• Manevi ve şövalye tarikatları - kısaca Orta Çağ Emirleri
• Yeraltı Mezarları ve Nekropoller ve alacakaranlık vs şafak
• Quest Day of Destiny: Dark Elf's Fate
• Kendini kırbaçlama nedir Kendi kendini kırbaçlama şiiri
• Bir matrisin sırasını bulun: yöntemler ve örnekler
• 11 Eylül'den kurtulanlar
• İnsanlık tarihinin en kötü selleri
• Bir meslektaş sinsi olduğunda Bir entrikacı bir takımda yaralanırsa veya yetkin bir şekilde nasıl savaşılırsa
• En iyi keskin nişancı Dünyanın en iyi keskin nişancısı
• Şeytan neye benziyor Şeytan kimdir ve resimleri

Büyük ve çeşitli bir malzeme üzerinde keşfedilen rastgele olayların meydana gelme sıklıklarının stabilizasyonu olgusunun ilk başta herhangi bir gerekçesi yoktu ve tamamen ampirik bir gerçek olarak algılanıyordu. Bu alandaki ilk teorik sonuç, 1713'te yayınlanan ve büyük sayılar yasalarının temelini oluşturan ünlü Bernoulli teoremiydi.

Bernoulli'nin teoremi, içeriğinde bir limit teoremi, yani asimptotik anlam ifade eden, çok sayıda gözlemle olasılıksal parametrelere ne olacağını söyleyen bir ifadedir. Bu türden tüm modern sayısız ifadelerin atası, tam olarak Bernoulli'nin teoremidir.

Bugün öyle görünüyor ki, büyük sayıların matematiksel yasası, birçok gerçek sürecin bazı ortak özelliklerinin bir yansımasıdır.

Yüzyılımızın en büyük matematikçilerinden biri olan A. N. Kolmogorov, bu yasayı uygulamanın tükenmiş olmaktan çok uzak olan potansiyellerine karşılık gelen, büyük sayılar yasasını olabildiğince fazla kapsama alanı verme arzusuyla, özünü şu şekilde formüle etti: büyük sayılar yasası “çok sayıda rastgele faktörün eyleminin neredeyse şanstan bağımsız bir sonuca götürdüğü genel bir ilkedir.

Böylece, büyük sayılar yasasının sanki iki yorumu vardır. Biri matematikseldir, belirli matematiksel modeller, formülasyonlar, teorilerle ilişkilidir ve ikincisi daha geneldir, bu çerçevenin ötesine geçer. İkinci yorum, pratikte sıklıkla not edilen, dışa doğru böyle bir sürekliliği olmayan çok sayıda gizli veya görünür etkili faktörün arka planına karşı değişen derecelerde yönlendirilmiş eylemde oluşum olgusuyla bağlantılıdır. İkinci yoruma ilişkin örnekler, serbest piyasada fiyatlandırma, belirli bir konuda kamuoyu oluşmasıdır.

Büyük sayılar yasasının bu genel yorumuna dikkat ettikten sonra, bu yasanın özel matematiksel formülasyonlarına dönelim.

Yukarıda söylediğimiz gibi, olasılık teorisi için ilk ve temelde en önemli olan Bernoulli teoremidir. Çevreleyen dünyanın en önemli düzenliliklerinden birini yansıtan bu matematiksel gerçeğin içeriği aşağıdakilere indirgenmiştir.

Koşulları testten teste değişmeden yeniden üretilen bir dizi ilgisiz (yani bağımsız) test düşünün. Her testin sonucu, bizi ilgilendiren olayın ortaya çıkması veya görünmemesidir. VE.

Bu prosedür (Bernoulli şeması) pek çok pratik alan için tipik olarak kabul edilebilir: yeni doğan bebeklerin sıralamasında "erkek - kız", günlük meteorolojik gözlemler ("yağmur yağıyordu - yağmur yağmıyordu"), üretilen ürünlerin akışının kontrolü ("normal - arızalı") vb.

Olayın meydana gelme sıklığı VE de P denemeler ( t bir -

olay sıklığı VE içinde P testler) büyüme ile birlikte P değerini istikrara kavuşturma eğilimi, bu ampirik bir gerçektir.

Bernoulli'nin teoremi. Rastgele küçük herhangi bir pozitif sayı e seçelim.

Bernoulli tarafından belirli bir matematiksel modelde (Bernoulli şemasında) oluşturulan matematiksel gerçeğin, ampirik olarak oluşturulmuş frekans kararlılığı düzenliliği ile karıştırılmaması gerektiğini vurguluyoruz. Bernoulli yalnızca formül (9.1)'in ifadesiyle yetinmedi, aynı zamanda uygulamanın ihtiyaçlarını dikkate alarak bu formülde var olan eşitsizliğin bir tahminini verdi. Aşağıda bu yoruma geri döneceğiz.

Bernoulli'nin büyük sayılar yasası, onu geliştirmeye çalışan çok sayıda matematikçi tarafından araştırma konusu olmuştur. Böyle bir iyileştirme İngiliz matematikçi Moivre tarafından elde edildi ve şu anda Moivre-Laplace teoremi olarak adlandırılıyor. Bernoulli şemasında, normalleştirilmiş miktarların sırasını göz önünde bulundurun:

Moivre - Laplace'ın integral teoremi. Herhangi iki sayı seç X ( ve x2 . Bu durumda x, x 7, sonra ne zaman P -» °°

Formül (9.3)'ün sağ tarafında ise değişken x x sonsuza eğilimliyse, yalnızca x 2'ye bağlı olan (bu durumda, dizin 2 kaldırılabilir) ortaya çıkan sınır bir dağıtım işlevi olacaktır, buna denir standart normal dağılım, veya Gauss yasası.

Formül (9.3)'ün sağ tarafı y = F(x 2) - F(x x). F(x2)-> 1 de x 2-> °° ve F(x,) -> x için 0, -> Yeterince büyük seçerek

X] > 0 ve X] n mutlak değerinde yeterince büyük eşitsizliği elde ederiz:

Formül (9.2)'yi hesaba katarak, pratik olarak güvenilir tahminler çıkarabiliriz:

y = 0,95'in güvenilirliği (yani, 0,05'lik hata olasılığı) birisine yetersiz görünüyorsa, güvenli oynayabilir ve yukarıda belirtilen üç sigma kuralını kullanarak biraz daha geniş bir güven aralığı oluşturabilirsiniz:

Bu aralık, çok yüksek bir güven düzeyi olan y = 0,997'ye karşılık gelir (normal dağılım tablolarına bakın).

Yazı tura atma örneğini ele alalım. Hadi yazı tura atalım n = 100 kere. Frekans olabilir mi? R olasılıktan çok farklı olacak R= 0,5 (madeni paranın simetrisi varsayılarak), örneğin, sıfıra eşit olacak mı? Bunu yapmak için armanın bir kez bile düşmemesi gerekir. Böyle bir olay teorik olarak mümkündür, ancak bu tür olasılıkları zaten hesapladık, bu olay için eşit olacaktır. Bu değer

son derece küçüktür, sırası 30 ondalık basamaklı bir sayıdır. Böyle bir olasılığa sahip bir olay, güvenle pratik olarak imkansız olarak kabul edilebilir. Çok sayıda deneyde frekansta olasılıktan hangi sapmalar pratik olarak mümkündür? Moivre-Laplace teoremini kullanarak, bu soruyu şu şekilde yanıtlıyoruz: olasılıkla de= 0,95 arma frekansı R güven aralığına uyuyor:

0.05 hatası küçük görünmüyorsa, deney sayısını artırmak gerekir (yazı tura atmak). artış ile P güven aralığının genişliği azalır (ne yazık ki istediğimiz kadar hızlı değil, ancak -Jn).Örneğin, ne zaman P= 10 000 bunu anladık R güven olasılığı ile güven aralığında yatıyor de= 0,95: 0,5 ± 0,01.

Böylece, frekansın olasılığa yaklaşması sorununu nicel olarak ele aldık.

Şimdi bir olayın olasılığını sıklığından bulalım ve bu yaklaşımın hatasını tahmin edelim.

Çok sayıda deney yapalım P(yazı tura attı), olayın sıklığını buldu VE ve olasılığını tahmin etmek istiyorum R.

büyük sayılar yasasından Pşunu takip eder:

Şimdi yaklaşık eşitliğin (9.7) pratik olarak olası hatasını tahmin edelim. Bunu yapmak için eşitsizliği (9.5) şu şekilde kullanırız:

Bulmak için Rüzerinde R eşitsizliği (9.8) çözmek gerekir, bunun için karesini almak ve karşılık gelen ikinci dereceden denklemi çözmek gerekir. Sonuç olarak, şunu elde ederiz:

nerede

yaklaşık bir tahmin için Rüzerinde R(9.8) formülünde olabilir R sağda, şununla değiştir: R veya (9.10), (9.11) formüllerinde şunu göz önünde bulundurun

Sonra şunu elde ederiz:

Bırak girsin P= 400 deney alınan frekans değeri R= 0.25, sonra y = 0.95 güven düzeyinde şunu buluruz:

Peki ya olasılığı 0,01'den fazla olmayan bir hatayla daha doğru bir şekilde bilmemiz gerekirse? Bunu yapmak için deney sayısını artırmanız gerekir.

Formül (9.12)'de olasılık varsayıldığında R= 0.25, hata değerini verilen 0.01 değerine eşitleriz ve aşağıdakiler için bir denklem elde ederiz: P:

Bu denklemi çözerek, elde ederiz n~ 7500.

Şimdi bir soru daha ele alalım: Deneylerde elde edilen frekansın olasılıktan sapması rastgele nedenlerle açıklanabilir mi, yoksa bu sapma olasılığın sandığımız gibi olmadığını mı gösterir? Başka bir deyişle, deneyim kabul edilen istatistiksel hipotezi doğrular mı, yoksa tam tersine onun reddedilmesini mi gerektirir?

Örneğin madeni para atmak P= 800 kez, tepe frekansını elde ederiz R= 0.52. Madeni paranın simetrik olmadığından şüphelendik. Bu şüphe haklı mı? Bu soruyu cevaplamak için madeni paranın simetrik olduğu varsayımından hareket edeceğiz. (s = 0,5). Güven aralığını bulalım (güven olasılığı ile de= 0.95) armanın görünme sıklığı için. Deneyde elde edilen değer ise R= 0,52 bu aralığa uyuyor - her şey normal, madeni paranın simetrisi hakkında kabul edilen hipotez deneysel verilerle çelişmiyor. için formül (9.12) R= 0,5, 0,5 ± 0,035 aralığı verir; alınan değer p = 0,52 bu aralığa uyuyor, bu da madalyonun asimetri şüphelerinden "temizlenmesi" gerektiği anlamına geliyor.

Rastgele olaylarda gözlemlenen matematiksel beklentiden çeşitli sapmaların rastgele veya "önemli" olup olmadığına karar vermek için benzer yöntemler kullanılır. Örneğin, birkaç paketlenmiş ürün numunesinde yanlışlıkla bir düşük ağırlık var mıydı, yoksa bu, alıcıların sistematik olarak aldatıldığını mı gösteriyor? Yeni ilacı kullanan hastalarda iyileşme oranı tesadüfen mi arttı yoksa ilacın etkisinden mi kaynaklanıyor?

Normal yasa, olasılık teorisinde ve pratik uygulamalarında özellikle önemli bir rol oynar. Yukarıda, rastgele bir değişkenin -Bernoulli şemasındaki bazı olayların meydana gelme sayısı- olduğunu zaten görmüştük. P-» °° normal yasaya indirger. Ancak çok daha genel bir sonuç var.

Merkezi Limit Teoremi. Dağılma sırasına göre birbiriyle karşılaştırılabilir çok sayıda bağımsız (veya zayıf bağımlı) rasgele değişkenin toplamı, terimlerin dağılım yasaları ne olursa olsun normal yasaya göre dağıtılır. Yukarıdaki ifade, merkezi limit teorisinin kabaca nitel bir formülasyonudur. Bu teoremin, rasgele değişkenlerin terim sayısındaki artışla toplamlarının "normalleşmesi" için sağlaması gereken koşullarda birbirinden farklı birçok formu vardır.

Normal dağılımın yoğunluğu Dx) aşağıdaki formülle ifade edilir:

nerede a - rastgele bir değişkenin matematiksel beklentisi X ler= V7) standart sapmasıdır.

x'in (x 1? x 2) aralığına düşme olasılığını hesaplamak için integral kullanılır:

Yoğunluktaki (9.13) integral (9.14) temel fonksiyonlar cinsinden ifade edilmediğinden (“alınmaz”), standart normal dağılımın integral dağılım fonksiyonunun tabloları, (9.14)'ü hesaplamak için kullanılır. bir = 0, a = 1 (bu tür tablolar olasılık teorisi üzerine herhangi bir ders kitabında mevcuttur):

Olasılık (9.14), denklem (10.15) kullanılarak şu formülle ifade edilir:

Örnek vermek. Rastgele değişkenin olma olasılığını bulun x, parametrelerle normal dağılıma sahip olmak a, a, matematiksel beklenti modülünden en fazla 3a sapar.

Formül (9.16) ve normal yasanın dağılım fonksiyonu tablosunu kullanarak şunu elde ederiz:

Örnek vermek. 700 bağımsız deneyimin her birinde bir olay VE sabit olasılıkla olur R= 0.35. Olayın olma olasılığını bulun VE olacak:

• 1) tam olarak 270 kez;
• 2) 270'den az ve 230'dan fazla;
• 3) 270'den fazla kez.

Matematiksel beklentiyi bulma a = vb ve standart sapma:

rastgele değişken - olayın oluşum sayısı VE:

Ortalanmış ve normalleştirilmiş değeri bulma X:

Normal dağılımın yoğunluk tablolarına göre, f(x):

şimdi bulalım R w (x,> 270) = P 700 (270 F(1,98) == 1 - 0,97615 = 0,02385.

Büyük sayıların problemlerinin incelenmesinde ciddi bir adım 1867'de P. L. Chebyshev tarafından atıldı. Matematiksel beklentiler ve varyansların varlığı dışında, bağımsız rastgele değişkenlerden hiçbir şeyin gerekli olmadığı çok genel bir durumu ele aldı.

Chebyshev'in eşitsizliği. Keyfi olarak küçük bir pozitif sayı e için aşağıdaki eşitsizlik geçerlidir:

Chebyshev'in teoremi. Eğer x x, x 2, ..., x n - her biri matematiksel bir beklentiye sahip ikili bağımsız rastgele değişkenler E(Xj) = ci ve dağılım D(x,) =) ve varyanslar düzgün bir şekilde sınırlandırılmıştır, yani 1,2 ..., sonra keyfi olarak küçük bir pozitif sayı için e ilişki yerine getirilir:

Sonuçlar. Eğer bir,= aio, -o 2 , ben= 1,2 ..., o zaman

Bir görev. Bir madeni paranın en az olasılıkla olması için kaç kez atılması gerekir? y - 0.997, armanın frekansının (0.499; 0.501) aralığında olacağı söylenebilir mi?

Madeni paranın simetrik olduğunu varsayalım, p - q - 0,5. Formül (9.19)'daki Chebyshev teoremini rastgele değişkene uyguluyoruz. X- armanın görünme sıklığı P yazı tura atmak. zaten yukarıda göstermiştik X = X x + X 2 + ... +Х„, nerede X t - arma düşerse 1 değerini ve kuyruklar düşerse 0 değerini alan rastgele bir değişken. Yani:

Olasılık işareti altında belirtilen olayın tersi bir olay için eşitsizliği (9.19) yazıyoruz:

Bizim durumumuzda, [e \u003d 0.001, cj 2 \u003d /? -p)] t, içindeki arma sayısıdır. P atma. Bu nicelikleri son eşitsizliğe yerleştirerek ve sorunun durumuna göre eşitsizliğin sağlanması gerektiğini dikkate alarak şunu elde ederiz:

Verilen örnek, rastgele değişkenlerin belirli sapmalarının olasılıklarını tahmin etmek için Chebyshev eşitsizliğini kullanma olasılığını göstermektedir (ve bu olasılıkların hesaplanmasıyla ilgili bu örnek gibi problemler). Chebyshev'in eşitsizliğinin avantajı, rastgele değişkenlerin dağılım yasaları hakkında bilgi gerektirmemesidir. Tabii ki, böyle bir yasa biliniyorsa, o zaman Chebyshev'in eşitsizliği çok kaba tahminler veriyor.

Aynı örneği düşünün, ancak yazı tura atmanın Bernoulli şemasının özel bir durumu olduğu gerçeğini kullanarak. Başarı sayısı (örnekte - arma sayısı) binom yasasına uyar ve büyük P bu yasa Moivre - Laplace integral teoremi ile matematiksel beklenti ile normal bir yasa olarak temsil edilebilir. bir = pr = n? 0,5 ve standart sapma ile a = yfnpq- 25=0,5 l/l. Rastgele değişken - armanın sıklığı - matematiksel bir beklentiye sahiptir = 0,5 ve bir standart sapma

O zaman elimizde:

Son eşitsizlikten şunu elde ederiz:

Normal dağılım tablolarından şunları buluruz:

Normal yaklaşımın, Chebyshev eşitsizliği kullanılarak elde edilen tahminden 37 kat daha küçük olan, armanın olasılığını tahmin etmede belirli bir hata sağlayan yazı tura atma sayısını verdiğini görüyoruz (ancak Chebyshev eşitsizliği, gerçekleştirmeyi mümkün kılıyor) incelenen rasgele değişkenin dağılım yasası hakkında bilgi sahibi olmadığımız durumlarda bile benzer hesaplamalar).

Şimdi formül (9.16) yardımıyla çözülmüş uygulamalı bir problemi ele alalım.

Rekabet sorunu. İki rakip demiryolu şirketinin her birinin Moskova ve St. Petersburg arasında çalışan bir treni var. Bu trenler yaklaşık olarak aynı şekilde donatılmıştır, onlar da yaklaşık olarak aynı saatte hareket eder ve gelir. Hadi öyleymiş gibi yapalım P= 1000 yolcu bağımsız olarak ve rastgele kendileri için bir tren seçer, bu nedenle, yolcular tarafından bir tren seçmenin matematiksel modeli olarak Bernoulli şemasını kullanırız. P denemeler ve başarı şansı R= 0.5 Şirket, birbiriyle çelişen iki koşulu göz önünde bulundurarak trende kaç koltuk sağlayacağına karar vermelidir: bir yandan boş koltuklara sahip olmak istemezler, diğer yandan memnun görünmek istemezler. koltuk eksikliği (bir dahaki sefere rakip firmaları tercih edecekler). Tabii ki, trende sağlayabilirsiniz P= 1000 koltuk, ama o zaman mutlaka boş koltuklar olacaktır. Rastgele değişken - trendeki yolcu sayısı - De Moivre'nin integral teorisini kullanan kabul edilen matematiksel model çerçevesinde - Laplace matematiksel beklenti ile normal yasaya uyar bir = pr = n/2 ve dağılım a 2 = npq = s/4 sırayla. Trenin birden fazla gelme olasılığı s yolcu oranına göre belirlenir:

Risk seviyesini ayarlayın a, yani şundan daha fazla olma olasılığı s yolcular:

Buradan:

Eğer a- normal yasanın dağılım fonksiyonu tablolarında bulunan son denklemin risk kökü, şunu elde ederiz:

Örneğin, P = 1000, a= 0.01 (bu risk seviyesi, yer sayısının s 100 üzerinden 99 vakada yeterli olacaktır), o zaman x bir ~ 2.33 ve s= 537 yer. Ayrıca, her iki şirket de aynı risk seviyelerini kabul ederse a= 0.01, o zaman iki trende toplam 1074 koltuk olacak ve bunların 74'ü boş olacak. Benzer şekilde, tüm vakaların %80'inde 514 sandalyenin, 1000 vakanın 999'unda 549 sandalyenin yeterli olacağı hesaplanabilir.

Benzer düşünceler diğer rekabetçi hizmet sorunları için de geçerlidir. Örneğin, eğer t sinemalar aynı şey için yarışıyor Pİzleyiciler, kabul edilmelidir. R= -. biz alırız

yani koltuk sayısı s sinemada orana göre belirlenmelidir:

Toplam boş koltuk sayısı şuna eşittir:

İçin a = 0,01, P= 1000 ve t= 2, 3, 4 bu sayının değerleri yaklaşık olarak sırasıyla 74, 126, 147'ye eşittir.

Bir örnek daha ele alalım. Tren olsun P - 100 vagon. Her vagonun ağırlığı, matematiksel beklenti ile rastgele bir değişkendir. a - 65 ton ve ortalama kare beklentisi o = 9 ton Bir lokomotif, ağırlığı 6600 tonu geçmiyorsa bir treni taşıyabilir; aksi halde ikinci lokomotifi bağlamanız gerekir. Bunun gerekli olmama olasılığını bulmamız gerekiyor.

vagonların ağırlıkları: aynı matematiksel beklentiye sahip olmak a - 65 ve aynı varyans d- o 2 \u003d 81. Matematiksel beklentiler kuralına göre: Eski) - 100 * 65 = 6500. Varyansların toplanması kuralına göre: D(x) \u003d 100 x 81 \u003d 8100. Kökü alarak standart sapmayı buluyoruz. Bir lokomotifin bir treni çekebilmesi için trenin ağırlığının X sınırlayıcı olduğu ortaya çıktı, yani (0; 6600) aralığının sınırları içinde kaldı. Rastgele değişken x - 100 terimin toplamı - normal dağılmış olarak kabul edilebilir. Formül (9.16) ile şunu elde ederiz:

Bundan, lokomotifin treni yaklaşık 0.864 olasılıkla "idare edeceği" sonucu çıkar. Şimdi trendeki vagon sayısını ikiye indirelim, yani P= 98. Şimdi lokomotifin treni "idare etme" olasılığını hesaplayarak, 0.99 mertebesinde bir değer elde ederiz, yani bunun için sadece iki arabanın kaldırılması gerekmesine rağmen neredeyse kesin bir olay.

Dolayısıyla, çok sayıda rasgele değişkenin toplamı ile uğraşıyorsak, o zaman normal yasayı kullanabiliriz. Doğal olarak, bu şu soruyu gündeme getiriyor: toplamın dağıtım yasasının zaten "normalleştirilmesi" için kaç tane rastgele değişkenin eklenmesi gerekiyor? Terimlerin dağılım yasalarının ne olduğuna bağlıdır. Öyle girift kanunlar var ki, normalleştirme ancak çok fazla sayıda terimle oluyor. Ancak bu yasalar matematikçiler tarafından icat edilirken, doğa, kural olarak, özellikle bu tür sorunları düzenlemez. Genellikle uygulamada normal kanunun kullanılabilmesi için beş veya altı terim yeterlidir.

Aynı şekilde dağıtılan rasgele değişkenlerin toplamının dağılım yasasının "normalleşme" hızı, (0, 1) aralığında tek tip dağılıma sahip rasgele değişkenler örneğiyle gösterilebilir. Böyle bir dağılımın eğrisi, zaten normal yasadan farklı olarak bir dikdörtgen biçimine sahiptir. Bu tür iki bağımsız niceliği ekleyelim - grafik gösterimi ikizkenar üçgen biçiminde olan sözde Simpson yasasına göre dağıtılan rastgele bir değişken elde ederiz. Normal bir yasa gibi de görünmüyor ama daha iyi. Ve eğer böyle üç düzgün dağılmış rasgele değişken eklerseniz, normal bir eğriye çok benzeyen üç parabol parçasından oluşan bir eğri elde edersiniz. Bu tür altı rasgele değişken eklerseniz, normalden farklı olmayan bir eğri elde edersiniz. Bu, normal olarak dağıtılan bir rasgele değişkeni elde etmek için yaygın olarak kullanılan yöntemin temelidir; oysa tüm modern bilgisayarlar, tek biçimli olarak dağıtılan (0, 1) rasgele sayıların sensörleri ile donatılmıştır.

Bunu kontrol etmenin pratik bir yolu olarak aşağıdaki yöntem önerilir. Düzeyli bir olayın sıklığı için bir güven aralığı oluşturuyoruz. de= 0,997 üç sigma kuralına göre:

ve her iki ucu da (0, 1) doğru parçasının ötesine geçmiyorsa, normal yasa kullanılabilir. Güven aralığının sınırlarından herhangi biri segmentin (0, 1) dışındaysa, normal yasa kullanılamaz. Bununla birlikte, belirli koşullar altında, bazı rastgele olayların sıklığı için iki terimli yasa, normal olana yönelmiyorsa, başka bir yasaya yönelebilir.

Birçok uygulamada, Bernoulli şeması, deneme sayısının olduğu rastgele bir deneyin matematiksel modeli olarak kullanılır. P büyük, rastgele bir olay oldukça nadirdir, yani R = vb küçük değil ama büyük değil (O -5 - 20 aralığında dalgalanıyor). Bu durumda, aşağıdaki ilişki geçerlidir:

Formül (9.20), sağ tarafındaki olasılık dağılımı Poisson yasası olarak adlandırıldığından, binom yasası için Poisson yaklaşımı olarak adlandırılır. Poisson dağılımının, sınırlar karşılandığında ortaya çıktığı için nadir olaylar için bir olasılık dağılımı olduğu söylenir: P -»°°, R-»0, ancak X = pro oo

Örnek vermek. Doğum günleri olasılık nedir R t (k) 500 kişilik bir toplumda ile yılbaşında doğan insanlar? Bu 500 kişi rastgele seçilirse, Bernoulli şeması başarı olasılığı ile uygulanabilir. P = 1/365. O zamanlar

Çeşitli olasılık hesaplamaları ile aşağıdaki değerleri verin: RU = 0,3484...; R 2 = 0,2388...; R 3 = 0,1089...; P 4 = 0,0372...; R 5 = 0,0101...; R 6= 0,0023... için Poisson formülü ile karşılık gelen yaklaşımlar X= 500 1/365 = 1,37

aşağıdaki değerleri verin: Ru = 0,3481...; R 2 = 0,2385...; b = 0,1089; R 4 = 0,0373...; S 5 = 0,0102...; S 6 = 0,0023... Tüm hatalar yalnızca dördüncü ondalık basamaktadır.

Poisson'un nadir olaylar yasasının kullanılabileceği durumlara örnekler verelim.

Telefon santralinde yanlış bir bağlantı oluşması olası değildir. R, genelde R~ 0.005. Daha sonra Poisson formülü, belirli bir toplam bağlantı sayısı için yanlış bağlantı olasılığını bulmanızı sağlar. n~ 1000 ne zaman X = pr =1000 0,005 = 5.

Çörek pişirirken hamurun içine kuru üzüm konur. Karıştırma nedeniyle, kuru üzüm rulolarının sıklığının yaklaşık olarak Poisson dağılımını takip etmesi beklenmelidir. P n (k, X), nerede X- hamurdaki kuru üzüm yoğunluğu.

Bir radyoaktif madde n tanecikleri yayar. D-parçacıklarının sayısının zaman içinde ulaştığı olay t verilen alan alanı, sabit bir değer alır ile, Poisson yasasına uyar.

X ışınlarının etkisi altında değişen kromozomlara sahip canlı hücrelerin sayısı Poisson dağılımını takip eder.

Bu nedenle, büyük sayıların yasaları, rastgele deneyimin temel sonuçlarının bilinmeyen olasılıklarının tahmin edilmesiyle ilgili matematiksel istatistik probleminin çözülmesine izin verir. Bu bilgi sayesinde, olasılık teorisinin yöntemlerini pratik olarak anlamlı ve kullanışlı hale getiriyoruz. Büyük sayıların yasaları, bilinmeyen temel olasılıklar hakkında bilgi edinme sorununu başka bir biçimde - istatistiksel hipotezleri test etme biçiminde - çözmeyi de mümkün kılar.

İstatistiksel hipotezleri test etme problemlerini çözmek için formülasyonu ve olasılık mekanizmasını daha ayrıntılı olarak ele alalım.

Bir rastgele değişkenin dağılım fonksiyonu ve özellikleri.

dağıtım işlevi rasgele değişken X, F(X) işlevi olarak adlandırılır ve her x için, X rasgele değişkeninin x'ten küçük bir değer alma olasılığını ifade eder: F(x)=P(X)