Как найти длину средней линии параллелограмма. Средние линии четырёхугольника
Определение
Параллелограмм – это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.
Теорема (первый признак параллелограмма)
Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник – параллелограмм.
Доказательство
Пусть в четырехугольнике \(ABCD\) стороны \(AB\) и \(CD\) параллельны и \(AB = CD\) .
Проведём диагональ \(AC\) , разделяющую данный четырехугольник на два равных треугольника: \(ABC\) и \(CDA\) . Эти треугольники равны по двум сторонам и углу между ними (\(AC\) – общая сторона, \(AB = CD\) по условию, \(\angle 1 = \angle 2\) как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых \(AB\) и \(CD\) секущей \(AC\) ), поэтому \(\angle 3 = \angle 4\) . Но углы \(3\) и \(4\) накрест лежащие при пересечении прямых \(AD\) и \(BC\) секущей \(AC\) , следовательно, \(AD\parallel BC\) . Таким образом, в четырехугольнике \(ABCD\) противоположные стороны попарно параллельны, и, значит, четырехугольник \(ABCD\) – параллелограмм.
Теорема (второй признак параллелограмма)
Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник – параллелограмм.
Доказательство
Проведём диагональ \(AC\) данного четырехугольника \(ABCD\) , разделяющую его на треугольники \(ABC\) и \(CDA\) .
Эти треугольники равны по трем сторонам (\(AC\) – общая, \(AB = CD\) и \(BC = DA\) по условию), поэтому \(\angle 1 = \angle 2\) – накрест лежащие при \(AB\) и \(CD\) и секущей \(AC\) . Отсюда следует, что \(AB\parallel CD\) . Так как \(AB = CD\) и \(AB\parallel CD\) , то по первому признаку параллелограмма четырёхугольник \(ABCD\) – параллелограмм.
Теорема (третий признак параллелограмма)
Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник – параллелограмм.
Доказательство
Рассмотрим четырехугольник \(ABCD\) , в котором диагонали \(AC\) и \(BD\) пересекаются в точке \(O\) и делятся этой точкой пополам.
Треугольники \(AOB\) и \(COD\) равны по первому признаку равенства треугольников (\(AO = OC\) , \(BO = OD\) по условию, \(\angle AOB = \angle COD\) как вертикальные углы), поэтому \(AB = CD\) и \(\angle 1 = \angle 2\) . Из равенства углов \(1\) и \(2\) (накрест лежащие при \(AB\) и \(CD\) и секущей \(AC\) ) следует, что \(AB\parallel CD\) .
Итак, в четырехугольнике \(ABCD\) стороны \(AB\) и \(CD\) равны и параллельны, значит, по первому признаку параллелограмма четырехугольник \(ABCD\) – параллелограмм.
Свойства параллелограмма:
1. В параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны.
2. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.
Свойства биссектрисы параллелограмма:
1. Биссектриса параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.
2. Биссектрисы смежных углов параллелограмма пересекаются под прямым углом.
3. Отрезки биссектрис противоположных углов равны и параллельны.
Доказательство
1) Пусть \(ABCD\) – параллелограмм, \(AE\) – биссектриса угла \(BAD\) .
Углы \(1\) и \(2\) равны как накрест лежащие при параллельных прямых \(AD\) и \(BC\) и секущей \(AE\) . Углы \(1\) и \(3\) равны, так как \(AE\) – биссектриса. В итоге \(\angle 3 = \angle 1 = \angle 2\) , откуда следует, что треугольник \(ABE\) – равнобедренный.
2) Пусть \(ABCD\) – параллелограмм, \(AN\) и \(BM\) – биссектрисы углов \(BAD\) и \(ABC\) соответственно.
Так как сумма односторонних углов при параллельных прямых и секущей равна \(180^{\circ}\) , тогда \(\angle DAB + \angle ABC = 180^{\circ}\) .
Так как \(AN\) и \(BM\) – биссектрисы, то \(\angle BAN + \angle ABM = 0,5(\angle DAB + \angle ABC) = 0,5\cdot 180^\circ = 90^{\circ}\) , откуда \(\angle AOB = 180^\circ - (\angle BAN + \angle ABM) = 90^\circ\) .
3. Пусть \(AN\) и \(CM\) – биссектрисы углов параллелограмма \(ABCD\) .
Так как в параллелограмме противоположные углы равны, то \(\angle 2 = 0,5\cdot\angle BAD = 0,5\cdot\angle BCD = \angle 1\) . Кроме того, углы \(1\) и \(3\) равны как накрест лежащие при параллельных прямых \(AD\) и \(BC\) и секущей \(CM\) , тогда \(\angle 2 = \angle 3\) , откуда следует, что \(AN\parallel CM\) . Кроме того, \(AM\parallel CN\) , тогда \(ANCM\) – параллелограмм, следовательно, \(AN = CM\) .
Средние линии четырехугольников и их свойства Выполнил: Матвеев Дмитрий Учитель: Рычкова Татьяна Викторовна Лицей "Дубна" 9ИМ 2007 Средние линии и Параллелограмм Вариньона Другие свойства средней линии четырехугольника Краткий перечень всех теорем и свойств
Что такое параллелограмм Вариньона? Это параллелограмм, вершины которого являются серединами сторон четырехугольника Иначе: это параллелограмм, диагоналями которого являются средние линии четырехугольника
A B C D N M L K P Доказательство: Соединим точки K, L, M, N и проведем диагональ АС; В ∆ACD NM – средняя линия, значит NM AC и NM=1/2 AC; В ∆ABC KL – средняя линия, значит KL AC и KL=1/2 AC; NM=1/2 AC=KL, NM AC KL, значит четырехугольник KLMN ‑ параллелограмм. A L B M C D K P N Доказательство: Соединим точки K, L, M, N и проведем диагональ DB; В ∆CDB NM – средняя линия, значит NM DB и NM=1/2 DB; В ∆ADC KL – средняя линия, значит KL DB и KL=1/2 DB; NM=1/2 DB=KL, NM DB KL, значит четырехугольник KLMN ‑ параллелограмм. Докажем, что KLMN – параллелограмм Вариньона, при KM и NM – средних линиях ABCD.
А значит… Так как четырехугольник KLMN – параллелограмм Вариньона, то его диагонали в точке пересечения делятся пополам Средние линии любого четырехугольника делятся пополам
Следствия: 1. Если средние линии четырехугольника равны, то середины сторон четырехугольника (вершины параллелограмма Вариньона) лежат на одной окружности. Доказательство: Так как в параллелограмме Вариньона равные средние линии являются равными диагоналями, то этот параллелограмм – прямоугольник, а вокруг него всегда можно описать окружность, значит его вершины лежат на одной окружности.
Следствия: 2. Если средние линии четырехугольника перпендикулярны, то диагонали четырехугольника равны. Доказательство: Так как NL┴KM и NL с KM диагонали в параллелограмме KLMN , то KLMN – ромб. По этому KL = LM = MN = NK . Так как AC =2 KL и BD =2 NK , то AC = BD . A K B L C M D N P O A P K C D M N L B
Следствия: A K B L C M D N P O A P K C D M N L B 3. Если диагонали четырехугольника равны, то средние линии четырехугольника перпендикулярны. Доказательство: Так как AC =2 MN =2 KL , BD =2 NK =2 ML и AC = BD , то KL = LM = MN = NK . Значит KLMN – ромб, а в ромбе диагонали перпендикулярны, то есть NL┴KM.
Для примера: Решая такую задачу, пришлось бы сильно потрудится, не зная одно из свойств параллелограмма Вариньона:
Какова же площадь параллелограмма Вариньона? Доказательство для выпуклого четырехугольника: Рассмотрим ∆ABD и ∆ANK: а).
Четырёхугольник, у которого только две стороны параллельны называются трапецией .
Параллельные стороны трапеции называются её основаниями , а те стороны, которые не параллельны, называются боковыми сторонами . Если боковые стороны равны, то такая трапеция является равнобедренной. Расстояние между основаниями называется высотой трапеции.
Средняя Линия Трапеции
Средняя линия - это отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции. Средняя линия трапеции параллельна её основаниям.
Теорема:
Если прямая, пересекающая середину одной боковой стороны, параллельна основаниям трапеции, то она делит пополам вторую боковую сторону трапеции.
Теорема:
Длина средней линии равна среднему арифметическому длин её оснований
MN || AB || DCAM = MD; BN = NC
MN средняя линия, AB и CD - основания, AD и BC - боковые стороны
MN = (AB + DC)/2
Теорема:
Длина средней линии трапеции равна среднему арифметическому длин её оснований.
Основная задача : Доказать, что средняя линия трапеции делит пополам отрезок, концы которого лежат в середине оснований трапеции.
Средняя Линия Треугольника
Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, называется средней линией треугольника. Она параллельна третьей стороне и её длина равна половине длины третьей стороны.
Теорема
: Если прямая, пересекающая середину одной стороны треугольника, параллельна другой стороне данного треугольника, то она делит третью сторону пополам.
AM = MC and BN = NC
=>
Применение свойств средней линии треугольника и трапеции
Деление отрезка на определённое количество равных частей.
Задача: Разделить отрезок AB на 5 равных частей.
Решение:
Пусть p это случайный луч, у которого начало это точка А, и который не лежит на прямой AB. Мы последовательно откладываем 5 равных сегментов на p AA 1 = A 1 A 2 = A 2 A 3 = A 3 A 4 = A 4 A 5
Мы соединяем A 5 с B и проводим такие прямые через A 4 , A 3 , A 2 и A 1 , которые параллельны A 5 B. Они пересекают AB соответственно в точках B 4 , B 3 , B 2 и B 1 . Эти точки делят отрезок AB на 5 равных частей. Действительно, из трапеции BB 3 A 3 A 5 мы видим, что BB 4 = B 4 B 3 . Таким же образом, из трапеции B 4 B 2 A 2 A 4 получаем B 4 B 3 = B 3 B 2
В то время как из трапеции B 3 B 1 A 1 A 3 , B 3 B 2 = B 2 B 1 .
Тогда из B 2 AA 2 следует, что B 2 B 1 = B 1 A. В заключении получаем:
AB 1 = B 1 B 2 = B 2 B 3 = B 3 B 4 = B 4 B
Ясно, что для разделения отрезка AB на другое количество равных частей, нам нужно проецировать то же самое количество равных сегментов на луч p. И далее продолжать вышеописанным способом.
Средние линии геометрических фигур
научная работа
1. Свойства средних линий
1. Свойства треугольника:
· при проведении всех трёх средних линий образуются 4 равных треугольника, подобных исходному с коэффициентом 1/2.
· средняя линия параллельна основанию треугольника и равна его половине;
· средняя линия отсекает треугольник, который подобен данному, а его площадь равна одной четверти его площади.
2. Свойства четырёхугольника:
· если в выпуклом четырехугольнике средняя линия образует равные углы с диагоналями четырехугольника, то диагонали равны.
· длина средней линии четырехугольника меньше полусуммы двух других сторон или равна ей, если эти стороны параллельны, и только в этом случае.
· середины сторон произвольного четырёхугольника -- вершины параллелограмма. Его площадь равна половине площади четырехугольника, а его центр лежит на точке пересечения средних линий. Этот параллелограмм называется параллелограммом Вариньона;
· Точка пересечения средних линий четырехугольника является их общей серединой и делит пополам отрезок, соединяющий середины диагоналей. Кроме того, она является центроидом вершин четырехугольника.
3. Свойства трапеции:
· средняя линия параллельна основаниям трапеции и равна их полусумме;
· середины сторон равнобедренной трапеции являются вершинами ромба.
Биномиальные коэффициенты
Числа Cnk обладают рядом замечательных свойств. Эти свойства в конечном счёте выражают различные соотношения между подмножествами данного множества X. Их можно доказывать непосредственно, исходя из формулы (1)...
Биномиальные коэффициенты
1. Сумма коэффициентов разложения (a + b)n равна 2n. Для доказательства достаточно положить a = b = 1. Тогда в правой части разложения бинома мы будем иметь сумму биномиальных коэффициентов, а слева: (1 + 1)n = 2n. 2.Коэффициенты членов...
Ввиду важности и обширности материала, связанного с понятием уравнения, его изучение в современной методике математики организовано в содержательно-методическую линию уравнений и неравенств...
Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел
Пусть S - коммутативная мультипликативная несократимая полугруппа с 1 и без делителей единицы. Такие полугруппы называются целыми, или коническими. Элементы и из S называются взаимно простыми, если НОД(,)=1...
Так как предметом нашего изучения будет средняя величина, скажем вначале о том, как средние определяются в литературе. Сильное определение, включающее несколько условий, состоит в следующем . Определение...
Обобщение классических средних величин
Теперь мы готовы для квази-средних указать упомянутое выше аксиоматическое определение. Будем исходить от частных случаев - простейших средних...
Основные понятия математической статистики
При расчете средней арифметической для интервального вариационного ряда сначала определяют среднюю для каждого интервала, как полусумму верхней и нижней границ, а затем - среднюю всего ряда. Средние...
Простейшие способы обработки опытных данных
Применение вышеназванных способов для описания реальных процессов. При этом нельзя сделать однозначный вывод о том, какой способ наиболее точно описывает тот или иной процесс. Например...
Распределение Пуассона. Аксиомы простейшего потока событий
Теперь рассмотрим случай, когда обе совокупности подчиняются нормальному распределению, но проверка гипотез о равенстве двух генеральных дисперсий закончилась отвержением гипотезы равенства...
Регрессионный анализ корелляции субъективного ВАШ и лабораторных признаков активности реактивного артрита
Во многих случаях практики интерес представляет вопрос о том, в какой мере существенно влияние того или иного фактора на рассматриваемый признак. В данном случае фактором является вид инфекции вызвавший реактивный артрит, а признаками СОЭ, СРБ...
Случайные вектора
Ковариация случайных величин и определяется через их совместную плотность вероятности соотношением: . (57.1) Подынтегральная функция в (57.1) неотрицательна для таких, при которых, то есть при, или, . И наоборот, при, или...
Статистические расчеты содержания влаги
Численное интегрирование разными методами
Метод прямоугольников получается при замене подынтегральной функции на константу. В качестве константы можно взять значение функции в любой точке отрезка. Наиболее часто используются значения функции в середине отрезка и на его концах...
Численные методы
1 Чтобы уменьшить погрешность методов левых и правых прямоугольников был предложен метод средних, т.е. метод в котором высота прямоугольника вычисляется в середине отрезка h (Рис. 7). Обращаясь к рисунку легко увидеть...
Многоугольник - часть плоскости, ограниченная замкнутой ломаной линией. Углы у многоугольника обозначаются точками вершин ломаной. Вершины углов многоугольника и вершины многоугольника - это совпадающие точки.
Определение. Параллелограмм - это четырехугольник, у которого противолежащие стороны параллельны.
Свойства параллелограмма
1. Противолежащие стороны равны.
На рис. 11 AB
= CD
; BC
= AD
.
2. Противолежащие углы равны (два острых и два тупых угла).
На рис. 11 ∠A
= ∠C
; ∠B
= ∠D
.
3 Диагонали (отрезки прямой, соединяющие две противолежащие вершины) пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
На рис. 11 отрезки AO = OC ; BO = OD .
Определение. Трапеция - это четырехугольник, у которого две противолежащие стороны параллельны, а две другие - нет.
Параллельные стороны называются ее основаниями , а две другие стороны - боковыми сторонами .
Виды трапеций
1. Трапеция
, у которой боковые стороны не равны,
называется разносторонней
(рис. 12).
2. Трапеция, у которой боковые стороны равны, называется равнобокой (рис. 13).
3. Трапеция, у которой одна боковая сторона составляет прямой угол с основаниями, называется прямоугольной (рис. 14).
Отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции (рис. 15), называется средней линией трапеции (MN ). Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.
Трапецию можно назвать усеченным треугольником (рис. 17), поэтому и названия трапеций сходны с названиями треугольников (треугольники бывают разносторонние, равнобедренные, прямоугольные).
Площадь параллелограмма и трапеции
Правило. Площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту, проведенную к этой стороне.
