Использование бинома ньютона. Приближенные вычисления с помощью бинома ньютона

Наука и жизнь // Иллюстрации

Блез Паскаль (1623- 1662).

Исаак Ньютон (1643-1727).

Треугольник Паскаля.

Сегодня, как и лет тридцать-сорок назад, абитуриенты на вступительных экзаменах в вуз традиционно опасаются вытянуть билет с вопросом о биноме Ньютона. (Автор формулы - великий английский физик, математик, астроном и философ сэр Исаак Ньютон.) Дело не только в том, что формула кажется сложной. Изучение её то включали в программу средней школы, то выводили за рамки основного курса, но в серьёзных вузах экзаменаторы спрашивали и продолжают спрашивать о биноме Ньютона.

На самом деле бояться тут особенно нечего. Бином Ньютона - формула разложения произвольной натуральной степени двучлена \((a+b)^n \) в многочлен. Каждый из нас знает наизусть формулы «квадрата суммы» \((a+b)^2 \) и «куба суммы» \((a+b)^3 \), но при увеличении показателя степени с определением коэффициентов при членах многочлена начинаются трудности. Чтобы не совершить ошибку и применяется формула бинома Ньютона:

\[ (a+b)^n = a^n + \frac{n}{1!}a^{n-1}b + \frac{n(n-1)}{2!}a^{n-2}b^2 + \ldots + b^n. \]

В более общем виде формула коэффициентов в биноме записывается так:

\[ C_{n}^{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

где k - порядковый номер слагаемого в многочлене.

Напомним, что факториал - произведение натуральных чисел от 1 до n, то есть \(1*2*3*\ldots*n \) - обозначается n!, например, \(4! = 1*2*3*4 = 24 \).

Запомнить формулу действительно непросто. Но попытаемся её проанализировать. Видно, что в любом многочлене присутствуют a n и b n с коэффициентами 1. Ясно также, что всякий иной член многочлена выглядит как произведение определённых степеней каждого из слагаемых двучлена (a+b), причём сумма степеней всегда равна n. Например, в выражении \[ (a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \] сумма степеней сомножителей во всех членах равна трём (3, 2+1, 1+2, 3). То же самое справедливо и для любой другой степени. Вопрос лишь в том, какие коэффициенты следует ставить при членах.

Видимо, для того чтобы облегчить труд школяров и студентов, великий французский математик и физик Блез Паскаль триста пятьдесят лет назад придумал специальный инструмент для определения этих самых коэффициентов - «треугольник Паскаля».

Строится он следующим образом.В вершине треугольника пишем 1. Единица соответствует выражению \((a+b)^0, \) поскольку любое число, возведённое в нулевую степень, даёт единицу. Достраивая треугольник, ниже пишем ещё по единице. Это коэффициенты разложения того же двучлена, возведённого в первую степень:\((a+b)^1 = a+b. \) Идём дальше. Стороны треугольника образуют единицы, а между ними - сумма двух единичек, находящихся сверху, то есть 2. Это и есть коэффициенты трёхчлена «квадрат суммы»:

\[ a^2 + 2ab + b^2. \]

Следующий ряд, как и предыдущий, начинается и заканчивается единицами, а между ними - суммы цифр, находящихся сверху: 1, 3, 3, 1. Мы получили коэффициенты разложения « куба суммы ». Ряд коэффициентов двучлена четвёртой степени составят 1, 4, 6, 4, 1 и так далее.

Для примера с помощью треугольника Паскаля разложим в многочлен сумму двучленов в шестой степени:

\[ (a + b)^6 = a^6+6a^5b + 15a^4b^2+20a^3b^3 + 15a^2b^4 + 6ab^5 + b^6. \]

Всё очень несложно и запоминается на всю жизнь. Кстати, самостоятельно вспомнить и вывести формулу бинома Ньютона, нарисовав на черновике треугольник Паскаля, тоже намного проще.

Некоторые историки науки приписывают Блезу Паскалю авторство не только треугольника, позволяющего находить биномиальные коэффициенты, но и самой формулы бинома. Они считают, что Паскаль вывел её несколько раньше Ньютона, а тот лишь обобщил формулу для разных показателей степеней.

Положим в формуле бинома Ньютона :

Эту формулу удобно применять для приближенных вычислений при малых значениях x ().

Пример 1 . Используя формулу бинома Ньютона, вычислить с точностью до .

По приведенной выше формуле имеем:

Оценим третье слагаемое в этой сумме.

остальные слагаемые еще меньше. Поэтому все слагаемые, начиная с третьего, можно отбросить. Тогда

Пример 2 . Вычислить с точностью до 0,01.

Оценим третье слагаемое:

Оценим четвертое слагаемое:

Значит все слагаемые, начиная с четвертого, можно отбросить. Получим

2.1.14. Контрольные вопросы и упражнения

1. Выборка, среди элементов которой нет одинаковых, а порядок записи элементов важен, является ______________________ .

2. Выборка, среди элементов которой нет одинаковых, а порядок записи элементов безразличен, является ________________________ .

3. Количество размещений с повторениями из n элементов по r

__________ = ________________________ .

4. Количество сочетаний из n элементов по r элементов определяется по формуле

____________ = ________________________ .

5. Сформулируйте основные правила комбинаторики.

6. Сколькими способами можно выбрать конверт и марку для письма, если имеется 5 конвертов и 4 марки?

7. Сколько пятизначных номеров можно составить из девяти цифр {1,2,3,4,5,6,7,8,9}?

8. Сколькими способами можно составить трехцветный полосатый флаг (все полосы горизонтальные), если имеются ткани пяти различных цветов?

9. Сколькими способами могут расположиться в турнирной таблице 7 футбольных команд, если известно, что все команды набрали различное количество очков?

10. Сколькими способами можно составить команду из 4 человек, если имеется 7 бегунов?

11. Сколькими способами можно разложить 12 различных предметов по четырем различным ящикам так, чтобы в каждом ящике оказалось по три предмета?

12. Сколькими способами можно разложить 6 одинаковых шаров по четырем различным ящикам?

13. Запишите разложение бинома .

14. Докажите свойство симметрии биномиальных коэффициентов, сравнив формулы для и .

15. Найдите максимальный числовой коэффициент в разложении бинома .

16. Пользуясь формулой бинома Ньютона, вычислите с точностью до .

Группы подстановок

Понятие группы

Теория групп начала оформляться в качестве самостоятельного раздела математики в конце VIII века. Она дала мощные средства для исследования алгебраических уравнений, геометрических преобразований, а также для решения ряда задач топологии и теории чисел. Специалисты, занимающиеся обработкой информации, используют методы теории групп при кодировании и декодировании информации.

Мы рассмотрим лишь небольшую часть теории групп и некоторые ее приложения. Наша первая задача – выяснить, что же такое группа.

Для этого сначала определим понятие бинарной алгебраической операции .

Бинарная операция на множестве – это соответствие, при котором каждой упорядоченной паре элементов данного множества отвечает однозначно определенный элемент того же множества. Так, действие сложения есть бинарная операция на множестве целых чисел; в самом деле, если r и s – любые два целых числа, то тоже является целым числом.

Определение 1. Непустое множество G с заданной на нем бинарной алгебраической операцией Ä называется группой , если:

1) операция Ä ассоциативна;

2) существует единичный элемент такой, что для каждого выполняется условие: ;

3) для каждого существует обратный элемент такой, что .

Эти три условия, необходимые для того, чтобы множество G с заданной на нем операцией Ä являлось группой, называются аксиомами группы .

Пример 1. Рассмотрим в качестве множества G множество всех целых чисел Z , а в качестве бинарной операции – сложение.

Проверим для пары (Z , +) аксиомы группы.

1) Ассоциативность. Сложение чисел ассоциативно: для любых Z , ;

2) Единичный элемент: нуль является единичным элементом для рассматриваемого множества относительно операции сложения, так как для каждого Z выполняется условие: ;

3) Обратный элемент: для каждого Z существует элемент –x , такой, что .

Итак, проверка показывает, что (Z , +) – группа.

Пример 2. Рассмотрим то же множество Z , но теперь с операцией умножения, т.е. рассмотрим пару (Z , ·). Проверим аксиомы группы.

1) Ассоциативность. Умножение чисел ассоциативно: для любых Z , ;

2) Единичный элемент: число 1 является единичным элементом рассматриваемого множества относительно операции умножения, т.е. для каждого Z выполняется условие: ;

3) Обратный элемент. Так как аксиома должна выполняться для любого элемента множества Z , то попытаемся найти обратный элемент для числа 2, т.е. нужно найти Z , такой что или . Такого целого числа не существует, таким образом, множество целых чисел, с заданной на нем операцией умножения, не является группой.

Определение 2. Множество называется подгруппой группы G , если оно замкнуто относительно операции Ä, , и для каждого обратный элемент .

Группа подстановок

Пусть множество X состоит из n элементов , расположенных в произвольном, но фиксированном порядке.

Биекция называется подстановкой .

В случаях, когда природа элементов не имеет значения, удобно обращать внимание только на индексы и считать, что мы имеем дело с множеством . Следовательно,

Обозначим - множество всех подстановок на A . Очевидно, что .

На множестве будем рассматривать операцию перемножения (композиции) подстановок и :

Для любого .

Эта операция обладает свойствами:

1) - выполняется свойство ассоциативности;

2) существует подстановка , для которой для каждого - выполняется аксиома существования единичного элемента;

3) для любого существует такое, что - выполняется аксиома существования обратного элемента.

Следовательно, множество образует группу относительно операции перемножения перестановок. Отметим, что эта операция не является коммутативной, то есть , например,

Рассмотрим произвольную подстановку . Элемент такой, что будем называть стационарным относительно подстановки . Пусть - все нестационарные элементы подстановки , причем, , где k – наименьшее из всех возможных. Такая подстановка называется циклом длины k и записывается в виде .

Пример 1. Пусть .

Стационарный элемент . Подстановка является циклом длины и может быть записана в виде .

Пример 2. Пусть .

Подстановка p не является циклом, но может быть представлена в виде композиции двух циклов:

причем эти циклы являются непересекающимися, т.е. не имеют общих нестационарных элементов.

Теорема 1. Любая подстановка может быть представлена в виде композиции непересекающихся циклов длины :

Доказательство теоремы дает процедуру построения циклов.

Найдем в A наименьший нестационарный относительно элемент , т.е. и для каждого выполняется условие: если , то . (Если такого элемента не существует, то является тождественной подстановкой () и ее можно рассматривать как пустое произведение циклов).

Будем строить образы элемента , до тех пор, пока не получим при наименьшем из возможных k (). Тогда подстановка

определяет цикл длины k внутри подстановки . Если все нестационарные элементы подстановки содержатся в , то . В противном случае найдем - наименьший из нестационарных элементов подстановки , не входящий в цикл . Строим цикл

Очевидно, что и - непересекающиеся. Если все нестационарные элементы исчерпаны, то , в противном случае повторяем процесс, пока каждый нестационарный элемент не войдет в какой-либо цикл. В конечном итоге получим .

Пример . Представить в виде композиции циклов подстановку

Значит ;

Стационарный элемент.

Следовательно, .

Определение. Порядком подстановки называется наименьшее натуральное число p такое, что .

Теорема 2. Порядок подстановки равен наименьшему общему кратному порядков циклов в ее разложении на непересекающиеся циклы.

В качестве упражнения предлагается провести доказательство теоремы самостоятельно.

Изоморфизм групп

Определение. Группы и называются изоморфными , если существует биекция , сохраняющая групповую операцию, т.е.

для всех .

Пример. Пусть - группа преобразований правильного треугольника в себя , где - тождественное преобразо-вание, - поворот вокруг точки O на 120°, - поворот вокруг точки O на 240°, - отражение относительно осей симметрии I, II, III соответственно (рис. 2.3).

Рис. 2.3. Преобразование правильного треугольника

В качестве группы рассмотрим группу подстановок на множестве вершин треугольника , где

Легко убедиться, что биекция группы на группу является изоморфизмом .

Будем называть порядком конечной группы количество ее элементов . при

Решение задачи провести самостоятельно.

Самосовмещения фигур

Обширный и очень важный класс разнообразных групп как конечных, так и бесконечных составляют группы “самосовмещений” геометрических фигур. Под самосовмещением данной геометрической фигуры F понимают такое перемещение фигуры F (в пространстве или на плоскости), которое переводит F в самое себя, т.е. совмещает фигуру F с самой собой.

Мы уже познакомились с одной из простейших групп самосовмещений, а именно с группой поворотов правильного треугольника на плоскости и показали, что она изоморфна некоторой подгруппе группы подстановок . Аналогичным образом можно построить группы самосовмещений других геометрических фигур и показать их изоморфизм с подгруппой группы .

Задача ; оси III - ; оси IV - .

Таким образом, мы получили группу подстановок, изоморфную группе самосовмещений квадрата:

2.2.5. Контрольные вопросы и упражнения

1. Что такое группа?

2. Дано множество . Проверить, является ли данное мно-жество группой относительно операции умножения.

3. Что такое подгруппа?

4. Привести пример подстановки, которая является полным циклом.

5. Объяснить процедуру разложения подстановки в произведение независимых циклов.

6. Чему равен порядок подстановки ?

7. Какие группы называются изоморфными?

8. Приведите примеры самосовмещений геометрических фигур.

учитель математики МОУ «СОШ №36», г. Ангарск

Бином Ньютона – одна из тем, рассмотрение которых способствует глубинному пониманию учащимися на только комбинаторных понятий, но и формул сокращенного умножения. В данной статье представлен один из вариантов лекции для старшеклассников по теме «Бином Ньютона».

Тема: «Бином Ньютона»

План лекции 1. Понятие бинома Ньютона

2. Свойства бинома и биномиальных коэффициентов

3. Типовые задачи по теме «Бином Ньютона»

4. Задачи, сводящиеся к использованию формулы бинома Ньютона (нестандартные задачи по теме «Бином Ньютона»)

Литература

1. Сборник конкурсных задач по математике для поступающих во втузы / Под ред. : Учеб. пособие. Санкт-Петербург, 1995. – с.84.

2. Супрун задачи повышенной сложности по математике. Мн.: Полымя, 1998. – 108с.

Понятие бинома Ньютона

Биномом Ньютона называют разложение вида:

Но, строго говоря, всю формулу нельзя назвать биномом, так как «бином» переводится как «двучлен». Кроме того, формула разложения была известна еще до Ньютона, Исаак Ньютон распространил это разложение на случай n<0 и n – дробного.

Цель изучения бинома Ньютона – упрощение вычислительных действий.

Компоненты формулы «бином Ньютона»:

ü правая часть формулы – разложение бинома;

ü – биномиальные коэффициенты, их можно получить с помощью треугольника Паскаля (пользуясь операцией сложения).

Практическая значимость треугольника Паскаля заключается в том, что с его помощью можно запросто восстанавливать по памяти не только известные формулы квадратов суммы и разности, но и формулы куба суммы (разности), четвертой степени и выше.

Например, четвертая строчка треугольника как раз наглядно демонстрирует биномиальные коэффициенты для бинома четвертой степени:

Альтернатива треугольнику Паскаля:

1) перемножить почленно четыре скобки:

2) вспомнить разложение бинома Ньютона четвертой степени:

ü общий член разложения бинома n-й степени: ,

где Т – член разложения; – порядковый номер члена разложения.

– 2 –

Свойства бинома и биномиальных коэффициентов

2..gif" width="64" height="25">-й член разложения:

Сумма показателей степеней a и b : https://pandia.ru/text/78/392/images/image013_7.gif" width="92" height="29 src="> (правило симметрии)

5. Сумма биномиальных коэффициентов всех членов разложения равна

Доказательство

Пусть , тогда:

o левая часть равна ;

o правая часть равна

6. Сумма биномиальных коэффициентов, стоящих на нечетных местах, равна сумме биномиальных коэффициентов, стоящих на четных местах и равна

7..gif" width="84 height=45" height="45">

– 3 –

Типовые задачи по теме «Бином Ньютона»

К типовым (стандартным) заданиям по данной теме можно отнести задачи на вычисление, среди которых:

1. Найти член (номер члена) разложения бинома

2. Вывести бином по известным членам разложения (по известной сумме)

3. Вычислить сумму биномиальных коэффициентов разложения бинома

и другие.

Продемонстрируем на примерах (их решение несложное, поэтому большинство предлагаем решить самостоятельно).

Пример 1

Разложить по формуле бином

Решение – самостоятельно

ОБРАТИТЕ ВНИМАНИЕ на знакочередование!

Пример 2

Найти шестой член разложения

Решение – самостоятельно

ОБРАТИТЕ ВНИМАНИЕ на знак!

Лучше начинать рассуждения со следующего: https://pandia.ru/text/78/392/images/image029_2.gif" width="95" height="29 src=">

Решение – самостоятельно

ОБРАТИТЕ ВНИМАНИЕ на то, что эти члены равноотстоят от конца, поэтому их биномиальные коэффициенты будут равны.

НЕ ЗАБУДЬТЕ в процессе решения проводить преобразования степеней с одинаковыми основаниями (то есть упрощать).

Пример 4

В биномиальном разложении найти член разложения, не содержащий х

Так как в разложении мы ищем член не содержащий х , то

– 4 –

Задачи, сводящиеся к использованию формулы бинома Ньютона

(нестандартные задачи по теме «Бином Ньютона»)

К нестандартным заданиям по данной теме можно отнести такие, в которых нет явного намека на необходимость использования бинома. Однако в итоге, решение сводится к нему и выглядит очень интересным.

Пример 5

Доказать, что для любых и для любых верно неравенство Бернулли :