Paralelkenarın orta çizgisinin uzunluğu nasıl bulunur? Dörtgenin orta çizgileri
Tanım
Paralelkenar, karşılıklı kenarları çiftler halinde paralel olan bir dörtgendir.
Teorem (bir paralelkenarın ilk işareti)
Bir dörtgenin iki kenarı birbirine eşit ve paralel ise bu dörtgen paralelkenardır.
Kanıt
\(ABCD\) dörtgeninin \(AB\) ve \(CD\) kenarları paralel ve \(AB = CD\) olsun.
Verilen dörtgeni iki eşit üçgene bölen bir köşegen \(AC\) çizin: \(ABC\) ve \(CDA\) . Bu üçgenlerin iki kenarı birbirine eşittir ve aralarındaki açı (\(AC\) ortak kenardır, \(AB = CD\) koşula göre, \(\açı 1 = \açı 2\) enine açılardır. paralel doğruların kesişimi \ (AB\) ve \(CD\) kesen \(AC\) ), yani \(\açı 3 = \açı 4\) . Ancak \(3\) ve \(4\) açıları, \(AC\) sekantının \(AD\) ve \(BC\) doğrularının kesişim noktasında çapraz olarak uzanır, bu nedenle, \(AD\paralel M.Ö\) . Böylece, \(ABCD\) dörtgeninde karşılıklı kenarlar ikili olarak paraleldir ve dolayısıyla \(ABCD\) dörtgeni bir paralelkenardır.
Teorem (bir paralelkenarın ikinci özelliği)
Bir dörtgenin karşılıklı kenarları çiftler halinde eşitse, o zaman dörtgen bir paralelkenardır.
Kanıt
Verilen \(ABCD\) dörtgenini \(ABC\) ve \(CDA\) üçgenlerine bölen bir köşegen \(AC\) çizin.
Bu üçgenler üç kenarda eşittir (\(AC\) ortaktır, \(AB = CD\) ve \(BC = DA\) varsayıma göre), bu nedenle \(\açı 1 = \açı 2\) çapraz uzanır \(AB\) ve \(CD\) ve sekantta \(AC\) . Bunu \(AB\paralel CD\) takip eder. \(AB = CD\) ve \(AB\parallel CD\) olduğundan, paralelkenarın birinci kriterine göre \(ABCD\) dörtgeni bir paralelkenardır.
Teorem (bir paralelkenarın üçüncü işareti)
Bir dörtgende köşegenler kesişiyorsa ve kesişme noktası ikiye bölünmüşse, bu dörtgen bir paralelkenardır.
Kanıt
\(AC\) ve \(BD\) köşegenlerinin \(O\) noktasında kesiştiği ve bu noktayı ikiye böldüğü bir \(ABCD\) dörtgeni ele alalım.
Üçgenler \(AOB\) ve \(COD\), üçgenlerin (\(AO = OC\) , \(BO = OD\) eşitlik birinci kriterine göre koşula göre eşittir, \(\angle AOB = \angle COD \) dikey köşeler olarak), yani \(AB = CD\) ve \(\açı 1 = \açı 2\) . \(1\) ve \(2\) açılarının eşitliğinden (\(AB\) ve \(CD\) ve sekant \(AC\)'de çapraz uzanan) şu sonucu çıkarır: \(AB\paralel CD\) .
Yani, \(ABCD\) dörtgeninde, \(AB\) ve \(CD\) kenarları eşit ve paraleldir; bu, bir paralelkenarın ilk işaretine göre, \(ABCD\) dörtgeninin bir paralelkenar.
paralelkenar özellikleri:
1. Paralelkenarda karşılıklı kenarlar ve karşılıklı açılar eşittir.
2. Paralelkenarın köşegenleri kesişme noktası tarafından ikiye bölünür.
Bir paralelkenarın bisektörünün özellikleri:
1. Bir paralelkenarın açıortayı ondan bir ikizkenar üçgen keser.
2. Bir paralelkenarın bitişik açılarının açıortayları dik açıyla kesişir.
3. Zıt açıların açıortay doğru parçaları eşit ve paraleldir.
Kanıt
1) \(ABCD\) bir paralelkenar olsun, \(AE\) \(BAD\) açısının açıortayı olsun.
\(1\) ve \(2\) açıları, paralel doğrular \(AD\) ve \(BC\) ve sekant \(AE\) boyunca uzandıkları için eşittir. \(AE\) bir açıortay olduğu için \(1\) ve \(3\) açıları eşittir. Sonuçta \(\açı 3 = \açı 1 = \açı 2\), buradan \(ABE\) üçgeninin ikizkenar olduğu sonucu çıkar.
2) \(ABCD\) bir paralelkenar, \(AN\) ve \(BM\) sırasıyla \(BAD\) ve \(ABC\) açılarının açıortayları olsun.
Paralel doğrulardaki ve bir kesendeki tek taraflı açıların toplamı \(180^(\circ)\) olduğuna göre, o zaman \(\açı DAB + \açı ABC = 180^(\daire)\).
\(AN\) ve \(BM\) açıortay olduğundan, o zaman \(\angle BAN + \angle ABM = 0,5(\angle DAB + \angle ABC) = 0,5\cdot 180^\circ = 90^(\circ)\), nerede \(\açı AOB = 180^\daire - (\açı BAN + \açı ABM) = 90^\daire\).
3. \(AN\) ve \(CM\), \(ABCD\) paralelkenarının açıortayları olsun.
Paralelkenarda karşılıklı açılar eşit olduğundan, \(\açı 2 = 0,5\cdot\açı KÖTÜ = 0,5\cdot\açı BCD = \açı 1\). Ek olarak, \(1\) ve \(3\) açıları, sanki paralel \(AD\) ve \(BC\) doğruları ve sekant \(CM\) üzerinde uzanıyormuş gibi eşittir, sonra \(\açı 2 = \açı 3\) , yani \(AN\paralel CM\) . Ayrıca, \(AM\parallel CN\) , o zaman \(ANCM\) bir paralelkenardır, dolayısıyla \(AN = CM\) .
Dörtgenlerin medyan doğruları ve özellikleri Tamamlayan: Matveev Dmitry Öğretmen: Rychkova Tatyana Viktorovna Lyceum "Dubna" 9IM 2007 Medyan çizgiler ve Varignon Paralelkenarı Dörtgenin orta çizgisinin diğer özellikleri Tüm teoremlerin ve özelliklerin kısa listesi
Varignon paralelkenar nedir? Bu, köşeleri dörtgenin kenarlarının orta noktaları olan bir paralelkenardır Aksi takdirde: köşegenleri dörtgenin orta çizgileri olan bir paralelkenardır.
A B C D N M L K P Kanıt: K, L, M, N noktalarını birleştirin ve AC köşegenini çizin; ∆ACD'de NM orta çizgidir, dolayısıyla NM AC ve NM=1/2 AC; ∆ABC'de KL orta çizgidir, yani KL AC ve KL=1/2 AC; NM=1/2 AC=KL, NM AC KL, o zaman dörtgen KLMN bir paralelkenardır. A L B M C D K P N İspat: K, L, M, N noktalarını birleştirin ve bir DB köşegeni çizin; ∆CDB'de NM orta çizgidir, yani NM DB ve NM=1/2 DB; ∆ADC'de KL orta çizgidir, dolayısıyla KL DB ve KL=1/2 DB; NM=1/2 DB=KL, NM DB KL, o zaman dörtgen KLMN bir paralelkenardır. KLMN'nin bir Varignon paralelkenar olduğunu, KM ve NM'nin ise ABCD'nin orta çizgileri olduğunu kanıtlayalım.
Ve bunun anlamı ... KLMN dörtgeni Varignon'un bir paralelkenarı olduğundan, kesişme noktasındaki köşegenleri ikiye bölünür.Herhangi bir dörtgenin medyan çizgileri ikiye bölünür
Sonuçlar: 1. Dörtgenin ortancaları eşitse, dörtgenin kenarlarının orta noktaları (Varignon paralelkenarının köşeleri) aynı daire üzerindedir. Kanıt: Varignon paralelkenarında eşit orta çizgiler eşit köşegenler olduğundan, bu paralelkenar bir dikdörtgendir ve çevresinde her zaman bir daire çizilebilir, yani köşeleri aynı daire üzerindedir.
Sonuçlar: 2. Bir dörtgenin medyanları dik ise, dörtgenin köşegenleri eşittir. Kanıt: NL┴KM ve NL ile KM, KLMN paralelkenarında köşegenler olduğundan, KLMN bir eşkenar dörtgendir. Bu nedenle KL = LM = MN = NK . AC =2 KL ve BD =2 NK olduğuna göre AC = BD olur. A K B L C M D N P O A P K C D M N L B
Sonuçlar: A K B L C M D N P O A P K C D M N L B 3. Bir dörtgenin köşegenleri eşitse, dörtgenin orta çizgileri diktir. Kanıt: AC =2 MN =2 KL , BD =2 NK =2 ML ve AC = BD olduğuna göre KL = LM = MN = NK . Yani KLMN bir eşkenar dörtgendir ve eşkenar dörtgende köşegenler diktir, yani NL┴KM.
Örneğin: Böyle bir problemi çözmek için Varignon paralelkenarının özelliklerinden birini bilmeden çok çalışmak gerekir:
Varignon paralelkenarının alanı nedir? Dışbükey bir dörtgenin kanıtı: ∆ABD ve ∆ANK'ı ele alalım: a).
Sadece iki kenarı paralel olan dörtgene ne ad verilir? trapez.
Bir yamuğun paralel kenarlarına denir. zemin ve paralel olmayan kenarlara denir taraflar. Kenarlar eşitse, böyle bir yamuk ikizkenardır. Tabanlar arasındaki mesafeye yamuğun yüksekliği denir.
Trapezyumun orta çizgisi
Orta çizgi, yamuğun kenarlarının orta noktalarını birleştiren bir segmenttir. Yamuğun orta çizgisi tabanlarına paraleldir.
teorem:
Bir kenarın ortasından geçen doğru yamuğun tabanlarına paralel ise yamuğun ikinci kenarını ikiye böler.
teorem:
Orta çizginin uzunluğu, taban uzunluklarının aritmetik ortalamasına eşittir.
MN || AB || DCAM=MD; BN=NC
MN orta hat, AB ve CD - tabanlar, AD ve BC - taraflar
MN=(AB+DC)/2
teorem:
Bir yamuğun orta çizgisinin uzunluğu, taban uzunluklarının aritmetik ortalamasına eşittir.
Ana görev: Bir yamuğun orta çizgisinin, uçları yamuğun tabanlarının ortasında bulunan bir parçayı ikiye böldüğünü kanıtlayın.
Üçgenin Orta Çizgisi
Bir üçgenin iki kenarının orta noktalarını birleştiren doğru parçasına üçgenin orta çizgisi denir. Üçüncü kenara paraleldir ve uzunluğu üçüncü kenarın yarısı kadardır.
teorem: Bir üçgenin bir kenarının orta noktasını kesen doğru, verilen üçgenin diğer kenarına paralel ise üçüncü kenarı ikiye böler.
AM = MC ve BN = NC =>
Üçgen ve Yamuk Orta Hat Özelliklerini Uygulama
Bir parçanın belirli sayıda eşit parçaya bölünmesi.
Görev: AB segmentini 5 eşit parçaya bölün.
Karar:
P, kaynağı A noktasında olan ve AB doğrusu üzerinde olmayan rastgele bir ışın olsun. Sırayla 5 eşit parçayı p AA 1 = A 1 A 2 = A 2 A 3 = A 3 A 4 = A 4 A 5'e ayırıyoruz
A 5'i B'ye bağlarız ve A 4 , A 3 , A 2 ve A 1'den A 5 B'ye paralel çizgiler çizeriz. AB'yi sırasıyla B 4 , B 3 , B 2 ve B 1'de keserler. Bu noktalar AB segmentini 5 eşit parçaya ayırır. Aslında, yamuk BB 3 A 3 A 5'ten BB 4 = B 4 B 3 olduğunu görüyoruz. Aynı şekilde, yamuk B 4 B 2 A 2 A 4'ten B 4 B 3 = B 3 B 2 elde ederiz.
Yamuktan B 3 B 1 A 1 A 3 , B 3 B 2 = B 2 B 1 .
Sonra B 2 AA 2'den B 2 B 1 = B 1 A çıkar. Sonuç olarak şunu elde ederiz:
AB 1 = B 1 B 2 = B 2 B 3 = B 3 B 4 = B 4 B
AB doğru parçasını başka sayıda eşit parçaya bölmek için, aynı sayıda eşit parçayı p ışınına yansıtmamız gerektiği açıktır. Ve sonra yukarıda açıklanan şekilde devam edin.
Geometrik şekillerin medyan çizgileri
bilimsel çalışma
1. Orta çizgilerin özellikleri
1. Bir üçgenin özellikleri:
· Üç orta çizgi de çizildiğinde orijinaline benzer katsayıları 1/2 olan 4 eşit üçgen oluşur.
ortanca çizgi üçgenin tabanına paraleldir ve üçgenin yarısına eşittir;
· ortadaki çizgi verilene benzer bir üçgeni kesiyor ve alanı kendi alanının dörtte birine eşit.
2. Bir dörtgenin özellikleri:
Dışbükey bir dörtgende orta çizgi, dörtgenin köşegenleriyle eşit açılar oluşturuyorsa, köşegenler eşittir.
· dörtgenin orta hattının uzunluğu, diğer iki kenarın toplamının yarısından az veya bu kenarlar paralel ise ve sadece bu durumda ona eşittir.
rastgele bir dörtgenin kenarlarının orta noktaları, paralelkenarın köşeleridir. Alanı, dörtgenin alanının yarısına eşittir ve merkezi, orta çizgilerin kesişme noktasında yer alır. Bu paralelkenara Varignon paralelkenarı denir;
· Dörtgenin orta çizgilerinin kesişme noktası, bunların ortak orta noktasıdır ve köşegenlerin orta noktalarını birleştiren parçayı ikiye böler. Ayrıca, dörtgenin köşelerinin ağırlık merkezidir.
3. Bir yamuğun özellikleri:
orta çizgi yamuğun tabanlarına paraleldir ve yarı toplamlarına eşittir;
Bir ikizkenar yamuğun kenarlarının orta noktaları eşkenar dörtgenin köşeleridir.
Binom katsayıları
Cnk sayıları bir dizi dikkate değer özelliğe sahiptir. Bu özellikler, nihai olarak belirli bir X kümesinin altkümeleri arasındaki çeşitli ilişkileri ifade eder. Doğrudan formül (1)'den kanıtlanabilirler...
Binom katsayıları
1. (a + b)n'nin genleşme katsayılarının toplamı 2n'dir. Kanıtlamak için a = b = 1 koymak yeterlidir. Ardından, iki terimli açılımın sağ tarafında iki terimli katsayıların toplamı ve solda: (1 + 1)n = 2n olacaktır. 2.Üyelerin katsayıları...
Bir denklem kavramıyla ilişkili malzemenin önemi ve genişliği göz önüne alındığında, modern matematik metodolojisindeki çalışması, içerik-yöntemsel bir denklemler ve eşitsizlikler dizisi halinde düzenlenmiştir ...
Negatif olmayan gerçek sayıların çarpımsal yarı grupları
S, 1'e sahip ve birim bölenleri olmayan değişmeli çarpımsal indirgenemez bir yarı grup olsun. Bu tür yarı gruplara tamsayı veya konik denir. Eğer gcd(,)=1...
Çalışmamızın konusu ortalama değer olacağından, öncelikle literatürde ortalamaların nasıl tanımlandığından bahsedelim. Birkaç koşulu içeren güçlü bir tanım aşağıdaki gibidir. Tanım...
Klasik ortalamaların genelleştirilmesi
Artık yarı-ortalamalar için yukarıda bahsedilen aksiyomatik tanımı vermeye hazırız. Özel durumlardan devam edeceğiz - en basit ortalamalar ...
Matematiksel istatistiklerin temel kavramları
Bir aralık varyasyon serisinin aritmetik ortalamasını hesaplarken, önce her aralığın ortalamasını, üst ve alt sınırların yarı toplamı olarak ve ardından tüm serinin ortalamasını belirleyin. Orta...
Deneysel verileri işlemenin en basit yolları
Gerçek süreçleri tanımlamak için yukarıdaki yöntemlerin uygulanması. Aynı zamanda, hangi yöntemin belirli bir süreci en doğru şekilde tanımladığı konusunda kesin bir sonuca varmak imkansızdır. Örneğin...
Poisson Dağılımı. En basit olay akışının aksiyomları
Şimdi, her iki popülasyonun da normal bir dağılım izlediği, ancak iki genel varyansın eşitliği hakkındaki hipotez testinin eşitlik hipotezini reddettiği durumu düşünün ...
Subjektif VAS ile Reaktif Artrit Aktivitesinin Laboratuvar Bulguları Arasındaki Korelasyonun Regresyon Analizi
Birçok uygulama durumunda, bir veya başka bir faktörün incelenen özellik üzerindeki etkisinin ne ölçüde önemli olduğu sorusu ilgi çekicidir. Bu durumda etken, reaktif artrite neden olan enfeksiyonun türü ve ESR, CRP belirtileridir...
Rastgele vektörler
Rastgele değişkenlerin kovaryansı ve ortak olasılık yoğunlukları aşağıdaki ilişki ile belirlenir: . (57.1) (57.1)'deki integral, for, yani for veya, olanlar için negatif değildir. Tersine, ne zaman veya ...
Nem içeriğinin istatistiksel hesaplamaları
Farklı yöntemlerle sayısal entegrasyon
Dikdörtgenler yöntemi, integralin bir sabitle değiştirilmesiyle elde edilir. Sabit olarak, segmentin herhangi bir noktasında fonksiyonun değerini alabilirsiniz. En sık kullanılan fonksiyon değerleri bir segmentin ortasında ve uçlarında...
Sayısal yöntemler
1 Sol ve sağ dikdörtgen yöntemlerinin hatasını azaltmak için ortalama yöntemi önerildi, yani. h segmentinin ortasındaki dikdörtgenin yüksekliğinin hesaplandığı yöntem (Şekil 7). Şekle bakıldığında, görmek kolaydır...
Çokgen, kapalı bir kırık çizgiyle sınırlanan bir düzlemin parçasıdır. Bir çokgenin köşeleri, sürekli çizginin köşe noktalarıyla gösterilir. Çokgen köşe köşeleri ve çokgen köşeleri uyumlu noktalardır.
Tanım. Paralelkenar, karşılıklı kenarları paralel olan bir dörtgendir.
paralelkenar özellikleri
1. Karşılıklı kenarlar eşittir.
Şek. onbir AB = CD; M.Ö = AD.
2. Karşılıklı açılar eşittir (iki dar ve iki geniş açı).
Şek. 11∠ A = ∠C; ∠B = ∠D.
3 Köşegenler (iki zıt köşeyi birleştiren çizgi parçaları) kesişir ve kesişme noktası ikiye bölünür.
Şek. 11 segment AÖ = OK; BÖ = OD.
Tanım. Bir yamuk, iki zıt kenarın paralel olduğu ve diğer ikisinin olmadığı bir dörtgendir.
paralel kenarlar onu aradı zemin ve diğer iki taraf taraflar.
yamuk türleri
1. Trapez kenarları eşit olmayan,
isminde çok yönlü(Şek. 12).
2. Kenarları eşit olan yamuğa ne ad verilir? ikizkenar(Şek. 13).
3. Bir kenarı tabanlarla dik açı yapan yamuğa denir. dikdörtgen(Şek. 14).
Yamuğun kenarlarının orta noktalarını birleştiren segmente (Şek. 15) yamuğun orta hattı denir ( MN). Yamuğun medyan çizgisi tabanlara paraleldir ve toplamlarının yarısına eşittir.
Bir yamuk, kesik bir üçgen olarak adlandırılabilir (Şekil 17), bu nedenle yamukların adları üçgenlerin adlarına benzer (üçgenler - ölçek, ikizkenar, dikdörtgen).
Paralelkenar ve yamuk alanı
Kural. paralelkenar alan bu tarafa çizilen yüksekliğin kendi kenarının ürününe eşittir.
