Формулы сокращенного умножения к 8 в 1. Формулы сокращенного умножения — Гипермаркет знаний
При расчёте алгебраических многочленов для упрощения вычислений используются формулы сокращенного умножения . Всего таких формул семь. Их все необходимо знать наизусть.
Следует также помнить, что вместо «a » и «b » в формулах могут стоять как числа, так и любые другие алгебраические многочлены.
Разность квадратов
Запомните!
Разность квадратов двух чисел равна произведению разности этих чисел и их суммы.
a 2 − b 2 = (a − b)(a + b)- 15 2 − 2 2 = (15 − 2)(15 + 2) = 13 · 17 = 221
- 9a 2 − 4b 2 с 2 = (3a − 2bc)(3a + 2bc)
Квадрат суммы
Запомните!
Квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа плюс удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа.
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
Обратите внимание, что с помощью этой формулы сокращённого умножения легко находить квадраты больших чисел , не используя калькулятор или умножение в столбик. Поясним на примере:
Найти 112 2 .
- Разложим 112
на сумму чисел, чьи квадраты мы хорошо помним.
112 = 100 + 1 - Запишем сумму чисел в скобки и поставим над скобками квадрат.
112 2 = (100 + 12) 2 - Воспользуемся формулой квадрата суммы:
112 2 = (100 + 12) 2 = 100 2 + 2 · 100 · 12 + 12 2 = 10 000 + 2 400 + 144 = 12 544
Помните, что формула квадрат суммы также справедлива для любых алгебраических многочленов.
- (8a + с) 2 = 64a 2 + 16ac + c 2
Предостережение!
(a + b) 2 не равно (a 2 + b 2)Квадрат разности
Запомните!
Квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа минус удвоенное произведение первого на второе плюс квадрат второго числа.
(a − b) 2 = a 2 − 2ab + b 2
Также стоит запомнить весьма полезное преобразование:
(a − b) 2 = (b − a) 2Формула выше доказывается простым раскрытием скобок:
(a − b) 2 = a 2 −2ab + b 2 = b 2 − 2ab + a 2 = (b − a) 2Куб суммы
Запомните!
Куб суммы двух чисел равен кубу первого числа плюс утроенное произведение квадрата первого числа на второе плюс утроенное произведение первого на квадрат второго плюс куб второго.
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
Как запомнить куб суммы
Запомнить эту «страшную» на вид формулу довольно просто.
- Выучите, что в начале идёт «a 3 ».
- Два многочлена посередине имеют коэффициенты 3 .
- Вспомним, что любое число в нулевой степени есть 1
.
(a 0 = 1, b 0 = 1)
. Легко заметить, что в формуле
идёт понижение
степени «a
» и увеличение степени
«b
». В этом можно убедиться:
(a + b) 3 = a 3 b 0 + 3a 2 b 1 + 3a 1 b 2 + b 3 a 0 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
Предостережение!
(a + b) 3 не равно a 3 + b 3Куб разности
Запомните!
Куб разности двух чисел равен кубу первого числа минус утроенное произведение квадрата первого числа на второе плюс утроенное произведение первого числа на квадрат второго минус куб второго.
(a − b) 3 = a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3
Запоминается эта формула как и предыдущая, но только с учётом чередования знаков «+ » и «− ». Перед первым членом «a 3 » стоит «+ » (по правилам математики мы его не пишем). Значит, перед следующим членом будет стоять «− », затем опять «+ » и т.д.
(a − b) 3 = + a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3 = a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3Сумма кубов
Не путать с кубом суммы!
Запомните!
Сумма кубов равна произведению суммы двух чисел на неполный квадрат разности.
a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 − ab + b 2)Сумма кубов — это произведение двух скобок.
- Первая скобка — сумма двух чисел.
- Вторая скобка — неполный квадрат разности чисел. Неполным квадратом разности называют выражение:
(a 2 − ab + b 2)
Данный квадрат неполный, так как посередине вместо удвоенного произведения обычное произведение чисел.
Разность кубов
Не путать с кубом разности!
Запомните!
Разность кубов равна произведению разности двух чисел на неполный квадрат суммы.
a 3 − b 3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2)Будьте внимательны при записи знаков.
Применение формул сокращенного умножения
Следует помнить, что все формулы, приведённые выше, используется также и справа налево.
Многие примеры в учебниках рассчитаны на то, что вы с помощью формул соберёте многочлен обратно.
- a 2 + 2a + 1 = (a + 1) 2
- (aс − 4b)(ac + 4b) = a 2 c 2 − 16b 2
Таблицу со всеми формулами сокращённого умножения вы можете скачать в разделе «
В предыдущем уроке мы разобрались с разложением на множители. Освоили два способа: вынесение общего множителя за скобки и группировку. В этом уроке - следующий мощный способ: формулы сокращённого умножения . В краткой записи - ФСУ.
Формулы сокращённого умножения (квадрат суммы и разности, куб суммы и разности, разность квадратов, сумма и разность кубов) крайне необходимы во всех разделах математики. Они применяются в упрощении выражений, решении уравнений, умножении многочленов, сокращении дробей, решении интегралов и т.д. и т.п. Короче, есть все основания разобраться с ними. Понять откуда они берутся, зачем они нужны, как их запомнить и как применять.
Разбираемся?)
Откуда берутся формулы сокращённого умножения?
Равенства 6 и 7 записаны не очень привычно. Как бы наоборот. Это специально.) Любое равенство работает как слева направо, так и справа налево. В такой записи понятнее, откуда берутся ФСУ.
Они берутся из умножения.) Например:
(a+b) 2 =(a+b)(a+b)=a 2 +ab+ba+b 2 =a 2 +2ab+b 2
Вот и всё, никаких научных хитростей. Просто перемножаем скобки и приводим подобные. Так получаются все формулы сокращённого умножения. Сокращённое умножение - это потому, что в самих формулах нет перемножения скобок и приведения подобных. Сокращены.) Сразу дан результат.
ФСУ нужно знать наизусть. Без первых трёх можно не мечтать о тройке, без остальных - о четвёрке с пятёркой.)
Зачем нужны формулы сокращённого умножения?
Есть две причины, выучить, даже зазубрить эти формулы. Первая - готовый ответ на автомате резко уменьшает количество ошибок. Но это не самая главная причина. А вот вторая...
Если Вам нравится этот сайт...
Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)
Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся - с интересом!)
можно познакомиться с функциями и производными.
На данном уроке мы познакомимся с формулами квадрата суммы и квадрата разности и выведем их. Формулу квадрата суммы докажем геометрически. Кроме того, решим много различных примеров с применением этих формул.
Рассмотрим формулу квадрата суммы:
Итак, мы вывели формулу квадрата суммы:
Словесно эта формула выражается так: квадрат суммы равен квадрату первого числа плюс удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа.
Данную формулу легко представить геометрически.
Рассмотрим квадрат со стороной :
Площадь квадрата.
С другой стороны, этот же квадрат можно представить иначе, разбив сторону на а и b (рис. 1).
Рис. 1. Квадрат
Тогда площадь квадрата можно представить в виде суммы площадей:
Поскольку квадраты были одинаковы, то их площади равны, значит:
Итак, мы доказали геометрически формулу квадрата суммы.
Рассмотрим примеры:
Комментарий: пример решен с применением формулы квадрата суммы.
Выведем формулу квадрата разности:
Итак, мы вывели формулу квадрата разности:
Словесно эта формула выражается так: квадрат разности равен квадрату первого числа минус удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа.
Рассмотрим примеры:
Формулы квадрата суммы и квадрата разности могут работать как слева направо, так и справа налево. При использовании слева направо это будут формулы сокращенного умножения, они применяются при вычислении и преобразовании примеров. А при использовании справа налево - формулы разложения на множители.
Рассмотрим примеры, в которых нужно разложить заданный многочлен на множители, применяя формулы квадрата суммы и квадрата разности. Для этого нужно очень внимательно посмотреть на многочлен и определить, как именно его правильно разложить.
Комментарий: для того, чтобы разложить многочлен на множители, нужно определить, что представлено в данном выражении. Итак, мы видим квадрат и квадрат единицы. Теперь нужно найти удвоенное произведение - это . Итак, все необходимые элементы есть, нужно только определить, это квадрат суммы или разности. Перед удвоенным произведением стоит знак плюс, значит, перед нами квадрат суммы.
При расчёте алгебраических многочленов для упрощения вычислений используются формулы сокращенного умножения . Всего таких формул семь. Их все необходимо знать наизусть.
Следует также помнить, что вместо a и b в формулах могут стоять как числа, так и любые другие алгебраические многочлены.
Разность квадратов
Разность квадратов двух чисел равна произведению разности этих чисел и их суммы.
a 2 - b 2 = (a - b)(a + b)
Квадрат суммы
Квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа плюс удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа.
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
Обратите внимание, что с помощью этой формулы сокращённого умножения легко находить квадраты больших чисел , не используя калькулятор или умножение в столбик. Поясним на примере:
Найти 112 2 .
Разложим 112 на сумму чисел, чьи квадраты мы хорошо помним.2
112 = 100 + 1
Запишем сумму чисел в скобки и поставим над скобками квадрат.
112 2 = (100 + 12) 2
Воспользуемся формулой квадрата суммы:
112 2 = (100 + 12) 2 = 100 2 + 2 x 100 x 12 + 12 2 = 10 000 + 2 400 + 144 = 12 544
Помните, что формула квадрат суммы также справедлива для любых алгебраических многочленов.
(8a + с) 2 = 64a 2 + 16ac + c 2
Предостережение!!!
(a + b) 2 не равно a 2 + b 2
Квадрат разности
Квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа минус удвоенное произведение первого на второе плюс квадрат второго числа.
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
Также стоит запомнить весьма полезное преобразование:
(a - b)
2
= (b - a)
2
Формула выше доказывается простым раскрытием скобок:
(a - b)
2
= a
2
- 2ab + b
2
= b
2
- 2ab + a
2
= (b - a)
2
Куб суммы
Куб суммы двух чисел равен кубу первого числа плюс утроенное произведение квадрата первого числа на второе плюс утроенное произведение первого на квадрат второго плюс куб второго.
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
Запомнить эту «страшную» на вид формулу довольно просто.
Выучите, что в начале идёт a 3 .
Два многочлена посередине имеют коэффициенты 3.
В
спомним, что любое число в нулевой степени есть 1. (a 0 = 1, b 0 = 1). Легко заметить, что в формуле идёт понижение степени a и увеличение степени b. В этом можно убедиться:
(a + b) 3 = a 3 b 0 + 3a 2 b 1 + 3a 1 b 2 + b 3 a 0 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
Предостережение!!!
(a + b) 3 не равно a 3 + b 3
Куб разности
Куб разности двух чисел равен кубу первого числа минус утроенное произведение квадрата первого числа на второе плюс утроенное произведение первого числа на квадрат второго минус куб второго.
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
Запоминается эта формула как и предыдущая, но только с учётом чередования знаков «+» и «-». Перед первым членом a 3 стоит «+» (по правилам математики мы его не пишем). Значит, перед следующим членом будет стоять «-», затем опять «+» и т.д.
(a - b) 3 = + a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
Сумма кубов ( Не путать с кубом суммы!)
Сумма кубов равна произведению суммы двух чисел на неполный квадрат разности.
a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 - ab + b 2)
Сумма кубов - это произведение двух скобок.
Первая скобка - сумма двух чисел.
Вторая скобка - неполный квадрат разности чисел. Неполным квадратом разности называют выражение:
A 2 - ab + b 2
Данный квадрат неполный, так как посередине вместо удвоенного произведения обычное произведение чисел.
Разность кубов (Не путать с кубом разности!!!)
Разность кубов равна произведению разности двух чисел на неполный квадрат суммы.
a 3 - b 3 = (a - b)(a 2 + ab + b 2)
Будьте внимательны при записи знаков. Следует помнить, что все формулы, приведённые выше, используется также и справа налево.
Легкий способ запомнить формулы сокращенного умножения, или… Треугольник Паскаля.
Трудно запоминаются формулы сокращенного умножения? Делу легко помочь. Нужно просто запомнить, как изображается такая простая вещь, как треугольник Паскаля. Тогда вы вспомните эти формулы всегда и везде, вернее, не вспомните, а восстановите.
Что же такое треугольник Паскаля? Этот треугольник состоит из коэффициентов, которые входят в разложение любой степени двучлена вида в многочлен.
Разложим, например, :
В этой записи легко запоминается, что вначале стоит куб первого, а в конце - куб второго числа. А вот что посередине - запоминается сложно. И даже то, что в каждом следующем слагаемом степень одного множителя все время уменьшается, а второго - увеличивается - несложно заметить и запомнить, труднее дело обстоит с запоминанием коэффициентов и знаков (плюс там или минус?).
Итак, сначала коэффициенты. Не надо их запоминать! На полях тетрадки быстренько рисуем треугольник Паскаля, и вот они - коэффициенты, уже перед нами. Рисовать начинаем с трех единичек, одна сверху, две ниже, правее и левее - ага, уже треугольник получается:
Первая строка, с одной единичкой - нулевая. Потом идет первая, вторая, третья и так далее. Чтобы получить вторую строку, нужно по краям снова приписать единички, а в центре записать число, полученное сложением двух чисел, стоящих над ним:
Записываем третью строку: опять по краям единицы, и опять, чтобы получить следующее число в новой строке, сложим числа, стоящие над ним в предыдущей:
Как вы уже догадались, мы получаем в каждой строке коэффициенты из разложения двучлена в многочлен:
Ну а знаки запомнить еще проще: первый - такой же, как в раскладываемом двучлене (раскладываем сумму - значит, плюс, разность - значит, минус), а дальше знаки чередуются!
Вот такая это полезная штука - треугольник Паскаля. Пользуйтесь!
Одной из первых тем, изучаемых в курсе алгебры, являются формулы сокращённого умножения. В 7 классе они применяются в самых простых ситуациях, где требуется распознать в выражении одну из формул и выполнить разложение многочлена на множители или, наоборот, быстро возвести сумму или разность в квадрат или куб. В дальнейшем ФСУ используют для быстрого решения неравенств и уравнений и даже для вычисления некоторых числовых выражений без калькулятора.
Как выглядит список формул
Существует 7 основных формул, позволяющих быстро осуществить перемножение многочленов в скобках.
Иногда в этот список также включается разложение для четвёртой степени, которое следует из представленных тождеств и имеет вид:
a⁴ — b⁴ = (a - b)(a + b)(a² + b²).
Все равенства имеют пару (сумма - разность), кроме разности квадратов. Для суммы квадратов формула не приводится .
Остальные равенства легко запоминаются :
Следует помнить, что ФСУ работают в любом случае и для любых величин a и b : это могут быть как произвольные числа, так и целые выражения.
В ситуации, если вдруг не получается вспомнить, какой знак стоит в формуле перед тем или иным слагаемым, можно раскрыть скобки и получить тот же результат, что и после использования формулы. Например, если проблема возникла при применении ФСУ куба разности, нужно записать исходное выражение и поочерёдно выполнить умножение :
(a - b)³ = (a - b)(a - b)(a - b) = (a² — ab - ab + b²)(a - b) = a³ — a²b - a²b + ab² — a²b + ab² + ab² — b³ = a³ — 3a²b + 3ab² — b³.
В результате после приведения всех подобных членов был получен такой же многочлен, как и в таблице. Такие же манипуляции можно проводить и со всеми остальными ФСУ.
Применение ФСУ для решения уравнений
К примеру, нужно решить уравнение, содержащее многочлен 3 степени :
x³ + 3x² + 3x + 1 = 0.
В школьной программе не рассматриваются универсальные приёмы для решения кубических уравнений, и подобные задания чаще всего решаются более простыми методами (например, разложением на множители). Если заметить, что левая часть тождества напоминает куб суммы, то уравнение можно записать в более простом виде:
(x + 1)³ = 0.
Корень такого уравнения вычисляется устно: x = -1 .
Аналогичным способом решаются неравенства. Для примера можно решить неравенство x³ — 6x² + 9x > 0 .
В первую очередь необходимо разложить выражение на множители. Вначале нужно вынести за скобку x . После этого следует обратить внимание, что выражение в скобках можно преобразовать в квадрат разности.
Затем необходимо найти точки, в которых выражение принимает нулевые значения, и отметить их на числовой прямой. В конкретном случае это будут 0 и 3. Затем методом интервалов определить, в каких промежутках x будет соответствовать условию неравенства.
ФСУ могут оказаться полезными при выполнении некоторых расчётов без помощи калькулятора :
703² — 203² = (703 + 203)(703 - 203) = 906 ∙ 500 = 453000 .
Кроме того, раскладывая выражения на множители, можно легко выполнять сокращение дробей и упрощение различных алгебраических выражений.
Примеры задач для 7−8 класса
В заключение разберём и решим два задания на применение формул сокращённого умножения по алгебре.
Задача 1. Упростить выражение:
(m + 3)² + (3m + 1)(3m - 1) - 2m (5m + 3).
Решение. В условии задания требуется упростить выражение, т. е. раскрыть скобки, выполнить действия умножения и возведения в степень, а также привести все подобные слагаемые. Условно разделим выражение на три части (по числу слагаемых) и поочерёдно раскроем скобки, применяя ФСУ там, где это возможно.
- (m + 3)² = m² + 6m + 9 (квадрат суммы);
- (3m + 1)(3m - 1) = 9m² — 1 (разность квадратов);
- В последнем слагаемом необходимо выполнить перемножение: 2m (5m + 3) = 10m² + 6m .
Подставим полученные результаты в исходное выражение:
(m² + 6m + 9) + (9m² — 1) - (10m² + 6m) .
С учётом знаков раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:
m² + 6m + 9 + 9m² 1 - 10m² — 6m = 8.
Задача 2. Решить уравнение, содержащее неизвестное k в 5 степени:
k⁵ + 4k⁴ + 4k³ — 4k² — 4k = k³.
Решение. В этом случае необходимо воспользоваться ФСУ и методом группировки. Нужно перенести последнее и предпоследнее слагаемое в правую часть тождества.
k⁵ + 4k⁴ + 4k³ = k³ + 4k² + 4k.
Из правой и из левой части выносится общий множитель (k² + 4k +4) :
k³(k² + 4k + 4) = k (k² + 4k + 4) .
Всё переносится в левую часть уравнения, чтобы в правой остался 0:
k³(k² + 4k + 4) - k (k² + 4k + 4) = 0 .
Снова необходимо вынести общий множитель:
(k³ — k)(k² + 4k + 4) = 0.
Из первого полученного сомножителя можно вынести k . По формуле краткого умножения второй множитель будет тождественно равен (k + 2)² :
k (k² — 1)(k + 2)² = 0.
Использование формулы разности квадратов:
k (k - 1)(k + 1)(k + 2)² = 0.
Поскольку произведение равно 0, если хотя бы один из его множителей нулевой, найти все корни уравнения не составит труда:
- k = 0;
- k - 1 = 0; k = 1;
- k + 1 = 0; k = -1;
- (k + 2)² = 0; k = -2.
На основании наглядных примеров можно понять, как запомнить формулы, их отличия, а также решить несколько практических задач с применением ФСУ. Задачи простые, и при их выполнении не должно возникнуть никаких сложностей.
