැක:
\[((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]
දැන් අපට පැහැදිලි නිර්වචනයක් සකස් කළ හැකිය.
ශ්‍රිතයක ප්‍රතිව්‍යුත්පන්නයක් යනු මුල් ශ්‍රිතයට සමාන වන ව්යුත්පන්න ශ්‍රිතයකි.
ප්රතිව්යුත්පන්න ශ්රිතය පිළිබඳ ප්රශ්න
එය තරමක් සරල හා තේරුම්ගත හැකි අර්ථ දැක්වීමක් බව පෙනේ. කෙසේ වෙතත්, එය ඇසීමෙන් පසු, අවධානයෙන් සිටින ශිෂ්යයාට වහාම ප්රශ්න කිහිපයක් තිබේ:
- හොඳයි, මේ සූත්රය නිවැරදියි කියමු. කෙසේ වෙතත්, මෙම අවස්ථාවෙහිදී, $n=1$ විට, අපට ගැටළු තිබේ: "ශුන්‍යය" හරයේ දිස්වන අතර, එය "ශුන්‍යයෙන්" බෙදිය නොහැක.
- සූත්රය බලයට පමණක් සීමා වේ. ප්රතිව්යුත්පන්න ගණනය කරන්නේ කෙසේද, උදාහරණයක් ලෙස, සයින්, කොසයින් සහ වෙනත් ඕනෑම ත්‍රිකෝණමිතිය, මෙන්ම නියතයන්.
- පැවැත්මේ ප්‍රශ්නයක්: සෑම විටම ප්‍රතිව්‍යුත්පන්නයක් සොයා ගත හැකිද? එසේ නම්, ප්රතිව්යුත්පන්න එකතුව, වෙනස, නිෂ්පාදනය යනාදිය ගැන කුමක් කිව හැකිද?
අවසාන ප්‍රශ්නයට මම වහාම පිළිතුරු දෙන්නෙමි. අවාසනාවකට මෙන්, ව්යුත්පන්න මෙන් නොව, ප්රතිව්යුත්පන්න සෑම විටම නොසැලකේ. එවැනි විශ්වීය සූත්‍රයක් නොමැත, ඒ අනුව, ඕනෑම ආරම්භක ඉදිකිරීමකින්, මෙම සමාන ඉදිකිරීමට සමාන ශ්‍රිතයක් අපි ලබා ගනිමු. බලයන් සහ නියතයන් සම්බන්ධයෙන්, අපි දැන් ඒ ගැන කතා කරමු.
බලශක්ති කාර්යයන් සමඟ ගැටළු විසඳීම
\[((x)^(-1))\to \frac(((x)^(-1+1)))(-1+1)=\frac(1)(0)\]
ඔබට පෙනෙන පරිදි, $((x)^(-1))$ සඳහා මෙම සූත්රය ක්රියා නොකරයි. ප්රශ්නය පැනනගින්නේ: එවිට ක්රියා කරන්නේ කුමක්ද? අපිට $((x)^(-1))$ ගණන් කරන්න බැරිද? ඇත්තෙන්ම අපට පුළුවන්. අපි මේකෙන් පටන් ගනිමු:
\[((x)^(-1))=\frac(1)(x)\]
දැන් අපි සිතමු: කුමන ශ්රිතයේ ව්යුත්පන්නය $\frac(1)(x)$ ට සමාන වේ. නිසැකවම, මෙම මාතෘකාවෙහි අවම වශයෙන් මඳක් නියැලී සිටින ඕනෑම ශිෂ්‍යයෙකුට මෙම ප්රකාශනය ස්වාභාවික ලඝුගණකයේ ව්‍යුත්පන්නයට සමාන බව මතක තබා ගත හැකිය:
\[(\left(\ln x \right))^(\prime ))=\frac(1)(x)\]
එබැවින්, අපට පහත සඳහන් දේ විශ්වාසයෙන් ලිවිය හැකිය:
\[\frac(1)(x)=((x)^(-1))\ to \ln x\]
බල ශ්‍රිතයක ව්යුත්පන්නය මෙන් මෙම සූත්රය දැනගත යුතුය.
ඉතින් අපි මෙතෙක් දන්නා දේ:
- බල ශ්‍රිතයක් සඳහා - $((x)^(n))\frac(((x)^(n+1)))(n+1)$
- නියතයක් සඳහා - $=const\ to \cdot x$
- බල ශ්‍රිතයක විශේෂ අවස්ථාවක් - $\frac(1)(x)\to \ln x$
තවද අපි සරලම ශ්රිත ගුණ කිරීමට සහ බෙදීමට පටන් ගන්නේ නම්, නිෂ්පාදනයක හෝ ප්‍රතිශතයක ප්රතිව්යුත්පන්න ගණනය කරන්නේ කෙසේද. අවාසනාවකට, නිෂ්පාදනයක ව්‍යුත්පන්නයක් හෝ ප්‍රතිශතයක් සමඟ ප්‍රතිසමයන් මෙහි ක්රියා නොකරයි. සම්මත සූත්‍රයක් නොමැත. සමහර අවස්ථා සඳහා, උපක්‍රමශීලී විශේෂ සූත්‍ර ඇත - අපි ඒවා අනාගත වීඩියෝ නිබන්ධන වලදී දැන ගනිමු.
කෙසේ වෙතත්, මතක තබා ගන්න: කෝටන්ට් සහ නිෂ්පාදනයේ ව්යුත්පන්නය ගණනය කිරීම සඳහා සූත්‍රයට සමාන සාමාන්‍ය සූත්‍රයක් නොමැත.
සැබෑ ගැටළු විසඳීම
කාර්යය # 1
එක් එක් බල ශ්රිත වෙන වෙනම ගණනය කරමු:
\[((x)^(2))\to \frac(((x)^(3)))(3)\]
අපගේ ප්රකාශනය වෙත ආපසු යමින්, අපි සාමාන්‍ය ඉදිකිරීම් ලියන්නෙමු:
කාර්යය # 2
මා දැනටමත් පවසා ඇති පරිදි, ප්රාථමික කෘති සහ පුද්ගලික "හිස් හරහා" නොසැලකේ. කෙසේ වෙතත්, මෙහිදී ඔබට පහත සඳහන් දෑ කළ හැකිය:
අපි භාගය කොටස් දෙකක එකතුවට කඩා ඇත.
අපි ගණනය කරමු:
ශුභාරංචිය නම්, ප්රතිව්යුත්පන්න ගණනය කිරීමේ සූත්‍ර ඔබ දැනගත් පසු, ඔබට දැනටමත් වඩාත් සංකීර්ණ ව්‍යුහයන් ගණනය කිරීමට හැකි වීමයි. කෙසේ වෙතත්, අපි ඉදිරියට යමු, අපගේ දැනුම තව ටිකක් පුළුල් කරමු. කාරණය නම්, බැලූ බැල්මට, $((x)^(n))$ සමඟ කිසිදු සම්බන්ධයක් නොමැති බොහෝ ඉදිකිරීම් සහ ප්‍රකාශන තාර්කික ඝාතකයක් සහිත උපාධියක් ලෙස නිරූපණය කළ හැකිය, එනම්:
\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(2)))\]
\[\sqrt[n](x)=((x)^(\frac(1)(n)))\]
\[\frac(1)(((x)^(n)))=((x)^(-n))\]
මෙම සියලු ශිල්පීය ක්රම ඒකාබද්ධ කළ හැකි හා ඒකාබද්ධ කළ යුතුය. බලය ප්රකාශ කළ හැක
- ගුණ කරන්න (බලයන් එකතු කරනු ලැබේ);
- බෙදීම (අංශක අඩු කරනු ලැබේ);
- නියතයකින් ගුණ කරන්න;
- ආදිය
තාර්කික ඝාතකයක් සහිත උපාධියක් සමඟ ප්‍රකාශන විසඳීම
උදාහරණ #1
අපි එක් එක් මූලයන් වෙන වෙනම ගණනය කරමු:
\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(2))\ to \frac(((x)^(\frac(1)(2)+1)))(\ frac(1)(2)+1)=\frac(((x)^(\frac(3)(2))))(\frac(3)(2))=\frac(2\cdot ((( x)^(\frac(3)(2))))(3)\]
\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(4))\ to \frac(((x)^(\frac(1)(4)))(\frac( 1)(4)+1)=\frac(((x)^(\frac(5)(4))))(\frac(5)(4))=\frac(4\cdot ((x) ^(\frac(5)(4))))(5)\]
සමස්තයක් වශයෙන්, අපගේ සම්පූර්ණ ඉදිකිරීම් පහත පරිදි ලිවිය හැකිය:
උදාහරණ #2
\[\frac(1)(\sqrt(x))=(\left(\sqrt(x) \right))^(-1))=(\left(((x)^(\frac(\frac(\sqrt(x)\right)) 1)(2))) \දකුණ))^(-1))=(x)^(-\frac(1)(2)))\]
එබැවින්, අපට ලැබෙනු ඇත:
\[\frac(1)(((x)^(3)))=((x)^(-3)) \frac(((x)^(-3+1)))(-3) +1)=\frac(((x)^(-2)))(-2)=-\frac(1)(2((x)^(2)))\]
සමස්තයක් වශයෙන්, එක් ප්රකාශනයකින් සියල්ල එකතු කර, අපට ලිවිය හැකිය:
උදාහරණ #3
පළමුව, අපි දැනටමත් $\sqrt(x)$ ගණනය කර ඇති බව සලකන්න:
\[\sqrt(x)\ සිට \frac(4((x)^(\frac(5)(4))))(5)\]
\[((x)^(\frac(3)(2)))\ සිට \frac(((x)^(\frac(3)(2)+1)))(\frac(3)(2 )+1)=\frac(2\cdot ((x)^(\frac(5)(2)))(5)\]
අපි නැවත ලියමු:
අප දැනට අධ්‍යයනය කර ඇත්තේ ප්‍රතිව්‍යුත්පන්නයන්ගේ සරලම ගණනය කිරීම්, වඩාත්ම ප්රාථමික ඉදිකිරීම් පමණක් යැයි මා පැවසුවහොත් මම කිසිවෙකු පුදුම නොවනු ඇතැයි මම බලාපොරොත්තු වෙමි. අපි දැන් ටිකක් සංකීර්ණ උදාහරණ දෙස බලමු, වගු ප්රතිව්යුත්පන්න වලට අමතරව, ඔබ තවමත් පාසල් විෂය මාලාව, එනම් සංක්ෂිප්ත ගුණ කිරීමේ සූත්‍ර මතක තබා ගත යුතුය.
වඩාත් සංකීර්ණ උදාහරණ විසඳීම
කාර්යය # 1
වෙනසෙහි වර්ග සඳහා සූත්රය සිහිපත් කරන්න:
\[((\left(a-b \right))^(2))=((a)^(2))-ab+((b)^(2))\]
අපි අපගේ කාර්යය නැවත ලියමු:
අපට දැන් එවැනි ශ්‍රිතයක ප්රතිව්යුත්පන්න සොයා ගත යුතුය:
\[((x)^(\frac(2)(3)))\ සිට \frac(3\cdot ((x)^(\frac(5)(3))))(5)\]
\[((x)^(\frac(1)(3)))\ සිට \frac(3\cdot ((x)^(\frac(4)(3))))(4)\]
අපි සෑම දෙයක්ම පොදු සැලසුමකින් එකතු කරමු:
කාර්යය # 2
මෙම අවස්ථාවේදී, අපි වෙනස ඝනකය විවෘත කළ යුතුය. අපි මතක තබා ගනිමු:
\[((\left(a-b \right))^(3))=((a)^(3))-3((a)^(2))\cdot b+3a\cdot ((b)^ (2))-((ආ)^(3))\]
මෙම කරුණ සැලකිල්ලට ගත් විට, එය පහත පරිදි ලිවිය හැකිය:
අපි අපේ කාර්යය ටිකක් වෙනස් කරමු:
අපි සෑම විටම මෙන්, එක් එක් පදය සඳහා වෙන වෙනම සලකා බලමු:
\[((x)^(-3))\to \frac(((x)^(-2)))(-2)\]
\[((x)^(-2))\ to \frac(((x)^(-1)))(-1)\]
\[((x)^(-1))\ සිට \ln x\]
එහි ප්‍රතිඵලය වන ඉදිකිරීම් ලියන්නෙමු:
කාර්යය #3
ඉහළින් අපට එකතුවේ වර්ග තිබේ, අපි එය විවෘත කරමු:
\[\frac((\left(x+\sqrt(x) \right))^(2))(x)=\frac(((x)^(2))+2x\cdot \sqrt(x )+(\වම(\sqrt(x) \දකුණ))^(2)))(x)=\]
\[=\frac(((x)^(2))(x)+\frac(2x\sqrt(x))(x)+\frac(x)(x)=x+2(x) ^(\frac(1)(2)))+1\]
\[((x)^(\frac(1)(2)))\ සිට \frac(2\cdot ((x)^(\frac(3)(2))))(3)\]
අපි අවසාන විසඳුම ලියන්නෙමු:
සහ දැන් අවධානය! වැරදි සහ වැරදි වැටහීම් වල සිංහයාගේ කොටස සමඟ සම්බන්ධ වී ඇති ඉතා වැදගත් දෙයක්. කාරණය නම්, ව්යුත්පන්න ආධාරයෙන් ප්රතිව්යුත්පන්න ගණනය කිරීම, පරිවර්තන ලබා දීම, නියතයක ව්යුත්පන්නය සමාන වන්නේ කුමක් දැයි අප සිතුවේ නැත. නමුත් නියතයක ව්යුත්පන්නය "ශුන්‍ය" ට සමාන වේ. මෙයින් අදහස් කරන්නේ ඔබට පහත විකල්ප ලිවිය හැකි බවයි:
- $((x)^(2))\ සිට \frac(((x)^(3)))(3)$
- $((x)^(2))\ සිට \frac(((x)^(3)))(3)+1$
- $((x)^(2))\ to \frac(((x)^(3)))(3)+C$
මෙය තේරුම් ගැනීම ඉතා වැදගත් වේ: ශ්‍රිතයක ව්යුත්පන්නය සෑම විටම සමාන නම්, එම ශ්‍රිතයට අනන්ත ප්රතිව්යුත්පන්න සංඛ්‍යාවක් ඇත. අපට ඕනෑම නියත සංඛ්‍යාවක් අපගේ ප්රාථමික වලට එකතු කර නව ඒවා ලබා ගත හැකිය.
අප විසින් විසඳා ඇති කාර්යයන් පැහැදිලි කිරීමේදී "ප්රතිව්යුත්පන්න වල සාමාන්‍ය පෙනුම ලියන්න" යනුවෙන් ලියා තිබීම අහම්බයක් නොවේ. එම. ඒවායින් එකක් නොව මුළු සමූහයක් ඇති බව දැනටමත් කල්තියා උපකල්පනය කර ඇත. නමුත්, ඇත්ත වශයෙන්ම, ඒවා වෙනස් වන්නේ අවසානයේ දී නියත $C$ වලින් පමණි. එමනිසා, අපගේ කාර්යයන් වලදී, අපි සම්පූර්ණ නොකළ දේ නිවැරදි කරන්නෙමු.
නැවත වරක්, අපි අපගේ ඉදිකිරීම් නැවත ලියන්නෙමු:
එවැනි අවස්ථාවන්හිදී, $C$ යනු නියතයක් - $C=const$ බව එක් කළ යුතුය.
අපගේ දෙවන කාර්යයේදී, අපට පහත ඉදිකිරීම් ලැබේ:
සහ අවසාන එක:
ගැටලුවේ ආරම්භක තත්වය තුළ අපෙන් අවශ්ය දේ දැන් අපට සැබවින්ම ලැබුණි.
දී ඇති ලක්ෂ්‍යයක් සමඟ ප්රතිව්යුත්පන්න සොයා ගැනීමේ ගැටළු විසඳීම
දැන්, නියතයන් ගැන සහ ප්රතිව්යුත්පන්න ලිවීමේ සුවිශේෂතා ගැන අප දන්නා විට, පහත ආකාරයේ ගැටළු තරමක් තාර්කිකව පැන නගී, සියලු ප්රතිව්යුත්පන්න කට්ටලයෙන් ලබා දී ඇති ලක්ෂ්‍යයක් හරහා ගමන් කරන එකක් සහ එකම එකක් සොයා ගැනීමට අවශ්ය වූ විට. මෙම කාර්යය කුමක්ද?
කාරණය නම්, දී ඇති ශ්‍රිතයක සියලුම ප්රතිව්යුත්පන්න වෙනස් වන්නේ ඒවා යම් සංඛ්‍යාවකින් සිරස් අතට මාරු වීමෙන් පමණි. මෙයින් අදහස් කරන්නේ අප ඛණ්ඩාංක තලයේ කුමන ලක්ෂ්‍යයක් ගත්තත්, එක් ප්‍රතිව්‍යුත්පන්නයක් අනිවාර්යයෙන්ම සමත් වන අතර, එපමනක් නොව, එකක් පමණක් බවයි.
එබැවින්, අපි දැන් විසඳන කාර්යයන් පහත පරිදි සකස් කර ඇත: මුල් ශ්රිතයේ සූත්රය දැන ගැනීමෙන් ප්රතිව්යුත්පන්න සොයා ගැනීම පහසු නැත, නමුත් ලබා දී ඇති ලක්ෂ්‍යයක් හරහා ගමන් කරන ඒවායින් එකක් හරියටම තෝරා ගැනීම, එහි ඛණ්ඩාංක ගැටලුවේ තත්වය තුළ ලබා දිය යුතුය.
උදාහරණ #1
පළමුව, අපි එක් එක් පදය ගණනය කරමු:
\[((x)^(4))\ to \frac(((x)^(5)))(5)\]
\[((x)^(3))\ to \frac(((x)^(4)))(4)\]
දැන් අපි අපගේ ඉදිකිරීම් සඳහා මෙම ප්‍රකාශන ආදේශ කරමු:
මෙම ශ්රිතය $M\left(-1;4 \right)$ ලක්ෂ්යය හරහා ගමන් කළ යුතුය. එය ලක්ෂ්‍යයක් හරහා ගමන් කරයි යන්නෙන් අදහස් කරන්නේ කුමක්ද? මෙයින් අදහස් කරන්නේ අපි සෑම තැනකම $x$ වෙනුවට $-1$ ද, $F\left(x \right)$ - $-4$ වෙනුවට දැම්මොත් නිවැරදි සංඛ්‍යාත්මක සමානාත්මතාවය ලබා ගත යුතු බවයි. අපි මෙහෙම කරමු.
අපට $C$ සඳහා සමීකරණයක් ඇති බව අපට පෙනේ, එබැවින් අපි එය විසඳීමට උත්සාහ කරමු:
අප සොයන විසඳුම මෙසේ ලියමු.
උදාහරණ #2
පළමුවෙන්ම, සංක්ෂිප්ත ගුණ කිරීමේ සූත්රය භාවිතයෙන් වෙනසෙහි වර්ග විවෘත කිරීම අවශ්ය වේ:
\[((x)^(2))\to \frac(((x)^(3)))(3)\]
මුල් ව්යුහය පහත පරිදි ලියා ඇත:
දැන් අපි $C$ සොයා ගනිමු: $M$ ලක්ෂ්‍යයේ ඛණ්ඩාංක ආදේශ කරන්න:
\[-1=\frac(8)(3)-12+18+C\]
අපි $C$ ප්රකාශ කරමු:
අවසාන ප්රකාශනය පෙන්වීමට එය ඉතිරිව ඇත:
ත්‍රිකෝණමිතික ගැටළු විසඳීම
අප විසින් විශ්ලේෂණය කර ඇති දේ සඳහා අවසාන ස්වරය ලෙස, ත්‍රිකෝණමිතිය අඩංගු තවත් සංකීර්ණ ගැටළු දෙකක් සලකා බැලීමට මා යෝජනා කරනවා. ඔවුන් තුළ, ඒ ආකාරයෙන්ම, සියලු කාර්යයන් සඳහා ප්රතිව්යුත්පන්නයන් සොයා ගැනීමට අවශ්ය වනු ඇත, පසුව මෙම කට්ටලයෙන් ඛණ්ඩාංක තලයේ $M$ ලක්ෂ්යය හරහා ගමන් කරන එකම එක තෝරන්න.
ඉදිරිය දෙස බලන විට, ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිතවල ප්රතිව්යුත්පන්නයන් සොයා ගැනීමට අප දැන් භාවිතා කරන තාක්‍ෂණය, ඇත්ත වශයෙන්ම, ස්වයං-පරීක්ෂා කිරීම සඳහා විශ්වීය තාක්‍ෂණයක් බව සටහන් කිරීමට කැමැත්තෙමි.
කාර්යය # 1
පහත සූත්රය මතක තබා ගනිමු.
\[(\left(\text(tg)x \right))^(\prime ))=\frac(1)((\cos )^(2))x)\]
මේ මත පදනම්ව, අපට ලිවිය හැකිය:
$M$ ලක්ෂ්‍යයේ ඛණ්ඩාංක අපගේ ප්‍රකාශනයට ආදේශ කරමු:
\[-1=\text(tg)\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(4))+C\]
මෙම කරුණ මනසේ තබාගෙන අපි ප්රකාශනය නැවත ලියමු:
කාර්යය # 2
මෙන්න එය ටිකක් අපහසු වනු ඇත. දැන් ඔබට පෙනෙනු ඇත ඇයි?
අපි මෙම සූත්රය මතක තබා ගනිමු:
\[(\left(\text(ctg)x \right))^(\prime ))=-\frac(1)((\sin )^(2))x)\]
"අඩුම" ඉවත් කිරීම සඳහා, ඔබ පහත සඳහන් දෑ කළ යුතුය:
\[((\left(-\text(ctg)x \right))^(\prime ))=\frac(1)((\sin )^(2))x)\]
මෙන්න අපේ නිර්මාණය
$M$ ලක්ෂ්‍යයේ ඛණ්ඩාංක ආදේශ කරන්න:
අපි අවසන් ඉදිකිරීම ලියන්නෙමු:
මට අද ඔබට කියන්නට අවශ්ය වූයේ එපමණයි. අපි ප්රතිව්යුත්පන්න යන පදයම අධ්‍යයනය කළෙමු, ඒවා මූලික ශ්‍රිතවලින් ගණනය කරන්නේ කෙසේද සහ ඛණ්ඩාංක තලයේ නිශ්චිත ලක්ෂ්‍යයක් හරහා යන ප්‍රතිව්‍යුත්පන්නයක් සොයා ගන්නේ කෙසේද යන්න අධ්‍යයනය කළෙමු.
මෙම සංකීර්ණ මාතෘකාව තේරුම් ගැනීමට මෙම පාඩම ඔබට අවම වශයෙන් ටිකක් උපකාරී වනු ඇතැයි මම බලාපොරොත්තු වෙමි. ඕනෑම අවස්ථාවක, අවිනිශ්චිත සහ අවිනිශ්චිත අනුකලනයන් ගොඩනඟා ඇත්තේ ප්රතිව්යුත්පන්න මත ය, එබැවින් ඒවා සලකා බැලීම අතිශයින්ම අවශ්ය වේ. මට එච්චරයි. ඔයාව ඉක්මණින්ම මුණගැසෙන්නම්!
ප්රාථමික.
ප්රතිව්යුත්පන්න උදාහරණයකින් තේරුම් ගැනීම පහසුය.
අපි function එකක් ගනිමු y = x 3. පෙර කොටස් වලින් අප දන්නා පරිදි, ව්යුත්පන්නය x 3 යනු 3 වේ x 2:
(x 3)" = 3x 2 .
එබැවින්, ශ්රිතයෙන් y = x 3 අපට නව කාර්යයක් ලැබේ: හිදී = 3x 2 .
සංකේතාත්මකව කිවහොත්, කාර්යය හිදී = x 3 නිෂ්පාදනය කරන ලද කාර්යය හිදී = 3x 2 සහ එහි "දෙමාපියන්" වේ. ගණිතයේ "දෙමාපියන්" යන වචනයක් නැත, නමුත් එයට සම්බන්ධ සංකල්පයක් ඇත: ප්රතිව්යුත්පන්න.
එනම්: කාර්යය y = x 3 ශ්රිතය සඳහා ප්රතිව්යුත්පන්න වේ හිදී = 3x 2 .
ප්රතිව්යුත්පන්න අර්ථ දැක්වීම:
අපගේ උදාහරණයේ ( x 3)" = 3x 2, එබැවින් y = x 3 - සඳහා ප්රතිව්යුත්පන්න හිදී = 3x 2 .
අනුකලනය.
ඔබ දන්නා පරිදි, දී ඇති ශ්‍රිතයකට අදාළව ව්යුත්පන්නය සොයා ගැනීමේ ක්‍රියාවලිය අවකලනය ලෙස හැඳින්වේ. ප්රතිලෝම ක්‍රියාව අනුකලනය ලෙස හැඳින්වේ.
පැහැදිලි කිරීමේ උදාහරණයක්:
හිදී = 3x 2+ පව් x.
විසඳුමක් :
3 සඳහා ප්රතිව්යුත්පන්න බව අපි දනිමු x 2 වේ x 3 .
පාපයට ප්රතිව්යුත්පන්න xයනු -cos x.
අපි ප්රතිව්යුත්පන්න දෙකක් එකතු කර දෙන ලද කාර්යයක් සඳහා ප්රතිව්යුත්පන්න ලබා ගනිමු:
y = x 3 + (-කොස් x),
y = x 3 - වියදම x.
පිළිතුර :
කාර්යය සඳහා හිදී = 3x 2+ පව් x y = x 3 - වියදම x.
පැහැදිලි කිරීමේ උදාහරණයක්:
ශ්රිතය සඳහා ප්රතිව්යුත්පන්න සොයා ගනිමු හිදී= 2 පව් x.
විසඳුමක් :
k = 2. පව් සඳහා ප්රතිව්යුත්පන්න බව සලකන්න xයනු -cos x.
එබැවින්, කාර්යය සඳහා හිදී= 2 පව් xප්රතිව්යුත්පන්න යනු කාර්යය වේ හිදී= -2 cos x.
y \u003d 2 sin ශ්රිතයේ සංගුණකය 2 xමෙම ශ්රිතය සෑදූ ප්රතිව්යුත්පන්නයේ සංගුණකය අනුරූප වේ.
පැහැදිලි කිරීමේ උදාහරණයක්:
ශ්රිතය සඳහා ප්රතිව්යුත්පන්න සොයා ගනිමු වයි= පාපය 2 x.
විසඳුමක් :
අපි එය සැලකිල්ලට ගනිමු කේ= 2. පාපය සඳහා ප්රතිව්යුත්පන්න xයනු -cos x.
ශ්රිතය සඳහා ප්රතිව්යුත්පන්න සොයා ගැනීමේදී අපි අපගේ සූත්රය යොදමු වයි= වියදම2 x:
1
වයි= - (-කොස් 2 x),
2
cos 2 x
වයි = – ----
2
cos 2 x
පිළිතුර: කාර්යය සඳහා වයි= පාපය 2 xප්රතිව්යුත්පන්න යනු කාර්යය වේ වයි = – ----
2
(4)
පැහැදිලි කිරීමේ උදාහරණයක්.
පෙර උදාහරණයෙන් කාර්යය ගනිමු: වයි= පාපය 2 x.
මෙම ශ්රිතය සඳහා, සියලුම ප්රතිව්යුත්පන්න වලට පෝරමය ඇත:
cos 2 x
වයි = – ---- + සී.
2
පැහැදිලි කිරීම.
අපි පළමු පේළිය ගනිමු. එය මෙසේ කියවේ: ශ්රිතය y = f( x) 0 වේ, එවිට එහි ප්රතිව්යුත්පන්න 1. ඇයි? එක්සත්කමේ ව්යුත්පන්නය ශුන්‍ය වන නිසා: 1" = 0.
ඉතිරි පේළි එකම අනුපිළිවෙලින් කියවනු ලැබේ.
වගුවකින් දත්ත උපුටා ගන්නේ කෙසේද? අපි අටවන පේළිය ගනිමු:
(-කොස් x)" = පව් x
අපි දෙවන කොටස ව්යුත්පන්න ලකුණ සමඟ ලියන්නෙමු, පසුව සමාන ලකුණ සහ ව්යුත්පන්නය.
අපි කියවන්නේ: පාප ශ්රිතය සඳහා ප්රතිව්යුත්පන්න x-cos ශ්රිතය වේ x.
හෝ: ශ්රිතය -cos xපාප ශ්රිතය සඳහා ප්රතිව්යුත්පන්න වේ x.
