Неравенства с одной переменной примеры. Неравенства с переменными, их частные и общее решение
С одной переменной: что такое равносильные неравенства; какие преобразования неравенств являются равносильными, а какие - нет. Эти вопросы мы обсуждали в курсе алгебры, начиная с 8-го класса, да и в настоящем учебнике о них уже шла речь, например, при решении показательных и логарифмических неравенств. Мы снова возвращаемся к этим вопросам потому, что завершая изучение школьного курса алгебры, целесообразно как бы заново переосмыслить общие идеи и методы.
1. Равносильность неравенств
Напомним, что решением неравенства а(х) > п(х) называют всякое значение переменной х, которое обращает заданное неравенство с переменной в верное числовое неравенство. Иногда используют термин частное решение. Множество всех частных решений неравенства называют общим решением, но чаще употребляют термин решение. Таким образом, термин решение используют в трех смыслах: и как общее решение, и как частное решение, и как процесс, но обычно по смыслу бывает ясно, о чем идет речь.
Определение 1. Два неравенства с одной переменной f(x)>g(x)и p(х)> h(x) называют равносильными, если их решения (т.е. множества частных решений) совпадают.
Вы, конечно, понимаете, что использование в определении знака > непринципиально. Можно и в этом определении, и во всех утверждениях, имеющихся в данном параграфе, использовать любой другой знак неравенства, как строгого, так и нестрогого.
Определение 2. Если решение неравенства
содержится в решении неравенства
то неравенство (2) называют следствием неравенства (1)
Например, неравенство х 2 >9 является следствием неравенства 2х>6. В самом деле, преобразовав первое неравенство к виду х 2 -9 >0и далее к виду (х-3)(х+3) >0 и применив метод интервалов (рис. 245), получаем, что решением неравенства служит объединение двух открытых лучей: Решение второго неравенства 2х>6 имеет вид х>3, т.е. представляет собой открытый луч Решение второго неравенства является частью решения первого неравенства, а потому первое неравенство - следствие второго.
Любопытно, что ситуация изменится радикальным образом, если в обоих неравенствах изменить знак неравенства. Неравенство 2х < 6 будет следствием неравенства x 2 < 9. В самом деле, решением первого неравенства служит открытый луч . Преобразовав второе неравенство к виду х r - 9 <0 и далее к виду (х-3)(х+3) <06 применив метод интервалов (см. рис. 245), получаем, что решением неравенства служит интервал (-3, 3). Решение второго неравенства является частью решения первого неравенства, а потому первое неравенство - следствие второго.
Предложения 2х+7>10-х, х 2 +7х<2, (х+2)(2х-3)> 0 называют неравенствами с одной переменной.
В общем виде это понятие определяют так:
Определение .Пусть f(х) и q(х) - два выражения с переменной х и областью определения X. Тогда неравенство вида f(х) < q(х) или f(х) > q(х) называется неравенством с одной переменной. Множество Х называется областью его определения.
Значение переменной х из множества X, при котором неравенство обращается в истинное числовое неравенство, называется его решением.Решить неравенство - это значит найти множество его решений.
Так, решением неравенства 2х +7>10-х , х Î R является число х=5, так как 2×5+7>10-5- истинное числовое неравенство. А множество его решений - это промежуток (1, ¥), который находят, выполняя преобразование неравенства: 2х+7>10-х Þ 3х> Þ х>1.
В основе решения неравенств с одной переменной лежит понятие равносильности.
Определение. Два неравенства называются равносильными, если их множества решений равны.
Например , неравенства 2х+7>10 и 2х>3 равносильны, так как их множества решений равны и представляют собой промежуток
Теоремы о равносильности неравенств и следствия из них аналогичны соответствующим теоремам о равносильности уравнений. При их доказательстве используется свойства истинных числовых неравенств.
Теорема 3 . Пусть неравенство f(х) > q(х) задано на множестве Х и h(х) - выражение, определенное на том же множестве. Тогда неравенства f(х) > q(х) и f(х)+ h(х) > q(х)+ h(х) равносильны на множестве X.
Из этой теоремы вытекают следствия, которые часто используются при решении неравенств:
1) Если к обеим частям неравенства f(х) > q(х) прибавить одно и то же число d, то получим неравенство f(х)+ d > q(х)+ d, равносильное исходному.
2) Если какое-либо слагаемое (числовое выражение или выражение с переменной) перенести из одной части неравенства в другую, поменяв знак слагаемого на противоположный, то получим неравенство, равносильное данному.
Теорема 4. Пусть неравенство f(х) > q(х) задано на множестве Х и h(х) - выражение, определенное на том же множестве, и для всех х из множества Х выражение h(х) принимает положительные значения. Тогда неравенства f(х)× h(х) > q(х)× h(х) равносильны на множестве X.
Из этой теоремы вытекает следствие: если обе части неравенства f(х) > q(х)умножить на одно и то же положительное число d, то получим неравенство f(х)× d > q(х)× d , равносильное данному.
Теорема 5 . Пусть неравенство f(х) > q(х) задано на множестве Х и h(х) - выражение, определенное на том же множестве, и для всех х их множества Х выражение h(х) принимает отрицательные значения. Тогда неравенства f(х) > q(х) b f(х)× h(х) < q(х)× h(х) равносильны на множестве X.
Из этой теоремы вытекает следствие: если обе части неравенства f(х) > q(х) умножить на одно и то же отрицательное число d и знак неравенства поменять на противоположный, то получим неравенство f(х)× d < q(х) × d, равносильное данному.
Решим неравенство 5х - 5 < 2х - 16,х Î R ,и обоснуем все преобразования, которые мы будем выполнять в процессе решения.
Как решать линейные неравенства с одной переменной вида ax+b>cx+d?
Для этого используем всего два правила.
1) Слагаемые можно переносить из одной части неравенства в другую с противоположным знаком. Знак неравенства при этом не меняется.
2) Обе части неравенства можно (или другой переменной). При делении на положительное число знак неравенства не меняется. При делении на отрицательное число знак неравенства изменяется на противоположный.
В общем виде решение линейного неравенства с одной переменной
Cx + d\]" title="Rendered by QuickLaTeX.com">
можно изобразить так:
1) Неизвестные переносим в одну сторону, известные — в другую с противоположными знаками:
Title="Rendered by QuickLaTeX.com">
Title="Rendered by QuickLaTeX.com">
2) Если число перед иксом не равно нулю (a-c≠0), обе части неравенства делим на a-c.
Если a-c>0, знак неравенства не изменяется:
Title="Rendered by QuickLaTeX.com">
Title="Rendered by QuickLaTeX.com">
Если a-c<0, знак неравенства изменяется на противоположный:
Title="Rendered by QuickLaTeX.com">
Если a-c=0, то это — частный случай. Частные случаи решения линейных неравенств рассмотрим отдельно.
Title="Rendered by QuickLaTeX.com">
Это — линейное неравенство. Переносим неизвестные в одну сторону, известные — в другую с противоположными знаками:
Title="Rendered by QuickLaTeX.com">
Title="Rendered by QuickLaTeX.com">
Обе части неравенства делим на число, стоящее перед иксом. Так как -2<0, знак неравенства изменяется на противоположный:
Title="Rendered by QuickLaTeX.com">
Так как , 10 на числовой прямой отмечаем выколотой точкой. , на минус бесконечность.
Так как неравенство строгое и точка выколотая, 10 записываем в ответ с круглой скобкой.
Это — линейное неравенство. Неизвестные — в одну сторону, известные — в другую с противоположными знаками:
Обе части неравенства делим на число, стоящее перед иксом. Так как 10>
Title="Rendered by QuickLaTeX.com">
Так как неравенство нестрогое, -2,3 на числовой прямой отмечаем закрашенной точкой. Штриховка от -2,3 идёт вправо, на плюс бесконечность.
Так как неравенство строгое и точка закрашенная, -2,3 в ответ записываем с квадратной скобкой.
Это — линейное неравенство. Неизвестные — в одну сторону, известные — в другую с противоположным знаком.
Обе части неравенства делим на число, стоящее перед иксом. Поскольку 3>0, знак неравенства при этом не изменяется:
Title="Rendered by QuickLaTeX.com">
Так как неравенство строгое, x=2/3 на числовой прямой изображаем выколотой точкой.
Так как неравенство строгое и точка выколотая, в ответ 2/3 записываем с круглой скобкой.
1. Понятие неравенства с одной переменной
2. Равносильные неравенства. Теоремы о равносильности неравенств
3. Решение неравенств с одной переменной
4. Графическое решение неравенств с одной переменной
5. Неравенства, содержащие переменную под знаком модуля
6. Основные выводы
Неравенства с одной переменной
Предложения 2х + 7 > 10-х, х 2 +7х < 2,(х + 2)(2х-3)> 0 называют неравенствами с одной переменной.
В общем виде это понятие определяют так:
Определение. Пусть f(х) и g(х) - два выражения с переменной х и областью определения X. Тогда неравенство вида f(х) > g(х) или f(х) < g(х) называется неравенством с одной переменной. Множество X называется областью его определения.
Значение переменной x из множества X, при котором неравенство обращается в истинное числовое неравенство, называется его решением. Решить неравенство - это значит найти множество его решений.
Так, решением неравенства 2 x + 7 > 10 -х, х ? R является число x = 5, так как 2·5 + 7 > 10 - 5 - истинное числовое неравенство. А множество его решений - это промежуток (1, ∞), который находят, выполняя преобразование неравенства: 2 x + 7 > 10- x => 3 x >3 => x >1.
Равносильные неравенства. Теоремы о равносильности неравенств
В основе решения неравенств с одной переменной лежит понятие равносильности.
Определение.Два неравенства называются равносильными, если их множества решений равны.
Например, неравенства 2 x + 7 > 10 и 2 x > 3 равносильны, так как их множества решений равны и представляют собой промежуток (2/3, ∞).
Теоремы о равносильности неравенств и следствия из них аналогичны соответствующим теоремам о равносильности уравнений. При их доказательстве используются свойства истинных числовых неравенств.
Теорема 3. Пусть неравенство f(х) > g(х) задано на множестве X и h (x ) - выражение, определенное на том же множестве. Тогда неравенства f(х) > g(х) и f(х)+ h(x) > g(х) + h(x) равносильны на множестве X.
Из этой теоремы вытекают следствия, которые часто используются при решении неравенств:
1) Если к обеим частям неравенства f(х) > g(х) прибавить одно и то же число d, то получим неравенство f(х) + d > g(х)+ d, равносильное исходному.
2) Если какое-либо слагаемое (числовое выражение или выражение с переменной) перенести из одной части неравенства в другую, поменяв знак слагаемого на противоположный, то получим неравенство, равносильное данному.
Теорема 4. Пусть неравенство f(х) > g(х) задано на множестве X и h (х х из множества X выражение h(х) принимает положительные значения. Тогда неравенства f(х) > g(х) и f(х)· h(x) > g(х) · h(x) равносильны на множестве X.
f(х) > g(х) умножить на одно и то же положительное число d, то получим неравенство f(х)·d > g(х) ·d, равносильное данному.
Теорема 5. Пусть неравенство f(х) > g(х) задано на множестве X и h (х ) - выражение, определенное на том же множестве, и для всех х их множества X выражение h (х ) принимает отрицательные значения. Тогда неравенства f(х) > g(х) и f(х)· h(x) > g(х)· h(x) равносильны на множестве X .
Из этой теоремы вытекает следствие: если обе части неравенства f(х) > g(х) умножить на одно и то же отрицательное число d и знак неравенства поменять на противоположный, то получим неравенство f(х)·d > g(х) ·d, равносильное данному.
Решение неравенств с одной переменной
Решим неравенство 5х - 5 < 2х - 16, х ? R , и обоснуем все преобразования, которые мы будем выполнять в процессе решения.
Решением неравенства х < 7 является промежуток (-∞, 7) и, следовательно, множеством решений неравенства 5х - 5 < 2х + 16 является промежуток (-∞, 7).
Упражнения
1. Установите, какие из следующих записей являются неравенствами с одной переменной:
а) -12 - 7х < 3x + 8; г) 12х + 3(х - 2);
б) 15(x + 2)>4; д) 17-12·8;
в) 17-(13 + 8) < 14-9; е) 2х 2 + 3x -4> 0.
2. Является ли число 3 решением неравенства 6(2х + 7) < 15(х + 2), х ? R ? А число 4,25?
3. Равносильны ли на множестве действительных чисел следующие пары неравенств:
а) -17х < -51 и х > 3;
б) (3x -1)/4 >0 и 3х -1>0;
в) 6-5x >-4 и х <2?
4. Какие из следующих высказываний истинны:
а) -7 х < -28 => x >4;
б) x < 6 => x < 5;
в) х < 6 => х < 20?
5. Решите неравенство 3(x - 2) - 4(х + 1) < 2(х - 3) - 2 и обоснуйте все преобразования, которые будете при этом выполнять.
6. Докажите, что решением неравенства 2(х + 1) + 5 > 3 - (1 - 2х ) является любое действительное число.
7. Докажите, что не существует действительного числа, которое являлось бы решением неравенства 3(2 - х ) - 2 > 5 - 3х .
8. Одна сторона треугольника равна 5 см, а другая 8 см. Какой может быть длина третьей стороны, если периметр треугольника:
а) меньше 22 см;
б) больше 17 см?
ГРАФИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ НЕРАВЕНСТВ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. Для графического решения неравенства f (х) > g (х) нужно построить графики функций
у = f (х) = g (х) и выбрать те промежутки оси абсцисс, на которых график функции у = f (х) расположен выше графика функции у = g (х).
Пример 17.8. Решите графически неравенство х 2 - 4 > 3х.
У - х* - 4 |
Решение. Построим в одной системе координат графики функций
у = х 2 - 4 и у = Зх (рис. 17.5). Из рисунка видно, что графики функций у = х 2 - 4 расположен выше графика функции у = 3х при х < -1 и х > 4, т.е. множество решений исходного неравенства есть множество
(- ¥; -1) È (4; + оо).
Ответ: х Î (- оо; -1) и (4; + оо).
Графиком квадратичной функции у = ах 2 + bх + с является парабола с ветвями, направленными вверх, если а > 0, и вниз, если а < 0. При этом возможны три случая: парабола пересекает ось Ох (т.е. уравнение ах 2 + bх + с = 0 имеет два различных корня); парабола касается оси х (т.е. уравнение ах 2 + bх + с = 0 имеет один корень); парабола не пересекает ось Ох (т.е. уравнение ах 2 + bх + с = 0 не имеет корней). Таким образом, возможны шесть положений параболы, служащей графиком функции у = ах 2 + bх + с (рис. 17.6). Используя эти иллюстрации, можно решать квадратные неравенства.
Пример 17.9. Решите неравенство: а) 2х г + 5х - 3 > 0; б) -Зх 2 - 2х - 6 < 0.
Решение, а) Уравнение 2х 2 + 5х -3 = 0 имеет два корня: х, = -3, х 2 = 0,5. Парабола, служащая графиком функции у = 2х 2 + 5х -3, показана на рис. а. Неравенство 2х 2 + 5х -3 > 0 выполняется при тех значениях х, при которых точки параболы лежат выше оси Ох: это будет при х < х х или при х > х г> т.е. при х < -3 или при х > 0,5. Значит, множество решений исходного неравенства есть множество (- ¥; -3) и (0,5; + ¥).
б) Уравнение -Зх 2 + 2х- 6 = 0 не имеет действительных корней. Парабола, служащая графиком функции у = - 3х 2 - 2х - 6, показана на рис. 17.6 Неравенство -3х 2 - 2х - 6 < О выполняется при тех значениях х, при которых точки параболы лежат ниже оси Ох. Поскольку вся парабола лежит ниже оси Ох, то множество решений исходного неравенства есть множество R.
НЕРАВЕНСТВА, СОДЕРЖАЩИЕ ПЕРЕМЕННУЮ ПОД ЗНАКОМ МОДУЛЯ. При решении данных неравенств следует иметь в виду, что:
| f(х) | =
f(х) , если f(х) ³ 0,
- f(х) , если f(х) < 0,
При этом область допустимых значений неравенства следует разбить на интервалы, на каждом из которых выражения, стоящие под знаком модуля, сохраняют знак. Затем, раскрывая модули (с учетом знаков выражений), нужно решать неравенство на каждом интервале и полученные решения объединять в множество решений исходного неравенства.
Пример 17.10. Решите неравенство:
|х -1| + |2- х| > 3+х.
Решение. Точки х = 1 и х = 2 делят числовую ось (ОДЗ неравенства (17.9) на три интервала: х < 1, 1 £ х £.2, х > 2. Решим данное неравенство на каждом из них. Если х < 1, то х - 1 < 0 и 2 – х > 0; поэтому |х -1| = - (х - I), |2 - х | = 2 - х. Значит, неравенство (17.9) принимает вид: 1- х + 2 - х > 3 + х, т.е. х < 0. Таким образом, в этом случае решениями неравенства (17.9) являются все отрицательные числа.
Если 1 £ х £.2, то х - 1 ³ 0 и 2 – х ³ 0; поэтому | х- 1| = х - 1, |2 - х| = 2 – х. .Значит, имеет место система:
х – 1 + 2 – х > 3 + х,
Полученная система неравенств решений не имеет. Следовательно, на интервале [ 1; 2] множество решений неравенства (17.9) пусто.
Если х > 2, то х - 1 >0 и 2 – х <0; поэтому | х - 1| = х- 1, |2-х| = -(2- х). Значит, имеет место система:
х -1 + х – 2 > 3+х,
х > 6 или
Объединяя найденные решения на всех частях ОДЗ неравенства (17.9), получаем его решение - множество (-¥; 0) È (6; +оо).
Иногда полезно воспользоваться геометрической интерпретацией модуля действительного числа, согласно которой | а | означает расстояние точки а координатной прямой от начала отсчета О, а | а - b | означает расстояние между точками а и b на координатной прямой. Кроме того, можно использовать метод возведения в квадрат обеих частей неравенства.
Теорема 17.5. Если выражения f (х) и g (х) при любых х принимают только неотрицательные значения, то неравенства f (х) > g (х) и f (х) ² > g (х) ² равносильны.
58. Основные выводы § 12
В данном параграфе мы определили следующие понятия:
Числовое выражение;
Значение числового выражения;
Выражение, не имеющее смысла;
Выражение с переменной (переменными);
Область определения выражения;
Тождественно равные выражения;
Тождество;
Тождественное преобразование выражения;
Числовое равенство;
Числовое неравенство;
Уравнение с одной переменной;
Корень уравнения;
Что значит решить уравнение;
Равносильные уравнения;
Неравенство с одной переменной;
Решение неравенства;
Что значит решить неравенство;
Равносильные неравенства.
Кроме того, мы рассмотрели теоремы о равносильности уравнений и неравенств, являющиеся основой их решения.
Знание определений всех названных выше понятий и теорем о равносильности уравнений и неравенств - необходимое условие методически грамотного изучения с младшими школьниками алгебраического материала.