Ters türev m.Karşı türev fonksiyonlar ve genel form
Hedef:
- İlkel kavramının oluşumu.
- İntegralin algılanması için hazırlık.
- Hesaplama becerilerinin oluşumu.
- Güzellik duygusu eğitimi (alışılmadık güzellikte görme yeteneği).
Matematiksel analiz - diferansiyel ve integral hesap yöntemleriyle fonksiyonların incelenmesine ve bunların genelleştirilmesine adanmış bir dizi matematik dalı.
Şimdiye kadar, özü "küçük" olan bir fonksiyonu incelemek olan diferansiyel hesap adı verilen bir matematiksel analiz bölümünü inceledik.
Şunlar. fonksiyonun her tanım noktasının yeterince küçük komşuluklarında incelenmesi. Türev alma işlemlerinden biri, türevi (diferansiyel) bulmak ve onu fonksiyonların incelenmesine uygulamaktır.
Aynı derecede önemli olan ters problemdir. Bir fonksiyonun davranışı, tanımının her noktasının yakınında biliniyorsa, fonksiyonun bir bütün olarak nasıl geri yükleneceği, yani. tanımının tüm aralığı boyunca. Bu problem, sözde integral hesabın çalışma konusudur.
Entegrasyon, farklılaşmanın tersidir. Veya verilen f`(x) türevinden f(x) fonksiyonunun geri yüklenmesi. Latince "integro" kelimesi restorasyon anlamına gelir.
Örnek 1.
(x)`=3x 2 olsun.
f(x)'i bulun.
Karar:
Farklılaşma kuralına dayanarak, f (x) \u003d x 3 olduğunu tahmin etmek kolaydır, çünkü (x 3)` \u003d 3x 2
Ancak, f(x)'in belirsiz bir şekilde bulunduğunu görmek kolaydır.
f(x) olarak alabiliriz
f (x) \u003d x 3 +1
f (x) \u003d x 3 +2
f (x) \u003d x 3 -3, vb.
Çünkü her birinin türevi 3x2'dir. (Sabitin türevi 0'dır). Tüm bu fonksiyonlar sabit bir terimle birbirinden farklıdır. Bu nedenle, problemin genel çözümü f(x)= x 3 +C şeklinde yazılabilir, burada C herhangi bir sabit gerçek sayıdır.
Bulunan f(x) işlevlerinden herhangi biri çağrılır ÖNCELİK F`(x) = 3x 2 fonksiyonu için
Tanım.
Bu aralıktaki tüm x'ler için F`(x) = f(x) ise, F(x) işlevine belirli bir J aralığında f(x) işlevi için ters türev denir. Dolayısıyla F (x) \u003d x 3 işlevi, (- ∞ ; ∞) üzerinde f (x) \u003d 3x 2 için ters türevdir.
Tüm x ~ R için eşitlik doğru olduğundan: F`(x)=(x 3)`=3x 2
Daha önce fark ettiğimiz gibi, bu fonksiyonun sonsuz sayıda ters türevi vardır (bkz. örnek 1).
Örnek 2.
F(x)=x fonksiyonu, (0; +) aralığında tüm f(x)= 1/x için ters türevdir, çünkü bu aralıktaki tüm x'ler için eşitlik geçerlidir.
F`(x)=(x 1/2)`=1/2x -1/2=1/2x
Örnek 3
F(x)=tg3x fonksiyonu, (-p/) aralığında f(x)=3/cos3x için ters türevdir. 2;
P/ 2),
çünkü F`(x)=(tg3x)`= 3/cos 2 3x
Örnek 4
F(x)=3sin4x+1/x-2 fonksiyonu, (0;∞) aralığında f(x)=12cos4x-1/x 2 için ters türevdir
çünkü F`(x)=(3sin4x)+1/x-2)`= 4cos4x-1/x 2
Ders 2
Konu: İlkel. Ters türev fonksiyonunun temel özelliği.
Ters türevi incelerken, aşağıdaki iddiaya güveneceğiz. Fonksiyonun sabitliğinin işareti: J aralığında fonksiyonun Ψ(х) türevi 0'a eşitse, bu aralıkta Ψ(х) fonksiyonu sabittir.
Bu ifade geometrik olarak gösterilebilir.
Ψ`(x)=tgα, γde α-apsis x 0 noktasında Ψ(x) fonksiyonunun grafiğine teğetin eğim açısı olduğu bilinmektedir. J aralığının herhangi bir noktasında Ψ`(υ)=0 ise, Ψ(x) fonksiyonunun grafiğine herhangi bir teğet için tgα=0 δ. Bu, herhangi bir noktada fonksiyon grafiğine teğetin x eksenine paralel olduğu anlamına gelir. Bu nedenle, belirtilen aralıkta, Ψ(x) fonksiyonunun grafiği y=C doğru parçası ile çakışır.
Dolayısıyla f(x)=c fonksiyonu, bu aralıkta f`(x)=0 ise, J aralığında sabittir.
Gerçekten de, J aralığından rastgele x 1 ve x 2 için, fonksiyonun ortalama değerine ilişkin teoreme göre şunu yazabiliriz:
f (x 2) - f (x 1) \u003d f` (c) (x 2 - x 1), çünkü f`(c)=0, sonra f(x 2)= f(x 1)
Teorem: (Türevi olmayan bir fonksiyonun temel özelliği)
Eğer F(x), J aralığında f(x) fonksiyonunun ters türevlerinden biriyse, bu fonksiyonun tüm ters türevlerinin kümesi şu forma sahiptir: F(x)+C, burada C herhangi bir gerçek sayıdır.
Kanıt:
F`(x) = f(x), o zaman x − J için (F(x)+C)`= F`(x)+C`= f(x) olsun.
J aralığında f(x) için başka bir ters türev olan Φ(x) olduğunu varsayalım, yani Φ`(x) = f(x),
o zaman (Φ(х) - F(х))` = f (х) - f (х) = 0, x Є J için.
Bu, Φ(x) - F(x)'in J aralığında sabit olduğu anlamına gelir.
Bu nedenle, Φ(x) - F(x) = C.
Buradan Φ(x)= F(x)+C.
Bu, eğer F (x), J aralığında f (x) fonksiyonunun ters türevi ise, bu fonksiyonun tüm ters türevlerinin kümesinin şu forma sahip olduğu anlamına gelir: F (x) + C, burada C herhangi bir gerçek sayıdır.
Bu nedenle, belirli bir fonksiyonun herhangi iki ters türevi, sabit bir terimle birbirinden farklıdır.
Örnek vermek: f (x) = cos x fonksiyonunun ters türev kümesini bulun. İlk üçünün grafiğini çiziniz.
Karar: Sin x - f (x) = cos x fonksiyonunun ters türevlerinden biri
F(x) = Sin x + C, tüm ters türevlerin kümesidir.
F 1 (x) = Günah x-1
F 2 (x) = Günah x
F 3 (x) \u003d Sin x + 1
Geometrik çizim: Herhangi bir ters türev F(x)+C'nin grafiği, paralel çeviri r (0;c) kullanılarak ters türev F(x)'in grafiğinden elde edilebilir.
Örnek vermek: f (x) \u003d 2x işlevi için, grafiği t.M'den (1; 4) geçen ters türevi bulun
Karar: F(х)=х 2 +С tüm ters türevlerin kümesidir, F(1)=4 - problemin durumuna göre.
Bu nedenle, 4 \u003d 1 2 +C
Ç = 3
F (x) \u003d x 2 +3
belirsiz integral
Diferansiyel hesabın ana görevi, belirli bir fonksiyonun türevini veya diferansiyelini hesaplamaktı. Şu anda incelediğimiz integral hesabı, ters problemi çözer, yani fonksiyonun kendisini türevinden veya diferansiyelinden bulur. yani sahip olmak dF(x)= f(x)d (7.1) veya F'(x)= f(x),
nerede f(x)- bilinen bir işlev, bir işlev bulmanız gerekir f(x).
Tanım:F(x) fonksiyonu çağrılır ilkel bu segmentin tüm noktalarında eşitlik doğruysa, segment üzerindeki f (x) işlevi: F'(x) = f(x) veya dF(x)= f(x)d.
Örneğin, işlevin ters türevlerinden biri f(x)=3x2 irade F (x) \u003d x 3, çünkü ( x 3)′=3x 2. Ancak işlevin ters türevi f(x)=3x2 aynı zamanda ve fonksiyonları olacaktır, çünkü 
.
Yani bu fonksiyon f(x)=3x2 her biri yalnızca sabit bir terimle farklılık gösteren sonsuz sayıda ilkel öğeye sahiptir. Bu sonucun genel durumda da geçerli olduğunu gösterelim.
teorem Belirli bir aralıkta tanımlanan aynı fonksiyonun iki farklı ters türevi, bu aralıkta sabit bir terim kadar birbirinden farklıdır.
Kanıt
işleve izin ver f(x) aralıkta tanımlanmış (a¸b) ve F 1 (x) ve F 2 (x) - ilkeller, yani F 1 ′(x)= f(x) ve F 2 ′(x)= f(x).
O zamanlar F 1 ′(x)=F 2 ′(x)Þ F 1 ′(x) - F 2 ′(x) = (F 1 ′(x) - F 2 (x))′= 0. Þ F 1 (x) - F 2 (x) \u003d C
Buradan, F 2 (x) \u003d F 1 (x) + C
nerede İle birlikte bir sabittir (burada Lagrange teoreminin sonucunu kullanıyoruz).
Böylece teorem kanıtlanmış olur.
geometrik illüstrasyon. Eğer de = F 1 (x) ve de = F 2 (x) aynı fonksiyonun ters türevleridir f(x), sonra ortak apsisli noktalarda grafiklerine teğet X birbirine paralel (Şekil 7.1).
Bu durumda, eksen boyunca bu eğriler arasındaki mesafe kuruluş birimi sabit kalır F 2 (x) - F 1 (x) \u003d C , yani bu eğriler biraz anlayış birbirine "paralel"dir.
Sonuçlar .
Bazı ilkellere ekleme f(x) bu fonksiyon için f(x) aralıkta tanımlanmış X, tüm olası sabitler İle birlikte, işlev için olası tüm ters türevleri elde ederiz f(x).Yani ifade F(x)+C , Nerede ve f(x) fonksiyonun bir türevidir f(x) için olası tüm ters türevleri içerir f(x).
örnek 1 fonksiyonların olup olmadığını kontrol edin fonksiyon için ters türevler
Karar:
Cevap: işlev için ters türevler fonksiyonlar olacak ve
Tanım: Eğer F(x) fonksiyonu, f(x) fonksiyonu için bir ters türev ise, tüm ters türevlerin kümesine F(x) + C denir. belirsiz integrali f(x) ve şunu gösterir:
∫f(x)dx.
A-rahip:
f(x) - integral,
f(x)dx - integral
Bundan, belirsiz integralin, diferansiyeli integrale eşit olan ve değişkene göre türevi olan genel formun bir fonksiyonu olduğu sonucu çıkar. X tüm noktalarda integrale eşittir.
Geometrik bir bakış açısından belirsiz integral, her biri eğrilerden birinin kendisine paralel yukarı veya aşağı, yani eksen boyunca kaydırılmasıyla elde edilen bir eğri ailesidir. kuruluş birimi(Şekil 7.2).
Bir fonksiyonun belirsiz integralini hesaplama işlemine denir. entegrasyon bu fonksiyon
Bir temel fonksiyonun türevi her zaman bir temel fonksiyon ise, o zaman bir temel fonksiyonun ters türevinin sonlu sayıda temel fonksiyonla temsil edilmesi gerekmediğine dikkat edin.
Şimdi düşünün belirsiz integralin özellikleri.
Tanım 2 şunları ima eder:
1. Belirsiz integralin türevi integrale eşittir, yani eğer F'(x) = f(x) , o zamanlar
2. Belirsiz integralin diferansiyeli integrale eşittir
. (7.4)
Diferansiyelin tanımından ve özelliğinden (7.3)
3. Bir fonksiyonun diferansiyelinin belirsiz integrali, sabit bir terime kadar bu fonksiyona eşittir, yani 
(7.5)
ters türev
ters türev fonksiyonunun tanımı
- İşlev y=F(x) fonksiyonun ters türevi olarak adlandırılır y=f(x) belirli bir aralıkta X, eğer herkes için X ∈X eşitlik geçerlidir: F'(x) = f(x)
İki şekilde okunabilir:
- f fonksiyon türevi F
- F fonksiyon için ters türev f
ters türevlerin özelliği
- Eğer f(x)- işlev için ters türev f(x) belirli bir aralıkta, o zaman f(x) fonksiyonunun sonsuz sayıda ters türevi vardır ve tüm bu ters türevler şu şekilde yazılabilir: F(x) + C, burada C keyfi bir sabittir.
Geometrik yorumlama
- Belirli bir fonksiyonun tüm ters türevlerinin grafikleri f(x) O ekseni boyunca paralel transferlerle herhangi bir ters türevin grafiğinden elde edilir de.
Ters türevleri hesaplama kuralları
- Toplamın ters türevi, ters türevlerin toplamına eşittir. Eğer f(x)- için ilkel f(x), ve G(x) için ters türevdir gr(x), o zamanlar F(x) + G(x)- için ilkel f(x) + g(x).
- Sabit çarpan, türevin işaretinden çıkarılabilir. Eğer f(x)- için ilkel f(x), ve k sabittir, öyleyse kF(x)- için ilkel kf(x).
- Eğer f(x)- için ilkel f(x), ve k,b- kalıcı ve k ≠ 0, o zamanlar 1/k F(kx + b)- için ilkel f(kx + b).
Unutma!
herhangi bir işlev F (x) \u003d x 2 + C , burada C keyfi bir sabittir ve yalnızca böyle bir işlev, işlev için bir ters türevdir f(x) = 2x.
- Örneğin:
F "(x) \u003d (x 2 + 1)" \u003d 2x \u003d f (x);
f(x) = 2x,çünkü F "(x) \u003d (x 2 - 1)" \u003d 2x \u003d f (x);
f(x) = 2x,çünkü F "(x) \u003d (x 2 -3)" \u003d 2x \u003d f (x);
Bir fonksiyonun grafikleri ile ters türevi arasındaki ilişki:
- fonksiyonun grafiği ise f(x)>0 f(x) bu aralıkta artar.
- fonksiyonun grafiği ise f(x)<0 aralıkta, ardından terstürevinin grafiği f(x) bu aralıkta azalır.
- Eğer f(x)=0, sonra terstürevinin grafiği f(x) bu noktada artıştan azalmaya (veya tersi) değişir.
Ters türevi belirtmek için belirsiz integralin işareti, yani integralin sınırlarını belirtmeden integral kullanılır.
belirsiz integral
Tanım:
- f(x) fonksiyonunun belirsiz integrali, F(x) + C ifadesidir, yani verilen f(x) fonksiyonunun tüm ters türevlerinin kümesidir. Belirsiz integral şu şekilde gösterilir: \int f(x) dx = F(x) + C
- f(x) integral denir;
- f(x) dx- integral olarak adlandırılır;
- x- entegrasyon değişkeni olarak adlandırılır;
- f(x)- f(x) fonksiyonunun ters türevlerinden biri;
- İle birlikte keyfi bir sabittir.
belirsiz integralin özellikleri
- Belirsiz integralin türevi integrale eşittir: (\int f(x) dx)\prime= f(x) .
- İntegralin sabit çarpanı, integral işaretinden çıkarılabilir: \int k \cdot f(x) dx = k \cdot \int f(x) dx.
- Fonksiyonların toplamının (farkının) integrali, bu fonksiyonların integrallerinin toplamına (farkına) eşittir: \int (f(x) \pm g(x)) dx = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx.
- Eğer k,b sabitlerdir ve k ≠ 0, o zaman \int f(kx + b) dx = \frac(1)(k) \cdot F(kx + b) + C.
Ters türevler ve belirsiz integraller tablosu
| İşlev f(x) | ters türev F(x) + C | belirsiz integraller \int f(x) dx = F(x) + C |
| 0 | C | \int 0 dx = C |
| f(x) = k | F(x) = kx + C | \int kdx = kx + C |
| f(x) = x^m, m\not =-1 | F(x) = \frac(x^(m+1))(m+1) + C | \int x(^m)dx = \frac(x^(m+1))(m+1) + C |
| f(x) = \frac(1)(x) | F(x) = l n \lvert x \rvert + C | \int \frac(dx)(x) = l n \lvert x \rvert + C |
| f(x) = e^x | F(x) = e^x + C | \int e(^x )dx = e^x + C |
| f(x) = a^x | F(x) = \frac(a^x)(l na) + C | \int a(^x )dx = \frac(a^x)(l na) + C |
| f(x) = \sinx | F(x) = -\cos x + C | \int \sin x dx = -\cos x + C |
| f(x) = \cos x | F(x)=\sin x + C | \int \cos x dx = \sin x + C |
| f(x) = \frac(1)(\sin (^2) x) | F(x) = -\ctg x + C | \int \frac (dx)(\sin (^2) x) = -\ctg x + C |
| f(x) = \frac(1)(\cos (^2) x) | F(x) = \tg x + C | \int \frac(dx)(\sin (^2) x) = \tg x + C |
| f(x) = \sqrt(x) | F(x) =\frac(2x \sqrt(x))(3) + C | |
| f(x) =\frac(1)( \sqrt(x)) | F(x) =2\sqrt(x) + C | |
| f(x) =\frac(1)( \sqrt(1-x^2)) | F(x)=\arcsin x + C | \int \frac(dx)( \sqrt(1-x^2))=\arcsin x + C |
| f(x) =\frac(1)( \sqrt(1+x^2)) | F(x)=\arctg x + C | \int \frac(dx)( \sqrt(1+x^2))=\arctg x + C |
| f(x)=\frac(1)( \sqrt(a^2-x^2)) | F(x)=\arcsin \frac (x)(a)+ C | \int \frac(dx)( \sqrt(a^2-x^2)) =\arcsin \frac (x)(a)+ C |
| f(x)=\frac(1)( \sqrt(a^2+x^2)) | F(x)=\arctg \frac (x)(a)+ C | \int \frac(dx)( \sqrt(a^2+x^2)) = \frac (1)(a) \arctg \frac (x)(a)+ C |
| f(x) =\frac(1)( 1+x^2) | F(x)=\arctg + C | \int \frac(dx)( 1+x^2)=\arctg + C |
| f(x)=\frac(1)( \sqrt(x^2-a^2)) (a \not= 0) | F(x)=\frac(1)(2a)l n \lvert \frac (x-a)(x+a) \rvert + C | \int \frac(dx)( \sqrt(x^2-a^2))=\frac(1)(2a)l n \lvert \frac (x-a)(x+a) \rvert + C |
| f(x)=\tg x | F(x)= - l n \lvert \cos x \rvert + C | \int \tg x dx =-l n \lvert \cos x \rvert + C |
| f(x)=\ctg x | F(x)= l n \lvert \sin x \rvert + C | \int \ctg x dx = l n \lvert \sin x \rvert + C |
| f(x)=\frac(1)(\sinx) | F(x)= l n \lvert \tg \frac(x)(2) \rvert + C | \int \frac (dx)(\sin x) = l n \lvert \tg \frac(x)(2) \rvert + C |
| f(x)=\frac(1)(\cos x) | F(x)= l n \lvert \tg (\frac(x)(2) +\frac(\pi)(4)) \rvert + C | \int \frac (dx)(\cos x) = l n \lvert \tg (\frac(x)(2) +\frac(\pi)(4)) \rvert + C |
Newton-Leibniz formülü
İzin vermek f(x) bu işlev, F keyfi ilkel.
\int_(a)^(b) f(x) dx =F(x)|_(a)^(b)= F(b) - F(a)
nerede f(x)- için ilkel f(x)
Yani, fonksiyonun integrali f(x) aralıkta, noktalardaki antitürevlerin farkına eşittir b ve a.
Eğrisel bir yamuğun alanı
Eğrisel yamuk bir doğru parçası üzerinde negatif olmayan ve sürekli bir fonksiyonun grafiği ile sınırlanmış bir şekil olarak adlandırılır. f, eksen Öküz ve düz çizgiler x = bir ve x = b.
Eğrisel bir yamuğun alanı, Newton-Leibniz formülü kullanılarak bulunur:
S= \int_(a)^(b) f(x) dx
Bu ders, entegrasyonla ilgili bir dizi videonun ilkidir. İçinde, bir fonksiyonun ters türevinin ne olduğunu analiz edeceğiz ve ayrıca bu ters türevleri hesaplamak için temel yöntemleri inceleyeceğiz.
Aslında, burada karmaşık bir şey yok: özünde, her şey zaten aşina olmanız gereken bir türev kavramına iniyor. :)
Hemen not ediyorum ki bu, yeni konumuzun ilk dersi olduğundan, bugün karmaşık hesaplamalar ve formüller olmayacak, ancak bugün çalışacağımız şey, karmaşık integralleri ve alanları hesaplarken çok daha karmaşık hesaplamaların ve yapıların temelini oluşturacaktır. .
Ek olarak, özellikle integral ve integralleri çalışmaya başlarken, dolaylı olarak öğrencinin en azından türev kavramlarına zaten aşina olduğunu ve bunları hesaplamada en azından temel becerilere sahip olduğunu varsayarız. Bunu net bir şekilde anlamadan, entegrasyonda kesinlikle yapacak bir şey yoktur.
Ancak en sık karşılaşılan ve sinsi sorunlardan biri de burada yatmaktadır. Gerçek şu ki, ilk ters türevlerini hesaplamaya başlayan birçok öğrenci onları türevlerle karıştırıyor. Sonuç olarak, sınavlarda ve bağımsız çalışmalarda aptalca ve saldırgan hatalar yapılır.
Bu nedenle, şimdi ters türevin net bir tanımını vermeyeceğim. Ve karşılığında basit bir somut örnek üzerinden nasıl ele alındığına bakmanızı öneririm.
İlkel nedir ve nasıl kabul edilir?
Bu formülü biliyoruz:
\[((\left(((x)^(n)) \sağ))^(\prime ))=n\cdot ((x)^(n-1))\]
Bu türev temel kabul edilir:
\[(f)"\left(x \sağ)=((\left(((x)^(3)) \sağ))^(\prime ))=3((x)^(2))\ ]
Ortaya çıkan ifadeye yakından bakalım ve $((x)^(2))$'ı ifade edelim:
\[((x)^(2))=\frac(((\left(((x)^(3)) \sağ))^(\prime )))(3)\]
Ama türevin tanımına göre şu şekilde de yazabiliriz:
\[((x)^(2))=((\left(\frac(((x)^(3))))(3) \sağ))^(\prime ))\]
Ve şimdi dikkat: biraz önce yazmış olduğumuz şey, ters türevin tanımıdır. Ancak doğru yazmak için aşağıdakileri yazmanız gerekir:
Aşağıdaki ifadeyi aynı şekilde yazalım:
Bu kuralı genelleştirirsek aşağıdaki formülü elde edebiliriz:
\[((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]
Şimdi net bir tanım formüle edebiliriz.
Bir fonksiyonun ters türevi, türevi orijinal fonksiyona eşit olan bir fonksiyondur.
Ters türev fonksiyonu hakkında sorular
Görünüşe göre oldukça basit ve anlaşılır bir tanım. Ancak, bunu duyar duymaz dikkatli öğrencinin hemen birkaç sorusu olacaktır:
- Diyelim ki, bu formül doğru. Ancak bu durumda $n=1$ olduğunda sorun yaşıyoruz: paydada “sıfır” görünüyor ve “sıfıra” bölmek imkansız.
- Formül yalnızca güçlerle sınırlıdır. Ters türev nasıl hesaplanır, örneğin sinüs, kosinüs ve diğer trigonometri ve sabitler.
- Varoluşsal bir soru: Bir ters türev bulmak her zaman mümkün mü? Öyleyse, ters türev toplamı, fark, çarpım vb. ne olacak?
Son soruya hemen cevap vereceğim. Ne yazık ki, türevin aksine ters türev her zaman dikkate alınmaz. Herhangi bir ilk yapıdan bu benzer yapıya eşit olacak bir fonksiyon elde edeceğimize göre böyle bir evrensel formül yoktur. Kuvvetler ve sabitlere gelince, şimdi bundan bahsedeceğiz.
Güç fonksiyonlarıyla ilgili problemleri çözme
\[((x)^(-1))\to \frac(((x)^(-1+1)))(-1+1)=\frac(1)(0)\]
Gördüğünüz gibi $((x)^(-1))$ için bu formül çalışmıyor. Soru ortaya çıkıyor: o zaman ne işe yarıyor? $((x)^(-1)$'ı sayamaz mıyız? Elbette yapabiliriz. Hemen bununla başlayalım:
\[((x)^(-1))=\frac(1)(x)\]
Şimdi düşünelim: hangi fonksiyonun türevi eşittir $\frac(1)(x)$. Açıkçası, bu konuyla en azından biraz ilgilenen herhangi bir öğrenci, bu ifadenin doğal logaritmanın türevine eşit olduğunu hatırlayacaktır:
\[((\left(\ln x \sağ))^(\prime ))=\frac(1)(x)\]
Bu nedenle, aşağıdakileri güvenle yazabiliriz:
\[\frac(1)(x)=((x)^(-1))\to \ln x\]
Bu formülün tıpkı bir kuvvet fonksiyonunun türevi gibi bilinmesi gerekir.
Şimdiye kadar bildiklerimiz:
- Bir kuvvet fonksiyonu için — $((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)$
- Bir sabit için - $=const\to \cdot x$
- Bir kuvvet fonksiyonunun özel bir durumu - $\frac(1)(x)\to \ln x$
Ve en basit fonksiyonları çarpmaya ve bölmeye başlarsak, o zaman bir çarpım veya bölümün ters türevini nasıl hesaplarız. Ne yazık ki, bir çarpım veya bölümün türeviyle ilgili analojiler burada işe yaramıyor. Standart bir formül yoktur. Bazı durumlar için zor özel formüller vardır - bunları gelecekteki video eğitimlerinde öğreneceğiz.
Bununla birlikte, unutmayın: bir bölümün ve bir çarpımın türevini hesaplama formülüne benzer genel bir formül yoktur.
Gerçek problemleri çözme
Görev 1
Güç fonksiyonlarının her birini ayrı ayrı hesaplayalım:
\[((x)^(2))\to \frac(((x)^(3))))(3)\]
İfademize dönersek genel yapısını yazıyoruz:
görev #2
Daha önce de söylediğim gibi, ilkel işler ve özel "boşluk" dikkate alınmaz. Ancak, burada aşağıdakileri yapabilirsiniz:
Kesiri iki kesrin toplamına ayırdık.
Hesaplayalım:
İyi haber şu ki, ters türevleri hesaplama formüllerini bir kez öğrendikten sonra, daha karmaşık yapıları zaten hesaplayabilirsiniz. Ancak, devam edelim ve bilgimizi biraz daha genişletelim. Gerçek şu ki, ilk bakışta $((x)^(n))$ ile hiçbir ilgisi olmayan birçok yapı ve ifade, rasyonel bir üste sahip bir derece olarak temsil edilebilir, yani:
\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(2))))\]
\[\sqrt[n](x)=((x)^(\frac(1)(n)))\]
\[\frac(1)(((x)^(n)))=((x)^(-n))\]
Tüm bu teknikler birleştirilebilir ve birleştirilmelidir. Güç ifadeleri şunları yapabilir:
- çarpma (güçler eklenir);
- böl (dereceler çıkarılır);
- bir sabit ile çarpmak;
- vb.
Rasyonel üslü dereceli ifadeleri çözme
Örnek 1
Her kökü ayrı ayrı sayalım:
\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(2)))\to \frac(((x)^(\frac(1)(2)+1)))(\ frac(1)(2)+1)=\frac(((x)^(\frac(3)(2))))(\frac(3)(2))=\frac(2\cdot (( x)^(\frac(3)(2))))(3)\]
\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(4)))\to \frac(((x)^(\frac(1)(4))))(\frac( 1)(4)+1)=\frac(((x)^(\frac(5)(4))))(\frac(5)(4))=\frac(4\cdot ((x) ^(\frac(5)(4))))(5)\]
Toplamda, tüm yapımız aşağıdaki gibi yazılabilir:
Örnek 2
\[\frac(1)(\sqrt(x))=((\left(\sqrt(x) \sağ))^(-1))=((\left(((x)^(\frac( 1)(2))) \sağ)^(-1))=((x)^(-\frac(1)(2)))\]
Bu nedenle, şunları elde edeceğiz:
\[\frac(1)(((x)^(3)))=((x)^(-3))\to \frac(((x)^(-3+1)))(-3 +1)=\frac(((x)^(-2)))(-2)=-\frac(1)(2((x)^(2)))\]
Toplamda, her şeyi tek bir ifadede toplayarak şunu yazabiliriz:
Örnek 3
Öncelikle $\sqrt(x)$ hesapladığımıza dikkat edin:
\[\sqrt(x)\to \frac(4((x)^(\frac(5)(4))))(5)\]
\[((x)^(\frac(3)(2)))\to \frac(((x)^(\frac(3)(2)+1)))(\frac(3)(2) )+1)=\frac(2\cdot ((x)^(\frac(5)(2))))(5)\]
Tekrar yazalım:
Umarım biraz önce incelediklerimizin ters türevlerin en basit hesaplamaları, en temel yapılar olduğunu söylersem kimseyi şaşırtmam. Şimdi, tablo şeklindeki ters türevlere ek olarak, okul müfredatını, yani kısaltılmış çarpma formüllerini hatırlamanız gereken biraz daha karmaşık örneklere bakalım.
Daha Karmaşık Örnekleri Çözme
Görev 1
Farkın karesi için formülü hatırlayın:
\[((\left(a-b \sağ))^(2))=((a)^(2))-ab+((b)^(2))\]
Fonksiyonumuzu yeniden yazalım:
Şimdi böyle bir fonksiyonun terstürevini bulmalıyız:
\[((x)^(\frac(2)(3)))\to \frac(3\cdot ((x)^(\frac(5)(3))))(5)\]
\[((x)^(\frac(1)(3)))\to \frac(3\cdot ((x)^(\frac(4)(3))))(4)\]
Her şeyi ortak bir tasarımda topluyoruz:
görev #2
Bu durumda fark küpünü açmamız gerekiyor. Hatırlayalım:
\[((\left(a-b \sağ))^(3))=((a)^(3))-3((a)^(2))\cdot b+3a\cdot ((b)^ (2)-((b)^(3))\]
Bu gerçek göz önüne alındığında, aşağıdaki gibi yazılabilir:
Fonksiyonumuzu biraz değiştirelim:
Her zaman olduğu gibi, her terim için ayrı ayrı ele alıyoruz:
\[((x)^(-3))\to \frac(((x)^(-2)))(-2)\]
\[((x)^(-2))\to \frac(((x)^(-1)))(-1)\]
\[((x)^(-1))\to \ln x\]
Ortaya çıkan yapıyı yazalım:
Görev #3
Üstte toplamın karesi var, hadi açalım:
\[\frac(((\left(x+\sqrt(x) \sağ))^(2)))(x)=\frac(((x)^(2))+2x\cdot \sqrt(x) )+((\left(\sqrt(x) \sağ))^(2)))(x)=\]
\[=\frac(((x)^(2)))(x)+\frac(2x\sqrt(x))(x)+\frac(x)(x)=x+2((x) ^(\frac(1)(2)))+1\]
\[((x)^(\frac(1)(2)))\to \frac(2\cdot ((x)^(\frac(3)(2))))(3)\]
Son çözümü yazalım:
Ve şimdi dikkat! Aslanın hata ve yanlış anlama payıyla ilişkili çok önemli bir şey. Gerçek şu ki, şimdiye kadar, türevlerin yardımıyla ters türevleri saymak, dönüşümler vermek, bir sabitin türevinin neye eşit olduğunu düşünmedik. Ancak bir sabitin türevi "sıfıra" eşittir. Ve bu, aşağıdaki seçenekleri yazabileceğiniz anlamına gelir:
- $((x)^(2))\to \frac(((x)^(3)))(3)$
- $((x)^(2))\to \frac(((x)^(3))))(3)+1$
- $((x)^(2))\to \frac(((x)^(3))))(3)+C$
Bunu anlamak çok önemlidir: Bir fonksiyonun türevi her zaman aynı ise, o zaman aynı fonksiyonun sonsuz sayıda ters türevi vardır. İlkellerimize herhangi bir sabit sayı ekleyebilir ve yenilerini alabiliriz.
Az önce çözdüğümüz görevlerin açıklamasında "Ters türevlerin genel görünümünü yazınız" yazılması tesadüf değildir. Şunlar. zaten bir değil, çok sayıda olduğu önceden varsayılmıştır. Ancak, aslında, yalnızca sonundaki sabit $C$ ile farklılık gösterirler. Bu nedenle görevlerimizde tamamlamadıklarımızı düzelteceğiz.
Yapılarımızı bir kez daha yeniden yazıyoruz:
Bu gibi durumlarda, $C$'ın bir sabit olduğu eklenmelidir - $C=const$.
İkinci işlevimizde aşağıdaki yapıyı elde ederiz:
Ve sonuncusu:
Ve şimdi sorunun ilk durumunda bizden isteneni gerçekten aldık.
Belirli bir noktada ters türev bulma problemlerini çözme
Şimdi, sabitler hakkında ve ters türev yazmanın özellikleri hakkında bilgi sahibi olduğumuzda, tüm ters türevler kümesinden belirli bir noktadan geçecek yalnızca bir tane bulmak gerektiğinde, aşağıdaki türde problemler oldukça mantıklı bir şekilde ortaya çıkar. Bu görev nedir?
Gerçek şu ki, belirli bir işlevin tüm ters türevleri, yalnızca bir sayı ile dikey olarak kaydırılmaları bakımından farklılık gösterir. Ve bu, koordinat düzleminde hangi noktayı alırsak alalım, bir ters türevin kesinlikle geçeceği ve dahası yalnızca birinin geçeceği anlamına gelir.
Böylece, şimdi çözeceğimiz görevler şu şekilde formüle edilmiştir: Orijinal fonksiyonun formülünü bilerek ters türevi bulmak kolay değildir, ancak bunlardan tam olarak belirli bir noktadan geçen, koordinatları olacak birini seçmek kolay değildir. problem durumunda verilecektir.
Örnek 1
İlk olarak, her bir terimi hesaplayalım:
\[((x)^(4))\to \frac(((x)^(5)))(5)\]
\[((x)^(3))\to \frac(((x)^(4))))(4)\]
Şimdi bu ifadeleri yapımızda değiştiriyoruz:
Bu fonksiyon $M\left(-1;4 \right)$ noktasından geçmelidir. bir noktadan geçmesi ne demek? Bu, $x$ yerine her yere $-1$ ve $F\left(x \right)$ - $-4$ koyarsak, doğru sayısal eşitliği elde etmemiz gerektiği anlamına gelir. Bunu yapalım:
$C$ için bir denklemimiz olduğunu görüyoruz, o halde onu çözmeye çalışalım:
Tam da aradığımız çözümü yazalım:
Örnek 2
Öncelikle kısaltılmış çarpma formülünü kullanarak farkın karesini açmak gerekiyor:
\[((x)^(2))\to \frac(((x)^(3))))(3)\]
Orijinal yapı aşağıdaki gibi yazılacaktır:
Şimdi $C$'yi bulalım: $M$ noktasının koordinatlarını yerine koyalım:
\[-1=\frac(8)(3)-12+18+C\]
$C$ ifade ediyoruz:
Son ifadeyi görüntülemek için kalır:
Trigonometrik problemleri çözme
Az önce analiz ettiğimiz şeye son bir akor olarak, trigonometri içeren iki karmaşık problemi daha ele almayı öneriyorum. Onlarda da aynı şekilde tüm fonksiyonlar için antiderivatifler bulmak, ardından bu kümeden koordinat düzleminde $M$ noktasından geçen tek olanı seçmek gerekecektir.
İleriye baktığımda, şimdi trigonometrik fonksiyonların ters türevlerini bulmak için kullanacağımız tekniğin aslında kendi kendini kontrol etmek için evrensel bir teknik olduğunu belirtmek isterim.
Görev 1
Aşağıdaki formülü hatırlayalım:
\[((\left(\text(tg)x \sağ))^(\prime ))=\frac(1)(((\cos )^(2))x)\]
Buna dayanarak şunları yazabiliriz:
$M$ noktasının koordinatlarını ifademizde yerine koyalım:
\[-1=\text(tg)\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(4))+C\]
Bu gerçeği göz önünde bulundurarak ifadeyi yeniden yazalım:
görev #2
Burada biraz daha zor olacak. Şimdi nedenini göreceksin.
Bu formülü hatırlayalım:
\[((\left(\text(ctg)x \sağ))^(\prime ))=-\frac(1)(((\sin )^(2))x)\]
"Eksi" den kurtulmak için aşağıdakileri yapmanız gerekir:
\[((\left(-\text(ctg)x \sağ))^(\prime ))=\frac(1)(((\sin )^(2))x)\]
İşte tasarımımız
$M$ noktasının koordinatlarını değiştirin:
Son yapıyı yazalım:
Bugün sana söylemek istediğim tek şey buydu. Ters türevler terimini, bunların temel fonksiyonlardan nasıl sayılacağını ve ayrıca koordinat düzleminde belirli bir noktadan geçen bir ters türevin nasıl bulunacağını inceledik.
Umarım bu ders, bu karmaşık konuyu anlamanıza en azından biraz yardımcı olacaktır. Her halükarda, belirsiz ve belirsiz integraller ters türevler üzerine inşa edilir, bu yüzden onları dikkate almak kesinlikle gereklidir. benim için hepsi bu Yakında görüşürüz!
İlkel.
Ters türevi bir örnekle anlamak kolaydır.
bir fonksiyon alalım y = x 3. Önceki bölümlerden bildiğimiz gibi, türevi X 3, 3'tür X 2:
(X 3)" = 3X 2 .
Bu nedenle, işlevden y = x 3 yeni bir fonksiyon elde ederiz: de = 3X 2 .
Mecazi anlamda, fonksiyon de = X 3 üretilen fonksiyon de = 3X 2 ve onun "ebeveyni". Matematikte "ebeveyn" diye bir kelime yoktur ama onunla ilgili bir kavram vardır: ters türev.
Yani: fonksiyon y = x 3, işlevin ters türevidir de = 3X 2 .
Ters türevin tanımı:
Örneğimizde ( X 3)" = 3X 2 , bu nedenle y = x 3 - için ters türev de = 3X 2 .
Entegrasyon
Bildiğiniz gibi, belirli bir fonksiyona göre türevi bulma işlemine türev denir. Ters işleme entegrasyon denir.
Açıklayıcı örnek:
de = 3X 2+ günah x.
Karar :
3'ün terstürevi olduğunu biliyoruz. X 2 X 3 .
günah için ters türev x-cos x.
İki ters türev ekleriz ve belirli bir fonksiyon için ters türev alırız:
y = x 3 + (-çünkü x),
y = x 3 - çünkü x.
Cevap :
fonksiyon için de = 3X 2+ günah x y = x 3 - çünkü x.
Açıklayıcı örnek:
Fonksiyonun ters türevini bulalım de= 2 günah x.
Karar :
k = 2 olduğuna dikkat edin. Sin için ters türev x-cos x.
Bu nedenle, fonksiyon için de= 2 günah x terstürev fonksiyondur de= -2 çünkü x.
y \u003d 2 sin işlevindeki katsayı 2 x bu fonksiyonun oluşturulduğu ters türevin katsayısına karşılık gelir.
Açıklayıcı örnek:
Fonksiyonun ters türevini bulalım y= günah 2 x.
Karar :
Bunu fark ettik k= 2. Sin için ters türev x-cos x.
Fonksiyonun terstürevini bulurken formülümüzü uygularız. y= cos2 x:
1
y= - (–çünkü 2 x),
2
çünkü 2 x
y = – ----
2
çünkü 2 x
Cevap: işlev için y= günah 2 x terstürev fonksiyondur y = – ----
2
(4)
Açıklayıcı örnek.
Bir önceki örnekteki işlevi ele alalım: y= günah 2 x.
Bu işlev için, tüm ters türevler şu şekildedir:
çünkü 2 x
y = – ---- + C.
2
Açıklama.
İlk satırı alalım. Şöyle okur: eğer y = f( x) 0 ise terstürevi 1'dir. Neden? Birliğin türevi sıfır olduğu için: 1" = 0.
Satırların geri kalanı aynı sırayla okunur.
Bir tablodan veri nasıl çıkarılır? Sekizinci satırı ele alalım:
(-çünkü x)" = günah x
İkinci kısmı türev işaretiyle, sonra eşittir işaretiyle ve türevle yazıyoruz.
Şunu okuyoruz: sin fonksiyonunun ters türevi x-cos işlevidir x.
Veya: fonksiyon -cos x sin işlevinin ters türevidir x.
