Полные уроки — Гипермаркет знаний. Геометрическое место точек

Эта формула является основой для определения радианного измерения углов. Так, если l = r , то = 1, и мы говорим, что угол равен 1 радиану (это обозначается: = 1 рад ). Таким образом, мы имеем следующее определение радиана как единицы измерения углов: радиан – это центральный угол ( AOB, рис.43), у которого длина дуги равна её радиусу (Am B = AO , рис.43). Итак, радианная мера любого угла – это отношение длины дуги, проведенной произвольным радиусом и заключённой между сторонами этого угла, к её радиусу. В частности, в соответствии с формулой длины дуги, длина окружности C может быть выражена следующим образом:

где определяется как отношение C к диаметру круга 2 r :

= C / 2 r .

Иррациональное число; его приближённое значение 3.1415926…

С другой стороны, 2- это круговой угол окружности, который в градусной системе измерения равен 360º. На практике часто случается, что как радиус дуги, так и угол неизвестны. В этом случае длина дуги может быть вычислена по приближённой формуле Гюйгенса:

p 2l + (2l – L ) / 3 ,

где (см. рис.42): p – длина дуги ACB ; l – длина хорды AC ; L – длина хорды AB . Если дуга содержит не более чем 60 º , относительная погрешность этой формулы не превышает 0.5%.

Соотношения между элементами круга. Вписанный угол ( ABC , рис.45) равен половине центрального угла , опирающегося на ту же дугу AmC ( AOC , рис.45) . Поэтому, все вписанные углы (рис.45), опирающиеся на одну и ту же дугу ( Am C , рис.45), равны. А так как центральный угол содержит тоже количество градусов, чтои его дуга ( Am C ,рис.45), то любой вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается (внашем случае Am C ).

Все вписанные углы, опирающиеся на полукруг (APB, AQB, …, рис.46 ), прямые (Докажите это, пожалуйста!).

Угол (AOD, рис.47 ), образованный двумя хордами (ABи CD), измеряет ся полусуммой дуг, заключённых между его сторонами: (An D + Cm B) / 2 .

Угол (AOD, рис.48 ), образованный двумя секущими (AOи OD), измеряется полуразностью дуг, заключённых между его сторонами: (An D– Bm C ) / 2. секущей (COи BO), измеряется полуразностью дуг,заключённых между его сторонами: ( Bm C– Cn D ) / 2 .

Описанный угол (AOC, рис.50 ), образованный двумя касательными (COи AO), измеряется полуразностью дуг,заключенных между его сторонами: ( ABC– CDA) / 2 .

Произведения отрезков хорд ( AB и CD , рис.51 или рис.52), на которые они делятся точкой пересечения, равны: AO · BO = CO · DO .

К вадрат касательной равен произведению секущей на её внешнюю часть ( рис.50 ) : OA 2 = OB · O D (докажите!). Это свойство можно рассматривать как частный случай рис.52.

Хорда (AB, рис.53), перпендикулярная диаметру (CD), делится в их точке пересечения O пополам: AO = OB.

( Попробуйте доказать это! ).

Геометрическим местом точек (в дальнейшем ГМТ), называется фигура плоскости, состоящая из точек обладающих некоторым свойством, и не содержащая ни одной точки, не обладающей этим свойством.

Мы будем рассматривать только те ГМТ, которые можно построить с помощью циркуля и линейки.

Рассмотрим ГМТ на плоскости, обладающие простейшими и наиболее часто выражающимися свойствами:

1) ГМТ, отстоящих на данном расстоянии r от данной точки О, есть окружность с центром в точке О радиуса r.

2) ГМТ равноудаленных от двух данных точек А и В, есть прямая, перпендикулярная к отрезку АВ и проходящая через его середину.

3) ГМТ равноудаленных от двух данных пересекающихся прямых, есть пара взаимно перпендикулярных прямых, проходящих через точку пересечения и делящих углы между данными прямыми пополам.

4) ГМТ, отстоящих на одинаковом расстоянии h от прямой, есть две прямые, параллельные этой прямой и находящиеся по разные стороны от нее на данном расстоянии h.

5) Геометрическое место центров окружностей, касающихся данной прямой m в данной на ней точке М, есть перпендикуляр к АВ в точке М (кроме точки М).

6) Геометрическое место центров окружностей, касающихся данной окружности в данной на ней очке М, есть прямая, проходящая через точку М и центр данной окружности (кроме точек М и О).

7) ГМТ, из которых данный отрезок виден под данным углом, составляет две дуги окружностей, описанных на данном отрезке и вмещающих данный угол.

8) ГМТ, расстояния от которых до двух данных точек А и В находятся в отношении m: n, есть окружность (называемая окружностью Аполлония).

9) Геометрическое место середин хорд, проведенных из одной точки окружности, есть окружность, построенная на отрезке, соединяющем данную точку с центром данной окружности, как на диаметре.

10) Геометрическое место вершин треугольников равновеликих данному и имеющих общее основание, составляет две прямые, параллельные основанию и проходящие через вершину данного треугольника и ему симметричного относительно прямой, содержащей основание.

Приведем примеры отыскания ГМТ.

ПРИМЕР 2. Найти ГМТ, являющихся серединами хорд, проведенных из одной точки данной окружности (ГМТ № 9).

Решение . Пусть дана окружность с центром О и на этой окружности выбрана точка А из которой проводятся хорды. Покажем, что искомое ГМТ есть окружность, построенная на АО как на диаметре (кроме точки А) (рис. 3).

Пусть АВ - некоторая хорда и М - ее середина. Соединим М и О. Тогда МО ^ АВ (радиус, делящий хорду пополам, перпендикулярен этой хорде). Но, тогда ÐАМО = 90 0 . Значит М принадлежит окружности с диаметром АО (ГМТ № 7). Т.к. эта окружность проходит через точку О, то О принадлежит нашему ГМТ.

Обратно, пусть М принадлежит нашему ГМТ. Тогда, проведя через М хорду АВ и соединив М и О, получим, что ÐАМО = 90 0 , т.е. МО ^ АВ, а, значит, М - середина хорды АВ. Если же М совпадает с О, то О - середина АС.

Часто метод координат позволяет находить ГМТ.

ПРИМЕР 3. Найти ГМТ, расстояние от которых до двух данных точек А и В находятся в данном отношении m: n (m ≠ n).

Решение . Выберем прямоугольную систему координат так, чтобы точки А и В располагались на оси Ох симметрично относительно начала координат, а ось Оу проходила через середину АВ (рис.4). Положим АВ = 2a. Тогда точка А имеет координаты А (a, 0), точка В - координаты В (-a, 0). Пусть С принадлежит нашему ГМТ, координаты С(х, у) и CB/CA = m/n. Но Значит

(*)

Преобразуем наше равенство. Имеем

Обладающих некоторым свойством.

Примеры [ | ]

Формальное определение [ | ]

В общем случае, геометрическое место точек формулируется предикатом , аргументом которого является точка данного линейного пространства. Параметры предиката могут носить различный тип. Предикат называется детерминантом геометрического места точек. Параметры предиката называются дифференциалами геометрического места точек (не путать с дифференциалом в анализе).

Роль дифференциалов во введении видовых различий в фигуру. Количество дифференциалов может быть любым; дифференциалов может и вовсе не быть.

Если заданы детерминант , где M {\displaystyle M} - точка, - дифференциалы, то искомую фигуру A {\displaystyle A} задают в виде: « A {\displaystyle A} - геометрическое место точек M {\displaystyle M} , таких, что P (M , a , b , c , …) {\displaystyle P(M,\;a,\;b,\;c,\;\ldots)} ». Далее обычно указывается роль дифференциалов, им даются названия применительно к данной конкретной фигуре. Под собственно фигурой понимают совокупность (множество) точек M {\displaystyle M} , для которых для каждого конкретного набора значений a , b , c , … {\displaystyle a,\;b,\;c,\;\ldots } высказывание P (M , a , b , c , …) {\displaystyle P(M,\;a,\;b,\;c,\;\ldots)} обращается в тождество. Каждый конкретный набор значений дифференциалов определяет отдельную фигуру, каждую из которых и всех их в совокупности именуют названием фигуры, которая задаётся через ГМТ.

В словесной формулировке предикативное высказывание озвучивают литературно, то есть с привлечением различного рода оборотов и т. д. с целью благозвучия. Иногда, в случае простых детерминантов, вообще обходятся без буквенных обозначений.

Пример : параболу зададим как множество всех таких точек M {\displaystyle M} , что расстояние от M {\displaystyle M} до точки F {\displaystyle F} равно расстоянию от M {\displaystyle M} до прямой l {\displaystyle l} . Тогда дифференциалы параболы - F {\displaystyle F} и l {\displaystyle l} ; детерминант - предикат P (M , F , l) = (ρ (M , F) = ρ l (M , l)) {\displaystyle P(M,\;F,\;l)=(\rho (M,\;F)=\rho _{l}(M,\;l))} , где ρ {\displaystyle \rho } - расстояние между двумя точками (метрика), ρ l {\displaystyle \rho _{l}} - расстояние от точки до прямой. И говорят: «Парабола - геометрическое место точек M {\displaystyle M} , равноудалённых от точки F {\displaystyle F} и прямой l {\displaystyle l} . Точку F {\displaystyle F} называют фокусом параболы, а прямую l {\displaystyle l} - директрисой».

Подписи к слайдам:

Тема урока:
«Геометрическое место точек».9 классУчитель Гордеева Н.М.
Скажи мне – и я забуду,Покажи мне – и я запомню,Вовлеки меня – и я пойму. (Древняя китайская мудрость)
Цель урока:
систематизировать и углубить знания по теме «Метод координат».
“Крупное научное открытие дает решение крупной проблемы, но и в решении любой задачи присутствует крупица открытия”. (Дьердье Пойа)
Задача:
найти геометрическое место точек, обладающих определенным свойством (совершить открытие).
Определение:
Геометрическим местом точек называется фигура, которая состоит из всех точек плоскости, обладающих определенным свойством.
Геометрическое место точек,
равноудаленных от данной точки, есть
окружность.
Геометрическое место точек,
равноудаленных от концов данного отрезка, есть
серединный перпендикуляр к этому отрезку.
Геометрическое место точек,
равноудаленных от сторон данного угла, есть
биссектриса этого угла.
Геометрическое место точек,
равноудаленных от двух параллельных прямых, есть
параллельная им прямая, проходящая через середину их общего перпендикуляра (на ней лежат центры окружностей, касающихся данных прямых).
Геометрическое место точек,
являющихся вершинами прямоугольных треугольников с данной гипотенузой, есть
окружность, построенная на гипотенузе как на диаметре (исключая концы гипотенузы).
Геометрическое место точек,
отношение расстояний от которых до двух данных точек – величина постоянная, есть
окружность
(которую называют окружностью Аполлония).
Задание 1
На рисунке AD=DB=2 см.Что представляет собой геометрическое место точек, принадлежащих данной прямой, которые удалены от точки D на расстояние: а) равное 2см; б) более 2см; в) не более 2см.
a
b
A
D
B
Решение:

A
D
B
a
b
A
D
B
a
b
A
D
B
a
b
Задание 2
По тому же рисунку определите, что представляет собой геометрическое место точек плоскости, которые удалены от точки D на расстояниеа) равное 2см; б) более 2см; в) не более 2см.
A
D
B
a
b
Решение:
а) Расстояние от D равно 2см:
A
D
B
a
b
Решение:
б) Расстояние от D более 2см:
A
D
B
a
b
Решение:
в) Расстояние от D не более 2см:
A
D
B
a
b
Задание 3
Используя метод координат, найдите пару чисел, удовлетворяющих условию
Задание 4
Используя метод координат, докажите, что система уравнений имеет единственное решение:
Задание 5
Определите ГМТ, удовлетворяющих уравнению: а)
Задание 5
Определите ГМТ, удовлетворяющих уравнению: б)
Задание 5
Определите ГМТ, удовлетворяющих уравнению: в)
Задание 5
Определите ГМТ, удовлетворяющих уравнению: г)
Задание 5
Определите ГМТ, удовлетворяющих уравнению: д)
Парабола как геометрическое место точек.
Парабола есть геометрическое место точек, равноудаленных от заданной точки и от заданной прямой.
Построение параболы.
Как разбить клумбу?
Геометрическое место точек,
сумма расстояний от которых до двух заданных точек F1, F2 есть величина постоянная; большая, чем F1F2.
План построения ГМТ.
Прикрепим концы нити с помощью кнопок к точкам F1 и F2. Карандашом натянем нить так, чтобы его острие касалось бумаги. Будем перемещать карандаш по бумаге так, чтобы нить оставалась натянутой. Вычерчиваем карандашом линию.
Построение ГМТ
Что будет происходить с эллипсом, если фокусы: а) приближаются друг к другу; б) удаляются друг от друга.
Найти геометрическое место точек, для которых сумма расстояний до двух заданных точек F1 и F2: а) меньше заданной величины 2а; б) больше заданной величины 2а.
Уравнение ГМТ
Определите ГМТ, удовлетворяющих уравнению:
Уравнение ГМТ
, тогда
- уравнение эллипса
Ответ: F1 , F2
Конические сечения
Конические сечения
Аполлоний Пергский (II-III вв. до н. э.) - древнегреческий математик. Важнейший труд - “Конические сечения”
Конические сечения
Их изучали еще древнегреческие геометры. Теория конических сечений была одной из вершин античной геометрии.Уравнения этих линий были выведены гораздо позднее, когда стал применяться метод координат.
Кривые второго порядка
y
0
x
Метод координат в соединении с алгеброй составляет раздел геометрии, который называется аналитической геометрией.
Эксцентриситет эллипса
характеризует степень его вытянутости.
Еще Иоганн Кеплер (1571 – 1630) – немецкий астроном обнаружил, что планеты Солнечной системы движутся вокруг Солнца не по окружностям, как думали раньше, а по эллипсам, причем Солнце находится в одном из фокусов этих эллипсов.
Орбиты движения небесных тел
ВенераНептунЗемляПлутонКомета Галлея
0,0068 0,0086 0,0167 0,253 0,967
Решали задачу о множестве точек, а это ГМТ имеет отношение к Вселенной, (а это была всего лишь только задача!).
Домашнее задание
Составить уравнение геометрического места точек, произведение расстояний от которых до двух данных точек F1(-c; 0), F2(c; 0) есть постоянная величина a2. Такое геометрическое место точек называется овалом Кассини.
Домашнее задание
Составить уравнение геометрического места точек, произведение расстояний от которых до двух данных точек F1(-а; 0), F2(а; 0) есть постоянная величина а2. Такое геометрическое место точек называется лемнискатой (см. рис.). (Уравнение лемнискаты сначала найти непосредственно, потом – рассматривая ее как частный вид овала Кассини).
Подведение итогов урока

Цели урока:

• Образовательная: показать новый метод решения задач на построение геометрического места точек; Научить применять его в решении задач.
• Развивающая: развитие наглядно- образного мышления; познавательного интереса.
• Воспитывающая: развитие умения планировать работу, искать рациональные пути ее выполнения, способности аргументировано отстаивать свое мнение, критически оценивать результат.

Задачи урока:

• Изучения нового материала.
• Проверить умение учащихся решать задачи.

План урока:

1. Определения.
2. Пример 1.
3. Пример 2.
4. Пример 3.
5. Теоретическая часть.
6. Общии понятия.

Введение.

Древнеегипетскую и вавилонскую культуру в области математики продолжали греки. Они не только усвоили весь опыт их геометрии, но и пошли гораздо дальше. Ученые древней Греции сумели привести в систему накопленные геометрические знания и, таким образом, заложить начала геометрии как дедуктивной науки.

Греческие купцы познакомились с восточной математикой, прокладывая торговые пути. Но люди Востока почти не занимались теорией, и греки быстро это обнаружили. Они задавались вопросами: почему в равнобедренном треугольнике два угла при основании равны; почему площадь треугольника равна половине площади прямоугольника при одинаковых основаниях и высотах?

К сожалению, не сохранилось первоисточников, описывающих ранний период развития греческой математики. Только благодаря восстановленным текстам четвертого столетия до нашей эры и трудам арабских ученых, которые были богаты переводами сочинений авторов античной Греции, мы располагаем изданиями Евклида, Архимеда, Аполлония и других великий людей. Но в этих произведениях уже представлена вполне развитая математическая наука.

Математика древней Греции прошла длительный и сложный путь развития, начиная с VI столетия до н.э. и по VI век. Историки науки выделяют три периода ее развития в соответствии с характером знаний:

1. Накопление отдельных математических фактов и проблем (6 - 5B.B. до н.э.).
2. Систематизация полученных знаний (4 - 3 в.в. до н.э.).
3. Период вычислительной математики (3в. до н.э. - 6 в.).

Геометрическое место точек (ГМТ).

Определения.

Геометрическое место – термин, применявшийся в старой литературе по геометрии и до сих пор применяющийся в учебной литературе, для обозначения множества точек, удовлетворяющих некоторому условию , как правило, геометрического характера. Например: геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных точек A и B – это серединный перпендикуляр к отрезку AB. Иногда говорят и о геометрическом месте прямых и других фигур.

Название связано с представлением о линии как о «месте», на котором располагаются точки.

В геометрии траектория некоторой точки, перемещающейся в соответствии с данной формулой или условием. Например, круг является геометрическим местом точки, перемещающейся на плоскости так, что расстояние от места ее нахождения до центра остается неизменным.

Геометрическое место точек (ГМТ) - это множество точек, в которое попадают все точки, удовлетворяющие определенному условию, и только они.

Геометрическое место точек (ГМТ) - фигура речи в математике, употребляемая для определения геометрической фигуры как множества точек, обладающих некоторым свойством.

Примеры.

• Серединный перпендикуляр к отрезку есть геометрическое место точек, равноудалённых от концов отрезка.
• Окружность есть геометрическое место точек, равноудалённых от данной точки, называемой центром окружности.
• Парабола есть геометрическое место точек, равноудалённых от точки (называемой фокусом) и прямой (называемой директрисой).

Пример 1.

Срединный перпендикуляр любого отрезка есть геометрическое место точек (т.е. множество всех точек), равноудалённых от концов этого отрезка. Пусть PO перпендикулярно AB и AO = OB:

Тогда, расстояния от любой точки P, лежащей на срединном перпендикуляре PO, до концов A и B отрезка AB одинаковы и равны d .

Таким образом, каждая точка срединного перпендикуляра отрезка обладает следующим свойством: она равноудалена от концов отрезка.

Пример 2.

Биссектриса угла есть геометрическое место точек, равноудалённых от его сторон.

Пример 3.

Окружность есть геометрическое место точек (т.е. множество всех точек), равноудалённых от её центра (на рис. показана одна из этих точек – А).

Хорда , проходящая через центр круга (например, BC, рис 1), называется диаметром и обозначается d или D . Диаметр – это наибольшая хорда, равная двум радиусам (d = 2 r).

Касательная . Предположим, секущая PQ (рис.2) проходит через точки K и M окружности. Предположим также, что точка M движется вдоль окружности, приближаясь к точке K. Тогда секущая PQ будет менять своё положение, вращаясь вокруг точки K. По мере приближения точки M к точке K секущая PQ будет стремиться к некоторому предельному положению АВ. Прямая AB называется касательной к окружности в точке K. Точка K называется точкой касания. Касательная и окружность имеют только одну общую точку – точку касания.

Свойства касательной.

1. Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания (AB перпендикулярно OK, рис.2).
2. Из точки, лежащей вне круга, можно провести две касательные к одной и той же окружности; их отрезки равны АВ=АС (рис.3).

Сегмент – это часть круга, ограниченная дугой ACB и соответствующей хордой AB (рис.4). Длина перпендикуляра CD, проведенного из середины хорды AB до пересечения с дугой ACB, называется высотой сегмента.

Углы в круге.

Центральный угол – угол, образованный двумя радиусами (∠AOB, рис.5). Вписанный угол – угол, образованный двумя хордами AB и AC, проведенными из их одной общей точки (∠BAC, рис.4). Описанный угол – угол, образованный двумя касательными AB и AC, проведенными из одной общей точки (∠BAC, рис.3).

Соотношения между элементами круга.

Вписанный угол (∠ABC, рис.7) равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу AmC (∠AOC, рис.7). Поэтому, все вписанные углы (рис.7), опирающиеся на одну и ту же дугу (AmC, рис.7), равны. А так как центральный угол содержит то же количество градусов, что и его дуга (AmC, рис.7), то любой вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается (в нашем случае AmC).

Все вписанные углы, опирающиеся на полукруг (∠APB, ∠AQB, …, рис.8), прямые.

Угол (∠AOD, рис.9), образованный двумя хордами (AB и CD), измеряется полусуммой дуг, заключённых между его сторонами: (AnD + CmB) / 2 .

Угол (∠AOD, рис.10), образованный двумя секущими (AO и OD), измеряется полуразностью дуг, заключённых между его сторонами: (AnD – BmC) / 2.

Угол (∠DCB, рис.11), образованный касательной и хордой (AB и CD), измеряется половиной дуги, заключённой внутри него: CmD / 2.

Угол (∠BOC, рис.12), образованный касательной и секущей (CO и BO), измеряется полуразностью дуг, заключённых между его сторонами: (BmC – CnD) / 2 .

Описанный угол (∠AOC, рис.12), образованный двумя касательными (CO и AO), измеряется полуразностью дуг, заключенных между его сторонами: (ABC – CDA) / 2 .

Произведения отрезков хорд (AB и CD, рис.13 или рис.14), на которые они делятся точкой пересечения, равны: AO · BO = CO · DO.

Квадрат касательной равен произведению секущей на её внешнюю часть (рис.12): OA 2 = OB · OD. Это свойство можно рассматривать как частный случай рис.14.

Хорда (AB, рис.15), перпендикулярная диаметру (CD), O пополам: AO = OB.

Рис. 15

Интересный факт:

Поздравляем с Пи-раздником вас.

Выражаясь научным языком, число "Пи" - это отношение длины окружности к ее диаметру. Простая вроде бы вещь, но волнует умы математиков с глубокой древности. И продолжает волновать. До такой степени, что ученые - лет 20 назад - договорились отмечать праздник этого числа. И призвали присоединиться к торжествам всю прогрессивную общественность. Она присоединяется: ест круглые Пи-роги, вы-ПИ-вает, обязательно Пи-во и издает звуки Пи при встрече.

Фанаты будут соревноваться, вспоминая знаки числа "Пи". И постараются превзойти рекорд 24-летнего китайского студента Лю Чао, который назвал по памяти без ошибок 68890 знаков. На это у него ушло 24 часа и 4 минуты.

Отправление торжеств назначено на 14 марта - дату, которая в американском написании выглядит как 3.14 - то есть, первыми тремя цифрами числа "Пи".
По легенде, о числе "Пи" знали еще вавилонские жрецы. Использовали при строительстве Вавилонской башни. Но не смогли точно вычислить его значение и от этого не справились с проектом. Сам символ числа "Пи" впервые использовал в своих трудах в 1706 году математик Уильям Джон (William Jones). Но реально он прижился после 1737 года благодаря стараниям шведского математика Леонарда Эйлера (Leonhard Euler).

Отмечать праздник придумал американский физик Ларри Шо (Larry Shaw).
На вопрос, сколько знаков в числе "Пи" после запятой, точного ответа нет. Скорее всего, их бесконечное число. А главная особенность в том, что последовательность этих знаков не повторяется. Сегодня их известно 12411 триллионов. Обследовано 500 миллиардов. И повторений не найдено.

Как считают некоторые видные физики и математики, например Дэвид Бейли, Питер Борвин и Саймон Плофе (David Bailey, Peter Borewin, Simon Plouffe), их - повторений - не найти никому и никогда. Хоть испиши знаками всю Вселенную. Да хоть сколько Вселенных... И в этом ученые видят некую скрытую мистику. Полагают, что в числе "Пи" зашифрован бесконечный первородный хаос, ставший потом гармонией. Или какая-то загадочная информация.

Вопросы:

1. Сформулируйте определение окружности и круга?
2. С какими новыми понятиями вы познакомились?
3. Что называется геометрическим местом точек?
4. Какая разница между диаметром и радиусом?
5. Как найти радиус окружности какая описана около треугольника?

Список использованных источников:

1. Урок на тему "Наглядная геометрия"
2. Савин А.П. Метод геометрических мест /Факультативный курс по математике: Учебное пособие для 7-9 классов средней школы. Сост. И.Л. Никольская. – М.: Просвещение, с. 74.
3. Смирнова И.М., Смирнов В.А. Геометрия: Учебник для 7-9 классов общеобразовательных учреждений. – М.: Мнемозина, 2005, с. 84.
4. Шарыгин И.Ф. Геометрия. 7-9 классы: Учебник для общеобразовательных учебных заведений. – М.: Дрофа, с. 76.
5. Мазур К. И. «Решение основных конкурсных задач по математике сборника под редакцией М. И. Сканави»

Над уроком работали:

Самылина М.В.

Потурнак С.А.

Владимир ЛАГОВСКИЙ

Поставить вопрос о современном образовании, выразить идею или решить назревшую проблему Вы можете на Образовательном форуме , где на международном уровне собирается образовательный совет свежей мысли и действия. Создав блог, Вы не только повысите свой статус, как компетентного преподавателя, а и сделаете весомый вклад в развитие школы будущего. Гильдия Лидеров Образования открывает двери для специалистов высшего ранга и приглашает к сотрудничеству в направлении создания лучших в мире школ.