Paralelkenar özellikleri, alan formüllerinin işaretleridir. paralelkenar ve özellikleri

Görev 4.

Uzunluğu 4√6 olan bir paralelkenarın köşegenlerinden biri tabanla 60°, ikinci köşegen aynı tabanla 45° açı yapar. İkinci köşegeni bulun.

Karar.

1. AO = 2√6.

2. Sinüs teoremini AOD üçgenine uygulayın.

AO/günah D = OD/günah A.

2√6/sin 45 o = OD/sin 60 o.

OD = (2√6sin 60 o) / sin 45 o = (2√6 √3/2) / (√2/2) = 2√18/√2 = 6.

Cevap: 12.

Görev 5.

Kenarları 5√2 ve 7√2 olan bir paralelkenar için, köşegenler arasındaki küçük açı paralelkenarın küçük açısına eşittir. Köşegenlerin uzunluklarının toplamını bulun.

Karar.

Paralelkenarın köşegenleri d 1, d 2 olsun ve köşegenler ile paralelkenarın küçük açısı arasındaki açı φ olsun.

1. İki farklı sayalım
kendi bölgesinin yolları.

S ABCD \u003d AB AD sin A \u003d 5√2 7√2 sin f,

S ABCD \u003d 1/2 AC BD sin AOB \u003d 1/2 d 1 d 2 sin f.

5√2 7√2 sin f = 1/2d 1 d 2 sin f eşitliğini elde ederiz veya

2 5√2 7√2 = d 1 d 2 ;

2. Paralelkenarın kenarları ve köşegenleri arasındaki oranı kullanarak eşitliği yazıyoruz

(AB 2 + AD 2) 2 = AC 2 + BD 2.

((5√2) 2 + (7√2) 2) 2 = d 1 2 + d 2 2 .

d 1 2 + d 2 2 = 296.

3. Bir sistem yapalım:

(d 1 2 + d 2 2 = 296,
(d 1 + d 2 = 140.

Sistemin ikinci denklemini 2 ile çarpın ve birinciye ekleyin.

(d 1 + d 2) 2 = 576 elde ederiz. Dolayısıyla id 1 + d 2 I = 24.

d 1, d 2 paralelkenarın köşegenlerinin uzunlukları olduğundan, d 1 + d 2 = 24.

Cevap: 24.

Görev 6.

Paralelkenarın kenarları 4 ve 6'dır. Köşegenler arasındaki dar açı 45 o'dir. Paralelkenarın alanını bulun.

Karar.

1. AOB üçgeninden kosinüs teoremini kullanarak paralelkenarın kenarı ile köşegenler arasındaki ilişkiyi yazıyoruz.

AB 2 \u003d AO 2 + VO 2 2 AO VO çünkü AOB.

4 2 \u003d (d 1 / 2) 2 + (d 2 / 2) 2 - 2 (d 1 / 2) (d 2 / 2) çünkü 45 o;

d 1 2/4 + d 2 2/4 - 2 (d 1/2) (d 2/2)√2/2 = 16.

d 1 2 + d 2 2 - d 1 d 2 √2 = 64.

2. Benzer şekilde AOD üçgeninin bağıntısını yazıyoruz.

dikkate alıyoruz<АОD = 135 о и cos 135 о = -cos 45 о = -√2/2.

d 1 2 + d 2 2 + d 1 d 2 √2 = 144 denklemini elde ederiz.

3. Bir sistemimiz var
(d 1 2 + d 2 2 - d 1 d 2 √2 = 64,
(d 1 2 + d 2 2 + d 1 d 2 √2 = 144.

Birinciyi ikinci denklemden çıkararak 2d 1 d 2 √2 = 80 elde ederiz veya

d 1 d 2 = 80/(2√2) = 20√2

4. S ABCD \u003d 1/2 AC BD sin AOB \u003d 1/2 d 1 d 2 sin α \u003d 1/2 20√2 √2/2 \u003d 10.

Not: Bu ve bir önceki problemde, bu problemde alanı hesaplamak için köşegenlerin çarpımına ihtiyacımız olduğunu öngörerek, sistemi tamamen çözmeye gerek yoktur.

Cevap: 10.

Görev 7.

Paralelkenarın alanı 96, kenarları 8 ve 15'tir. Küçük köşegenin karesini bulun.

Karar.

1. S ABCD \u003d AB AD sin VAD. Formülde bir yerine koyma yapalım.

96 = 8 15 sin VAD elde ederiz. Dolayısıyla günah VAD = 4/5.

2. çünkü KÖTÜ'yü bulun. günah 2 VAD + cos 2 VAD = 1.

(4/5) 2 + çünkü 2 KÖTÜ = 1. çünkü 2 KÖTÜ = 9/25.

Problemin durumuna göre küçük olan köşegenin uzunluğunu buluyoruz. BAD açısı darsa köşegen BD daha küçük olacaktır. O zaman çünkü KÖTÜ = 3 / 5.

3. ABD üçgeninden kosinüs teoremini kullanarak BD köşegeninin karesini buluyoruz.

BD 2 \u003d AB 2 + AD 2 - 2 AB BD çünkü KÖTÜ.

ВD 2 \u003d 8 2 + 15 2 - 2 8 15 3 / 5 \u003d 145.

Cevap: 145.

Sormak istediğiniz bir şey var mı? Bir geometri problemini nasıl çözeceğinizi bilmiyor musunuz?
Bir öğretmenin yardımını almak için - kayıt olun.
İlk ders ücretsiz!

site, malzemenin tamamen veya kısmen kopyalanmasıyla, kaynağa bir bağlantı gereklidir.

1. Paralelkenarın tanımı.

Bir çift paralel doğruyu başka bir çift paralel doğru ile kesersek, karşılıklı kenarları çiftler halinde paralel olan bir dörtgen elde ederiz.

ABDC ve EFNM dörtgenlerinde (Şekil 224) BD || AC ve AB || CD;

|| MN ve EM || F.N.

Karşılıklı kenarları ikili paralel olan dörtgene paralelkenar denir.

2. Bir paralelkenarın özellikleri.

teorem. Bir paralelkenarın köşegeni onu iki eşit üçgene böler.

AB || CD ve AC || BD.

Köşegenin onu iki eşit üçgene böldüğünü kanıtlamak gerekir.

ABDC paralelkenarında köşegen bir CB çizelim. \(\Delta\)CAB = \(\Delta\)СDВ olduğunu kanıtlayalım.

NE tarafı bu üçgenlerde ortaktır; ∠ABC = ∠BCD, AB ve CD paralelleri ve CB sekantıyla iç çaprazlama açıları olarak; ∠ACB = ∠CBD, paralel AC ve BD ve sekant CB ile iç çapraz yatma açıları ile aynı.

Dolayısıyla \(\Delta\)CAB = \(\Delta\)СDВ.

Aynı şekilde, AD köşegeninin paralelkenarı ACD ve ABD olmak üzere iki eşit üçgene böldüğü kanıtlanabilir.

Sonuçlar:

1 . Paralelkenarın karşılıklı açıları birbirine eşittir.

∠A = ∠D, bu CAB ve CDB üçgenlerinin eşitliğinden çıkar.

Benzer şekilde, ∠C = ∠B.

2. Paralelkenarın karşılıklı kenarları birbirine eşittir.

AB \u003d CD ve AC \u003d BD, çünkü bunlar eşit üçgenlerin kenarlarıdır ve eşit açıların karşısında yer alır.

Teorem 2. Bir paralelkenarın köşegenleri kesiştikleri noktada ikiye bölünür.

BC ve AD, ABDC paralelkenarının köşegenleri olsun (Şekil 226). AO = OD ve CO = OB olduğunu kanıtlayalım.

Bunu yapmak için, bazı ters üçgen çiftlerini karşılaştıralım, örneğin \(\Delta\)AOB ve \(\Delta\)COD.

Bu AB = CD üçgenlerinde, bir paralelkenarın karşılıklı kenarları olarak;

∠1 = ∠2, AB ve CD paralellerinde ve AD keseninde çapraz uzanan iç açılar olarak;

∠3 = ∠4 aynı nedenle AB || CD ve CB onların sekantlarıdır.

Buradan \(\Delta\)AOB = \(\Delta\)COD çıkar. Ve eşit üçgenlerde, karşılıklı eşit açılar eşit kenarlardır. Bu nedenle, AO = OD ve CO = OB.

Teorem 3. Paralelkenarın bir kenarına komşu olan açıların toplamı eşittir 180°.

ABCD paralelkenarında bir AC köşegeni çizin ve iki ABC ve ADC üçgeni elde edin.

Üçgenler eştir çünkü ∠1 = ∠4, ∠2 = ∠3 (paralel doğrularda kesişen açılar) ve AC kenarı ortaktır.
\(\Delta\)ABC = \(\Delta\)ADC eşitliği AB = CD, BC = AD, ∠B = ∠D anlamına gelir.

Bir kenara bitişik açıların, örneğin A ve D açılarının toplamı, paralel çizgilerle tek taraflı olarak 180°'ye eşittir.

Belediye bütçe eğitim kurumu

Savinskaya orta okulu

Araştırma

Paralelkenar ve yeni özellikleri

Yapan: 8B sınıf öğrencisi

MBOU Savinskaya orta okulu

Kuznetsova Svetlana, 14 yaşında

lider: matematik öğretmeni

Tulchevskaya N.A.

savino

İvanovo bölgesi, Rusya

2016

BEN. Giriş ________________________________________________ sayfa 3

II. Paralelkenarın tarihinden ____________________________________sayfa 4

III Paralelkenarın ek özellikleri ______________________sayfa 4

IV. Özelliklerin kanıtı ______________________________________ sayfa 5

V. Ek özellikleri kullanarak sorunları çözme __________sayfa 8

VI. Bir paralelkenarın özelliklerinin hayata uygulanması ___________________sayfa 11

VII. Sonuç _________________________________________________ sayfa 12

8. Edebiyat __________________________________________________ sayfa 13

Giriş

"Eşit beyinler arasında

de diğer koşulların benzerliği

geometri bilenlerden üstün"

(Blaise Pascal).

Geometri derslerinde “Paralelkenar” konusunu işlerken paralelkenarın iki özelliğini ve üç özelliğini ele aldık ancak problem çözmeye başladığımızda bunun yeterli olmadığını gördük.

Bir sorum vardı, paralelkenarın başka özellikleri var mı ve problem çözmede nasıl yardımcı olacaklar?

Ve bir paralelkenarın ek özelliklerini incelemeye ve bunların sorunları çözmek için nasıl uygulanabileceğini göstermeye karar verdim.

çalışma konusu : paralelkenar

çalışmanın amacı : paralelkenar özellikleri
işin amacı:

okulda incelenmeyen bir paralelkenarın ek özelliklerinin formülasyonu ve kanıtı;

sorunları çözmek için bu özelliklerin uygulanması.

Görevler:

Paralelkenarın tarihini ve özelliklerinin gelişim tarihini incelemek;

İncelenen konu hakkında ek literatür bulun;

Bir paralelkenarın ek özelliklerini inceleyin ve kanıtlayın;

Problemleri çözmek için bu özelliklerin uygulanmasını gösterin;

Bir paralelkenarın özelliklerinin yaşamdaki uygulamasını düşünün.
Araştırma Yöntemleri:

Eğitimsel ve bilimsel - popüler edebiyat, İnternet kaynakları ile çalışın;

Teorik materyalin incelenmesi;

Bir paralelkenarın ek özellikleri kullanılarak çözülebilecek bir dizi görevin seçimi;

Gözlem, karşılaştırma, analiz, analoji.

Çalışma süresi : 3 ay: Ocak-Mart 2016

1. Paralelkenar tarihinden

Bir geometri ders kitabında, paralelkenarın aşağıdaki tanımını okuyoruz: Bir paralelkenar, karşılıklı kenarları çiftler halinde paralel olan bir dörtgendir.

"Paralelkenar" kelimesi "paralel çizgiler" olarak çevrilir (Yunanca Parallelos - paralel ve gram - çizgi kelimelerinden), bu terim Öklid tarafından tanıtıldı. Euclid, The Elements adlı kitabında paralelkenarın aşağıdaki özelliklerini kanıtladı: paralelkenarın karşılıklı kenarları ve açıları eşittir ve köşegen onu ikiye böler. Öklid, paralelkenarın kesişme noktasından bahsetmez. Ancak Orta Çağ'ın sonunda tam bir paralelkenar teorisi geliştirildi ve yalnızca 17. yüzyılda, paralelkenarın özellikleri üzerine Öklid teoremi kullanılarak kanıtlanan ders kitaplarında paralelkenar teoremleri ortaya çıktı.

III Bir paralelkenarın ek özellikleri

Geometri ders kitabında paralelkenarın yalnızca 2 özelliği verilmiştir:

Karşılıklı açılar ve kenarlar eşittir

Bir paralelkenarın köşegenleri kesişir ve kesişme noktası ikiye bölünür

Geometri ile ilgili çeşitli kaynaklarda aşağıdaki ek özellikler bulunabilir:

Paralelkenarın komşu açılarının toplamı 180 0

Bir paralelkenarın açıortayı ondan bir ikizkenar üçgen keser;

Bir paralelkenarın zıt açılarının açıortayları paralel doğrular üzerinde bulunur;

Bir paralelkenarın bitişik açılarının açıortayları dik açılarda kesişir;

Bir paralelkenarın tüm açılarının açıortayları kesiştiklerinde bir dikdörtgen oluşturur;

Bir paralelkenarın karşılıklı köşelerinden bir ve aynı köşegene olan uzaklıklar eşittir.

Bir paralelkenarda karşıt köşeleri, karşılıklı kenarların orta noktalarıyla birleştirirseniz, başka bir paralelkenar elde edersiniz.

Bir paralelkenarın köşegenlerinin karelerinin toplamı, bitişik kenarların karelerinin toplamının iki katına eşittir.

Bir paralelkenarda karşılıklı iki açıdan yükseklikler çizersek bir dikdörtgen elde ederiz.

IV Paralelkenarın özelliklerinin kanıtı

Paralelkenarın komşu açılarının toplamı 180 dir 0

Verilen:

ABCD bir paralelkenardır

İspat et:

+
B=

Kanıt:

bir ve
B - BC paralel düz çizgileri olan iç tek taraflı köşeler AD ve sekant AB, yani
+
B=

2

verilen: ABCD - paralelkenar,

AK -ortay
VE.

İspat et: AVK - ikizkenar

Kanıt:

1)
1=
3 (BC ile çaprazlama AD ve sekant AK ),

2)
2=
3 çünkü AK bir açıortaydır,

1= demektir
2.

3) ABK ikizkenardır çünkü bir üçgenin 2 açısı eşittir

3

verilen: ABCD bir paralelkenardır

AK, A'nın açıortayıdır,

СР, C'nin açıortayıdır.

İspat et: AK ║ SR

Kanıt:

1) 1=2 çünkü AK-ortay

2) 4=5 çünkü SR - açıortay

3) 3=1 (enine yatma açıları

BC ║ AD ve AK-kesen),

4) A \u003d C (paralelkenarın özelliği ile), yani 2 \u003d 3 \u003d 4 \u003d 5.

4) 3. ve 4. paragraflardan 1 = 4 olduğu sonucu çıkar ve bu açılar AK ve SR düz çizgilerine ve BC kesenine karşılık gelir,

dolayısıyla, AK ║ SR (paralel çizgiler bazında)

Bir paralelkenarın bitişik açılarının açıortayları dik açılarda kesişir

verilen: ABCD - paralelkenar,

AC açıortay A,

DP-ortay D

İspat et: DP AK.

Kanıt:

1) 1=2, çünkü AK - açıortay

1=2=x, sonra A=2x olsun,

2) 3=4, çünkü DP - açıortay

3=4=y olsun, sonra D=2y

3) A + D \u003d 180 0, çünkü paralelkenarın komşu açılarının toplamı 180 dir

2) Düşünün aşırı doz

1+3=90 0 o zaman
<5=90 0 (сумма углов треугольников равна 180 0)

5. Bir paralelkenarın tüm açılarının açıortayları kesiştiğinde bir dikdörtgen oluşturur

verilen: ABCD - paralelkenar, AK-ortay A,

DP-ortay D,

CM, C'nin açıortayıdır,

BF -B'nin bisektörü.

İspat et: KRNS -dikdörtgen

Kanıt:

Önceki özelliğe göre 8=7=6=5=90 0 ,

KRNS'nin bir dikdörtgen olduğu anlamına gelir.

Bir paralelkenarın karşılıklı köşelerinden bir ve aynı köşegene olan uzaklıklar eşittir.

verilen: ABCD-paralelkenar, AC-köşegen.

VK AU, DP AC

İspat et: BK=DP

Kanıt: 1) DCP \u003d KAB, AB ║ CD ve sekant AC'de çapraz olarak uzanan dahili olarak.

2) AKB= CDP (kenar boyunca ve ona bitişik iki köşe AB=CD CD P=AB K).

Ve eşit üçgenlerde karşılık gelen taraflar eşittir, yani DP \u003d BK.

Bir paralelkenarda karşıt köşeleri, karşılıklı kenarların orta noktalarıyla birleştirirseniz, başka bir paralelkenar elde edersiniz.

verilen: ABCD paralelkenarı.

İspat et: VKDP bir paralelkenardır.

Kanıt:

1) BP=KD (AD=BC, K ve P noktaları)

bu kenarları ikiye böl)

2) BP ║ KD (AD'de yatın) M.Ö)

Bir dörtgenin karşılıklı kenarları eşit ve paralel ise bu dörtgen paralelkenardır.

Bir paralelkenarda karşılıklı iki açıdan yükseklikler çizersek bir dikdörtgen elde ederiz.

Bir paralelkenarın köşegenlerinin karelerinin toplamı, bitişik kenarların karelerinin toplamının iki katına eşittir.

verilen: ABCD bir paralelkenardır. BD ve AC köşegenlerdir.

İspat et: AC 2 + BD 2 =2(AB 2 + AD 2 )

Kanıt: 1)SOR: AC ²=
+

2)B RD : BD 2 = B R 2 + PD 2 (Pisagor teoremine göre)

3) AC ²+ BD ²=SC²+A K²+B Р²+РD ²

4) SK = BP = H(boy uzunluğu )

5) klima 2 +VD 2 = H 2 + A İle 2 + H 2 +PD 2

6) İzin vermek D k=A P=x, o zamanlar C İleD : H 2 = CD 2 - X 2 Pisagor teoremine göre )

7) AC²+BD ² = ÇD 2 - x²+ AK 1 ²+ CD 2 -X 2 +PD 2 ,

AC²+VD ²=2CD 2 -2 kere 2 + A İle 2 +PD 2

8) bir İle=AD+ X, RD=AD- X,

AC²+VD ² =2CD 2 -2 kere 2 +(AD +x) 2 +(AD -X) 2 ,

AC²+ ATD²=2 İle birlikteD²-2 X²+AD 2 +2AD X+ X 2 + AD 2 -2AD X+ X 2 ,
AC²+ ATD²=2CD 2 +2AD 2 =2(CD 2 + AD 2 ).

V . Bu özellikleri kullanarak problem çözme

Paralelkenarın bir kenarına bitişik iki açısının açıortaylarının kesişme noktası karşı kenara aittir. Paralelkenarın kısa kenarı ise 5 . Onun büyük tarafını bul.

verilen: ABCD bir paralelkenardır,

AK - açıortay
VE,

D K - açıortay
D, AB=5

Bulmak: güneş

çözüm

Karar

Çünkü AK - açıortay
A, o zaman ABC ikizkenardır.

Çünkü D K - açıortay
D , o zaman DCK - ikizkenar

DC \u003d CK \u003d 5

O halde VS=VK+SK=5+5 = 10

Cevap: 10

2. Açılarından birinin açıortayı paralelkenarın kenarını 7 cm ve 14 cm'lik parçalara bölüyorsa, paralelkenarın çevresini bulun.

1 vaka

verilen:
VE,

VK=14 cm, KS=7 cm

Bulmak: R paralelkenar

Karar

BC=VK+KS=14+7=21 (cm)

Çünkü AK - açıortay
A, o zaman ABC ikizkenardır.

AB=BK=14cm

Sonra P \u003d 2 (14 + 21) \u003d 70 (cm)

verilen: ABCD bir paralelkenardır,

D K - açıortay
D,

VK=14 cm, KS=7 cm

Bulmak: R paralelkenar

Karar

BC=VK+KS=14+7=21 (cm)

Çünkü D K - açıortay
D , o zaman DCK - ikizkenar

DC \u003d CK \u003d 7

Ardından, P \u003d 2 (21 + 7) \u003d 56 (cm)

Cevap: 70cm veya 56cm

3. Paralelkenarın kenarları 10 cm ve 3 cm'dir Büyük kenara bitişik iki açının ortaortayları karşı kenarı üç parçaya ayırır. Bu segmentleri bulun.

1 vaka: açıortaylar paralelkenarın dışında kesişir

verilen: ABCD - paralelkenar, AK - açıortay
VE,

D K - açıortay
D , AB=3 cm, BC=10 cm

Bulmak: BM, MN, NC

Karar

Çünkü AM - açıortay
Ve sonra AVM ikizkenardır.

Çünkü DN - açıortay
D , o zaman DCN - ikizkenar

DC=CN=3

Ardından, MN \u003d 10 - (BM + NC) \u003d 10 - (3 + 3) \u003d 4 cm

2 vaka: açıortaylar bir paralelkenar içinde kesişir

Çünkü AN - açıortay
A, o zaman ABN ikizkenardır.

AB=BN = 3 D

Ve kayar ızgara - kapı aralığında gerekli mesafeye gidin

paralelkenar mekanizması- bağlantıları bir paralelkenar oluşturan dört bağlantılı bir mekanizma. Menteşeli mekanizmaların öteleme hareketini gerçekleştirmek için kullanılır.

sabit bağlantılı paralelkenar- bir bağlantı hareketsizdir, tersi, hareketsiz olana paralel kalarak sallanma hareketi yapar. Birbiri ardına bağlanan iki paralelkenar, son halkaya sabit olana paralel bırakarak iki serbestlik derecesi verir.

Örnekler: otobüs ön cam silecekleri, forkliftler, tripodlar, askılar, araba askıları.

Sabit menteşeli paralelkenar- bir paralelkenarın özelliği, üç nokta arasındaki mesafelerin sabit bir oranını korumak için kullanılır. Örnek: çizim pantografı - çizimleri ölçeklendirmek için bir cihaz.

Eşkenar dörtgen- tüm bağlantılar aynı uzunluktadır, bir çift zıt menteşenin yaklaşması (daralması) diğer iki menteşenin genişlemesine yol açar. Tüm bağlantılar sıkıştırmada çalışır.

Örnekler, bir araba elmas krikosu, bir tramvay pantografıdır.

makas veya X şeklindeki mekanizma, Ayrıca şöyle bilinir Nürnberg makası- bir eşkenar dörtgen varyantı - ortada bir menteşe ile birbirine bağlanan iki bağlantı. Mekanizmanın avantajları, kompaktlık ve basitlik, dezavantajı ise iki kayan çiftin varlığıdır. Seri olarak bağlanan bu tür iki (veya daha fazla) mekanizma, ortada bir eşkenar dörtgen (ler) oluşturur. Asansörlerde, çocuk oyuncaklarında kullanılır.

7. Çözüm

Çocukluğundan beri matematikle iç içe olan,

dikkat geliştirir, beynini eğitir,

kendi iradesi, azim geliştirir

ve hedefe ulaşmada azim

A. Markuşeviç

Çalışma sırasında bir paralelkenarın ek özelliklerini kanıtladım.

Bu özellikleri uygulayarak sorunları daha hızlı çözebileceğinize ikna oldum.

Belirli problem çözme örnekleri üzerinde bu özelliklerin nasıl uygulandığını gösterdim.

Paralelkenar hakkında geometri ders kitabımızda olmayan çok şey öğrendim.

Bir paralelkenarın özelliklerini uygulama örnekleriyle geometri bilgisinin hayatta çok önemli olduğuna ikna oldum.

Araştırma çalışmamın amacına ulaşıldı.

Matematik bilgisinin önemi, tüm hayatı boyunca matematiğin yardımı olmadan yaşamış bir kişi hakkında bir kitap yayınlayan kişiye bir ödül verilmesi gerçeğiyle kanıtlanmaktadır. Şimdiye kadar kimse bu ödülü almadı.

8. Edebiyat

1. Pogorelov A.V. Geometri 7-9: genel eğitim için ders kitabı. kurumlar-M.: Eğitim, 2014

   L.S. Atanasyan ve diğerleri Geometri. Eklemek. Ders kitabının bölümleri 8 hücre: ders kitabı. derinleşen okul ve sınıf öğrencileri için ödenek. matematik çalışması. – M.: Vita-basın, 2003

   İnternet kaynakları

   Vikipedi malzemeleri

Ve yine soru şu: eşkenar dörtgen bir paralelkenar mı, değil mi?

Tam olarak - bir paralelkenar, çünkü var ve (işaretimizi 2 hatırlayın).

Ve yine, eşkenar dörtgen bir paralelkenar olduğundan, paralelkenarın tüm özelliklerine sahip olmalıdır. Bu, bir eşkenar dörtgenin zıt açılara sahip olduğu, zıt kenarların paralel olduğu ve köşegenlerin kesişme noktası tarafından ikiye bölündüğü anlamına gelir.

Rhombus Özellikleri

Resme bak:

Dikdörtgende olduğu gibi, bu özellikler ayırt edicidir, yani bu özelliklerin her biri için elimizde sadece bir paralelkenar değil, bir eşkenar dörtgen olduğu sonucuna varabiliriz.

Bir eşkenar dörtgen belirtileri

Ve tekrar dikkat edin: sadece dikey köşegenlere sahip bir dörtgen değil, bir paralelkenar olmalıdır. Emin olmak:

Hayır, elbette değil, köşegenleri ve dik olmasına ve köşegen u açılarının açıortayı olmasına rağmen. Ancak ... köşegenler bölünmez, kesişme noktası ikiye bölünür, bu nedenle - bir paralelkenar DEĞİLDİR ve bu nedenle bir eşkenar dörtgen DEĞİLDİR.

Yani, bir kare aynı zamanda bir dikdörtgen ve bir eşkenar dörtgendir. Bakalım bundan ne çıkacak.

Neden olduğu açık mı? - eşkenar dörtgen - eşit olan A açısının açıortayı. Böylece (ve ayrıca) boyunca iki açıya bölünür.

Oldukça açık: dikdörtgenin köşegenleri eşittir; eşkenar dörtgen köşegenler diktir ve genel olarak - paralelkenar köşegenler kesişme noktasına göre ikiye bölünür.

ORTALAMA SEVİYE

Dörtgenin özellikleri. Paralelkenar

paralelkenar özellikleri

Dikkat! Sözler " paralelkenar özellikleri» bir göreviniz varsa anlamına gelir yemek paralelkenar ise, aşağıdakilerin tümü kullanılabilir.

Paralelkenarın özellikleri üzerine teorem.

Herhangi bir paralelkenarda:

Başka bir deyişle bunun neden doğru olduğunu görelim. İSPATLAYACAĞIZ teorem.

Öyleyse neden 1) doğru?

Paralelkenar olduğu için:

• çapraz uzanmak gibi
• karşısında yatarken.

Bu nedenle, (II temelinde: ve - genel.)

Pekala, bir kez o zaman - bu kadar! - kanıtlanmış.

Ama bu arada! Ayrıca 2) kanıtladık!

Neden? Ama sonuçta (resme bakın), yani çünkü.

Sadece 3 tane kaldı).

Bunu yapmak için yine de ikinci bir köşegen çizmeniz gerekiyor.

Ve şimdi bunu görüyoruz - II işaretine göre (aralarındaki açı ve kenar).

Kanıtlanmış özellikler! İşaretlere geçelim.

paralelkenar özellikleri

Bir paralelkenarın işaretinin "nasıl öğrenilir?" Sorusunu cevapladığını hatırlayın, şeklin bir paralelkenar olduğunu.

Simgelerde şöyle:

Neden? Nedenini anlamak güzel olurdu - bu kadar yeter. Fakat bak:

İşaret 1'in neden doğru olduğunu anladık.

Bu daha da kolay! Tekrar bir köşegen çizelim.

Bunun anlamı:

Ve aynı zamanda kolaydır. Ama farklı!

Anlamına geliyor, . Vay! Ama aynı zamanda - bir sekantta dahili tek taraflı!

Bu nedenle, bu şu anlama gelir.

Ve diğer taraftan bakarsanız, o zaman bir sekantta dahili tek taraflıdırlar! Ve bu nedenle.

Ne kadar harika olduğunu görüyor musun?

Ve yine basitçe:

Tamamen aynı ve.

Dikkat etmek: eğer bulduysan en azından probleminizde bir paralelkenarın bir işareti, o zaman kesinlikle paralelkenar ve kullanabilirsiniz herkes bir paralelkenarın özellikleri.

Tam netlik için şemaya bakın:

Dörtgenin özellikleri. Dikdörtgen.

Dikdörtgen özellikleri:

Nokta 1) oldukça açık - sonuçta, işaret 3 () basitçe yerine getirildi

Ve nokta 2) - çok önemli. Öyleyse bunu kanıtlayalım

Yani, iki ayak üzerinde (ve - genel).

Üçgenler eşit olduğuna göre hipotenüsleri de eşittir.

Kanıtlandı!

Ve düşünün, köşegenlerin eşitliği, tüm paralelkenarlar arasında bir dikdörtgenin ayırt edici bir özelliğidir. Yani aşağıdaki ifade doğrudur

Bakalım neden?

Yani, (paralelkenarın açıları anlamında). Ama bir kez daha unutmayın - bir paralelkenar ve dolayısıyla.

Anlamına geliyor, . Ve elbette, bundan her birinin Sonuçta, vermeleri gereken miktarda!

Burada kanıtladık ki eğer paralelkenar aniden (!) köşegenler eşit olacak, o zaman bu tam olarak bir dikdörtgen.

Fakat! Dikkat etmek! Bu ... Hakkında paralelkenarlar! Hiç eşit köşegenlere sahip bir dörtgen bir dikdörtgendir ve bir tek paralelkenar!

Dörtgenin özellikleri. Eşkenar dörtgen

Ve yine soru şu: eşkenar dörtgen bir paralelkenar mı, değil mi?

Tam sağda - bir paralelkenar, çünkü var ve (2. işaretimizi hatırlayın).

Ve yine eşkenar dörtgen bir paralelkenar olduğundan, bir paralelkenarın tüm özelliklerine sahip olmalıdır. Bu, bir eşkenar dörtgenin zıt açılara sahip olduğu, zıt kenarların paralel olduğu ve köşegenlerin kesişme noktası tarafından ikiye bölündüğü anlamına gelir.

Ancak özel özellikler de var. formüle ediyoruz.

Rhombus Özellikleri

Neden? Eşkenar dörtgen bir paralelkenar olduğundan, köşegenleri ikiye bölünür.

Neden? Evet, bu yüzden!

Başka bir deyişle, köşegenler ve eşkenar dörtgenin köşelerinin açıortayları olduğu ortaya çıktı.

Dikdörtgen durumunda olduğu gibi, bu özellikler ayırt edici, her biri aynı zamanda bir eşkenar dörtgen işaretidir.

Eşkenar dörtgen işaretleri.

Nedenmiş? Ve bak

Bu nedenle ve ikisi birden bu üçgenler ikizkenardır.

Eşkenar dörtgen olmak için, bir dörtgenin önce bir paralelkenar "olması" ve ardından 1. özelliği veya 2. özelliği zaten göstermesi gerekir.

Dörtgenin özellikleri. Kare

Yani, bir kare aynı zamanda bir dikdörtgen ve bir eşkenar dörtgendir. Bakalım bundan ne çıkacak.

Neden olduğu açık mı? Kare - eşkenar dörtgen - eşit olan açının açıortayı. Böylece (ve ayrıca) boyunca iki açıya bölünür.

Oldukça açık: dikdörtgenin köşegenleri eşittir; eşkenar dörtgen köşegenler diktir ve genel olarak - paralelkenar köşegenler kesişme noktasına göre ikiye bölünür.

Neden? Peki, sadece Pisagor Teoremini uygulayın.

ÖZET VE TEMEL FORMÜL

paralelkenar özellikleri:

1. Karşılıklı kenarlar eşittir: , .
2. Karşılıklı açılar: , .
3. Bir taraftaki açıların toplamı: , .
4. Köşegenler, kesişme noktası ile ikiye bölünür: .

Dikdörtgen özellikleri:

1. Bir dikdörtgenin köşegenleri: .
2. Dikdörtgen bir paralelkenardır (bir paralelkenarın tüm özellikleri bir dikdörtgen için karşılanır).

Eşkenar dörtgen özellikleri:

1. Eşkenar dörtgenin köşegenleri diktir: .
2. Bir eşkenar dörtgenin köşegenleri, açılarının açıortaylarıdır: ; ; ; .
3. Eşkenar dörtgen bir paralelkenardır (bir paralelkenarın tüm özellikleri bir eşkenar dörtgen için karşılanır).

Kare özellikleri:

Bir kare aynı anda bir eşkenar dörtgen ve bir dikdörtgendir, bu nedenle bir kare için bir dikdörtgenin ve eşkenar dörtgenin tüm özellikleri karşılanır. Birlikte.