Нахождение координат точки пересечения прямой и плоскости. Пересечение прямой с плоскостью и пересечение двух плоскостей
Построение точки пересечения прямой с проецирующей плоскостью сводится к построению второй проекции точки на эпюре, так как одна проекция точки всегда лежит на следе проецирующей плоскости, потому что все, что находится в проецирующей плоскости, проецируется на один из следов плоскости. На рис. 224,а показано построение точки пересечения прямой EF с фронтально-проецирующей плоскостью треугольника АВС (перпендикулярной плоскости V) На плоскость V треугольник АВС проецируется в отрезок а"с" прямой линии, и точка k" будет также лежать на этой прямой и находиться в точке пересечения е"f" с а"с". Горизонтальную проекцию строят с помощью линии проекционной связи. Видимость прямой относительно плоскости треугольника ABC определяют по взаимному расположению проекций треугольника ABC и прямой EF на плоскости V. Направление взгляда на рис. 224,а указано стрелкой. Тот участок прямой, фронтальная проекция которого находится выше проекции треугольника, будет видимым. Левее точки k" проекция прямой находится над проекцией треугольника, следовательно, на плоскости H этот участок видимый.
На рис. 224, б прямая EF пересекает горизонтальную плоскость Р. Фронтальная проекция k" точки К - точки пересечения прямой EF с плоскостью Р - будет находиться в точке пересечения проекции е"f" со следом плоскости Рv, так как горизонтальная плоскость является фронтально-проецирующей плоскостью. Горизонтальную проекцию k точки K находят с помощью линии проекционной связи.
Построение линии пересечения двух плоскостей сводится к нахождению двух точек, общих для этих двух плоскостей. Для построения линии пересечения этого достаточно, так как линия пересечения - прямая, а прямая задается двумя точками. При пересечении проецирующей плоскости с плоскостью общего положения одна из проекций линии пересечения совпадает со следом плоскости, находящимся в той плоскости проекций, к которой перпендикулярна проецирующая плоскость. На рис. 225, а фронтальная проекция m"n" линии пересечения MN совпадает со следом Pv фронтально-проецирующей плоскости Р, а на рис. 225,б горизонтальная проекция kl совпадает со следом горизонтально-проецирующей плоскости R. Другие проекции линии пересечения строятся с помощью линий проекционной связи.
Построение точки пересечения прямой с плоскостью общего положения (рис. 226, а) выполняют с помощью вспомогательной проецирующей плоскости R, которую проводят через данную прямую EF. Строят линию пересечения 12 вспомогательной плоскости R с заданной плоскостью треугольника ABC, получают в плоскости R две прямые: EF - заданная прямая и 12 - построенная линия пересечения, которые пересекаются в точке К.
Нахождение проекций точки К показано на рис. 226,б. Построения выполняют в следующей последовательности.
Через прямую EF проводят вспомогательную горизонтально-проецирующую плоскость R. Ее след R H совпадает с горизонтальной проекцией ef прямой EF.
Строят фронтальную проекцию 1"2" линии пересечения 12 плоскости R с заданной плоскостью треугольника ABC с помощью линий проекционной связи, так как горизонтальная проекция линии пересечения известна. Она совпадает с горизонтальным следом R H плоскости R.
Определяют фронтальную проекцию k" искомой точки К, которая находится в пересечении фронтальной проекции данной прямой с проекцией 1"2" линии пересечения. Горизонтальная проекция точки строится с помощью линии проекционной связи.
Видимость прямой относительно плоскости треугольника ABC определяется способом конкурирующих точек. Для определения видимости прямой на фронтальной плоскости проекций (рис. 226,б) сравним координаты Y точек 3 и 4, фронтальные проекции которых совпадают. Координата Y точки 3, лежащей на прямой ВС, меньше координаты Y точки 4, лежащей на прямой EF. Следовательно, точка 4 находится ближе к наблюдателю (направление взгляда указано стрелкой) и проекция прямой изображается на плоскости V видимой. Прямая проходит перед треугольником. Левее точки К" прямая закрыта плоскостью треугольника ABC.
Видимость на горизонтальной плоскости проекций показывают, сравнив координаты Z точек 1 и 5. Так как Z 1 > Z 5 , точка 1 видимая. Следовательно, правее точки 1 (до точки К) прямая EF невидимая.
Для построения линии пересечения двух плоскостей общего положения применяют вспомогательные секущие плоскости. Это показано на рис. 227,а. Одна плоскость задана треугольником ABC, другая - параллельными прямыми EF и MN. Заданные плоскости (рис. 227, а) пересекают третьей вспомогательной плоскостью. Для простоты построений в качестве вспомогательных плоскостей берут горизонтальные или фронтальные плоскости. В данном случае вспомогательная плоскость R является горизонтальной плоскостью. Она пересекает заданные плоскости по прямым линиям 12 и 34, которые в пересечении дают точку К, принадлежащую всем трем плоскостям, а следовательно, и двум заданным, т. е. лежащую на линии пересечения заданных плоскостей. Вторую точку находят с помощью второй вспомогательной плоскости Q. Найденные две точки К и L определяют линию пересечения двух плоскостей.
На рис. 227,б вспомогательная плоскость R задана фронтальным следом. Фронтальные проекции линий пересечения 1"2" и 3"4 плоскости R с заданными плоскостями совпадают с фронтальным следом Rv плоскости R, так как плоскость R перпендикулярна плоскости V, и все, что в ней находится (в том числе и линии пересечения) проецируется на ее фронтальный след Rv. Горизонтальные проекции этих линий построены с помощью линий проекционной связи, проведенных от фронтальных проекций точек 1", 2", 3", 4" до пересечения с горизонтальными проекциями соответствующих прямых в точках 1, 2, 3, 4. Построенные горизонтальные проекции линий пересечения продлевают до пересечения друг с другом в точке k, которая является горизонтальной проекцией точки К, принадлежащей линии пересечения двух плоскостей. Фронтальная проекция этой точки находится на следе Rv.
Для построения второй точки, принадлежащей линии пересечения, проводят вторую вспомогательную плоскость Q. Для удобства построений плоскость Q проведена через точку С параллельно плоскости R. Тогда для построения горизонтальных проекций линий пересечения плоскости Q с плоскостью треугольника АВС и с плоскостью, заданной параллельными прямыми, достаточно найти две точки: с и 5 и провести через них прямые, параллельные ранее построенным проекциям линий пересечения 12 и 34, так как плоскость Q ║ R. Продолжив эти прямые до пересечения друг с другом, получают горизонтальную проекцию l точки L, принадлежащей линии пересечения заданных плоскостей. Фронтальная проекция l" точки L лежит на следе Q v и строится с помощью линии проекционной связи. Соединив одноименные проекции точек К и L, получают проекции искомой линии пересечения.
Если в одной из пересекающихся плоскостей взять прямую и построить точку пересечения этой прямой с другой плоскостью, то эта точка будет принадлежать линии пересечения этих плоскостей, так как она принадлежит обеим заданным плоскостям. Построим таким же образом вторую точку, можно найти линию пересечения двух плоскостей, так как для построения прямой достаточно двух точек. На рис. 228 показано такое построение линии пересечения двух плоскостей, заданных треугольниками.
Для данного построения берут одну из сторон треугольника и строят точку пересечения этой стороны с плоскостью другого треугольника. Если это не удается, берут другую сторону этого же треугольника, затем третью. Если и это не привело к нахождению искомой точки, строят точки пересечения сторон второго треугольника с первым.
На рис. 228 построена точка пересечения прямой EF с плоскостью треугольника ABC. Для этого через прямую EF проводят вспомогательную горизонтально-проецирующую плоскость S и строят фронтальную проекцию 1"2" линии пересечения этой плоскости с плоскостью треугольника АВС. Фронтальная проекция 1"2" линии пересечения, пересекаясь с фронтальной проекцией e"f" прямой EF, дает фронтальную проекцию m" точки пересечения М. Горизонтальную проекцию m точки М находят с помощью линии проекционной связи. Вторая точка, принадлежащая линии пересечения плоскостей заданных треугольников, - точка N - точка пересечения прямой ВС с плоскостью треугольника DEF. Через прямую ВС проводят фронтально-проецирующую плоскость R, и на плоскости H пересечение горизонтальных проекций прямой ВС и линии пересечения 34 дает точку n - горизонтальную проекцию искомой точки. Фронтальная проекция построена с помощью линии проекционной связи. Видимые участки заданных треугольников определяют с помощью конкурирующих точек для каждой плоскости проекций отдельно. Для этого выбирают точку на одной из плоскостей проекций, которая является проекцией двух конкурирующих точек. По вторым проекциям этих точек определяют видимость, сравнивая их координаты.
Например, точки 5 и 6 - точки пересечения горизонтальных проекций bc и de. На фронтальной плоскости проекций проекции этих точек не совпадают. Сравнив их координаты Z, выясняют, что точка 5 закрывает точку 6, так как координата Z 5 , больше координаты Z 6 . Следовательно, левее точки 5 сторона DE невидимая.
Видимость на фронтальной плоскости проекций определяю с помощью конкурирующих точек 4 и 7, принадлежащих отрезкам DE и ВС, сравнивая их координаты Y 4 и Y 7 Так как Y 4 >Y 7 , сторона DE на плоскости V видимая.
Следует отметить, что при построении точки пересечения прямой с плоскостью треугольника точка пересечения может оказаться за пределами плоскости треугольника. В этом случае, соединив полученные точки, принадлежащие линии пересечения, обводят только тот ее участок, который принадлежит обоим треугольникам.
ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ
1. Какие координаты точки определяют ее положение в плоскости V?
2. Что определяют координата Y и координата Z точки?
3. Как располагаются на эпюре проекции отрезка, перпендикулярного плоскости проекций Н? Перпендикулярного плоскости проекций V?
4. Как располагаются на эпюре проекции горизонтали, фронтали?
5. Сформулируйте основное положение о принадлежности точки прямой.
6. Как отличить на эпюре пересекающиеся прямые от скрещивающихся?
7. Какие точки называют конкурирующими?
8. Как определить, какая из двух точек видимая, если их проекции на фронтальной плоскости проекций совпали?
9. Сформулируйте основное положение о параллельности прямой и плоскости.
10. Какой порядок построения точки пересечения прямой с плоскостью общего положения?
11. Какой порядок построении линии пересечения двух плоскостей общего положения?
В этой статье мы ответим на вопрос: «Как найти координаты точки пересечения прямой и плоскости, если заданы уравнения, определяющие прямую и плоскость»? Начнем с понятия точки пересечения прямой и плоскости. Далее покажем два способа нахождения координат точки пересечения прямой и плоскости. Для закрепления материала рассмотрим подробные решения примеров.
Навигация по странице.
Точка пересечения прямой и плоскости – определение.
Возможны три варианта взаимного расположения прямой и плоскости в пространстве:
- прямая лежит в плоскости;
- прямая параллельна плоскости;
- прямая пересекает плоскость.
Нас интересует третий случай. Напомним, что означает фраза: «прямая и плоскость пересекаются». Говорят, что прямая и плоскость пересекаются, если они имеют только одну общую точку. Это общую точку пересекающихся прямой и плоскости называют точкой пересечения прямой и плоскости .
Приведем графическую иллюстрацию.
Нахождение координат точки пересечения прямой и плоскости.
Введем в трехмерном пространстве Oxyz . Теперь каждой прямой соответствуют уравнения прямой некоторого вида (им посвящена статья виды уравнений прямой в пространстве), каждой плоскости отвечает уравнение плоскости (можете ознакомиться со статьей виды уравнения плоскости), а каждой точке соответствует упорядоченная тройка чисел – координаты точки. Дальнейшее изложение подразумевает знание всех видов уравнений прямой в пространстве и всех видов уравнения плоскости, а также умение переходить от одного вида уравнений к другому виду. Но не пугайтесь, по тексту мы будем приводить ссылки на необходимую теорию.
Давайте сначала детально разберем задачу, решение которой мы можем получить на основании определения точки пересечения прямой и плоскости. Эта задача нас подготовит к нахождению координат точки пересечения прямой и плоскости.
Пример.
Является ли точка М 0
с координатами точкой пересечения прямой 
и плоскости 
.
Решение.
Нам известно, что если точка принадлежит некоторой прямой, то координаты точки удовлетворяют уравнениям прямой. Аналогично, если точка лежит в некоторой плоскости, то координаты точки удовлетворяют уравнению этой плоскости. По определению точка пересечения прямой и плоскости является общей точкой прямой и плоскости, тогда координаты точки пересечения удовлетворяют как уравнениям прямой, так и уравнению плоскости.
Таким образом, для решения поставленной задачи нам следует подставить координаты точки М 0 в заданные уравнения прямой и в уравнение плоскости. Если при этом все уравнения обратятся в верные равенства, то точка М 0 является точкой пересечения заданных прямой и плоскости, в противном случае точка М 0 не является точкой пересечения прямой и плоскости.
Подставляем координаты точки 
:
Все уравнения обратились в верные равенства, следовательно, точка М 0
принадлежит одновременно и прямой и плоскости , то есть, М 0
является точкой пересечения указанных прямой и плоскости.
Ответ:
Да, точка - это точка пересечения прямой и плоскости .
Итак, координаты точки пересечения прямой и плоскости удовлетворяют как уравнениям прямой, так и уравнению плоскости. Этим фактом и будем пользоваться при нахождении координат точки пересечения прямой и плоскости.
Первый способ нахождения координат точки пересечения прямой и плоскости.
Пусть в прямоугольной системе координат Oxyz заданы прямая a и плоскость , причем известно, что прямая a и плоскость пересекаются в точке М 0 .
Искомые координаты точки пересечения прямой a
и плоскости , как мы уже говорили, удовлетворяют и уравнениям прямой a
, и уравнению плоскости , следовательно, они могут быть найдены как решение системы линейных уравнений вида 
. Это действительно так, так как решение системы линейных уравнений обращает каждое уравнение системы в тождество.
Отметим, что при такой постановке задачи мы фактически находим координаты точки пересечения трех плоскостей, заданных уравнениями , и .
Решим пример для закрепления материала.
Пример.
Прямая, заданная уравнениями двух пересекающихся плоскостей как 
, пересекает плоскость 
. Найдите координаты точки пересечения прямой и плоскости.
Решение.
Требуемые координаты точки пересечения прямой и плоскости мы получим, решив систему уравнений вида 
. При этом будем опираться на информацию статьи .
Для начала перепишем систему уравнений в виде 
и вычислим определитель основной матрицы системы (при необходимости обращайтесь к статье ):
Определитель основной матрицы системы отличен от нуля, поэтому система уравнений имеет единственное решение. Для его отыскания можно воспользоваться любым методом. Мы используем :
Так мы получили координаты точки пересечения прямой и плоскости (-2, 1, 1) .
Ответ:
(-2, 1, 1) .
Следует отметить, что система уравнений имеет единственное решение, если прямая a
, определенная уравнениями 
, и плоскость , заданная уравнением , пересекаются. Если прямая a
лежит в плоскости , то система имеет бесконечное множество решений. Если же прямая a
параллельна плоскости , то система уравнений решений не имеет.
Пример.
Найдите точку пересечения прямой 
и плоскости 
, если это возможно.
Решение.
Оговорка «если это возможно» означает, что прямая и плоскость могут не пересекаться.
. Если эта система уравнений имеет единственное решение, то оно даст нам искомые координаты точки пересечения прямой и плоскости. Если эта система не имеет решений или имеет бесконечно много решений, то о нахождении координат точки пересечения не может быть и речи, так как прямая либо параллельна плоскости, либо лежит в этой плоскости.
Основная матрица системы имеет вид 
, а расширенная матрица - 
. Определим А
и ранг матрицы Т
: 
. То есть, ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрицы системы и равен двум. Следовательно, на основании теоремы Кронекера-Капелли можно утверждать, что система уравнений имеет бесконечное множество решений.
Таким образом, прямая лежит в плоскости , и мы не можем говорить о нахождении координат точки пересечения прямой и плоскости.
Ответ:
Невозможно найти координаты точки пересечения прямой и плоскости.
Пример.
Если прямая 
пересекается с плоскостью , то найдите координаты точки их пересечения.
Решение.
Составим систему из заданных уравнений 
. Для нахождения ее решения используем . Метод Гаусса позволит нам не только определить, имеет ли записанная система уравнений одно решение, бесконечное множество решений или не имеет ни одного решения, но и найти решения в случае их наличия.
Последнее уравнение системы после прямого хода метода Гаусса стало неверным равенством, следовательно, система уравнений не имеет решений. Отсюда заключаем, что прямая и плоскость не имеют общих точек. Таким образом, мы не можем говорить о нахождении координат их точки пересечения.
Ответ:
Прямая параллельна плоскости и они не имеют точки пересечения.
Заметим, что если прямой a соответствуют параметрические уравнения прямой в пространстве или канонические уравнения прямой в пространстве , то можно получить уравнения двух пересекающихся плоскостей, определяющих прямую a , и после этого находить координаты точки пересечения прямой a и плоскости разобранным способом. Однако проще использовать другой метод, к описанию которого мы и переходим.
Для определения точки пересечения прямой с плоскостью пользуемся следующим алгоритмом: прямую заключаем во вспомогательную плоскость, находим линию пересечения этих двух плоскостей (заданной и вспомогательной), и линия пересечения плоскостей в пересечении с заданной прямой даст искомую точку. Последним этапом в построении является определение видимости прямой при помощи конкурирующих точек.
Пример1. Плоскость задана следами (рис.70)
1. Для построения точки пересечения прямой l с плоскостью необходимо через прямую провести вспомогательную плоскость частного положения, например, фронтально-проецирующую β π 2 , l "" f оβ , f оβ – собирающий след, h оβ х (рис.71).
2. Строим линию пересечения MN заданной и вспомогательной плоскости М"=h оα ∩ h оβ , N""= f оβ ∩ f оα (рис.72).
3. Определяем точку пересечения К заданной прямой l с линией пересечения MN. К"=М"N"∩l ", К"" – в пересечении линии проекционной связи, проведенной из К" и l "" .
4. Видимость прямой l в случае задания плоскости следами не определяем.
Пример 2. Пересечение прямой с проецирующей плоскостью (рис.73).
При построении точки пересечения прямой с проецирующей плоскостью задача упрощается, т.к. одна из проекций искомой точки будет лежать на собирающем следе. На рис.73 дана горизонтально-проецирующая плоскость. Искомая точка К будет одновременно принадлежать плоскости α и прямой а .
Пример 3. Плоскость задана плоской фигурой (рис.74).
Через прямую l проводим вспомогательную плоскость частного положения, например, горизонтально-проецирующую β π 1 .l " h оβ , h оβ – собирающий след, f оβ х (рис.75).
2. Строим линию пересечения MN заданной и вспомогательной плоскостей. М"=А"С"∩ hоβ М"" А""С"" и N"=В"С"∩ hоβ N"" В""С"" (рис. 76).
3. Строим точку пересечения К заданной прямой l с линией пересечения МN. К""= М""N""∩l"". К" находится в пересечении линии проекционной связи, проведенной из К"" и М"N" .
4. Определяем видимость прямой относительно ΔАВС с помощью конкурирующих точек.
Определяем видимость относительно плоскости π 2 .Отметим фронтальную проекцию 1"" совпадающую с 2"" . Горизонтальную проекцию 2" отметим на А"С" , а 1" на l" . Горизонтальная проекция 1" лежит перед 2" 2"" не видима относительно π 2 . Точка 1 лежит на прямой l, она видима на π 2 , следовательно, фронтальная проекция l" от 1"2"" до К"" видима, в точке К"" видимость меняется на противоположную.
Определим видимость прямой l относительно плоскости π 1 . Отметим горизонтальную проекцию 3" , совпадающую с горизонтальной проекцией М". М"" А""С"" уже отмечена, 3"" l" ". Фронтальная проекция М"" лежит выше фронтальной проекции 3"" , следовательно, точка М видима относительно π 1 . Точка 3 лежит на l , следовательно, от М"≡3" до К" , горизонтальная проекция l" невидима. В горизонтальной проекции К" видимость меняется на противоположную. За границами ΔАВС прямая l везде видима.
Рассмотрим случаи: 1) когда проецирующую поверхность пересекает проецирующая плоскость; 2) когда проецирующую поверхность пересекает плоскость общего положения. В обоих случаях для построения сечения на эпюре используем алгоритм проецирующей фигуры (алгоритм № 1). В первом случае на чертеже уже известны...(Начертательная геометрия)
Построение линии пересечения двух плоскостей по точкам пересечения прямых линий с плоскостью
На рисунке 2.60 дано построение линии пересечения двух треугольников АВС и DEF с указанием видимых и невидимых участков этих треугольников. Рисунок 2.60 Прямая К,К2 построена по точкам пересечения сторон АС и ВС треугольника АВС с плоскостью треугольника DEF. ...(Инженерная графика)
Частные случаи
При умеренных давлениях (Ре « 1000 атм.) жидкую фазу (например, воду) можно полагать несжимаемой (Ре = const). В этом случае система уравнений для этой несжимаемой среды может быть еще более упрощена и приведена к следующему виду: где, а гидростатическими силами (членом уе7) для...(Основы кавитационной обработки многокомпонентных сред)
Частные случаи равновесия в непрерывных системах Барометрическое уравнение
Барометрическое уравнение устанавливает зависимость давления газа по высоте. Существуют восходящие еще к Лапласу многочисленные методы вывода этого уравнения. В данном случае воспользуемся тем, что газ, находящийся в поле силы тяжести, является непрерывной системой, содержащей один компонент - газ с...(Термодинамика в современной химии)
ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ ВЗАИМНОЙ ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ И ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ. ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ ВЗАИМНОЙ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ
Если плоскость является проецирующей, то любая одноименно проецирующая прямая параллельна этой плоскости, потому что в плоскости всегда можно найти одноименно проецирующую прямую. Так, на рис. 67 изображены плоскости: Т 1Щ, ФJL Ш, Г1 Пз. Этим плоскостям будут параллельны прямые: а || Т (а 1 Пг);...(Начертательная геометрия)
ОБЩИЕ СЛУЧАИ. СПОСОБ ПОСРЕДНИКОВ
Для нахождения точек пересечения прямой линии с поверхностью Ф способом посредников желательно прямую заключать в такую плоскость- посредник Т, которая пересекает заданную поверхность Ф по точной линии - прямой или окружности. Обзор и классификация различных видов таких плоскостей даны ранее (см....(Начертательная геометрия)
СПОСОБ ПОСРЕДНИКОВ
Если заданы произвольно обе плоскости общего положения, то задачу можно решить способом посредников в соответствии с алгоритмом № 2. В качестве посредниковвыбирают две плоскости Т и Т1 - проецирующие или уровня (рис. 254). В случае пересечения двух плоскостей алгоритм № 2 запишем так: 1. Выбор Т и Т1....(Начертательная геометрия)
Здравствуйте друзья! Сегодня разбираем тему из начертательной геометрии – пересечение прямой линии с плоскостью и определение видимости прямой .
Задание берем из сборника Боголюбова, 1989 год, стр. 63, вар. 1. Нам требуется по заданным координатам построить комплексный чертеж треугольника ABC и прямой MN. Найти точку встречи (пересечения) прямой с непрозрачной плоскостью ABC.Определить видимые участки прямой.
Пересечение прямой линии с плоскостью
1. По координатам точек A, B и C строим комплексный чертеж треугольника и прямой NM. Начинаем чертить с горизонтальной проекции. Координаты точек проекции находим при помощи вспомогательных прямых.
2. Получаем вот такой комплексный чертеж.
3. Для определения координат точки пересечения прямой и плоскости выполним следующее.
a) Через прямую NM проводим вспомогательную плоскость Р, т.е. на фронтальной проекции проводим след плоскости Pv, на горизонтальную плоскость опускаем перпендикуляр Рн – горизонтальный след плоскости Р.
b) Находим фронтальную проекцию линии пересечения следа плоскости Р с треугольником АВС. Это отрезок d’e’. Горизонтальную проекцию находим по линиям связи до пересечения со сторонами ab (т. d) и ac (т. e) треугольника. Точки d и e соединяем.
c) Вместе пересечения de и nm будет находиться горизонтальная проекция искомой точки пересечения прямой линии с плоскостью k.
d) Проводим линию связи из k до пересечения с d’e’, получаем фронтальную проекцию точки k’.
e) по линиям связи находим профильную проекцию точки k’’.
Координаты точки пересечения прямой и плоскости К найдены. Эта точка также называется точкой встречи прямой и плоскости.
Определение видимости прямой
Для определения видимости прямой воспользуемся методом конкурирующих точек.
Применительно к нашему чертежу конкурирующими будут точки:
— точки: d’ принадлежащая a’b’ и e’ принадлежащая n’m’ (фронтально конкурирующие),
— точки: g принадлежащая bc и h принадлежащая nm (горизонтально конкурирующие),
— точки: l’’ принадлежащая b’’c’’ и p’’ принадлежащая n’’m’’ (профильно конкурирующие).
Из двух конкурирующих точек видимой будет та, высота которой будет больше. Граница видимости ограничена точкой К.
Для пары точек d’ и e’ видимость определяем так: опускаем перпендикуляр до пересечения с ab и nm на горизонтальной проекции, находим точки d и f. Видим, что координата по y для точки f больше, чем у d → точка f видима → видима прямая nm на участке f’k’, а на участке k’m’ невидима.
Аналогично рассуждаем и для пары точек g и h: на фронтальной проекции координата по z у точки h’ больше, чем у g’ → точка h’ видима, g’ – нет → прямая nm на отрезке hk видима, а на участке kn невидима.
И для пары точек l’’p’’: на фронтальной проекции координата по x больше у точки p’, а значит она закрывает собой точку l’’ на профильной проекции → р’’ видима, l’’ нет → отрезок прямой n’’k’’ видим, k’’m’’ невидим.
