Cách giải hạng của ma trận. Tìm hạng của ma trận: phương pháp và ví dụ

Hãy xem xét một ma trận hình chữ nhật. Nếu trong ma trận này, chúng tôi chọn tùy ý k dòng và k cột, thì các phần tử tại giao điểm của các hàng và cột đã chọn tạo thành ma trận vuông bậc k. Định thức của ma trận này được gọi là thứ tự thứ k ma trận A. Rõ ràng, ma trận A có các phần tử phụ thuộc bất kỳ thứ tự nào từ 1 đến nhỏ nhất trong các số m và n. Trong số tất cả các phần tử con khác 0 của ma trận A, có ít nhất một phần tử con có bậc lớn nhất. Bậc lớn nhất khác 0 của các phần tử con của một ma trận đã cho được gọi là cấp ma trận. Nếu hạng của ma trận A là r, thì điều này có nghĩa là ma trận A có bậc phụ khác 0 r, nhưng mọi cấp bậc nhỏ hơn r, bằng không. Hạng của ma trận A được ký hiệu là r(A). Rõ ràng là mối quan hệ

Tính hạng của ma trận bằng cách sử dụng phần phụ

Thứ hạng của ma trận được tìm thấy bằng cách giáp các phần phụ hoặc bằng phương pháp biến đổi cơ bản. Khi tính hạng của ma trận theo cách thứ nhất, người ta phải chuyển từ các phần phụ của bậc thấp hơn sang phần phụ của bậc cao hơn. Nếu đã tìm thấy một D phụ khác 0 của bậc k của ma trận A, thì chỉ phải tính các phần tử phụ thứ (k + 1) giáp với D phụ, tức là chứa nó như là một trẻ vị thành niên. Nếu chúng đều bằng 0 thì hạng của ma trận là k.

ví dụ 1Tìm hạng của ma trận bằng phương pháp lũy thừa

Phán quyết.Chúng tôi bắt đầu với trẻ vị thành niên của đơn hàng đầu tiên, tức là từ các phần tử của ma trận A. Ví dụ, chúng ta hãy chọn phần tử phụ (phần tử) М 1 = 1 nằm ở hàng đầu tiên và cột đầu tiên. Giáp ranh giới với sự trợ giúp của hàng thứ hai và cột thứ ba, chúng tôi thu được M 2 = nhỏ, khác 0. Bây giờ chúng tôi chuyển sang trẻ vị thành niên của thứ tự thứ 3, giáp với M 2 . Chỉ có hai trong số chúng (bạn có thể thêm cột thứ hai hoặc cột thứ tư). Chúng tôi tính toán chúng: = 0. Do đó, tất cả các trẻ vị thành niên giáp ranh của bậc ba hóa ra đều bằng không. Hạng của ma trận A là hai.

Tính hạng của ma trận bằng các phép biến đổi cơ bản

tiểu họcCác phép biến đổi ma trận sau đây được gọi là:

1) hoán vị của hai hàng (hoặc cột) bất kỳ,

2) nhân một hàng (hoặc cột) với một số khác 0,

3) thêm vào một hàng (hoặc cột) một hàng (hoặc cột) khác nhân với một số.

Hai ma trận được gọi là tương đương, nếu một trong số chúng được lấy từ cái kia với sự trợ giúp của một tập hợp hữu hạn các phép biến đổi cơ bản.

Các ma trận tương đương nói chung không bằng nhau, nhưng hạng của chúng bằng nhau. Nếu ma trận A và B tương đương nhau, thì điều này được viết như sau: A~b.

kinh điểnMa trận là ma trận có nhiều số 1 liên tiếp ở đầu đường chéo chính (số có thể bằng 0) và tất cả các phần tử khác bằng 0, ví dụ:

Với sự trợ giúp của các phép biến đổi cơ bản của hàng và cột, bất kỳ ma trận nào cũng có thể được rút gọn thành ma trận chuẩn. Hạng của ma trận chính tắc bằng số hạng trên đường chéo chính của nó.

ví dụ 2Tìm hạng của ma trận

và đưa nó về dạng kinh điển.

Phán quyết. Trừ hàng đầu tiên từ hàng thứ hai và sắp xếp lại các hàng này:

Bây giờ, từ hàng thứ hai và thứ ba, lần lượt trừ đi hàng thứ nhất, nhân với 2 và 5:

;

trừ hàng đầu tiên từ hàng thứ ba; chúng tôi nhận được ma trận

tương đương với ma trận A, vì nó thu được từ nó bằng cách sử dụng một tập hợp hữu hạn các phép biến đổi cơ bản. Rõ ràng, hạng của ma trận B là 2, và do đó r(A)=2. Ma trận B có thể dễ dàng rút gọn thành ma trận chính tắc. Trừ cột đầu tiên, nhân với các số thích hợp, từ tất cả các cột tiếp theo, chúng tôi chuyển tất cả các phần tử của hàng đầu tiên, ngoại trừ cột đầu tiên, và các phần tử của các hàng còn lại, không thay đổi. Sau đó, trừ cột thứ hai, nhân với các số thích hợp, từ tất cả các cột tiếp theo, chúng tôi chuyển thành 0 tất cả các phần tử của hàng thứ hai, ngoại trừ cột thứ hai và nhận được ma trận chính tắc:

Sự định nghĩa. xếp hạng ma trận là số lượng hàng độc lập tuyến tính tối đa được coi là vectơ.

Định lý 1 về hạng của ma trận. xếp hạng ma trận là bậc lớn nhất của một phần phụ khác 0 của ma trận.

Chúng ta đã thảo luận về khái niệm định thức trong bài học về định thức, và bây giờ chúng ta sẽ khái quát hóa nó. Hãy lấy một số hàng và một số cột trong ma trận, và "thứ gì đó" này phải nhỏ hơn số hàng và cột của ma trận, và đối với hàng và cột, "thứ gì đó" này phải bằng một số. Khi đó tại giao điểm của bao nhiêu hàng bao nhiêu cột sẽ có một ma trận cấp nhỏ hơn ma trận ban đầu của chúng ta. Định thức của ma trận này sẽ là một số nhỏ bậc k nếu "cái gì đó" được đề cập (số lượng hàng và cột) được ký hiệu là k.

Sự định nghĩa. Diễn viên phụ ( r+1) -thứ tự, bên trong là thứ được chọn r-thứ tự, được gọi là giáp cho tiểu đã cho.

Hai phương pháp được sử dụng phổ biến nhất tìm hạng của ma trận. Cái này cách bao vây trẻ vị thành niên và phương pháp biến đổi cơ bản(theo phương pháp Gauss).

Phương pháp tiểu nhân giáp sử dụng định lý sau.

Định lý 2 về hạng của ma trận. Nếu có thể soạn một phần phụ từ các phần tử của ma trận r thứ tự khác 0 thì hạng của ma trận bằng r.

Với phương pháp biến đổi cơ bản, tính chất sau được sử dụng:

Nếu một ma trận hình thang tương đương với ma trận ban đầu thu được bằng các phép biến đổi cơ bản, thì hạng của ma trận này là số dòng trong đó ngoại trừ các dòng bao gồm toàn số không.

Tìm hạng của ma trận bằng phương pháp lũy thừa

Con giáp phụ là con thứ bậc cao hơn so với con đã cho, nếu con thứ bậc cao hơn này chứa con thứ đã cho.

Ví dụ, cho trước ma trận

Hãy lấy một trẻ vị thành niên

viền sẽ là trẻ vị thành niên như vậy:

Thuật toán tìm hạng của ma trận tiếp theo.

1. Chúng tôi tìm thấy các phần phụ của thứ tự thứ hai không bằng 0. Nếu tất cả các phần tử con cấp hai đều bằng 0 thì hạng của ma trận sẽ bằng một ( r =1 ).

2. Nếu tồn tại ít nhất một ẩn phụ cấp hai khác 0, thì ta tổng hợp các ẩn phụ cấp ba giáp ranh. Nếu tất cả các con giáp bậc ba đều bằng 0 thì hạng của ma trận là hai ( r =2 ).

3. Nếu ít nhất một trong các con giáp của bậc ba không bằng 0, thì chúng ta tổng hợp các con giáp với nó. Nếu tất cả các phần tử con bậc bốn giáp nhau đều bằng 0 thì hạng của ma trận là ba ( r =2 ).

4. Tiếp tục miễn là kích thước của ma trận cho phép.

ví dụ 1 Tìm hạng của ma trận

Phán quyết. Nhỏ của thứ tự thứ hai .

Chúng tôi đóng khung nó. Sẽ có bốn con giáp:

Do đó, tất cả các phần phụ bậc ba giáp ranh đều bằng 0, do đó, hạng của ma trận này là hai ( r =2 ).

ví dụ 2 Tìm hạng của ma trận

Phán quyết. Hạng của ma trận này là 1, vì tất cả các con giáp phụ của ma trận này đều bằng 0 (trong trường hợp này, cũng như các trường hợp con giáp trong hai ví dụ tiếp theo, mời các bạn học sinh thân mến tự kiểm chứng sử dụng các quy tắc để tính định thức) và trong số các phần tử thứ nhất , nghĩa là trong số các phần tử của ma trận, không có phần tử nào bằng 0.

ví dụ 3 Tìm hạng của ma trận

Phán quyết. Phần phụ cấp hai của ma trận này là , và tất cả các phần tử phụ cấp ba của ma trận này đều bằng không. Do đó, hạng của ma trận này là hai.

Ví dụ 4 Tìm hạng của ma trận

Phán quyết. Hạng của ma trận này là 3 vì hạng phụ thứ ba duy nhất của ma trận này là 3.

Tìm hạng của ma trận bằng phương pháp biến đổi sơ cấp (theo phương pháp Gauss)

Ngay ở ví dụ 1, có thể thấy rằng bài toán xác định hạng của ma trận bằng phương pháp định thức con giáp đòi hỏi phải tính toán một số lượng lớn các định thức. Tuy nhiên, có một cách để giảm khối lượng tính toán xuống mức tối thiểu. Phương pháp này dựa trên việc sử dụng các phép biến đổi ma trận cơ bản và còn được gọi là phương pháp Gauss.

Các phép biến đổi sơ cấp của một ma trận bao gồm các phép toán sau:

1) nhân bất kỳ hàng hoặc bất kỳ cột nào của ma trận với một số khác 0;

2) thêm vào các phần tử của bất kỳ hàng hoặc cột nào của ma trận các phần tử tương ứng của một hàng hoặc cột khác, nhân với cùng một số;

3) đổi chỗ hai hàng hoặc hai cột của ma trận;

4) loại bỏ các hàng "null", tức là những hàng có tất cả các phần tử bằng 0;

5) xóa tất cả các dòng tỷ lệ, ngoại trừ một dòng.

định lý. Phép biến đổi sơ cấp không làm thay đổi hạng của ma trận. Nói cách khác, nếu chúng ta sử dụng các phép biến đổi cơ bản từ ma trận Mộtđi đến ma trận b, sau đó .

Và cũng xem xét một ứng dụng thực tế quan trọng của chủ đề: nghiên cứu về một hệ phương trình tuyến tính để tương thích.

Hạng của một ma trận là gì?

Phần kết hài hước của bài báo chứa đựng rất nhiều sự thật. Bản thân từ "xếp hạng" thường được liên kết với một số loại phân cấp, thường là với bậc thang nghề nghiệp. Một người càng có nhiều kiến thức, kinh nghiệm, khả năng, mối quan hệ, v.v. - vị trí và phạm vi cơ hội của anh ta càng cao. Về giới trẻ, thứ hạng đề cập đến mức độ "dẻo dai" tổng thể.

Và anh em toán học của chúng tôi sống theo cùng một nguyên tắc. Hãy đi dạo một vài tùy ý ma trận bằng không:

Hãy nghĩ nếu trong ma trận chỉ số không, thì chúng ta có thể nói về thứ hạng nào? Mọi người đều quen thuộc với biểu thức không chính thức "tổng số không". Trong xã hội ma trận, mọi thứ đều giống hệt nhau:

Xếp hạng ma trận bằng khôngbất kỳ kích thước là số không.

Ghi chú : ma trận không được biểu thị bằng chữ Hy Lạp "theta"

Để hiểu rõ hơn về hạng của ma trận, sau đây tôi sẽ vẽ trên tài liệu hình học giải tích. xem xét số không véc tơ của không gian ba chiều của chúng ta, không đặt một hướng nhất định và vô ích cho việc xây dựng cơ sở affine. Theo quan điểm đại số, tọa độ của một vectơ đã cho được viết dưới dạng ma trận"một trong ba" và hợp lý (theo nghĩa hình học cụ thể) giả sử rằng hạng của ma trận này bằng không.

Bây giờ chúng ta hãy xem xét một số khác không vectơ cột và vectơ hàng:

Mỗi phiên bản có ít nhất một phần tử khác null và đó là một cái gì đó!

Thứ hạng của bất kỳ vectơ hàng khác 0 (vectơ cột) nào đều bằng một

Và nói chung - nếu trong ma trận kích thước tùy ý có ít nhất một phần tử khác 0, thì hạng của nó không ít hơn các đơn vị.

Các vectơ hàng và cột đại số là trừu tượng ở một mức độ nhất định, vì vậy chúng ta hãy chuyển sang liên kết hình học một lần nữa. khác không véc tơ thiết lập một hướng được xác định rõ trong không gian và phù hợp để xây dựng nền tảng, vì vậy hạng của ma trận sẽ được coi là bằng một.

nền tảng lý thuyết : trong đại số tuyến tính, vectơ là một phần tử của không gian vectơ (được xác định thông qua 8 tiên đề), đặc biệt, có thể là một hàng (hoặc cột) có thứ tự của các số thực với các phép toán cộng và nhân với một số thực xác định cho họ. Để biết thêm thông tin về vectơ, xem bài viết phép biến đổi tuyến tính.

phụ thuộc tuyến tính(thể hiện qua nhau). Từ quan điểm hình học, dòng thứ hai chứa tọa độ của vectơ cộng tuyến , không thúc đẩy vấn đề trong việc xây dựng cơ sở ba chiều, là dư thừa theo nghĩa này. Như vậy, hạng của ma trận này cũng bằng một.

Chúng tôi viết lại tọa độ của các vectơ trong các cột ( chuyển vị ma trận):

Điều gì đã thay đổi về thứ hạng? Không. Các cột tỷ lệ thuận, có nghĩa là thứ hạng bằng một. Nhân tiện, lưu ý rằng cả ba dòng cũng tỷ lệ thuận. Chúng có thể được xác định với tọa độ số ba các vectơ pháp tuyến của mặt phẳng, trong đó chỉ một hữu ích cho việc xây dựng một cơ sở "phẳng". Và điều này hoàn toàn phù hợp với cảm giác xếp hạng hình học của chúng ta.

Một tuyên bố quan trọng sau từ ví dụ trên:

Hạng của ma trận theo hàng bằng hạng của ma trận theo cột. Tôi đã đề cập đến điều này một chút trong bài học về hiệu quả các phương pháp tính định thức.

Ghi chú : phụ thuộc tuyến tính của hàng dẫn đến phụ thuộc tuyến tính của cột (và ngược lại). Nhưng để tiết kiệm thời gian và theo thói quen, hầu như tôi sẽ luôn nói về sự phụ thuộc tuyến tính của các chuỗi.

Hãy tiếp tục huấn luyện thú cưng yêu quý của chúng ta. Thêm tọa độ của một vectơ cộng tuyến khác vào ma trận ở hàng thứ ba :

Anh ấy có giúp chúng tôi xây dựng cơ sở ba chiều không? Dĩ nhiên là không. Cả ba vectơ đi đi lại lại trên cùng một đường và hạng của ma trận là bằng nhau. Bạn có thể lấy bao nhiêu vectơ cộng tuyến tùy thích, chẳng hạn như 100, đặt tọa độ của chúng vào ma trận 100 nhân 3 và thứ hạng của một tòa nhà chọc trời như vậy sẽ vẫn là một.

Hãy làm quen với ma trận có các hàng độc lập tuyến tính. Một cặp vectơ không thẳng hàng phù hợp để xây dựng một cơ sở ba chiều. Hạng của ma trận này là hai.

Hạng của ma trận là gì? Các dòng dường như không cân xứng ... vì vậy, về lý thuyết, là ba. Tuy nhiên, hạng của ma trận này cũng bằng hai. Tôi đã thêm hai dòng đầu tiên và viết kết quả ở dưới cùng, tức là thể hiện tuyến tính dòng thứ ba thông qua hai dòng đầu tiên. Về mặt hình học, các hàng của ma trận tương ứng với tọa độ của ba vectơ đồng phẳng, và trong bộ ba này có một cặp đồng phân không thẳng hàng.

Bạn có thể thấy phụ thuộc tuyến tính trong ma trận được xem xét là không rõ ràng, và hôm nay chúng ta sẽ chỉ tìm hiểu cách đưa nó vào nước sạch.

Tôi nghĩ rằng nhiều người đoán thứ hạng của một ma trận là gì!

Xét một ma trận có các hàng độc lập tuyến tính. dạng vectơ cơ sở affine, và hạng của ma trận này là ba.

Như bạn đã biết, bất kỳ vectơ thứ tư, thứ năm, thứ mười của không gian ba chiều sẽ được biểu diễn tuyến tính dưới dạng các vectơ cơ sở. Do đó, nếu bất kỳ số hàng nào được thêm vào ma trận, thì thứ hạng của nó vẫn sẽ là ba.

Lập luận tương tự có thể được thực hiện cho các ma trận có kích thước lớn hơn (rõ ràng là không có ý nghĩa hình học).

Sự định nghĩa : xếp hạng ma trận là số lượng hàng độc lập tuyến tính tối đa. Hoặc: hạng của ma trận là số cột độc lập tuyến tính tối đa. Vâng, họ luôn luôn phù hợp.

Một hướng dẫn thực tế quan trọng sau từ những điều trên: hạng của một ma trận không vượt quá kích thước tối thiểu của nó. Ví dụ, trong ma trận bốn hàng và năm cột. Kích thước tối thiểu là bốn, do đó, thứ hạng của ma trận này chắc chắn sẽ không vượt quá 4.

ký hiệu: trong lý thuyết và thực tiễn thế giới, không có tiêu chuẩn được chấp nhận chung để chỉ định thứ hạng của ma trận, có thể tìm thấy tiêu chuẩn phổ biến nhất: - như người ta nói, người Anh viết thế này, người Đức viết thế khác. Do đó, dựa trên giai thoại nổi tiếng về địa ngục của Mỹ và Nga, hãy chỉ định thứ hạng của ma trận bằng một từ bản địa. Ví dụ: . Và nếu ma trận là "không tên", trong đó có rất nhiều, thì bạn chỉ cần viết .

Làm cách nào để tìm thứ hạng của ma trận bằng cách sử dụng vị thành niên?

Nếu bà của chúng ta có cột thứ năm trong ma trận, thì một cột thứ 4 khác ("màu xanh lam", "quả mâm xôi" + cột thứ 5) phải được tính toán.

đầu ra: thứ tự tối đa của một phần phụ khác 0 là ba, vì vậy .

Có lẽ không phải ai cũng hiểu đầy đủ cụm từ này: đơn vị phụ bậc 4 bằng 0, nhưng trong số các đơn vị phụ bậc 3 có một số khác không - do đó, bậc tối đa khác không nhỏ và bằng ba.

Câu hỏi đặt ra, tại sao không tính ngay định thức? Chà, thứ nhất, trong hầu hết các nhiệm vụ, ma trận không phải là hình vuông và thứ hai, ngay cả khi bạn nhận được một giá trị khác 0, thì nhiệm vụ sẽ bị từ chối với xác suất cao, vì nó thường ngụ ý một tiêu chuẩn “từ dưới lên” giải pháp. Và trong ví dụ được xem xét, định thức bằng 0 của bậc 4 thậm chí cho phép chúng ta khẳng định rằng hạng của ma trận chỉ nhỏ hơn bốn.

Tôi phải thừa nhận rằng tôi đã tự mình nghĩ ra vấn đề được phân tích để giải thích rõ hơn về phương pháp tiểu nhân giáp. Trong thực tế, mọi thứ đơn giản hơn:

ví dụ 2

Tìm hạng của ma trận bằng phương pháp bao con

Lời giải và đáp án ở cuối bài.

Khi nào thuật toán chạy nhanh nhất? Hãy quay trở lại ma trận bốn nhân bốn . Rõ ràng, giải pháp sẽ ngắn nhất trong trường hợp "tốt" trẻ vị thành niên góc:

Và, nếu , thì , ngược lại - .

Suy nghĩ hoàn toàn không phải là giả thuyết - có rất nhiều ví dụ trong đó toàn bộ sự việc chỉ giới hạn ở những góc nhỏ.

Tuy nhiên, trong một số trường hợp, một phương pháp khác hiệu quả hơn và thích hợp hơn:

Làm cách nào để tìm hạng của ma trận bằng phương pháp Gauss?

Phần này dành cho những độc giả đã quen thuộc với phương pháp Gauss và từng chút một đã chạm tay vào nó.

Từ quan điểm kỹ thuật, phương pháp này không phải là mới:

1) sử dụng các phép biến đổi cơ bản, chúng tôi đưa ma trận về dạng bước;

2) hạng của ma trận bằng số hàng.

Nó là khá rõ ràng rằng sử dụng phương pháp Gauss không làm thay đổi hạng của ma trận, và bản chất ở đây cực kỳ đơn giản: theo thuật toán, trong quá trình biến đổi cơ bản, tất cả các đường tỷ lệ (phụ thuộc tuyến tính) không cần thiết được xác định và loại bỏ, do đó vẫn còn "dư lượng khô" - số lượng tối đa đường độc lập tuyến tính.

Hãy biến đổi ma trận quen thuộc cũ với tọa độ của ba vectơ thẳng hàng:

(1) Hàng đầu tiên được thêm vào hàng thứ hai, nhân với -2. Dòng đầu tiên được thêm vào dòng thứ ba.

(2) Các dòng số 0 bị xóa.

Vì vậy, còn một dòng, do đó . Không cần phải nói, điều này nhanh hơn nhiều so với việc tính toán chín số không phụ của bậc 2 và chỉ sau đó rút ra kết luận.

Tôi nhắc nhở bạn rằng bản thân nó ma trận đại số không có gì có thể thay đổi và các phép biến đổi được thực hiện chỉ với mục đích tìm ra thứ hạng! Nhân tiện, chúng ta hãy xem lại câu hỏi, tại sao không? Ma trận nguồn mang thông tin khác về cơ bản với thông tin hàng và ma trận. Trong một số mô hình toán học (không cường điệu), sự khác biệt trong một con số có thể là vấn đề sống chết. ... Tôi nhớ đến những giáo viên dạy toán cấp tiểu học và trung học cơ sở, những người đã thẳng tay trừ điểm 1-2 điểm vì sai sót nhỏ nhất hoặc sai lệch so với thuật toán. Và thật đáng thất vọng khi thay vì "năm" dường như được đảm bảo, nó lại trở thành "tốt" hoặc thậm chí tệ hơn. Sự hiểu biết đến muộn hơn nhiều - còn cách nào khác để giao phó vệ tinh, đầu đạn hạt nhân và nhà máy điện cho một người? Nhưng đừng lo, tôi không làm việc trong những lĩnh vực này =)

Hãy chuyển sang các nhiệm vụ có ý nghĩa hơn, trong đó, ngoài những thứ khác, chúng ta sẽ làm quen với các kỹ thuật tính toán quan trọng phương pháp Gauss:

ví dụ 3

Tìm hạng của ma trận bằng các phép biến đổi cơ bản

Phán quyết: đưa ra một ma trận 4 nhân 5, có nghĩa là hạng của nó chắc chắn không quá 4.

Trong cột đầu tiên, không có 1 hoặc -1, do đó, cần thực hiện các bước bổ sung để có được ít nhất một đơn vị. Trong toàn bộ sự tồn tại của trang web, tôi đã nhiều lần đặt câu hỏi: “Có thể sắp xếp lại các cột trong quá trình biến đổi cơ bản không?”. Ở đây - đã sắp xếp lại cột đầu tiên hoặc cột thứ hai và mọi thứ đều ổn! Trong hầu hết các nhiệm vụ mà phương pháp Gauss, các cột thực sự có thể được sắp xếp lại. NHƯNG KHÔNG. Và vấn đề thậm chí không thể nhầm lẫn với các biến số, vấn đề là trong quá trình giảng dạy toán cao cấp cổ điển, hành động này theo truyền thống không được xem xét, do đó, một hành động cúi chào như vậy sẽ bị RẤT coi là quanh co (hoặc thậm chí buộc phải làm lại mọi thứ) .

Điểm thứ hai liên quan đến các con số. Trong quá trình ra quyết định, sẽ rất hữu ích khi được hướng dẫn bởi quy tắc ngón tay cái sau: các phép biến đổi cơ bản, nếu có thể, sẽ làm giảm các số của ma trận. Thật vậy, làm việc với một-hai-ba dễ dàng hơn nhiều so với, chẳng hạn như với 23, 45 và 97. Và hành động đầu tiên không chỉ nhằm mục đích lấy một đơn vị trong cột đầu tiên mà còn loại bỏ các số 7 và 11.

Đầu tiên là giải pháp đầy đủ, sau đó là nhận xét:

(1) Hàng đầu tiên được thêm vào hàng thứ hai, nhân với -2. Dòng đầu tiên được thêm vào dòng thứ ba, nhân với -3. Và với đống: dòng đầu tiên, nhân với -1, được thêm vào dòng thứ 4.

(2) Ba dòng cuối tỉ lệ thuận. Đã xóa dòng thứ 3 và thứ 4, dòng thứ 2 được chuyển lên vị trí đầu tiên.

(3) Hàng đầu tiên được thêm vào hàng thứ hai, nhân với -3.

Ma trận rút gọn thành dạng bậc có hai hàng.

Câu trả lời:

Bây giờ đến lượt bạn tra tấn ma trận bốn nhân bốn:

Ví dụ 4

Tìm hạng của ma trận bằng phương pháp Gaussian

tôi sẽ nhắc bạn điều đó phương pháp Gauss không ngụ ý sự cứng nhắc rõ ràng và giải pháp của bạn rất có thể sẽ khác với giải pháp của tôi. Một ví dụ ngắn gọn về nhiệm vụ ở cuối bài học.

Dùng phương pháp nào để tìm hạng của ma trận?

Trong thực tế, người ta thường không nói rõ nên sử dụng phương pháp nào để tìm thứ hạng. Trong tình huống như vậy, người ta nên phân tích điều kiện - đối với một số ma trận, việc thực hiện giải pháp thông qua các phép vị thành niên sẽ hợp lý hơn, trong khi đối với những ma trận khác, việc áp dụng các phép biến đổi cơ bản sẽ có lợi hơn nhiều:

Ví dụ 5

Tìm hạng của ma trận

Phán quyết: cách đầu tiên bằng cách nào đó ngay lập tức biến mất =)

Cao hơn một chút, tôi khuyên không nên chạm vào các cột của ma trận, nhưng khi có cột bằng 0 hoặc cột tỷ lệ/khớp, thì vẫn có giá trị cắt cụt:

(1) Cột thứ năm bằng 0, chúng tôi loại bỏ nó khỏi ma trận. Như vậy, hạng của ma trận nhiều nhất là bốn. Hàng đầu tiên được nhân với -1. Đây là một tính năng đặc trưng khác của phương pháp Gaussian, giúp cho hành động sau đây trở nên thú vị:

(2) Đối với tất cả các dòng, bắt đầu từ dòng thứ hai, dòng đầu tiên đã được thêm vào.

(3) Hàng đầu tiên nhân với -1, hàng thứ ba chia cho 2, hàng thứ tư chia cho 3. Hàng thứ hai nhân với -1 được thêm vào hàng thứ năm.

(4) Dòng thứ ba được thêm vào dòng thứ năm, nhân với -2.

(5) Hai dòng cuối cùng tỷ lệ, xóa dòng thứ năm.

Kết quả là 4 hàng.

Câu trả lời:

Tòa nhà năm tầng tiêu chuẩn để tự khám phá:

Ví dụ 6

Tìm hạng của ma trận

Lời giải ngắn gọn và đáp án ở cuối bài.

Cần lưu ý rằng cụm từ "thứ hạng ma trận" không quá phổ biến trong thực tế và trong hầu hết các vấn đề bạn có thể làm mà không cần nó. Nhưng có một nhiệm vụ mà khái niệm đang được xem xét là nhân vật chính và để kết thúc bài viết, chúng tôi sẽ xem xét ứng dụng thực tế này:

Cách tra hệ phương trình tuyến tính cho tương thích?

Thông thường, bên cạnh việc giải quyết hệ phương trình tuyến tính tùy theo điều kiện, trước tiên cần phải kiểm tra tính tương thích của nó, nghĩa là chứng minh rằng bất kỳ giải pháp nào cũng tồn tại. Một vai trò quan trọng trong việc xác minh này được thực hiện bởi Định lý Kronecker-Capelli, mà tôi sẽ xây dựng ở dạng yêu cầu:

Nếu xếp hạng ma trận hệ thống bằng cấp hệ thống ma trận tăng cường, thì hệ thống nhất quán và nếu số đã cho trùng với số ẩn số thì nghiệm là duy nhất.

Như vậy, để nghiên cứu tính tương thích của hệ thống, cần phải kiểm tra sự bình đẳng , ở đâu - ma trận hệ thống(nhớ thuật ngữ từ bài học phương pháp Gauss), một - hệ thống ma trận tăng cường(tức là ma trận có hệ số tại các biến + cột số hạng tự do).

Hạng của ma trận là một đặc trưng số quan trọng. Bài toán điển hình nhất yêu cầu tìm hạng của ma trận là kiểm tra tính tương thích của hệ phương trình đại số tuyến tính. Trong bài viết này, chúng tôi sẽ đưa ra khái niệm về hạng của ma trận và xem xét các phương pháp để tìm ra nó. Để đồng hóa vật liệu tốt hơn, chúng tôi sẽ phân tích chi tiết các giải pháp của một số ví dụ.

Điều hướng trang.

Xác định hạng của ma trận và các khái niệm bổ sung cần thiết.

Trước khi phát biểu định nghĩa về hạng của ma trận, người ta nên hiểu rõ về khái niệm số hạng nhỏ và việc tìm các số hạng nhỏ của ma trận hàm ý khả năng tính định thức. Vì vậy, nếu cần, chúng tôi khuyên bạn nên nhắc lại lý thuyết của bài viết, các phương pháp tìm định thức của ma trận, các tính chất của định thức.

Lấy một ma trận A của thứ tự . Gọi k là một số tự nhiên không vượt quá số nhỏ nhất trong các số m và n , nghĩa là .

Sự định nghĩa.

Thứ tự thứ k nhỏ ma trận A là định thức của ma trận vuông bậc , gồm các phần tử của ma trận A nằm trong k hàng k cột đã chọn sẵn và vị trí các phần tử của ma trận A được giữ nguyên.

Nói cách khác, nếu chúng ta xóa (p–k) hàng và (n–k) cột trong ma trận A, và lập một ma trận từ các phần tử còn lại, giữ nguyên cách sắp xếp của các phần tử ma trận A, thì định thức của ma trận kết quả là một phần tử cấp k của ma trận A.

Hãy xem định nghĩa của ma trận phụ bằng một ví dụ.

Xét ma trận .

Chúng ta hãy viết ra một số phần tử con cấp một của ma trận này. Ví dụ: nếu chúng ta chọn hàng thứ ba và cột thứ hai của ma trận A, thì sự lựa chọn của chúng ta tương ứng với một phần tử thứ nhất . Nói cách khác, để có được phần tử phụ này, chúng ta gạch bỏ hàng thứ nhất và thứ hai, cũng như cột thứ nhất, thứ ba và thứ tư khỏi ma trận A, và tạo định thức từ phần tử còn lại. Nếu chúng ta chọn hàng đầu tiên và cột thứ ba của ma trận A, thì chúng ta sẽ nhận được một phần phụ .

Hãy để chúng tôi minh họa quy trình để có được những trẻ vị thành niên được coi là đơn hàng đầu tiên
và .

Do đó, các phần tử con cấp một của ma trận chính là các phần tử của ma trận.

Hãy để chúng tôi hiển thị một số trẻ vị thành niên của đơn đặt hàng thứ hai. Chọn hai hàng và hai cột. Ví dụ: lấy hàng thứ nhất và thứ hai cũng như cột thứ ba và thứ tư. Với sự lựa chọn này, chúng tôi có một tiểu đơn đặt hàng thứ hai . Con thứ này cũng có thể được hình thành bằng cách xóa hàng thứ ba, cột thứ nhất và thứ hai khỏi ma trận A.

Một phần phụ cấp hai khác của ma trận A là .

Hãy để chúng tôi minh họa việc xây dựng các trẻ vị thành niên bậc hai này
và .

Tìm các phần tử con cấp ba của ma trận A cũng tương tự như vậy. Vì chỉ có ba hàng trong ma trận A nên chúng tôi chọn tất cả. Nếu chúng tôi chọn ba cột đầu tiên cho các hàng này, thì chúng tôi sẽ nhận được phần phụ của thứ tự thứ ba

Nó cũng có thể được xây dựng bằng cách xóa cột cuối cùng của ma trận A.

Một trẻ vị thành niên bậc ba khác là

thu được bằng cách xóa cột thứ ba của ma trận A.

Đây là một bản vẽ cho thấy việc xây dựng các trẻ vị thành niên thứ ba này
và .

Đối với một ma trận A đã cho, không có phần phụ nào có thứ tự cao hơn phần ba, vì .

Có bao nhiêu phần tử con thứ k của ma trận A có thứ tự tồn tại?

Số thứ tự k trẻ vị thành niên có thể được tính là , trong đó và - số lượng kết hợp tương ứng từ p đến k và từ n đến k.

Làm thế nào để dựng tất cả các phần tử con cấp k của ma trận A cấp p trên n?

Chúng ta cần một tập hợp các số hàng của ma trận và một tập hợp các số cột. ghi lại mọi thứ tổ hợp của p phần tử theo k(chúng sẽ tương ứng với các hàng đã chọn của ma trận A khi xây dựng phần tử thứ k). Đối với mỗi tổ hợp của các số hàng, chúng ta lần lượt cộng tất cả các tổ hợp của n phần tử với k số cột. Các tập hợp các số hàng và số cột của ma trận A sẽ giúp tổng hợp tất cả các phần phụ của thứ tự k.

Hãy lấy một ví dụ.

Ví dụ.

Tìm tất cả các phần tử nhỏ bậc hai của ma trận.

Phán quyết.

Vì thứ tự của ma trận ban đầu là 3 nhân 3, nên tổng các phần phụ thứ hai sẽ là .

Hãy viết tất cả các tổ hợp từ 3 đến 2 hàng của ma trận A: 1, 2; 1, 3 và 2, 3. Tất cả các kết hợp của 3 x 2 số cột là 1, 2 ; 1, 3 và 2, 3.

Lấy hàng thứ nhất và thứ hai của ma trận A. Chọn cột thứ nhất và thứ hai cho các hàng này, cột thứ nhất và cột thứ ba, cột thứ hai và thứ ba, chúng tôi thu được tương ứng các phần phụ

Đối với hàng thứ nhất và thứ ba, với cách chọn cột tương tự, chúng ta có

Nó vẫn còn để thêm cột thứ nhất và thứ hai, thứ nhất và thứ ba, thứ hai và thứ ba vào hàng thứ hai và thứ ba:

Vì vậy, tất cả chín phần phụ của thứ tự thứ hai của ma trận A được tìm thấy.

Bây giờ chúng ta có thể chuyển sang xác định hạng của ma trận.

Sự định nghĩa.

xếp hạng ma trận là bậc cao nhất của ma trận phụ khác không.

Hạng của ma trận A được ký hiệu là Rank(A) . Bạn cũng có thể thấy các ký hiệu Rg(A) hoặc Rang(A) .

Từ các định nghĩa về hạng của ma trận và hạng nhỏ của ma trận, chúng ta có thể kết luận rằng hạng của ma trận không bằng 0 và hạng của ma trận khác không ít nhất là một.

Tìm hạng của ma trận theo định nghĩa.

Vì vậy, phương pháp đầu tiên để tìm hạng của ma trận là phương pháp liệt kê thứ yếu. Phương pháp này dựa trên việc xác định hạng của ma trận.

Chúng ta cần tìm hạng của ma trận A cấp .

Mô tả ngắn gọn thuật toán giải quyết vấn đề này bằng phương pháp liệt kê các vị thành niên.

Nếu có ít nhất một phần tử của ma trận khác không, thì hạng của ma trận ít nhất bằng một (vì có một phần tử nhỏ bậc nhất không bằng 0).

Tiếp theo, chúng tôi lặp lại các phần phụ của thứ tự thứ hai. Nếu tất cả các phần phụ bậc hai đều bằng 0, thì hạng của ma trận bằng một. Nếu tồn tại ít nhất một phần tử con bậc hai khác 0, thì chúng ta chuyển sang phép liệt kê các phần tử con bậc ba và hạng của ma trận ít nhất bằng hai.

Tương tự, nếu tất cả các phần phụ bậc ba bằng 0, thì hạng của ma trận là hai. Nếu có ít nhất một phần phụ bậc ba khác 0, thì hạng của ma trận ít nhất là ba và chúng ta tiến hành liệt kê các phần tử bậc bốn.

Lưu ý rằng hạng của ma trận không được vượt quá hạng nhỏ nhất của p và n.

Ví dụ.

Tìm hạng của ma trận .

Phán quyết.

Vì ma trận khác không nên hạng của nó không nhỏ hơn một.

Nhỏ của thứ tự thứ hai khác 0 nên hạng của ma trận A ít nhất là 2. Chúng tôi chuyển sang liệt kê các trẻ vị thành niên theo thứ tự thứ ba. Tất cả bọn họ nhiều thứ.

Tất cả các trẻ vị thành niên bậc ba đều bằng không. Do đó, hạng của ma trận là hai.

Câu trả lời:

Xếp hạng(A) = 2 .

Tìm hạng của ma trận bằng phương pháp bao con.

Có các phương pháp khác để tìm thứ hạng của ma trận cho phép bạn nhận được kết quả với ít công việc tính toán hơn.

Một trong những phương pháp này là phương pháp viền nhỏ.

Hãy đối phó với khái niệm về một trẻ vị thành niên biên giới.

Người ta nói rằng M nhỏ ok bậc (k+1) của ma trận A bao quanh M nhỏ bậc k của ma trận A nếu ma trận tương ứng với M ok nhỏ "chứa" ma trận tương ứng với nhỏ M.

Nói cách khác, ma trận tương ứng với M con giáp được lấy từ ma trận tương ứng với M con giáp bằng cách xóa các phần tử của một hàng và một cột.

Ví dụ, xét ma trận và mất một nhỏ của đơn đặt hàng thứ hai. Hãy viết ra tất cả các trẻ vị thành niên giáp ranh:

Phương pháp biên giới trẻ vị thành niên được chứng minh bằng định lý sau (chúng tôi trình bày công thức của nó mà không cần chứng minh).

định lý.

Nếu tất cả các phần tử con giáp với phần tử con thứ k của ma trận A cấp p theo n đều bằng 0, thì tất cả các phần tử con thứ tự (k + 1) của ma trận A đều bằng không.

Như vậy, để tìm hạng của một ma trận không nhất thiết phải liệt kê tất cả các con giáp là đủ. Số lượng các phần tử nhỏ giáp với phần phụ thứ k của ma trận A có thứ tự được tìm theo công thức . Lưu ý rằng không có nhiều phần phụ bao quanh phần phụ thứ k của ma trận A so với phần phụ thứ (k + 1) của ma trận A . Do đó, trong hầu hết các trường hợp, sử dụng phương pháp xác định vị thành niên sẽ có lợi hơn là chỉ liệt kê tất cả trẻ vị thành niên.

Chúng ta hãy tiến hành tìm hạng của một ma trận bằng phương pháp viền con. Mô tả ngắn gọn thuật toán phương pháp này.

Nếu ma trận A khác 0, thì chúng ta lấy bất kỳ phần tử nào của ma trận A khác 0 làm phần tử phụ cấp một. Chúng tôi xem xét trẻ vị thành niên giáp của nó. Nếu tất cả chúng đều bằng 0, thì hạng của ma trận bằng một. Nếu có ít nhất một con giáp nhỏ khác 0 (bậc của nó bằng hai), thì chúng ta chuyển sang xét các con giáp của nó. Nếu tất cả đều bằng 0, thì Xếp hạng(A) = 2 . Nếu ít nhất một con giáp con khác không (bậc của nó bằng ba), thì chúng ta xem xét con giáp con của nó. Vân vân. Kết quả là, Xếp hạng(A) = k nếu tất cả các phần tử con giáp của bậc (k + 1) của ma trận A đều bằng 0 hoặc Xếp hạng(A) = min(p, n) nếu tồn tại giá trị khác không nhỏ giáp với một thứ tự nhỏ (min( p, n) – 1) .

Hãy phân tích phương pháp định vị trí con giáp để tìm thứ hạng của ma trận bằng một ví dụ.

Ví dụ.

Tìm hạng của ma trận bằng phương pháp trẻ vị thành niên giáp ranh.

Phán quyết.

Vì phần tử a 1 1 của ma trận A khác 0 nên ta coi nó là phần tử con cấp một. Hãy bắt đầu tìm kiếm một con giáp nhỏ khác 0:

Một phần phụ bậc hai khác không được tìm thấy. Hãy để chúng tôi liệt kê các trẻ vị thành niên giáp ranh của nó (của họ nhiều thứ):

Tất cả các phần tử con giáp với phần tử con bậc hai đều bằng 0, do đó, hạng của ma trận A bằng hai.

Câu trả lời:

Xếp hạng(A) = 2 .

Ví dụ.

Tìm hạng của ma trận có sự trợ giúp của tiểu nhân con giáp.

Phán quyết.

Là một phần tử phụ khác 0 của bậc một, chúng ta lấy phần tử a 1 1 = 1 của ma trận A . Rìa nó nhỏ của thứ tự thứ hai không bằng không. Vị thành niên này giáp với một vị thành niên bậc ba
. Vì nó không bằng 0 và không có phần tử nhỏ giáp với nó, nên hạng của ma trận A bằng ba.

Câu trả lời:

Xếp hạng(A) = 3 .

Tìm hạng bằng các phép biến đổi cơ bản của ma trận (theo phương pháp Gauss).

Xem xét một cách khác để tìm thứ hạng của ma trận.

Các phép biến đổi ma trận sau được gọi là sơ cấp:

hoán vị của các hàng (hoặc cột) của ma trận;
phép nhân tất cả các phần tử của một hàng (cột) bất kỳ của ma trận với một số k tùy ý khác 0;
cộng vào các phần tử của một hàng (cột) bất kỳ các phần tử tương ứng của một hàng (cột) khác của ma trận, nhân với một số k tùy ý.

Ma trận B được gọi tương đương với ma trận A, nếu B nhận được từ A với sự trợ giúp của một số hữu hạn các phép biến đổi cơ bản. Sự tương đương của ma trận được biểu thị bằng ký hiệu "~", nghĩa là nó được viết A ~ B.

Tìm hạng của ma trận bằng cách sử dụng các phép biến đổi ma trận cơ bản dựa trên câu lệnh: nếu ma trận B nhận được từ ma trận A bằng cách sử dụng một số hữu hạn các phép biến đổi cơ bản, thì Hạng(A) = Hạng(B) .

Tính hợp lệ của tuyên bố này xuất phát từ các thuộc tính của định thức ma trận:

Khi các hàng (hoặc cột) của một ma trận được hoán vị thì định thức của nó đổi dấu. Nếu nó bằng 0 thì khi hoán vị các hàng (cột) vẫn bằng 0.
Khi nhân tất cả các phần tử của một hàng (cột) bất kỳ của ma trận với một số k tùy ý khác 0 thì định thức của ma trận kết quả bằng định thức của ma trận ban đầu nhân với k. Nếu định thức của ma trận ban đầu bằng 0, thì sau khi nhân tất cả các phần tử của bất kỳ hàng hoặc cột nào với số k, định thức của ma trận kết quả cũng sẽ bằng 0.
Việc thêm vào các phần tử của một hàng (cột) nào đó của ma trận các phần tử tương ứng của một hàng (cột) khác của ma trận, nhân với một số k nào đó thì không làm thay đổi định thức của nó.

Bản chất của phương pháp biến đổi cơ bản là đưa ma trận, thứ hạng mà chúng ta cần tìm, về một hình thang (trong một trường hợp cụ thể, thành một hình tam giác trên) bằng cách sử dụng các phép biến đổi cơ bản.

Nó dùng để làm gì? Hạng của ma trận loại này rất dễ tìm. Nó bằng số hàng chứa ít nhất một phần tử khác null. Và vì hạng của ma trận không thay đổi trong các phép biến đổi cơ bản nên giá trị thu được sẽ là hạng của ma trận ban đầu.

Chúng tôi đưa ra hình minh họa về ma trận, một trong số đó sẽ thu được sau khi biến đổi. Hình thức của chúng phụ thuộc vào thứ tự của ma trận.

Những hình minh họa này là những khuôn mẫu mà chúng ta sẽ biến đổi ma trận A.

Hãy mô tả thuật toán phương pháp.

Giả sử chúng ta cần tìm hạng của một ma trận A khác không có thứ tự (p có thể bằng n).

Cho nên, . Hãy nhân tất cả các phần tử của hàng đầu tiên của ma trận A với . Trong trường hợp này, chúng ta thu được một ma trận tương đương, ký hiệu là A(1) :

Đối với các phần tử của hàng thứ hai của ma trận kết quả A (1), chúng tôi thêm các phần tử tương ứng của hàng đầu tiên, nhân với . Đối với các phần tử của hàng thứ ba, cộng các phần tử tương ứng của hàng đầu tiên, nhân với . Và cứ như vậy cho đến dòng thứ p. Ta được một ma trận tương đương, ký hiệu là A(2) :

Nếu tất cả các phần tử của ma trận kết quả trong các hàng từ thứ hai đến thứ p đều bằng 0, thì thứ hạng của ma trận này bằng một và do đó, thứ hạng của ma trận ban đầu bằng một .

Nếu có ít nhất một phần tử khác 0 trong các hàng từ thứ hai đến thứ p, thì chúng ta tiếp tục thực hiện các phép biến đổi. Hơn nữa, chúng tôi hành động theo cùng một cách, nhưng chỉ với một phần của ma trận A được đánh dấu trong hình (2)

Nếu , thì chúng ta sắp xếp lại các hàng và (hoặc) cột của ma trận A(2) sao cho phần tử "mới" trở thành khác không.

Hãy để một số ma trận được đưa ra:

Chọn trong ma trận này đường tùy ý và cột tùy ý
. Khi đó định thức thứ tự, bao gồm các yếu tố ma trận
nằm ở giao điểm của các hàng và cột đã chọn được gọi là phần phụ -thứ tự ma trận
.

Định nghĩa 1.13. xếp hạng ma trận
là bậc lớn nhất của phần phụ khác 0 của ma trận này.

Để tính hạng của một ma trận, người ta nên xét tất cả các phần phụ của nó ở bậc nhỏ nhất và, nếu ít nhất một trong số chúng khác 0, hãy chuyển sang xét các phần tử con ở bậc cao nhất. Cách tiếp cận này để xác định thứ hạng của ma trận được gọi là phương pháp giáp ranh (hoặc phương pháp vị thành niên giáp ranh).

Nhiệm vụ 1.4. Bằng phương pháp nhân giáp xác định hạng của ma trận
.

Ví dụ, hãy xem xét đường viền theo thứ tự đầu tiên,
. Sau đó, chúng tôi chuyển sang xem xét một số đường viền của thứ tự thứ hai.

Ví dụ,
.

Cuối cùng, hãy phân tích giáp của thứ tự thứ ba.

Vì vậy bậc cao nhất của một số nhỏ khác 0 là 2, do đó
.

Khi giải Bài toán 1.4, người ta có thể nhận thấy rằng chuỗi các con giáp của bậc hai là khác không. Về vấn đề này, khái niệm sau đây diễn ra.

Định nghĩa 1.14. Cơ sở nhỏ của ma trận là bất kỳ phần phụ khác không nào có bậc bằng với hạng của ma trận.

Định lý 1.2.(Định lý tiểu đối cơ bản). Các hàng cơ bản (cột cơ bản) độc lập tuyến tính.

Lưu ý rằng các hàng (cột) của ma trận phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi ít nhất một trong số chúng có thể được biểu diễn dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các hàng khác.

Định lý 1.3. Số hàng của ma trận độc lập tuyến tính bằng số cột của ma trận độc lập tuyến tính và bằng hạng của ma trận.

Định lý 1.4.(Điều kiện cần và đủ để định thức bằng không). Để định thức -thứ tự bằng 0 thì điều cần và đủ là các hàng (cột) của nó phụ thuộc tuyến tính.

Việc tính hạng của một ma trận dựa trên định nghĩa của nó là quá rườm rà. Điều này trở nên đặc biệt quan trọng đối với ma trận bậc cao. Về vấn đề này, trong thực tế, hạng của ma trận được tính dựa trên việc áp dụng Định lý 10.2 - 10.4, cũng như việc sử dụng các khái niệm về ma trận tương đương và các phép biến đổi cơ bản.

Định nghĩa 1.15. Hai ma trận
và được gọi là tương đương nếu thứ hạng của chúng bằng nhau, tức là
.

Nếu ma trận
và là tương đương, sau đó lưu ý
 .

Định lý 1.5. Hạng của ma trận không đổi từ các phép biến hình sơ cấp.

Ta sẽ gọi các phép biến đổi sơ cấp của ma trận
bất kỳ hành động nào sau đây trên ma trận:

Thay thế hàng bằng cột và cột bằng hàng tương ứng;

Hoán vị các hàng của ma trận;

Gạch bỏ một dòng, tất cả các phần tử của nó đều bằng 0;

Nhân bất kỳ chuỗi nào với một số khác không;

Cộng các phần tử của một hàng với các phần tử tương ứng của một hàng khác nhân với cùng một số
.

Hệ quả của Định lý 1.5. Nếu ma trận
thu được từ ma trận sử dụng một số hữu hạn các phép biến đổi cơ bản, sau đó các ma trận
và là tương đương nhau.

Khi tính toán hạng của ma trận, nó phải được rút gọn thành dạng hình thang bằng cách sử dụng một số hữu hạn các phép biến đổi cơ bản.

Định nghĩa 1.16. Chúng ta sẽ gọi hình thang là một dạng biểu diễn của ma trận khi ở phần tử nhỏ giáp ranh của bậc lớn nhất khác 0, tất cả các phần tử bên dưới các đường chéo đều biến mất. Ví dụ:

Đây
, phần tử ma trận
chuyển sang số không. Khi đó dạng biểu diễn của một ma trận như vậy sẽ là hình thang.

Theo quy định, ma trận được rút gọn thành hình thang bằng thuật toán Gaussian. Ý tưởng của thuật toán Gaussian là bằng cách nhân các phần tử của hàng đầu tiên của ma trận với các thừa số tương ứng, chúng đạt được rằng tất cả các phần tử của cột đầu tiên nằm bên dưới phần tử
, sẽ chuyển thành không. Sau đó, nhân các phần tử của cột thứ hai với các số nhân tương ứng, chúng ta đạt được rằng tất cả các phần tử của cột thứ hai nằm bên dưới phần tử
, sẽ chuyển thành không. Tiếp tục tiến hành tương tự.