كيفية حل رتبة المصفوفة. ابحث عن رتبة المصفوفة: الأساليب والأمثلة

ضع في اعتبارك مصفوفة مستطيلة. إذا في هذه المصفوفة نختار بشكل تعسفي كخطوط و كالأعمدة ، ثم تشكل العناصر عند تقاطع الصفوف والأعمدة المحددة مصفوفة مربعة بالترتيب k. محدد هذه المصفوفة يسمى k-th ترتيب ثانويالمصفوفة A. من الواضح أن المصفوفة A بها صغرى بأي ترتيب من 1 إلى أصغر العددين m و n. من بين جميع القاصرين غير الصفريين في المصفوفة A ، هناك قاصر واحد على الأقل يكون ترتيبه هو الأكبر. يُطلق على أكبر عدد من الأوامر غير الصفرية للقاصرين في مصفوفة معينة مرتبةالمصفوفات. إذا كانت رتبة المصفوفة أ هي ص، إذن هذا يعني أن المصفوفة A لها ترتيب ثانوي لا يساوي الصفر ص، ولكن كل قاصر في الترتيب أكبر من ص، يساوي صفرًا. يُرمز إلى رتبة المصفوفة A بالرمز r (A). من الواضح أن العلاقة

حساب رتبة المصفوفة باستخدام القصر

يتم العثور على رتبة المصفوفة إما عن طريق حدود القصر ، أو عن طريق طريقة التحولات الأولية. عند حساب رتبة المصفوفة بالطريقة الأولى ، يجب على المرء أن ينتقل من صغار الرتب الأدنى إلى صغار من رتبة أعلى. إذا تم العثور بالفعل على قاصر غير صفري D من الترتيب k للمصفوفة A ، عندئذٍ يجب حساب الترتيب (k + 1) فقط للقاصرين المتاخمين للقاصر D ، أي احتوائه على أنه قاصر. إذا كانت جميعها صفراً ، فإن رتبة المصفوفة هي ك.

مثال 1أوجد مرتبة المصفوفة بطريقة الحد من القصر

قرار.نبدأ بالقصر من الدرجة الأولى ، أي من عناصر المصفوفة أ. دعنا نختار ، على سبيل المثال ، العنصر الصغير (العنصر) М 1 = 1 الموجود في الصف الأول والعمود الأول. بالترتيب بمساعدة الصف الثاني والعمود الثالث ، نحصل على الصغرى M 2 = ، والتي تختلف عن الصفر. ننتقل الآن إلى القصر من الدرجة الثالثة ، على الحدود M 2. لا يوجد سوى اثنين منهم (يمكنك إضافة عمود ثاني أو رابع). نحسبهم: = 0. وهكذا ، تبين أن جميع القصر الحدودي من الدرجة الثالثة يساوي صفرًا. رتبة المصفوفة أ هي اثنان.

حساب رتبة المصفوفة باستخدام التحولات الأولية

ابتدائيتسمى تحويلات المصفوفة التالية:

1) تبديل أي صفين (أو عمودين) ،

2) ضرب صف (أو عمود) بعدد غير صفري ،

3) إضافة إلى صف واحد (أو عمود) صف آخر (أو عمود) مضروبًا في عدد ما.

يتم استدعاء المصفوفتين ما يعادل، إذا تم الحصول على أحدهما من الآخر بمساعدة مجموعة محدودة من التحولات الأولية.

لا تكون المصفوفات المتكافئة ، بشكل عام ، متساوية ، لكن رتبها متساوية. إذا كانت المصفوفتان A و B متساويتين ، فيتم كتابتها على النحو التالي:~ ب.

العنوان الأساسيالمصفوفة هي مصفوفة بها عدة آحاد على التوالي في بداية القطر الرئيسي (قد يكون عددها صفرًا) ، وجميع العناصر الأخرى تساوي الصفر ، على سبيل المثال ،

بمساعدة التحولات الأولية للصفوف والأعمدة ، يمكن اختزال أي مصفوفة إلى مصفوفة أساسية. رتبة المصفوفة الأساسية تساوي عدد الآحاد الموجودة على قطرها الرئيسي.

مثال 2أوجد مرتبة المصفوفة

وإحضاره إلى الشكل المتعارف عليه.

قرار.اطرح الصف الأول من الصف الثاني وأعد ترتيب هذه الصفوف:

الآن ، من الصفين الثاني والثالث ، اطرح الأول مضروبًا في 2 و 5 على التوالي:

;

اطرح الأول من الصف الثالث ؛ نحصل على المصفوفة

والتي تعادل المصفوفة A ، حيث يتم الحصول عليها منها باستخدام مجموعة محدودة من التحويلات الأولية. من الواضح أن رتبة المصفوفة B هي 2 ، وبالتالي r (A) = 2. يمكن اختزال المصفوفة B بسهولة إلى المصفوفة الأساسية. بطرح العمود الأول ، مضروبًا بأرقام مناسبة ، من جميع الأرقام اللاحقة ، ننتقل إلى الصفر جميع عناصر الصف الأول ، باستثناء الأول ، ولا تتغير عناصر الصفوف المتبقية. بعد ذلك ، بطرح العمود الثاني ، مضروبًا في الأرقام المناسبة ، من جميع الأرقام اللاحقة ، ننتقل إلى الصفر جميع عناصر الصف الثاني ، باستثناء الثاني ، ونحصل على المصفوفة الأساسية:

تعريف. رتبة المصفوفةهو الحد الأقصى لعدد الصفوف المستقلة خطيًا التي تعتبر متجهات.

النظرية 1 في رتبة مصفوفة. رتبة المصفوفةهو الحد الأقصى لترتيب قاصر ليس صفريًا في المصفوفة.

لقد ناقشنا بالفعل مفهوم القاصر في الدرس الخاص بالمحددات ، والآن سنعممه. لنأخذ بعض الصفوف وبعض الأعمدة في المصفوفة ، ويجب أن يكون هذا "الشيء" أقل من عدد صفوف وأعمدة المصفوفة ، وبالنسبة للصفوف والأعمدة ، يجب أن يكون هذا "الشيء" هو نفس العدد. ثم عند تقاطع عدد الصفوف وعدد الأعمدة ستكون هناك مصفوفة ذات ترتيب أصغر من المصفوفة الأصلية. سيكون محدد هذه المصفوفة بترتيب ثانوي من k-th إذا تم الإشارة إلى "شيء" المذكور (عدد الصفوف والأعمدة) بواسطة k.

تعريف.تحت السن القانوني ( ص+1) الترتيب الثالث ، الذي يوجد بداخله القاصر المختار ص-الترتيب ، يسمى الحدود للقاصر المعين.

الطريقتان الأكثر استخدامًا إيجاد مرتبة المصفوفة. هو - هي طريقة تهديب القاصرينو طريقة التحولات الأولية(بطريقة غاوس).

طريقة تجاور القاصرين تستخدم النظرية التالية.

النظرية 2 في رتبة مصفوفة.إذا كان من الممكن تكوين قاصر من عناصر المصفوفة صالترتيب الذي لا يساوي الصفر ، ثم رتبة المصفوفة تساوي ص.

باستخدام طريقة التحويلات الأولية ، يتم استخدام الخاصية التالية:

إذا تم الحصول على مصفوفة شبه منحرفة مكافئة للمصفوفة الأصلية عن طريق التحولات الأولية رتبة هذه المصفوفةهو عدد الأسطر الموجودة فيه باستثناء الأسطر التي تتكون بالكامل من الأصفار.

إيجاد مرتبة المصفوفة بطريقة الحدود للقصر

القاصر المجاور هو قاصر من رتبة أعلى بالنسبة للقاصر المعطى ، إذا كان هذا القاصر من رتبة أعلى يحتوي على قاصر معين.

على سبيل المثال ، بالنظر إلى المصفوفة

لنأخذ قاصرًا

سيكون الحواف مثل هؤلاء القصر:

خوارزمية لإيجاد رتبة مصفوفةالتالي.

1. نجد صغارًا من الدرجة الثانية لا تساوي صفرًا. إذا كان كل الصغار من الدرجة الثانية يساوي صفرًا ، فإن رتبة المصفوفة ستكون مساوية لواحد ( ص =1 ).

2. إذا كان هناك قاصر واحد على الأقل من الدرجة الثانية لا يساوي صفرًا ، فإننا نؤلف قاصرًا من الدرجة الثالثة. إذا كانت جميع القاصرات من الرتبة الثالثة هي صفر ، فإن مرتبة المصفوفة هي اثنان ( ص =2 ).

3. إذا كان أحد القاصرين الحدودي من الرتبة الثالثة على الأقل لا يساوي صفرًا ، فإننا نكوّن القاصرين المحيطين به. إذا كانت كل الحدود الصغرى من الرتبة الرابعة صفرًا ، فإن رتبة المصفوفة هي ثلاثة ( ص =2 ).

4. استمر طالما أن حجم المصفوفة يسمح بذلك.

مثال 1أوجد مرتبة المصفوفة

قرار. الصغرى من الدرجة الثانية .

نحن نضعها في إطار. سيكون هناك أربعة قاصرين على الحدود:

وبالتالي ، فإن جميع الأطفال من الدرجة الثالثة الحدودية تساوي صفرًا ، وبالتالي فإن رتبة هذه المصفوفة هي اثنان ( ص =2 ).

مثال 2أوجد مرتبة المصفوفة

قرار. رتبة هذه المصفوفة هي 1 ، لأن جميع القاصرين من الدرجة الثانية في هذه المصفوفة يساوي الصفر (في هذا ، كما في حالات القاصرين المتاخمين في المثالين التاليين ، الطلاب الأعزاء مدعوون للتحقق من أنفسهم ، ربما باستخدام قواعد حساب المحددات) ، وبين العناصر الثانوية من الدرجة الأولى ، أي من بين عناصر المصفوفة ، لا يساوي الصفر.

مثال 3أوجد مرتبة المصفوفة

قرار. الصغرى من الرتبة الثانية لهذه المصفوفة هي ، وجميع الصغرى من الرتبة الثالثة في هذه المصفوفة تساوي صفرًا. إذن ، رتبة هذه المصفوفة هي اثنان.

مثال 4أوجد مرتبة المصفوفة

قرار. رتبة هذه المصفوفة هي 3 لأن المرتبة الثالثة الوحيدة في هذه المصفوفة هي 3.

إيجاد رتبة المصفوفة بطريقة التحولات الأولية (بطريقة غاوس)

بالفعل في المثال 1 ، يمكن ملاحظة أن مشكلة تحديد رتبة المصفوفة بطريقة تحديد حدود القصر تتطلب حساب عدد كبير من المحددات. ومع ذلك ، هناك طريقة لتقليل مقدار الحساب إلى الحد الأدنى. تعتمد هذه الطريقة على استخدام تحويلات المصفوفة الأولية وتسمى أيضًا طريقة غاوس.

تعني التحولات الأولية للمصفوفة العمليات التالية:

1) ضرب أي صف أو أي عمود في المصفوفة بعدد آخر غير الصفر ؛

2) إضافة العناصر المقابلة لصف أو عمود آخر إلى عناصر أي صف أو أي عمود في المصفوفة ، مضروبة في نفس العدد ؛

3) تبديل صفين أو عمودين في مصفوفة ؛

4) إزالة الصفوف "الفارغة" ، أي تلك التي تساوي جميع عناصرها صفرًا ؛

5) حذف جميع الأسطر المتناسبة باستثناء واحد.

نظرية.لا يغير التحويل الأولي رتبة المصفوفة. بمعنى آخر ، إذا استخدمنا تحويلات أولية من المصفوفة أاذهب إلى المصفوفة ب، ومن بعد .

وأيضًا ضع في اعتبارك تطبيقًا عمليًا مهمًا للموضوع: دراسة نظام المعادلات الخطية للتوافق.

ما هي رتبة المصفوفة؟

يحتوي النص الفكاهي للمقال على قدر كبير من الحقيقة. عادة ما ترتبط كلمة "رتبة" نفسها بنوع من التسلسل الهرمي ، وغالبًا ما ترتبط بالسلّم الوظيفي. كلما زادت المعرفة والخبرة والقدرات والصلات وما إلى ذلك ، لدى الشخص. - كلما ارتفع مركزه وتنوع الفرص. في مصطلحات الشباب ، يشير الترتيب إلى الدرجة الكلية "المتانة".

ويعيش إخواننا في الرياضيات على نفس المبادئ. دعنا نأخذ في نزهة تعسفية قليلة مصفوفات صفرية:

لنفكر إذا كان في المصفوفة فقط الأصفارإذن ما هي الرتبة التي يمكن أن نتحدث عنها؟ الجميع على دراية بالتعبير غير الرسمي "الصفر الكلي". في مجتمع المصفوفة ، كل شيء هو نفسه تمامًا:

رتبة مصفوفة صفريةأي حجم هو صفر.

ملحوظة : المصفوفة الصفرية يُرمز إليها بالحرف اليوناني "ثيتا"

من أجل فهم رتبة المصفوفة بشكل أفضل ، سأستند فيما يلي إلى المواد الهندسة التحليلية. ضع في اعتبارك الصفر المتجهلفضائنا ثلاثي الأبعاد ، والذي لا يحدد اتجاهًا معينًا وغير مفيد للبناء أساس أفيني. من وجهة نظر جبرية ، تتم كتابة إحداثيات متجه معين مصفوفة"واحد تلو الآخر" ومنطقي (بالمعنى الهندسي المحدد)افترض أن رتبة هذه المصفوفة هي صفر.

الآن دعونا نلقي نظرة على القليل غير صفرية ناقلات العمودو نواقل الصف:

يحتوي كل مثيل على عنصر واحد على الأقل غير فارغ ، وهذا شيء!

رتبة أي متجه غير صفري (متجه العمود) تساوي واحدًا

وبصفة عامة - إذا كان في المصفوفة أحجام عشوائيةيحتوي على عنصر واحد على الأقل غير صفري ، ثم رتبته ليس أقلالوحدات.

متجهات الصفوف والأعمدة الجبرية مجردة إلى حد ما ، لذلك دعنا ننتقل مرة أخرى إلى الارتباط الهندسي. غير صفرية المتجهيحدد اتجاهًا محددًا جيدًا في الفضاء ومناسبًا للبناء أساس، لذلك يُفترض أن تكون رتبة المصفوفة مساوية لواحد.

الخلفية النظرية : في الجبر الخطي ، المتجه هو عنصر من فضاء متجه (محدد من خلال 8 بديهيات) ، والذي ، على وجه الخصوص ، يمكن أن يكون صفًا (أو عمودًا) مرتبًا من الأرقام الحقيقية مع عمليات الجمع والضرب برقم حقيقي محدد بالنسبة لهم. لمزيد من المعلومات حول النواقل ، راجع المقالة التحولات الخطية.

تعتمد خطيا(معبراً عنها من خلال بعضها البعض). من وجهة نظر هندسية ، يحتوي السطر الثاني على إحداثيات المتجه الخطي التي لم تقدم الأمر في البناء ثلاثي الأبعاد، زائدة عن الحاجة بهذا المعنى. وبالتالي ، فإن رتبة هذه المصفوفة تساوي أيضًا واحدًا.

نعيد كتابة إحداثيات المتجهات في الأعمدة ( انقل المصفوفة):

ما الذي تغير من حيث الرتبة؟ لا شيئ. الأعمدة متناسبة ، مما يعني أن المرتبة تساوي واحدًا. بالمناسبة ، لاحظ أن جميع الأسطر الثلاثة متناسبة أيضًا. يمكن التعرف عليها مع الإحداثيات ثلاثةالمتجهات الخطية للمستوى ، منها واحد فقطمفيد لبناء أساس "ثابت". وهذا يتفق تمامًا مع إحساسنا الهندسي بالرتبة.

يتبع بيان مهم من المثال أعلاه:

ترتيب المصفوفة بالصفوف يساوي رتبة المصفوفة بالأعمدة. لقد ذكرت هذا قليلاً بالفعل في الدرس الخاص بالفعالية طرق حساب المحدد.

ملحوظة : التبعية الخطية للصفوف تؤدي إلى تبعية خطية للأعمدة (والعكس صحيح). ولكن من أجل توفير الوقت ، وبدلاً من العادة ، سأتحدث دائمًا عن الاعتماد الخطي للأوتار.

دعونا نواصل تدريب حيواننا الأليف المحبوب. أضف إحداثيات متجه خطي آخر إلى المصفوفة في الصف الثالث :

هل ساعدنا في بناء قاعدة ثلاثية الأبعاد؟ بالطبع لا. تسير المتجهات الثلاثة ذهابًا وإيابًا على نفس المسار ، وتكون رتبة المصفوفة واحدة. يمكنك أن تأخذ العديد من المتجهات الخطية كما تريد ، لنقل 100 ، ضع إحداثياتها في مصفوفة 100 × 3 ، وسيظل ترتيب ناطحة سحاب مثل هذا واحدًا.

دعنا نتعرف على المصفوفة التي صفوفها مستقل خطيا. زوج من النواقل غير الخطية مناسب لبناء أساس ثلاثي الأبعاد. رتبة هذه المصفوفة اثنان.

ما هي رتبة المصفوفة؟ لا يبدو أن الخطوط متناسبة ... لذا ، من الناحية النظرية ، ثلاثة. ومع ذلك ، فإن رتبة هذه المصفوفة تساوي أيضًا اثنين. أضفت أول سطرين وكتبت النتيجة في الأسفل ، أي معبر عنها خطياالخط الثالث من خلال الأولين. هندسيًا ، تتوافق صفوف المصفوفة مع إحداثيات ثلاثة ناقلات متحد المستوى، ومن بين هذا الثلاثي هناك زوج من الرفاق غير المتصلين.

كما ترون الاعتماد الخطيفي المصفوفة المدروسة ليست واضحة ، واليوم سنتعلم فقط كيفية إحضارها "لتنظيف المياه".

أعتقد أن الكثير من الناس يخمنون ما هي رتبة المصفوفة!

ضع في اعتبارك مصفوفة ذات صفوف مستقل خطيا. شكل النواقل أساس أفيني، ورتبة هذه المصفوفة ثلاثة.

كما تعلم ، أي متجه رابع أو خامس أو عاشر للفضاء ثلاثي الأبعاد سيتم التعبير عنه خطيًا من حيث المتجهات الأساسية. لذلك ، إذا تمت إضافة أي عدد من الصفوف إلى المصفوفة ، ثم رتبتها سيظل ثلاثة.

يمكن إجراء تفكير مماثل لمصفوفات ذات أحجام أكبر (بوضوح ، بالفعل بدون معنى هندسي).

تعريف : رتبة المصفوفة هي الحد الأقصى لعدد الصفوف المستقلة خطيًا. أو: رتبة المصفوفة هي الحد الأقصى لعدد الأعمدة المستقلة خطيًا. نعم ، يتطابقون دائمًا.

يتبع دليل عملي مهم مما ورد أعلاه: لا تتجاوز رتبة المصفوفة الحد الأدنى من أبعادها. على سبيل المثال ، في المصفوفة أربعة صفوف وخمسة أعمدة. البعد الأدنى هو أربعة ، وبالتالي ، فإن رتبة هذه المصفوفة لن تتجاوز بالتأكيد 4.

الرموز: في النظرية والتطبيق العالميين ، لا يوجد معيار مقبول بشكل عام لتحديد رتبة المصفوفة ، ويمكن العثور على أكثرها شيوعًا: - كما يقولون ، يكتب رجل إنجليزي شيئًا ، وآخر ألمانيًا. لذلك ، بناءً على الحكاية المعروفة عن الجحيم الأمريكي والروسي ، دعنا نحدد رتبة المصفوفة بكلمة أصلية. علي سبيل المثال: . وإذا كانت المصفوفة "بدون اسم" ، والتي يوجد الكثير منها ، فيمكنك ببساطة الكتابة.

كيف تجد رتبة مصفوفة باستخدام القاصرين؟

إذا كان لجدتنا عمود خامس في المصفوفة ، فيجب حساب قاصر آخر من الرتبة الرابعة ("أزرق" ، "توت العليق" + العمود الخامس).

استنتاج: الحد الأقصى لترتيب قاصر غير صفري هو ثلاثة ، لذلك.

ربما لم يستوعب الجميع هذه العبارة تمامًا: الدرجة الرابعة للقاصر تساوي صفرًا ، ولكن بين القاصرين من الدرجة الثالثة كان هناك واحد غير صفري - لذلك ، الحد الأقصى للترتيب غير صفريةطفيفة ويساوي ثلاثة.

السؤال الذي يطرح نفسه ، لماذا لا نحسب المحدد على الفور؟ حسنًا ، أولاً ، في معظم المهام لا تكون المصفوفة مربعة ، وثانيًا ، حتى إذا حصلت على قيمة غير صفرية ، فسيتم رفض المهمة باحتمالية عالية ، نظرًا لأنها تتضمن عادةً "من أسفل إلى أعلى" المحلول. وفي المثال المدروس ، يسمح لنا المحدد الصفري من الرتبة الرابعة بالتأكيد على أن رتبة المصفوفة أقل من أربعة فقط.

يجب أن أعترف بأنني توصلت بنفسي إلى المشكلة التي تم تحليلها من أجل شرح أفضل لطريقة تجاور القاصرين. في الممارسة الواقعية ، كل شيء أبسط:

مثال 2

أوجد مرتبة المصفوفة بطريقة تهديب القاصرين

الحل والجواب في نهاية الدرس.

متى يتم تشغيل الخوارزمية بشكل أسرع؟ لنعد إلى نفس مصفوفة أربعة في أربعة . من الواضح أن الحل سيكون الأقصر في حالة "الخير" ركن القصر:

وإذا ، إذن ، خلاف ذلك -.

التفكير ليس افتراضيًا على الإطلاق - هناك العديد من الأمثلة حيث يقتصر الأمر برمته على القصر الزاوي فقط.

ومع ذلك ، في بعض الحالات ، هناك طريقة أخرى أكثر فعالية وأفضل:

كيف تجد رتبة المصفوفة باستخدام طريقة غاوس؟

هذا القسم مخصص للقراء الذين هم على دراية بالفعل طريقة جاوسوشيئًا فشيئًا وضعوا أيديهم عليها.

من الناحية الفنية ، الطريقة ليست جديدة:

1) باستخدام التحولات الأولية ، نأتي بالمصفوفة إلى شكل تدريجي ؛

2) رتبة المصفوفة تساوي عدد الصفوف.

من الواضح أن استخدام طريقة غاوس لا يغير رتبة المصفوفة، والجوهر هنا بسيط للغاية: وفقًا للخوارزمية ، في سياق التحولات الأولية ، يتم تحديد وإزالة جميع الخطوط المتناسبة غير الضرورية (المعتمدة خطيًا) ، ونتيجة لذلك تبقى "البقايا الجافة" - الحد الأقصى لعدد خطوط مستقلة خطيًا.

لنحول المصفوفة القديمة المألوفة بإحداثيات ثلاثة متجهات خطية:

(1) تمت إضافة الصف الأول إلى الصف الثاني ، مضروبًا في -2. تمت إضافة السطر الأول إلى السطر الثالث.

(2) يتم إزالة الخطوط الصفرية.

إذن هناك سطر واحد متبقي ، إذن. وغني عن القول ، أن هذا أسرع بكثير من حساب تسعة صفر قاصرين من الدرجة الثانية وبعد ذلك فقط استخلاص نتيجة.

أذكرك بهذا في حد ذاته مصفوفة جبريةلا شيء يمكن تغييره ، والتحولات تتم فقط لغرض معرفة الرتبة! بالمناسبة ، دعنا نتناول السؤال مرة أخرى ، لماذا لا؟ مصفوفة المصدر يحمل معلومات تختلف اختلافًا جوهريًا عن معلومات المصفوفة والصف. في بعض النماذج الرياضية (بدون مبالغة) ، يمكن أن يكون الاختلاف في رقم واحد مسألة حياة أو موت. ... تذكرت معلمي الرياضيات بالمدرسة في الصفوف الابتدائية والثانوية ، الذين قطعوا الصف بلا رحمة بمقدار 1-2 نقطة لأدنى قدر من عدم الدقة أو الانحراف عن الخوارزمية. وكان الأمر مخيباً للآمال بشكل رهيب عندما تبين أنه "جيد" أو أسوأ من ذلك ، بدلاً من "الخمسة" التي تبدو مضمونة على ما يبدو. جاء التفاهم بعد ذلك بكثير - وإلا فكيف نعهد إلى شخص ما بالأقمار الصناعية والرؤوس الحربية النووية ومحطات الطاقة؟ لكن لا تقلق ، فأنا لا أعمل في هذه المجالات =)

دعنا ننتقل إلى مهام أكثر أهمية ، حيث ، من بين أمور أخرى ، سوف نتعرف على تقنيات حسابية مهمة طريقة جاوس:

مثال 3

أوجد مرتبة المصفوفة باستخدام التحولات الأولية

قرار: بمصفوفة أربعة في خمسة ، مما يعني أن رتبتها بالتأكيد لا تزيد عن 4.

في العمود الأول ، لا يوجد 1 أو -1 ، لذلك هناك حاجة إلى خطوات إضافية للحصول على وحدة واحدة على الأقل. طوال فترة وجود الموقع ، سئلني مرارًا وتكرارًا السؤال التالي: "هل من الممكن إعادة ترتيب الأعمدة أثناء التحولات الأولية؟". هنا - أعيد ترتيب العمود الأول أو الثاني ، وكل شيء على ما يرام! في معظم المهام حيث طريقة جاوس، يمكن إعادة ترتيب الأعمدة حقًا. لكن لا تفعل. والنقطة ليست حتى خلطًا محتملًا مع المتغيرات ، فالنقطة هي أنه في الدورة الكلاسيكية لتدريس الرياضيات العليا ، لا يُنظر إلى هذا الإجراء تقليديًا ، لذلك ، سيتم النظر إلى مثل هذا الانحناء بشكل ملتوي للغاية (أو حتى يُجبر على إعادة كل شيء) .

النقطة الثانية تتعلق بالأرقام. في سياق القرار ، من المفيد الاسترشاد بالقاعدة الأساسية التالية: يجب أن تقلل التحويلات الأولية ، إذا أمكن ، من أعداد المصفوفة. في الواقع ، من الأسهل بكثير العمل مع واحد - اثنان - ثلاثة من ، على سبيل المثال ، مع 23 و 45 و 97. والإجراء الأول لا يهدف فقط إلى الحصول على وحدة في العمود الأول ، ولكن أيضًا للقضاء على الأرقام 7 و 11.

أولاً الحل الكامل ، ثم التعليقات:

(1) تمت إضافة الصف الأول إلى الصف الثاني ، مضروبًا في -2. تمت إضافة السطر الأول إلى السطر الثالث ، مضروبًا في -3. وإلى الكومة: تمت إضافة السطر الأول ، مضروبًا في -1 ، إلى السطر الرابع.

(2) الأسطر الثلاثة الأخيرة متناسبة. تم حذف الخطين الثالث والرابع ، وتم نقل السطر الثاني إلى المركز الأول.

(3) تم إضافة الصف الأول إلى الصف الثاني ، مضروبًا في -3.

المصفوفة التي تم تقليلها إلى شكل متدرج تتكون من صفين.

إجابه:

الآن حان دورك لتعذيب مصفوفة أربعة في أربعة:

مثال 4

أوجد مرتبة مصفوفة باستخدام طريقة جاوس

أذكرك بذلك طريقة جاوسلا يعني صلابة لا لبس فيها ، ومن المرجح أن يكون حلك مختلفًا عن الحل الذي قدمته. عينة موجزة من المهمة في نهاية الدرس.

ما هي الطريقة التي يجب استخدامها لإيجاد رتبة المصفوفة؟

في الممارسة العملية ، غالبًا ما لا يُقال على الإطلاق الطريقة التي يجب استخدامها للعثور على الرتبة. في مثل هذه الحالة ، يجب على المرء أن يحلل الشرط - بالنسبة لبعض المصفوفات ، من المنطقي تنفيذ الحل من خلال قاصرين ، بينما بالنسبة للآخرين ، يكون تطبيق التحولات الأولية أكثر ربحية:

مثال 5

أوجد مرتبة المصفوفة

قرار: الطريقة الأولى تختفي على الفور بطريقة أو بأخرى =)

أعلى قليلاً ، نصحت بعدم لمس أعمدة المصفوفة ، ولكن عندما يكون هناك عمود صفري ، أو أعمدة متناسبة / متطابقة ، فلا يزال الأمر يستحق البتر:

(1) العمود الخامس هو صفر ، نقوم بإزالته من المصفوفة. وبالتالي ، فإن رتبة المصفوفة هي أربعة على الأكثر. يتم ضرب الصف الأول في -1. هذه ميزة توقيع أخرى للطريقة الغاوسية ، مما يجعل الإجراء التالي نزهة ممتعة:

(2) تم إضافة السطر الأول إلى جميع الأسطر ، بدءًا من السطر الثاني.

(3) تم ضرب الصف الأول في -1 ، وتم تقسيم الصف الثالث على 2 ، وتم تقسيم الصف الرابع على 3. تمت إضافة الصف الثاني مضروبًا في -1 إلى الصف الخامس.

(4) تم إضافة السطر الثالث إلى السطر الخامس ، مضروبًا في -2.

(5) السطران الأخيران متناسبان ، نحذف السطر الخامس.

والنتيجة هي 4 صفوف.

إجابه:

مبنى قياسي من خمسة طوابق لاستكشاف الذات:

مثال 6

أوجد مرتبة المصفوفة

حل قصير والإجابة في نهاية الدرس.

وتجدر الإشارة إلى أن عبارة "رتبة المصفوفة" ليست شائعة في الممارسة ، وفي معظم المشاكل يمكنك الاستغناء عنها. ولكن هناك مهمة واحدة يكون فيها المفهوم قيد النظر هو الشخصية الرئيسية ، وفي ختام المقال سننظر في هذا التطبيق العملي:

كيف تتحقق من نظام المعادلات الخطية من أجل التوافق؟

في كثير من الأحيان ، بالإضافة إلى حل أنظمة المعادلات الخطيةوفقًا للشرط ، يجب أولاً فحصه للتأكد من توافقه ، أي لإثبات وجود أي حل على الإطلاق. يتم لعب دور رئيسي في هذا التحقق نظرية كرونيكر كابيليوالتي سأقوم بصياغتها بالشكل المطلوب:

إذا كانت مرتبة مصفوفات النظاميساوي الرتبة نظام المصفوفة المعزز، إذن يكون النظام متسقًا ، وإذا تطابق الرقم المحدد مع عدد المجهولين ، فإن الحل يكون فريدًا.

وبالتالي ، لدراسة نظام التوافق ، من الضروري التحقق من المساواة ، أين - مصفوفة النظام(تذكر المصطلحات من الدرس طريقة جاوس)، أ - نظام المصفوفة المعزز(أي مصفوفة ذات معاملات عند المتغيرات + عمود المصطلحات الحرة).

تعتبر رتبة المصفوفة خاصية عددية مهمة. المشكلة الأكثر شيوعًا التي تتطلب إيجاد رتبة مصفوفة هي التحقق من توافق نظام المعادلات الجبرية الخطية. في هذه المقالة ، سنقدم مفهوم رتبة المصفوفة وننظر في طرق العثور عليها. من أجل استيعاب أفضل للمواد ، سنحلل بالتفصيل حلول العديد من الأمثلة.

التنقل في الصفحة.

تحديد رتبة المصفوفة والمفاهيم الإضافية الضرورية.

قبل التعبير عن تعريف رتبة المصفوفة ، يجب أن يكون لدى المرء فهم جيد لمفهوم القاصر ، وإيجاد صغار المصفوفة يعني القدرة على حساب المحدد. لذلك نوصي ، إذا لزم الأمر ، أن نتذكر نظرية المقال ، وطرق إيجاد محدد المصفوفة ، وخصائص المحدد.

خذ المصفوفة أ من النظام. لنفترض أن k عددًا طبيعيًا لا يتجاوز أصغر الأرقام m و n ، أي ، .

تعريف.

ترتيب ثانوي من k-thالمصفوفة A هي محدد المصفوفة المربعة للترتيب ، المكونة من عناصر المصفوفة A ، والموجودة في صفوف k وأعمدة k محددة مسبقًا ، ويتم الاحتفاظ بموقع عناصر المصفوفة A.

بمعنى آخر ، إذا قمنا بحذف (ص - ك) الصفوف والأعمدة (ن - ك) في المصفوفة أ ، وشكلنا مصفوفة من العناصر المتبقية ، مع الحفاظ على ترتيب عناصر المصفوفة أ ، فإن محدد المصفوفة الناتجة هو أمر ثانوي ك من المصفوفة أ.

لنلق نظرة على تعريف مصفوفة ثانوية باستخدام مثال.

ضع في اعتبارك المصفوفة .

دعونا نكتب العديد من العناصر الثانوية من الدرجة الأولى لهذه المصفوفة. على سبيل المثال ، إذا اخترنا الصف الثالث والعمود الثاني من المصفوفة A ، فإن اختيارنا يتوافق مع ثانوي من الدرجة الأولى . بعبارة أخرى ، للحصول على هذا الصغر ، قمنا بشطب الصفين الأول والثاني ، وكذلك الأعمدة الأول والثالث والرابع من المصفوفة A ، وقمنا بتكوين المحدد من العنصر المتبقي. إذا اخترنا الصف الأول والعمود الثالث من المصفوفة A ، فإننا نحصل على ثانوي .

دعونا نوضح إجراءات الحصول على القاصرين من الدرجة الأولى
و .

وبالتالي ، فإن العناصر الثانوية من الدرجة الأولى في المصفوفة هي عناصر المصفوفة نفسها.

دعونا نظهر عدة قاصرين من الدرجة الثانية. حدد صفين وعمودين. على سبيل المثال ، خذ الصفين الأول والثاني والعمود الثالث والرابع. مع هذا الاختيار ، لدينا قاصر من الدرجة الثانية . يمكن أيضًا تكوين هذا العنصر الصغير عن طريق حذف الصف الثالث والعمود الأول والثاني من المصفوفة A.

ثانوية أخرى من الدرجة الثانية في المصفوفة أ هي.

دعونا نوضح بناء هؤلاء القصر من الدرجة الثانية
و .

يمكن إيجاد الصغرى من الرتبة الثالثة للمصفوفة A بالمثل. نظرًا لوجود ثلاثة صفوف فقط في المصفوفة A ، فإننا نختارها جميعًا. إذا حددنا الأعمدة الثلاثة الأولى لهذه الصفوف ، فسنحصل على ثانوية من الترتيب الثالث

يمكن أيضًا إنشاؤها عن طريق حذف العمود الأخير من المصفوفة A.

قاصر آخر من الدرجة الثالثة هو

تم الحصول عليها عن طريق حذف العمود الثالث من المصفوفة A.

هنا رسم يوضح بناء هؤلاء القصر من الدرجة الثالثة
و .

بالنسبة لمصفوفة معينة A ، لا يوجد قاصر من الدرجة أعلى من الثالث ، منذ ذلك الحين.

كم عدد القاصرين من الرتبة k من المصفوفة A من النظام الموجود؟

يمكن حساب عدد الطلبات الثانوية k حيث ، حيث و - عدد التوليفات من p إلى k ومن n إلى k على التوالي.

كيف نبني جميع الرتب الثانوية من الرتبة k للمصفوفة A من الرتبة p على n؟

نحتاج إلى مجموعة من أرقام صفوف المصفوفات ومجموعة من أرقام الأعمدة. تسجيل كل شيء مجموعات من العناصر p بواسطة k(سوف تتوافق مع الصفوف المختارة من المصفوفة A عند إنشاء ترتيب ثانوي ك). لكل مجموعة من أرقام الصفوف ، نضيف بشكل تسلسلي جميع مجموعات n من العناصر بأرقام الأعمدة k. هذه المجموعات من مجموعات أرقام الصفوف وأرقام الأعمدة في المصفوفة A ستساعد في تكوين جميع الرتب الثانوية ك.

لنأخذ مثالا.

مثال.

أوجد كل الرتبة الثانية الصغرى من المصفوفة.

قرار.

بما أن ترتيب المصفوفة الأصلية هو 3 × 3 ، فسيكون إجمالي الرتبة الثانية الثانوية .

دعنا نكتب جميع التركيبات المكونة من 3 إلى 2 أرقام صف من المصفوفة A: 1 ، 2 ؛ 1 و 3 و 2 و 3. جميع التركيبات المكونة من 3 في 2 أرقام الأعمدة هي 1 ، 2 ؛ 1 و 3 و 2 و 3.

خذ الصفين الأول والثاني من المصفوفة أ. اختيار العمودين الأول والثاني لهذه الصفوف ، العمودين الأول والثالث ، العمودين الثاني والثالث ، نحصل على العمودين الثانوي على التوالي

بالنسبة للصفين الأول والثالث ، مع اختيار مماثل للأعمدة ، لدينا

يبقى إضافة العمودين الأول والثاني والأول والثالث والثاني والثالث إلى الصفين الثاني والثالث:

لذلك ، تم إيجاد التسعة الصغار من الرتبة الثانية من المصفوفة A.

يمكننا الآن الانتقال إلى تحديد رتبة المصفوفة.

تعريف.

رتبة المصفوفةهي أعلى رتبة لمصفوفة ثانوية غير صفرية.

يُشار إلى رتبة المصفوفة A على أنها رتبة (A). يمكنك أيضًا رؤية التعيينات Rg (A) أو Rang (A).

من تعريفات رتبة المصفوفة والصغرى للمصفوفة ، يمكننا أن نستنتج أن رتبة المصفوفة الصفرية تساوي الصفر ، وأن رتبة المصفوفة غير الصفرية هي واحد على الأقل.

إيجاد مرتبة المصفوفة بالتعريف.

إذن ، الطريقة الأولى لإيجاد رتبة مصفوفة هي طريقة العد الصغرى. تعتمد هذه الطريقة على تحديد رتبة المصفوفة.

دعونا نوجد رتبة المصفوفة A من الترتيب.

صف بإيجاز الخوارزميةحل هذه المشكلة بطريقة حصر القاصرين.

إذا كان هناك عنصر مصفوفة واحد على الأقل غير صفري ، فإن رتبة المصفوفة تساوي واحدًا على الأقل (نظرًا لوجود قاصر من الدرجة الأولى لا يساوي الصفر).

بعد ذلك ، نقوم بالتكرار على القاصرين من الدرجة الثانية. إذا كان كل الصغار من الدرجة الثانية يساوي صفرًا ، فإن رتبة المصفوفة تساوي واحدًا. إذا كان هناك قاصر واحد على الأقل غير صفري من الدرجة الثانية ، فإننا ننتقل إلى تعداد القاصرين من الدرجة الثالثة ، وترتيب المصفوفة يساوي اثنين على الأقل.

وبالمثل ، إذا كانت جميع الأطفال من الرتبة الثالثة صفرًا ، فإن رتبة المصفوفة هي اثنان. إذا كان هناك قاصر واحد على الأقل من الرتبة الثالثة غير صفري ، فإن رتبة المصفوفة هي ثلاثة على الأقل ، وسننتقل إلى تعداد القصر من الدرجة الرابعة.

لاحظ أن رتبة المصفوفة لا يمكن أن تتجاوز أصغر p و n.

مثال.

أوجد مرتبة المصفوفة .

قرار.

بما أن المصفوفة ليست صفرية ، فإن رتبتها لا تقل عن واحد.

الصغرى من الدرجة الثانية يختلف عن الصفر ، لذا فإن رتبة المصفوفة A هي اثنان على الأقل. ننتقل إلى تعداد القصر من الدرجة الثالثة. كل منهم أشياء.

كل الصغار من الدرجة الثالثة يساوي صفرًا. إذن ، رتبة المصفوفة هي اثنان.

إجابه:

المرتبة (أ) = 2.

إيجاد مرتبة المصفوفة بطريقة تهديب القصر.

هناك طرق أخرى لإيجاد رتبة المصفوفة تسمح لك بالحصول على النتيجة بعمل حسابي أقل.

إحدى هذه الطرق هي طريقة طفيفة التهديب.

دعونا نتعامل مع مفهوم القاصر المجاور.

يُقال أن M ok من الترتيب (k + 1) من المصفوفة A يحيط بالقيمة M الثانوية من الرتبة k للمصفوفة A إذا كانت المصفوفة المقابلة لـ M ok "تحتوي على" المصفوفة المقابلة للقاصر م.

بعبارة أخرى ، يتم الحصول على المصفوفة المقابلة للمصفوفة الصغيرة الحدودية M من المصفوفة المقابلة للمصفوفة الحدودية M ok بحذف عناصر صف واحد وعمود واحد.

على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك المصفوفة ويأخذ قاصرًا من الدرجة الثانية. دعونا نكتب كل القاصرين المجاورين:

طريقة تجاور القاصرين مبررة بالنظرية التالية (نقدم صياغتها بدون دليل).

نظرية.

إذا كان كل القاصرين الذين يحدون من الرتبة k-th من المصفوفة A من الرتبة p في n يساوي صفرًا ، فإن كل العناصر الثانوية (k + 1) للمصفوفة A تساوي صفرًا.

وبالتالي ، لإيجاد مرتبة المصفوفة ، ليس من الضروري تعداد كل القصر الذين هم على حدود كافية. يتم إيجاد عدد القُصَّر الذين يحدون الرتبة k-th من الرتبة الثانوية للمصفوفة A بالترتيب من خلال الصيغة . لاحظ أنه لم يعد هناك قاصرون يحدون المرتبة الصغرى من المرتبة k للمصفوفة A أكثر من وجود (k + 1) من الدرجة الثانية للمصفوفة A. لذلك ، في معظم الحالات ، يكون استخدام طريقة الحدود مع القاصرين أكثر ربحية من مجرد تعداد كل القصر.

دعونا نشرع في إيجاد مرتبة المصفوفة بطريقة تهديب القصر. صف بإيجاز الخوارزميةهذه الطريقة.

إذا كانت المصفوفة A غير صفرية ، فإننا نأخذ أي عنصر في المصفوفة A يختلف عن الصفر كعنصر ثانوي من الدرجة الأولى. نحن نعتبر حدودها القصر. إذا كانت جميعها تساوي صفرًا ، فإن رتبة المصفوفة تساوي واحدًا. إذا كان هناك قاصر حدودي واحد على الأقل ليس صفريًا (الترتيب يساوي اثنين) ، فإننا ننتقل إلى اعتبار القصر المجاور له. إذا كانت جميعها صفراً ، فإن المرتبة (أ) = 2. إذا كان هناك قاصر واحد على الأقل ليس صفريًا (الترتيب يساوي ثلاثة) ، فإننا نعتبر أنه قاصر على الحدود. وهلم جرا. نتيجة لذلك ، الرتبة (A) = k إذا كان كل القاصرين الحدوديين من الرتبة (k + 1) من المصفوفة A تساوي الصفر ، أو الرتبة (A) = min (p ، n) إذا كان هناك غير صفري قاصر يحد قاصر من أجل (دقيقة (ع ، ن) - 1).

دعنا نحلل طريقة تجاور القاصرين لإيجاد رتبة المصفوفة باستخدام مثال.

مثال.

أوجد مرتبة المصفوفة بطريقة القاصرين المجاورة.

قرار.

نظرًا لأن العنصر a 1 1 في المصفوفة A ليس صفريًا ، فإننا نعتبره عنصرًا ثانويًا من الدرجة الأولى. لنبدأ في البحث عن حد صغير حدودي بخلاف الصفر:

تم العثور على ثانوية حدية غير صفرية. دعونا نعد القاصرين المتاخمين لها (هم أشياء):

جميع القاصرين المتاخمين للقاصر من الدرجة الثانية يساوي صفرًا ، وبالتالي فإن رتبة المصفوفة A تساوي اثنين.

إجابه:

المرتبة (أ) = 2.

مثال.

أوجد مرتبة المصفوفة بمساعدة القاصرين المجاورين.

قرار.

كقاصر غير صفري من الدرجة الأولى ، نأخذ العنصر 1 1 = 1 من المصفوفة A. تهديبها ثانوية من الدرجة الثانية لا يساوي الصفر. يحد هذا القاصر قاصر من الدرجة الثالثة
. نظرًا لأنها لا تساوي صفرًا ولا يوجد حد أدنى لها ، فإن رتبة المصفوفة A تساوي ثلاثة.

إجابه:

المرتبة (أ) = 3.

إيجاد الرتبة باستخدام التحولات الأولية للمصفوفة (بطريقة غاوس).

فكر في طريقة أخرى لإيجاد مرتبة المصفوفة.

تسمى تحويلات المصفوفة التالية الابتدائية:

تبديل صفوف (أو أعمدة) المصفوفة ؛
ضرب جميع عناصر أي صف (عمود) من المصفوفة برقم تعسفي ك يختلف عن الصفر ؛
إضافة إلى عناصر أي صف (عمود) العناصر المقابلة لصف آخر (عمود) من المصفوفة ، مضروبة في رقم تعسفي ك.

تسمى المصفوفة ب مكافئة للمصفوفة أ، إذا تم الحصول على B من A بمساعدة عدد محدود من التحولات الأولية. يُشار إلى تكافؤ المصفوفات بالرمز "~" ، أي أنه مكتوب A ~ B.

يعتمد العثور على رتبة المصفوفة باستخدام تحويلات المصفوفة الأولية على العبارة: إذا تم الحصول على المصفوفة B من المصفوفة A باستخدام عدد محدود من التحويلات الأولية ، فإن الرتبة (A) = الرتبة (B).

صحة هذا البيان تأتي من خصائص محدد المصفوفة:

عندما يتم تبديل صفوف (أو أعمدة) المصفوفة ، يتم تسجيل التغييرات المحددة لها. إذا كانت تساوي الصفر ، فعند تبديل الصفوف (الأعمدة) ، تظل مساوية للصفر.
عند ضرب جميع عناصر أي صف (عمود) من المصفوفة برقم تعسفي k يختلف عن الصفر ، فإن محدد المصفوفة الناتجة يساوي محدد المصفوفة الأصلية ، مضروبًا في k. إذا كان محدد المصفوفة الأصلية يساوي صفرًا ، فبعد ضرب جميع عناصر أي صف أو عمود في الرقم k ، فإن محدد المصفوفة الناتجة سيكون أيضًا مساويًا للصفر.
إضافة إلى عناصر صف معين (عمود) من المصفوفة ، فإن العناصر المقابلة لصف آخر (عمود) من المصفوفة ، مضروبة في رقم معين ك ، لا يغير محددها.

جوهر طريقة التحولات الأوليةهو إحضار المصفوفة ، التي نحتاج إلى إيجاد رتبتها ، إلى شبه منحرف (في حالة معينة ، إلى مثلث علوي) باستخدام تحويلات أولية.

لما هذا؟ من السهل جدًا العثور على ترتيب المصفوفات من هذا النوع. إنه يساوي عدد الصفوف التي تحتوي على عنصر واحد غير فارغ على الأقل. وبما أن رتبة المصفوفة لا تتغير أثناء التحولات الأولية ، فإن القيمة الناتجة ستكون رتبة المصفوفة الأصلية.

نقدم توضيحات لمصفوفات ، يجب الحصول على أحدها بعد التحولات. يعتمد شكلها على ترتيب المصفوفة.

هذه الرسوم التوضيحية عبارة عن قوالب سنقوم بتحويل المصفوفة A.

دعنا نصف طريقة الخوارزمية.

لنفترض أننا بحاجة إلى إيجاد رتبة مصفوفة غير صفرية A مرتبة (يمكن أن تكون p مساوية لـ n).

لذا، . دعونا نضرب كل عناصر الصف الأول من المصفوفة A في. في هذه الحالة ، نحصل على مصفوفة مكافئة ، نشير إليها A (1):

إلى عناصر الصف الثاني من المصفوفة الناتجة A (1) ، نضيف العناصر المقابلة للصف الأول مضروبة في. أضف إلى عناصر الصف الثالث العناصر المقابلة للصف الأول مضروبًا في. وهكذا حتى السطر p-th. نحصل على مصفوفة مكافئة ، نشير إليها أ (2):

إذا كانت جميع عناصر المصفوفة الناتجة في الصفوف من الثانية إلى p-th تساوي صفرًا ، فإن رتبة هذه المصفوفة تساوي واحدًا ، وبالتالي ، فإن رتبة المصفوفة الأصلية تساوي واحدًا .

إذا كان هناك عنصر واحد على الأقل غير صفري في الصفوف من الثاني إلى p ، فإننا نواصل إجراء التحويلات. علاوة على ذلك ، نحن نتصرف بنفس الطريقة تمامًا ، ولكن فقط مع جزء المصفوفة A المميز في الشكل (2)

إذا ، فإننا نعيد ترتيب الصفوف و (أو) الأعمدة في المصفوفة A (2) بحيث يصبح العنصر "الجديد" غير صفري.

دع بعض المصفوفة تعطى:

حدد في هذه المصفوفة خطوط تعسفية و أعمدة عشوائية
. ثم المحدد الترتيب عشر ، ويتألف من عناصر المصفوفة
يقع عند تقاطع الصفوف والأعمدة المحددة يسمى ثانوي مصفوفة الترتيب
.

التعريف 1.13.رتبة المصفوفة
هي أكبر رتبة من الصغرى غير الصفرية لهذه المصفوفة.

لحساب رتبة المصفوفة ، يجب على المرء أن يأخذ في الاعتبار جميع القاصرين من الرتبة الأصغر ، وإذا كان أحدهم على الأقل غير صفري ، فانتقل إلى اعتبار القصر من الدرجة الأولى. هذا النهج لتحديد رتبة المصفوفة يسمى طريقة الحدود (أو طريقة القاصر الحدودية).

المهمة 1.4.بطريقة الحد من القصر ، حدد رتبة المصفوفة
.

ضع في اعتبارك الحدود من الدرجة الأولى ، على سبيل المثال ،
. ثم ننتقل إلى النظر في بعض الحدود من الدرجة الثانية.

علي سبيل المثال،
.

أخيرًا ، دعنا نحلل حدود الترتيب الثالث.

إذن أعلى ترتيب للقاصر ليس صفرًا هو 2 ، ومن ثم
.

عند حل المشكلة 1.4 ، يمكن للمرء أن يلاحظ أن سلسلة الحدود الثانوية من الدرجة الثانية ليست صفرية. في هذا الصدد ، يحدث المفهوم التالي.

التعريف 1.14.الأساس الثانوي للمصفوفة هو أي قاصر ليس صفريًا يكون ترتيبه مساويًا لرتبة المصفوفة.

نظرية 1.2.(النظرية البسيطة الأساسية). الصفوف الأساسية (الأعمدة الأساسية) مستقلة خطيًا.

لاحظ أن صفوف (أعمدة) المصفوفة تعتمد خطيًا إذا وفقط إذا كان يمكن تمثيل أحدها على الأقل كمجموعة خطية من الصفوف الأخرى.

نظرية 1.3.عدد صفوف المصفوفة المستقلة خطيًا يساوي عدد أعمدة المصفوفة المستقلة خطيًا ويساوي مرتبة المصفوفة.

نظرية 1.4.(شرط ضروري وكافٍ للمُحدد ليكون مساوياً للصفر). من أجل المحدد الترتيب يساوي الصفر ، من الضروري والكافي أن تكون صفوفه (أعمدته) مرتبطة خطيًا.

إن حساب مرتبة المصفوفة بناءً على تعريفها مرهق للغاية. يصبح هذا مهمًا بشكل خاص للمصفوفات عالية الترتيب. في هذا الصدد ، من الناحية العملية ، يتم حساب رتبة المصفوفة بناءً على تطبيق النظريات 10.2 - 10.4 ، وكذلك استخدام مفاهيم تكافؤ المصفوفة والتحولات الأولية.

التعريف 1.15.مصفوفتان
و تسمى متكافئة إذا كانت رتبهم متساوية ، أي
.

إذا كانت المصفوفات
و متكافئة ، ثم لاحظ
 .

نظرية 1.5.لا تتغير رتبة المصفوفة من التحولات الأولية.

سوف نسمي التحولات الأولية للمصفوفة
أي من الإجراءات التالية في المصفوفة:

استبدال الصفوف بالأعمدة والأعمدة بالصفوف المقابلة ؛

تبديل صفوف المصفوفة ؛

شطب خط ، كل عناصره تساوي الصفر ؛

ضرب أي سلسلة بعدد غير صفري ؛

إضافة العناصر المقابلة لصف آخر إلى عناصر صف واحد مضروبة في نفس الرقم
.

النتيجة الطبيعية للنظرية 1.5.إذا كانت المصفوفة
تم الحصول عليها من المصفوفة باستخدام عدد محدود من التحويلات الأولية ، ثم المصفوفات
و متكافئة.

عند حساب مرتبة المصفوفة ، يجب تقليلها إلى شكل شبه منحرف باستخدام عدد محدود من التحولات الأولية.

التعريف 1.16.سوف نسمي شبه منحرف مثل هذا الشكل من تمثيل المصفوفة عندما تختفي جميع العناصر الموجودة أسفل المائل في الترتيب الثانوي الحدودي لأكبر ترتيب بخلاف الصفر. علي سبيل المثال:

هنا
، عناصر المصفوفة
أنتقل إلى الصفر. ثم سيكون شكل تمثيل مثل هذه المصفوفة شبه منحرف.

كقاعدة عامة ، يتم تقليل المصفوفات إلى شكل شبه منحرف باستخدام خوارزمية Gaussian. فكرة الخوارزمية الغاوسية هي أنه بضرب عناصر الصف الأول من المصفوفة بالعوامل المقابلة ، فإنها تحقق أن جميع عناصر العمود الأول الموجودة أسفل العنصر
، سوف تتحول إلى الصفر. بعد ذلك ، بضرب عناصر العمود الثاني بالمضاعفات المقابلة ، نحقق أن جميع عناصر العمود الثاني تقع أسفل العنصر
، سوف تتحول إلى الصفر. المضي قدما بالمثل.