ev > Türler ve teknikler > Logaritmaların ek özellikleri. Doğal logaritma, ln x fonksiyonu


Logaritmaların ek özellikleri. Doğal logaritma, ln x fonksiyonu




tanımından türetilmiştir. Ve böylece sayının logaritması b Sebeple a bir sayının yükseltilmesi gereken üs olarak tanımlanır a numarayı almak için b(logaritma yalnızca pozitif sayılar için mevcuttur).

Bu formülasyondan, hesaplamanın x=log a b, denklemi çözmeye eşdeğerdir balta=bÖrneğin, günlük 2 8 = 3çünkü 8 = 2 3 . Logaritmanın formülasyonu, eğer b=bir c, ardından sayının logaritması b Sebeple a eşittir ile birlikte. Logaritma konusunun bir sayının kuvveti konusuyla yakından ilgili olduğu da açıktır.

Logaritmalarla, herhangi bir sayıda olduğu gibi, gerçekleştirebilirsiniz toplama, çıkarma işlemleri ve mümkün olan her şekilde dönüştürün. Ancak logaritmaların pek sıradan sayılar olmadığı gerçeği göz önüne alındığında, burada logaritma adı verilen kendi özel kuralları geçerlidir. Temel özellikler.

Logaritmaların toplanması ve çıkarılması.

Aynı tabana sahip iki logaritmayı alın: günlük x ve günlüğe kaydet. Daha sonra toplama ve çıkarma işlemlerini gerçekleştirmek mümkündür:

log a x+ log a y= log a (x y);

log a x - log a y = log a (x:y).

oturum aç(x 1 . x 2 . x 3 ... xk) = günlük x 1 + günlük x 2 + günlük x 3 + ... + xk günlüğü.

İtibaren bölüm logaritma teoremleri logaritmanın bir özelliği daha elde edilebilir. Bilindiği üzere günlük a 1= 0, bu nedenle,

kayıt a 1 /b= günlük a 1 - günlük bir b= -log bir b.

Yani bir eşitlik var:

günlük a 1 / b = - günlük a b.

Karşılıklı karşılıklı iki sayının logaritmaları aynı temelde birbirinden sadece işaret olarak farklılık gösterecektir. Yani:

Günlük 3 9= - günlük 3 1 / 9 ; günlük 5 1 / 125 = - günlük 5 125.

1.1. Bir tamsayı üssünün derecesini belirleme

X 1 = X
X 2 = X * X
X 3 = X * X * X
…
X N \u003d X * X * ... * X - N kez

1.2. Sıfır derece.

Tanım olarak, herhangi bir sayının sıfır kuvvetinin 1'e eşit olduğunu varsaymak gelenekseldir:

1.3. negatif derece.

X-N = 1/XN

1.4. Kesirli üs, kök.

X 1/N = X'in N'inci kökü.

Örneğin: X 1/2 = √X.

1.5. Güç ekleme formülü.

X (N+M) = X N * X M

1.6 Derece çıkarma formülü.

X (N-M) = X N / X M

1.7. Güç çarpma formülü.

XN*M = (XN)M

1.8. Bir kesri bir kuvvete yükseltme formülü.

(X/Y)N = XN /YN

2. Numara e.

e sayısının değeri aşağıdaki sınıra eşittir:

E = lim(1+1/N), N → ∞ olarak.

17 hane hassasiyetle e sayısı 2.71828182845904512'dir.

3. Euler eşitliği.

Bu eşitlik, matematikte özel bir rol oynayan beş sayıyı birbirine bağlar: 0, 1, e sayısı, pi sayısı, hayali birim.

E(i*pi) + 1 = 0

4. Üstel fonksiyon exp (x)

deneyim(x) = e x

5. Üstel fonksiyonun türevi

Üstel bir fonksiyonun dikkate değer bir özelliği vardır: Bir fonksiyonun türevi, üstel fonksiyonun kendisine eşittir:

(exp(x))" = exp(x)

6. Logaritma.

6.1. Logaritma işlevinin tanımı

x = b y ise, logaritma fonksiyondur

Y = Logb(x).

Logaritma, belirli bir sayıyı (X) elde etmek için bir sayıyı - logaritmanın (b) tabanını - yükseltmenin ne dereceye kadar gerekli olduğunu gösterir. Logaritma işlevi sıfırdan büyük X için tanımlanır.

Örneğin: Günlük 10 (100) = 2.

6.2. ondalık logaritma

Bu, 10 tabanına göre logaritmadır:

Y = Günlük 10 (x) .

Günlük(x) ile gösterilir: Günlük(x) = Günlük 10 (x).

Ondalık logaritmayı kullanmanın bir örneği desibeldir.

6.3. Desibel

Öğe ayrı bir sayfada vurgulanır Desibel

6.4. ikili logaritma

Bu, 2 tabanlı logaritmadır:

Y = Log2(x).

Lg(x) ile gösterilir: Lg(x) = Log 2 (X)

6.5. doğal logaritma

Bu, e tabanına göre logaritmadır:

Y = log(x) .

Ln(x) ile gösterilir: Ln(x) = Log e (X)
Doğal logaritma, exp(X) üstel fonksiyonunun tersidir.

6.6. karakteristik noktalar

Loga(1) = 0
günlük a(a) = 1

6.7. Çarpımın logaritması için formül

Günlük a (x*y) = Günlük a (x)+ Günlük a (y)

6.8. Bölümün logaritması için formül

Günlük a (x/y) = Günlük a (x) - Günlük a (y)

6.9. Güç logaritma formülü

Günlük a (x y) = y*Günlük a (x)

6.10. Farklı bir tabana sahip bir logaritmaya dönüştürmek için formül

Günlük b (x) = (Günlük a (x)) / Günlük a (b)

Örnek vermek:

Günlük 2 (8) = Günlük 10 (8) / Günlük 10 (2) =
0.903089986991943552 / 0.301029995663981184 = 3

7. Hayatta faydalı formüller

Genellikle hacmi alana veya uzunluğa dönüştürme sorunları vardır ve ters problem, alanı hacme dönüştürme sorunudur. Örneğin, panolar küp (metreküp) olarak satılır ve belirli bir hacimde bulunan panolarla ne kadar duvar alanının kaplanabileceğini hesaplamamız gerekir, bkz. panoların hesaplanması, bir küpte kaç pano vardır. Ya da duvarın boyutları biliniyor, tuğla sayısını hesaplamak gerekiyor, tuğla hesabına bakın.


Kaynağa aktif bir bağlantı kurulması şartıyla site materyallerinin kullanılmasına izin verilir.

Bugün hakkında konuşacağız logaritma formülleri ve gösteri yapmak çözüm örnekleri.

Kendi başlarına, logaritmaların temel özelliklerine göre çözüm kalıplarını ifade ederler. Logaritma formüllerini çözüme uygulamadan önce, sizin için tüm özellikleri hatırlıyoruz:

Şimdi, bu formüllere (özelliklere) dayanarak, logaritma çözme örnekleri.

Formüllere dayalı logaritma çözme örnekleri.

logaritma a tabanındaki pozitif bir b sayısı (log a b olarak gösterilir), b > 0, a > 0 ve 1 ile b'yi elde etmek için a'nın yükseltilmesi gereken üsdür.

a x = b'ye eşdeğer olan log a b = x tanımına göre, log a a x = x.

logaritmalar, örnekler:

günlük 2 8 = 3, çünkü 2 3 = 8

günlük 7 49 = 2 çünkü 7 2 = 49

günlük 5 1/5 = -1, çünkü 5 -1 = 1/5

ondalık logaritma tabanı 10 olan sıradan bir logaritmadır. lg ile gösterilir.

günlük 10 100 = 2 çünkü 10 2 = 100

doğal logaritma- ayrıca normal logaritma logaritması, ancak e tabanıyla (e \u003d 2.71828 ... - irrasyonel bir sayı). ln olarak anılır.

Logaritmaların formüllerini veya özelliklerini hatırlamak arzu edilir, çünkü bunlara daha sonra logaritma, logaritmik denklemler ve eşitsizlikleri çözerken ihtiyacımız olacak. Örneklerle her formül üzerinde yeniden çalışalım.

  • Temel logaritmik kimlik
    bir günlük bir b = b

    8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9

  • Çarpımın logaritması, logaritmaların toplamına eşittir.
    log a (bc) = log a b + log a c

    günlük 3 8,1 + günlük 3 10 = günlük 3 (8,1*10) = günlük 3 81 = 4

  • Bölümün logaritması, logaritmaların farkına eşittir
    log a (b/c) = log a b - log a c

    9 günlük 5 50 /9 günlük 5 2 = 9 günlük 5 50- günlük 5 2 = 9 günlük 5 25 = 9 2 = 81

  • Logaritma yapılabilir bir sayının derecesinin ve logaritmanın tabanının özellikleri

    Bir logaritma sayısının üssü log a b m = mlog a b

    Logaritma tabanının üssü log a n b =1/n*log a b

    log a n b m = m/n*log a b,

    m = n ise, log a n b n = log a b elde ederiz

    günlük 4 9 = günlük 2 2 3 2 = günlük 2 3

  • Yeni bir temele geçiş
    log a b = log c b / log c a,

    c = b ise log b b = 1 elde ederiz

    o zaman log a b = 1/log b a

    log 0,8 3*log 3 1,25 = log 0,8 3*log 0,8 1,25/log 0,8 3 = log 0,8 1,25 = log 4/5 5/4 = -1

Gördüğünüz gibi logaritma formülleri göründüğü kadar karmaşık değil. Şimdi, logaritma çözme örneklerini inceledikten sonra, logaritmik denklemlere geçebiliriz. Logaritmik denklemleri çözme örneklerini "" makalesinde daha ayrıntılı olarak ele alacağız. Kaçırma!

Çözümle ilgili hala sorularınız varsa, bunları makalenin yorumlarına yazın.

Not: Seçenek olarak yurt dışında başka bir sınıf eğitimi almaya karar verdim.

Temel özellikler.

  1. logax + logay = log(x y);
  2. logax - logay = log(x: y).

aynı gerekçeler

log6 4 + log6 9.

Şimdi görevi biraz karmaşıklaştıralım.

Logaritma çözme örnekleri

Ya logaritmanın tabanında veya argümanında bir derece varsa? Daha sonra bu derecenin üssü aşağıdaki kurallara göre logaritmanın işaretinden çıkarılabilir:

Elbette, ODZ logaritması gözlenirse tüm bu kurallar anlamlıdır: a > 0, a ≠ 1, x >

Bir görev. İfadenin değerini bulun:

Yeni bir temele geçiş

Logaritma logax verilsin. O halde c > 0 ve c ≠ 1 olacak şekilde herhangi bir c sayısı için eşitlik doğrudur:

Bir görev. İfadenin değerini bulun:

Ayrıca bakınız:


Logaritmanın temel özellikleri

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.



Üs 2,718281828…. Üssü hatırlamak için kuralı inceleyebilirsiniz: üs 2,7'dir ve Leo Tolstoy'un doğum yılının iki katıdır.

Logaritmaların temel özellikleri

Bu kuralı bilerek, hem üssün tam değerini hem de Leo Tolstoy'un doğum tarihini bileceksiniz.


Logaritma örnekleri

İfadelerin logaritmasını alın

örnek 1
a). x=10ac^2 (a>0, c>0).

3,5 özelliklerine göre hesaplıyoruz

2.

3.

4. nerede .



Örnek 2 Eğer x'i bulun


Örnek 3. Logaritmaların değeri verilsin

log(x)'i hesapla, eğer




Logaritmaların temel özellikleri

Herhangi bir sayı gibi logaritmalar da mümkün olan her şekilde toplanabilir, çıkarılabilir ve dönüştürülebilir. Ancak logaritmalar pek sıradan sayılar olmadığı için, burada logaritma adı verilen kurallar vardır. Temel özellikler.

Bu kurallar bilinmelidir - onlarsız hiçbir ciddi logaritmik problem çözülemez. Ayrıca, çok azı var - her şey bir günde öğrenilebilir. Öyleyse başlayalım.

Logaritmaların toplanması ve çıkarılması

Aynı tabana sahip iki logaritmayı ele alalım: logax ve logay. Sonra eklenebilir ve çıkarılabilirler ve:

  1. logax + logay = log(x y);
  2. logax - logay = log(x: y).

Yani logaritmaların toplamı çarpımın logaritmasına, fark ise bölümün logaritmasına eşittir. Lütfen dikkat: buradaki kilit nokta - aynı gerekçeler. Bazlar farklı ise bu kurallar işlemez!

Bu formüller, tek tek parçaları dikkate alınmadığında bile logaritmik ifadenin hesaplanmasına yardımcı olacaktır ("Logaritma nedir" dersine bakın). Örneklere bir göz atın ve görün:

Logaritmaların tabanları aynı olduğu için toplam formülünü kullanırız:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Bir görev. Şu ifadenin değerini bulun: log2 48 - log2 3.

Bazlar aynıdır, fark formülünü kullanırız:
log2 48 - log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Bir görev. Şu ifadenin değerini bulun: log3 135 - log3 5.

Yine, tabanlar aynı, yani elimizde:
log3 135 - log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Gördüğünüz gibi orijinal ifadeler ayrı düşünülmeyen "kötü" logaritmalardan oluşuyor. Ancak dönüşümlerden sonra oldukça normal sayılar ortaya çıkıyor. Birçok test bu gerçeğe dayanmaktadır. Evet, kontrol - sınavda tüm ciddiyetiyle (bazen - neredeyse hiç değişiklik olmadan) benzer ifadeler sunulur.

Üssü logaritmadan çıkarma

Son kuralın ilk ikisini takip ettiğini görmek kolaydır. Ancak yine de hatırlamak daha iyidir - bazı durumlarda hesaplama miktarını önemli ölçüde azaltacaktır.

Tabii ki, tüm bu kurallar, ODZ logaritmasına uyulursa mantıklıdır: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Ve bir şey daha: tüm formülleri yalnızca soldan sağa değil, tam tersi şekilde uygulamayı öğrenin, yani. logaritmanın işaretinden önceki sayıları logaritmanın kendisine girebilirsiniz. En sık ihtiyaç duyulan şey budur.

Bir görev. Şu ifadenin değerini bulun: log7 496.

İlk formüle göre argümandaki dereceden kurtulalım:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Bir görev. İfadenin değerini bulun:

Paydanın, tabanı ve bağımsız değişkeni tam üsler olan bir logaritma olduğuna dikkat edin: 16 = 24; 49 = 72. Elimizde:

Son örneğin açıklığa kavuşturulması gerektiğini düşünüyorum. Logaritmalar nereye gitti? Son ana kadar sadece payda ile çalışıyoruz.

Logaritma formülleri. Logaritmalar çözüm örnekleridir.

Orada duran logaritmanın tabanını ve argümanını derece şeklinde sundular ve göstergeleri çıkardılar - "üç katlı" bir kesir elde ettiler.

Şimdi ana kesire bakalım. Pay ve payda aynı sayıya sahiptir: log2 7. log2 7 ≠ 0 olduğundan, kesri azaltabiliriz - 2/4 paydada kalacaktır. Aritmetik kurallarına göre dört, yapılan paya aktarılabilir. Sonuç cevap: 2.

Yeni bir temele geçiş

Logaritma toplama ve çıkarma kurallarından bahsetmişken, bunların sadece aynı tabanlarla çalıştıklarını özellikle vurguladım. Ya tabanlar farklıysa? Ya aynı sayının tam kuvvetleri değilse?

Yeni bir üsse geçiş formülleri kurtarmaya geliyor. Onları bir teorem şeklinde formüle ediyoruz:

Logaritma logax verilsin. O halde c > 0 ve c ≠ 1 olacak şekilde herhangi bir c sayısı için eşitlik doğrudur:

Özellikle c = x koyarsak şunu elde ederiz:

İkinci formülden, logaritmanın tabanını ve argümanını değiştirmenin mümkün olduğu sonucu çıkar, ancak bu durumda tüm ifade "ters çevrilir", yani. logaritma paydadadır.

Bu formüller, sıradan sayısal ifadelerde nadiren bulunur. Ne kadar kullanışlı olduklarını ancak logaritmik denklemleri ve eşitsizlikleri çözerken değerlendirmek mümkündür.

Ancak, yeni bir temele taşınmak dışında hiçbir şekilde çözülemeyecek görevler var. Bunlardan birkaçını ele alalım:

Bir görev. Şu ifadenin değerini bulun: log5 16 log2 25.

Her iki logaritmanın bağımsız değişkenlerinin tam üsler olduğuna dikkat edin. Göstergeleri çıkaralım: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Şimdi ikinci logaritmayı çevirelim:

Çarpım, faktörlerin permütasyonundan değişmediği için, sakince dört ve ikiyi çarptık ve sonra logaritmaları bulduk.

Bir görev. Şu ifadenin değerini bulun: log9 100 lg 3.

Birinci logaritmanın tabanı ve argümanı tam güçlerdir. Bunu yazalım ve göstergelerden kurtulalım:

Şimdi yeni bir tabana geçerek ondalık logaritmadan kurtulalım:

Temel logaritmik kimlik

Genellikle çözme sürecinde, bir sayıyı belirli bir tabana göre logaritma olarak temsil etmek gerekir. Bu durumda, formüller bize yardımcı olacaktır:

İlk durumda, n sayısı bağımsız değişkendeki üs haline gelir. n sayısı kesinlikle herhangi bir şey olabilir, çünkü bu sadece logaritmanın değeridir.

İkinci formül aslında başka sözcüklerle ifade edilmiş bir tanımdır. Bunun gibi denir:

Gerçekten de b sayısı, bu derecede b sayısı a sayısını verecek kadar yükseltilirse ne olur? Bu doğru: bu aynı a sayısıdır. Bu paragrafı tekrar dikkatlice okuyun - birçok kişi buna "asılır".

Yeni temel dönüştürme formülleri gibi, temel logaritmik özdeşlik bazen tek olası çözümdür.

Bir görev. İfadenin değerini bulun:

Log25 64 = log5 8 - sadece kareyi tabandan ve logaritmanın argümanından çıkardık. Aynı tabana sahip kuvvetleri çarpma kuralları göz önüne alındığında, şunu elde ederiz:

Birisi bilmiyorsa, bu Birleşik Devlet Sınavından gerçek bir görevdi 🙂

Logaritmik birim ve logaritmik sıfır

Sonuç olarak, özellik olarak adlandırılması zor olan iki özdeşlik vereceğim - bunlar daha ziyade logaritma tanımının sonuçlarıdır. Sürekli olarak problemlerde bulunurlar ve şaşırtıcı bir şekilde "ileri" öğrenciler için bile problem yaratırlar.

  1. loga = 1'dir. Bir kez ve herkes için hatırlayın: o tabandan herhangi bir a tabanının logaritması bire eşittir.
  2. loga 1 = 0'dır. a tabanı herhangi bir şey olabilir, ancak bağımsız değişken bir ise, logaritma sıfırdır! Çünkü a0 = 1, tanımın doğrudan bir sonucudur.

Tüm özellikler bu. Bunları uygulamaya koyarak pratik yaptığınızdan emin olun! Dersin başında kopya kağıdını indirin, yazdırın ve problemleri çözün.

Ayrıca bakınız:

b sayısının a tabanına göre logaritması ifadeyi ifade eder. Logaritmayı hesaplamak, eşitliğin doğru olduğu böyle bir güç x () bulmak anlamına gelir.

Logaritmanın temel özellikleri

Yukarıdaki özelliklerin bilinmesi gerekir, çünkü neredeyse tüm problemler ve örnekler logaritmalara dayalı olarak çözülmüştür. Kalan egzotik özellikler, bu formüllerle matematiksel manipülasyonlarla elde edilebilir.

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Toplam ve fark formülleri hesaplanırken logaritmalara (3.4) oldukça sık rastlanır. Geri kalanlar biraz karmaşıktır, ancak bazı görevlerde karmaşık ifadeleri basitleştirmek ve değerlerini hesaplamak için vazgeçilmezdirler.

Yaygın logaritma vakaları

Yaygın logaritmalardan bazıları, tabanı çift, üstel veya ikili olanlardır.
On tabanlı logaritma genellikle on tabanlı logaritma olarak adlandırılır ve basitçe lg(x) ile gösterilir.

Esasların sicilde yazılı olmadığı sicilden anlaşılmaktadır. Örneğin

Doğal logaritma, temeli üs olan (ln(x) ile gösterilen) logaritmadır.

Üs 2,718281828…. Üssü hatırlamak için kuralı inceleyebilirsiniz: üs 2,7'dir ve Leo Tolstoy'un doğum yılının iki katıdır. Bu kuralı bilerek, hem üssün tam değerini hem de Leo Tolstoy'un doğum tarihini bileceksiniz.

Ve bir diğer önemli taban iki logaritması

Fonksiyonun logaritmasının türevi, bir bölü değişkene eşittir

İntegral veya ters türevli logaritma, bağımlılık tarafından belirlenir.

Yukarıdaki materyal, logaritmalar ve logaritmalarla ilgili çok çeşitli problemleri çözmeniz için yeterlidir. Malzemeyi özümsemek için okul müfredatından ve üniversitelerden sadece birkaç yaygın örnek vereceğim.

Logaritma örnekleri

İfadelerin logaritmasını alın

örnek 1
a). x=10ac^2 (a>0, c>0).

3,5 özelliklerine göre hesaplıyoruz

2.
Logaritmaların fark özelliğine göre,

3.
3.5 özelliklerini kullanarak buluyoruz

4. nerede .

Bir dizi kural kullanan görünüşte karmaşık bir ifade, forma basitleştirildi

Logaritma Değerlerini Bulma

Örnek 2 Eğer x'i bulun

Karar. Hesaplama için son terime kadar 5 ve 13 özelliklerini uyguluyoruz.

Kayıtta değiştirin ve yas tutun

Tabanlar eşit olduğu için ifadeleri eşitleriz.

Logaritmalar. İlk seviye.

Logaritmaların değeri verilsin

log(x)'i hesapla, eğer

Çözüm: Terimlerin toplamından logaritmayı yazmak için değişkenin logaritmasını alın


Bu, logaritmalar ve özellikleri ile tanışmanın sadece başlangıcıdır. Hesaplamalar yapın, pratik becerilerinizi zenginleştirin - yakında logaritmik denklemleri çözmek için edindiğiniz bilgilere ihtiyacınız olacak. Bu tür denklemleri çözmek için temel yöntemleri inceledikten sonra, aynı derecede önemli başka bir konu olan logaritmik eşitsizlikler için bilginizi genişleteceğiz ...

Logaritmaların temel özellikleri

Herhangi bir sayı gibi logaritmalar da mümkün olan her şekilde toplanabilir, çıkarılabilir ve dönüştürülebilir. Ancak logaritmalar pek sıradan sayılar olmadığı için, burada logaritma adı verilen kurallar vardır. Temel özellikler.

Bu kurallar bilinmelidir - onlarsız hiçbir ciddi logaritmik problem çözülemez. Ayrıca, çok azı var - her şey bir günde öğrenilebilir. Öyleyse başlayalım.

Logaritmaların toplanması ve çıkarılması

Aynı tabana sahip iki logaritmayı ele alalım: logax ve logay. Sonra eklenebilir ve çıkarılabilirler ve:

  1. logax + logay = log(x y);
  2. logax - logay = log(x: y).

Yani logaritmaların toplamı çarpımın logaritmasına, fark ise bölümün logaritmasına eşittir. Lütfen dikkat: buradaki kilit nokta - aynı gerekçeler. Bazlar farklı ise bu kurallar işlemez!

Bu formüller, tek tek parçaları dikkate alınmadığında bile logaritmik ifadenin hesaplanmasına yardımcı olacaktır ("Logaritma nedir" dersine bakın). Örneklere bir göz atın ve görün:

Bir görev. Şu ifadenin değerini bulun: log6 4 + log6 9.

Logaritmaların tabanları aynı olduğu için toplam formülünü kullanırız:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Bir görev. Şu ifadenin değerini bulun: log2 48 - log2 3.

Bazlar aynıdır, fark formülünü kullanırız:
log2 48 - log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Bir görev. Şu ifadenin değerini bulun: log3 135 - log3 5.

Yine, tabanlar aynı, yani elimizde:
log3 135 - log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Gördüğünüz gibi orijinal ifadeler ayrı düşünülmeyen "kötü" logaritmalardan oluşuyor. Ancak dönüşümlerden sonra oldukça normal sayılar ortaya çıkıyor. Birçok test bu gerçeğe dayanmaktadır. Evet, kontrol - sınavda tüm ciddiyetiyle (bazen - neredeyse hiç değişiklik olmadan) benzer ifadeler sunulur.

Üssü logaritmadan çıkarma

Şimdi görevi biraz karmaşıklaştıralım. Ya logaritmanın tabanında veya argümanında bir derece varsa? Daha sonra bu derecenin üssü aşağıdaki kurallara göre logaritmanın işaretinden çıkarılabilir:

Son kuralın ilk ikisini takip ettiğini görmek kolaydır. Ancak yine de hatırlamak daha iyidir - bazı durumlarda hesaplama miktarını önemli ölçüde azaltacaktır.

Tabii ki, ODZ logaritması gözlenirse tüm bu kurallar mantıklıdır: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Ve bir şey daha: tüm formülleri yalnızca soldan sağa değil, tersi de uygulamayı öğrenin, yani. logaritmanın işaretinden önceki sayıları logaritmanın kendisine girebilirsiniz.

logaritma nasıl çözülür

En sık ihtiyaç duyulan şey budur.

Bir görev. Şu ifadenin değerini bulun: log7 496.

İlk formüle göre argümandaki dereceden kurtulalım:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Bir görev. İfadenin değerini bulun:

Paydanın, tabanı ve bağımsız değişkeni tam üsler olan bir logaritma olduğuna dikkat edin: 16 = 24; 49 = 72. Elimizde:

Son örneğin açıklığa kavuşturulması gerektiğini düşünüyorum. Logaritmalar nereye gitti? Son ana kadar sadece payda ile çalışıyoruz. Orada duran logaritmanın tabanını ve argümanını derece şeklinde sundular ve göstergeleri çıkardılar - "üç katlı" bir kesir elde ettiler.

Şimdi ana kesire bakalım. Pay ve payda aynı sayıya sahiptir: log2 7. log2 7 ≠ 0 olduğundan, kesri azaltabiliriz - 2/4 paydada kalacaktır. Aritmetik kurallarına göre dört, yapılan paya aktarılabilir. Sonuç cevap: 2.

Yeni bir temele geçiş

Logaritma toplama ve çıkarma kurallarından bahsetmişken, bunların sadece aynı tabanlarla çalıştıklarını özellikle vurguladım. Ya tabanlar farklıysa? Ya aynı sayının tam kuvvetleri değilse?

Yeni bir üsse geçiş formülleri kurtarmaya geliyor. Onları bir teorem şeklinde formüle ediyoruz:

Logaritma logax verilsin. O halde c > 0 ve c ≠ 1 olacak şekilde herhangi bir c sayısı için eşitlik doğrudur:

Özellikle c = x koyarsak şunu elde ederiz:

İkinci formülden, logaritmanın tabanını ve argümanını değiştirmenin mümkün olduğu sonucu çıkar, ancak bu durumda tüm ifade "ters çevrilir", yani. logaritma paydadadır.

Bu formüller, sıradan sayısal ifadelerde nadiren bulunur. Ne kadar kullanışlı olduklarını ancak logaritmik denklemleri ve eşitsizlikleri çözerken değerlendirmek mümkündür.

Ancak, yeni bir temele taşınmak dışında hiçbir şekilde çözülemeyecek görevler var. Bunlardan birkaçını ele alalım:

Bir görev. Şu ifadenin değerini bulun: log5 16 log2 25.

Her iki logaritmanın bağımsız değişkenlerinin tam üsler olduğuna dikkat edin. Göstergeleri çıkaralım: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Şimdi ikinci logaritmayı çevirelim:

Çarpım, faktörlerin permütasyonundan değişmediği için, sakince dört ve ikiyi çarptık ve sonra logaritmaları bulduk.

Bir görev. Şu ifadenin değerini bulun: log9 100 lg 3.

Birinci logaritmanın tabanı ve argümanı tam güçlerdir. Bunu yazalım ve göstergelerden kurtulalım:

Şimdi yeni bir tabana geçerek ondalık logaritmadan kurtulalım:

Temel logaritmik kimlik

Genellikle çözme sürecinde, bir sayıyı belirli bir tabana göre logaritma olarak temsil etmek gerekir. Bu durumda, formüller bize yardımcı olacaktır:

İlk durumda, n sayısı bağımsız değişkendeki üs haline gelir. n sayısı kesinlikle herhangi bir şey olabilir, çünkü bu sadece logaritmanın değeridir.

İkinci formül aslında başka sözcüklerle ifade edilmiş bir tanımdır. Bunun gibi denir:

Gerçekten de b sayısı, bu derecede b sayısı a sayısını verecek kadar yükseltilirse ne olur? Bu doğru: bu aynı a sayısıdır. Bu paragrafı tekrar dikkatlice okuyun - birçok kişi buna "asılır".

Yeni temel dönüştürme formülleri gibi, temel logaritmik özdeşlik bazen tek olası çözümdür.

Bir görev. İfadenin değerini bulun:

Log25 64 = log5 8 - sadece kareyi tabandan ve logaritmanın argümanından çıkardık. Aynı tabana sahip kuvvetleri çarpma kuralları göz önüne alındığında, şunu elde ederiz:

Birisi bilmiyorsa, bu Birleşik Devlet Sınavından gerçek bir görevdi 🙂

Logaritmik birim ve logaritmik sıfır

Sonuç olarak, özellik olarak adlandırılması zor olan iki özdeşlik vereceğim - bunlar daha ziyade logaritma tanımının sonuçlarıdır. Sürekli olarak problemlerde bulunurlar ve şaşırtıcı bir şekilde "ileri" öğrenciler için bile problem yaratırlar.

  1. loga = 1'dir. Bir kez ve herkes için hatırlayın: o tabandan herhangi bir a tabanının logaritması bire eşittir.
  2. loga 1 = 0'dır. a tabanı herhangi bir şey olabilir, ancak bağımsız değişken bir ise, logaritma sıfırdır! Çünkü a0 = 1, tanımın doğrudan bir sonucudur.

Tüm özellikler bu. Bunları uygulamaya koyarak pratik yaptığınızdan emin olun! Dersin başında kopya kağıdını indirin, yazdırın ve problemleri çözün.

Logaritmik ifadeler, örnek çözüm. Bu yazıda logaritma çözme ile ilgili problemleri ele alacağız. Görevler, ifadenin değerini bulma sorusunu gündeme getirir. Unutulmamalıdır ki logaritma kavramı birçok görevde kullanılmaktadır ve anlamını anlamak son derece önemlidir. KULLANIM'a gelince, logaritma denklem çözmede, uygulamalı problemlerde ve ayrıca fonksiyonların incelenmesiyle ilgili görevlerde kullanılır.

Logaritmanın anlamını anlamak için örnekler:


Temel logaritmik kimlik:

Her zaman hatırlamanız gereken logaritmaların özellikleri:

* Çarpımın logaritması, faktörlerin logaritmalarının toplamına eşittir.

* * *

* Bölümün (kesrin) logaritması, çarpanların logaritmalarının farkına eşittir.

* * *

* Derecenin logaritması, üssün çarpımı ile tabanının logaritmasına eşittir.

* * *

*Yeni üsse geçiş

* * *

Daha fazla özellik:

* * *

Logaritmaların hesaplanması, üslerin özelliklerinin kullanılmasıyla yakından ilgilidir.

Bazılarını listeliyoruz:

Bu özelliğin özü, payı paydaya aktarırken ve bunun tersi de, üssün işaretinin tersine değişmesidir. Örneğin:

Bu özelliğin sonucu:

* * *

Bir kuvveti bir kuvvete yükseltirken, taban aynı kalır, ancak üsler çarpılır.

* * *

Gördüğünüz gibi, logaritma kavramı basittir. Önemli olan, belirli bir beceri kazandıran iyi bir uygulamaya ihtiyaç duyulmasıdır. Kesinlikle formül bilgisi zorunludur. Temel logaritmaları dönüştürme becerisi oluşmamışsa, basit görevleri çözerken kolayca hata yapılabilir.

Pratik yapın, önce matematik dersindeki en basit örnekleri çözün, ardından daha karmaşık örneklere geçin. İleride “çirkin” logaritmaların nasıl çözüldüğünü mutlaka göstereceğim, sınavda böyle logaritmalar olmayacak ama ilgi çekici, kaçırmayın!

Bu kadar! Sana iyi şanslar!

Saygılarımla, Alexander Krutitskikh

Not: Siteden sosyal ağlarda bahsederseniz minnettar olurum.