የማትሪክስ ደረጃን እንዴት እንደሚፈታ. የማትሪክስ ደረጃን ያግኙ: ዘዴዎች እና ምሳሌዎች

አራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው ማትሪክስ አስቡበት. በዚህ ማትሪክስ ውስጥ በዘፈቀደ ከመረጥን ክመስመሮች እና ክአምዶች፣ ከዚያም በተመረጡት ረድፎች እና አምዶች መገናኛ ላይ ያሉት ንጥረ ነገሮች የ kth ቅደም ተከተል ካሬ ማትሪክስ ይመሰርታሉ። የዚህ ማትሪክስ መወሰኛ ይባላል k-th ትዕዛዝ አነስተኛማትሪክስ A. በግልጽ ለማየት እንደሚቻለው ማትሪክስ A ከ 1 እስከ ትንሹ እስከ m እና n ቁጥሮች ድረስ ትናንሽ ልጆች አሉት። ከማትሪክስ ሀ ውስጥ ዜሮ ካልሆኑ ታዳጊዎች መካከል ትዕዛዙ ትልቁ የሆነው ቢያንስ አንድ ትንሽ ልጅ አለ። በተሰጠው ማትሪክስ ውስጥ ለአካለ መጠን ያልደረሱ ልጆች ዜሮ ያልሆኑ ትዕዛዞች ትልቁ ይባላል ደረጃማትሪክስ. የማትሪክስ ደረጃ A ከሆነ አር, ከዚያ ይህ ማለት ማትሪክስ A ዜሮ ያልሆነ ጥቃቅን ቅደም ተከተል አለው ማለት ነው አር, ነገር ግን እያንዳንዱ አነስተኛ ትዕዛዝ ይበልጣል አር፣ ከዜሮ ጋር እኩል ነው። የማትሪክስ A ደረጃ በ r (A) ይገለጻል. ግንኙነቱ ግልጽ ነው

ታዳጊዎችን በመጠቀም የማትሪክስ ደረጃን ማስላት

የማትሪክስ ደረጃ የሚገኘው በወጣቶች ድንበር ወይም በአንደኛ ደረጃ ለውጦች ዘዴ ነው። የማትሪክስ ደረጃን በመጀመሪያው መንገድ ሲያሰሉ ከዝቅተኛ ትእዛዞች ለአካለ መጠን ያልደረሱ ልጆች ከፍተኛ ደረጃ ላይ መድረስ አለባቸው. ከማትሪክስ A የ kth ቅደም ተከተል ዜሮ ያልሆነ መለስተኛ ዲ አስቀድሞ ከተገኘ ፣ከአካለ መጠን ያልደረሰውን D የሚዋሰኑት (k + 1) ኛ ቅደም ተከተል ታዳጊዎች ብቻ መቁጠር አለባቸው፣ ማለትም። እንደ ትንሽ ልጅ የያዘው. ሁሉም ዜሮ ከሆኑ የማትሪክስ ደረጃ ነው። ክ.

ምሳሌ 1ለአካለ መጠን ያልደረሱ ሕፃናትን በወሰን ዘዴ የማትሪክስ ደረጃን ያግኙ

ውሳኔ.በ 1 ኛ ቅደም ተከተል ለአካለ መጠን ያልደረሱ ልጆች እንጀምራለን, ማለትም. ከማትሪክስ አባሎች A. ለምሳሌ በመጀመሪያው ረድፍ እና በመጀመሪያው ረድፍ ላይ የሚገኘውን ትንሹን (ንጥረ ነገር) М 1 = 1 እንመርጣለን. በሁለተኛው ረድፍ እና በሶስተኛው ዓምድ እርዳታ ወሰን, ከዜሮ የሚለየውን ጥቃቅን M 2 = እናገኛለን. አሁን ወደ 3 ኛ ቅደም ተከተል ለአካለ መጠን ያልደረሱ ልጆችን እንሸጋገራለን, ከ M 2 ጋር. ከነሱ ውስጥ ሁለቱ ብቻ ናቸው (ሁለተኛው አምድ ወይም አራተኛ ማከል ይችላሉ). እኛ እናሰላቸዋለን፡- = 0. ስለዚህ, ሁሉም የሦስተኛው ቅደም ተከተል አዋሳኝ ታዳጊዎች ከዜሮ ጋር እኩል ሆነዋል. የማትሪክስ A ደረጃ ሁለት ነው.

የመጀመሪያ ደረጃ ለውጦችን በመጠቀም የማትሪክስ ደረጃን ማስላት

የመጀመሪያ ደረጃየሚከተሉት የማትሪክስ ለውጦች ይባላሉ፡-

1) የማንኛቸውም ሁለት ረድፎች (ወይም ዓምዶች) መተላለፍ ፣

2) ረድፍ (ወይም አምድ) በዜሮ ባልሆነ ቁጥር ማባዛት ፣

3) በአንድ ረድፍ (ወይም አምድ) ላይ ሌላ ረድፍ (ወይም አምድ) መጨመር በአንዳንድ ቁጥሮች ተባዝቷል።

ሁለቱ ማትሪክስ ተጠርተዋል ተመጣጣኝ, ከመካከላቸው አንዱ ከሌላው የተገኘ ከሆነ በመጨረሻው የአንደኛ ደረጃ ለውጦች እርዳታ.

ተመጣጣኝ ማትሪክስ በአጠቃላይ አነጋገር እኩል አይደሉም ነገር ግን ደረጃቸው እኩል ነው። ማትሪክስ A እና B እኩል ከሆኑ, ይህ እንደሚከተለው ተጽፏል: A~ ለ.

ቀኖናዊማትሪክስ በዋናው ዲያግናል መጀመሪያ ላይ በተከታታይ ብዙ 1s ያለው ማትሪክስ ነው (ቁጥሩ ዜሮ ሊሆን ይችላል) እና ሁሉም ሌሎች አካላት ከዜሮ ጋር እኩል ናቸው ፣ ለምሳሌ ፣

የረድፎች እና ዓምዶች የመጀመሪያ ደረጃ ለውጦች በመታገዝ ማንኛውም ማትሪክስ ወደ ቀኖናዊ ሊቀንስ ይችላል። የቀኖናዊ ማትሪክስ ደረጃ በዋናው ሰያፍ ላይ ካሉት ቁጥር ጋር እኩል ነው።

ምሳሌ 2የማትሪክስ ደረጃን ያግኙ

እና ወደ ቀኖናዊ መልክ አምጣው.

ውሳኔ.የመጀመሪያውን ረድፍ ከሁለተኛው ረድፍ ቀንስ እና እነዚህን ረድፎች እንደገና አስተካክል፡-

አሁን ከሁለተኛው እና ከሦስተኛው ረድፎች የመጀመሪያውን ቀንስ ፣ በ 2 እና 5 ተባዝቷል ፣

;

ከሦስተኛው ረድፍ የመጀመሪያውን መቀነስ; ማትሪክስ እናገኛለን

ከማትሪክስ A ጋር እኩል ነው, ምክንያቱም ከእሱ የተገኘ የመጨረሻ የአንደኛ ደረጃ ለውጦችን በመጠቀም ነው. በግልጽ ለማየት እንደሚቻለው የማትሪክስ B ደረጃ 2 ነው, እና ስለዚህ r (A) = 2. ማትሪክስ B በቀላሉ ወደ ቀኖናዊው ሊቀንስ ይችላል። የመጀመሪያውን አምድ, ተስማሚ በሆኑ ቁጥሮች ተባዝቶ, ከተከታይ ሁሉ, ከመጀመሪያው ረድፍ በስተቀር ሁሉንም ንጥረ ነገሮች ወደ ዜሮ እንቀይራለን, እና የተቀሩት ረድፎች ንጥረ ነገሮች አይለወጡም. ከዚያም ሁለተኛውን ዓምድ በተገቢው ቁጥሮች በማባዛት, ከተከታዮቹ ሁሉ በመቀነስ, ከሁለተኛው በስተቀር ሁሉንም የሁለተኛው ረድፍ አካላት ወደ ዜሮ እንለውጣለን እና ቀኖናዊውን ማትሪክስ እናገኛለን.

ፍቺ ማትሪክስ ደረጃእንደ ቬክተር የሚቆጠር ከፍተኛው የመስመር ላይ ገለልተኛ ረድፎች ብዛት ነው።

ቲዎረም 1 በማትሪክስ ደረጃ። ማትሪክስ ደረጃየማትሪክስ አነስተኛ ዜሮ ያልሆነ ከፍተኛው ቅደም ተከተል ነው።

ስለ ቆራጥነት በትምህርቱ ውስጥ ለአካለ መጠን ያልደረሰ ልጅ ጽንሰ-ሐሳብ አስቀድመን ተወያይተናል, እና አሁን አጠቃላይ እናደርገዋለን. በማትሪክስ ውስጥ አንዳንድ ረድፎችን እና አንዳንድ አምዶችን እንውሰድ, እና ይህ "ነገር" ከማትሪክስ ረድፎች እና አምዶች ቁጥር ያነሰ መሆን አለበት, እና ረድፎች እና አምዶች ይህ "ነገር" ተመሳሳይ ቁጥር መሆን አለበት. ከዚያም መገናኛው ላይ ስንት ረድፎች እና ስንት ዓምዶች ከዋናው ማትሪክስ አነስ ያለ ቅደም ተከተል ያለው ማትሪክስ ይኖራል. የተጠቀሰው "ነገር" (የረድፎች እና የአምዶች ብዛት) በ k ከተገለጸ የዚህ ማትሪክስ ወሳኙ k-th አነስተኛ ይሆናል.

ፍቺአናሳ ( አር+1) - ኛ ቅደም ተከተል ፣ የተመረጠው አናሳ የሆነበት አር- ኛ ቅደም ተከተል, ለተሰጠው ለአካለ መጠን ያልደረሰ ልጅ ድንበር ተብሎ ይጠራል.

ሁለቱ በጣም የተለመዱ ዘዴዎች የማትሪክስ ደረጃን ማግኘት. ይህ ለአካለ መጠን ያልደረሱ ልጆችን የማስመሰል ዘዴእና የአንደኛ ደረጃ ለውጦች ዘዴ(በጋውስ ዘዴ)።

ለአካለ መጠን ያልደረሱ ልጆችን የመገደብ ዘዴ የሚከተለውን ንድፈ ሐሳብ ይጠቀማል.

ቲዎረም 2 በማትሪክስ ደረጃ።ከማትሪክስ አካላት ውስጥ አናሳን ማቀናበር ከተቻለ አርኛ ቅደም ተከተል ፣ ከዜሮ ጋር እኩል ያልሆነ ፣ ከዚያ የማትሪክስ ደረጃ እኩል ነው። አር.

በአንደኛ ደረጃ ለውጦች ዘዴ ፣ የሚከተለው ንብረት ጥቅም ላይ ይውላል።

ከመጀመሪያው ጋር የሚመጣጠን ትራፔዞይድ ማትሪክስ በአንደኛ ደረጃ ለውጦች ከተገኘ ፣ ከዚያ የዚህ ማትሪክስ ደረጃሙሉ በሙሉ ዜሮዎችን ካካተቱ መስመሮች በስተቀር በውስጡ ያሉት የመስመሮች ብዛት ነው.

ለአካለ መጠን ያልደረሱ ሕፃናትን በድንበር ዘዴ የማትሪክስ ደረጃን ማግኘት

ይህ የበላይ ትእዛዝ አካለመጠን ያላደረሰው የተሰጠውን አካለመጠን ያልደረሰ ልጅ ከተሰጠው ጋር በተያያዘ ትንሽ ከፍ ያለ ትእዛዝ ነው።

ለምሳሌ, ማትሪክስ ተሰጥቶታል

ለአካለ መጠን ያልደረሰ ልጅ እንውሰድ

ጠርዝ እንደዚህ ያሉ ለአካለ መጠን ያልደረሱ ልጆች ይሆናሉ-

የማትሪክስ ደረጃን ለማግኘት አልጎሪዝምቀጥሎ።

1. ከዜሮ ጋር እኩል ያልሆኑ የሁለተኛው ቅደም ተከተል ታዳጊዎችን እናገኛለን. ሁሉም ሁለተኛ ደረጃ ታዳጊዎች ከዜሮ ጋር እኩል ከሆኑ የማትሪክስ ደረጃ ከአንድ ጋር እኩል ይሆናል ( አር =1 ).

2. ከዜሮ ጋር እኩል ያልሆነ ቢያንስ አንድ ሁለተኛ-ደረጃ ትንሽ ካለ፣ ከዚያም ድንበር ላይ ያሉ የሶስተኛ ደረጃ ታዳጊዎችን እንፅፋለን። ሁሉም የሶስተኛ ደረጃ ድንበር ታዳጊዎች ዜሮ ከሆኑ የማትሪክስ ደረጃ ሁለት ነው ( አር =2 ).

3. በሦስተኛው ቅደም ተከተል ውስጥ ካሉት ድንበሮች መካከል ቢያንስ አንዱ ከዜሮ ጋር እኩል ካልሆነ, ድንበሩን እናዘጋጃለን. ሁሉም በአራተኛ ደረጃ ላይ ያሉ ታዳጊዎች ዜሮ ከሆኑ የማትሪክስ ደረጃ ሶስት ነው ( አር =2 ).

4. የማትሪክስ መጠኑ እስከሚፈቅድ ድረስ ይቀጥሉ.

ምሳሌ 1የማትሪክስ ደረጃን ያግኙ

ውሳኔ. የሁለተኛው ትዕዛዝ አነስተኛ .

ፍሬም እናደርጋለን። አራት አዋሳኝ ታዳጊዎች ይኖራሉ፡-

ስለዚህ ፣ ሁሉም የሶስተኛ ደረጃ ድንበሮች ከዜሮ ጋር እኩል ናቸው ፣ ስለሆነም የዚህ ማትሪክስ ደረጃ ሁለት ነው ( አር =2 ).

ምሳሌ 2የማትሪክስ ደረጃን ያግኙ

ውሳኔ. የዚህ ማትሪክስ ደረጃ 1 ነው ፣ ምክንያቱም ሁሉም የዚህ ማትሪክስ ሁለተኛ ደረጃ ትናንሽ ልጆች ከዜሮ ጋር እኩል ናቸው (በዚህ ውስጥ ፣ በሚቀጥሉት ሁለት ምሳሌዎች ውስጥ ለአካለ መጠን ያልደረሱ ልጆች ሁኔታ ፣ ውድ ተማሪዎች ለራሳቸው እንዲያረጋግጡ ተጋብዘዋል ፣ ምናልባትም ወሳኙን ለማስላት ደንቦቹን በመጠቀም), እና በመጀመሪያ ደረጃ ለአካለ መጠን ያልደረሱ ልጆች, ማለትም በማትሪክስ አካላት መካከል, ከዜሮ ጋር እኩል አይደሉም.

ምሳሌ 3የማትሪክስ ደረጃን ያግኙ

ውሳኔ. የዚህ ማትሪክስ ሁለተኛ-ትዕዛዝ አናሳ ነው ፣ እና ሁሉም የዚህ ማትሪክስ የሶስተኛ ደረጃ ታዳጊዎች ዜሮ ናቸው። ስለዚህ, የዚህ ማትሪክስ ደረጃ ሁለት ነው.

ምሳሌ 4የማትሪክስ ደረጃን ያግኙ

ውሳኔ. የዚህ ማትሪክስ ደረጃ 3 ነው ምክንያቱም የዚህ ማትሪክስ ብቸኛው ሦስተኛው ዝቅተኛ ደረጃ 3 ነው።

የማትሪክስ ደረጃን በአንደኛ ደረጃ ለውጦች ዘዴ መፈለግ (በጋውስ ዘዴ)

ቀድሞውኑ በምሳሌ 1 ውስጥ, ለአካለ መጠን ያልደረሱ ልጆችን በድንበር ዘዴ የማትሪክስ ደረጃን የመወሰን ችግር ብዙ ቁጥር ያላቸው መለኪያዎችን ማስላት እንደሚያስፈልግ ማየት ይቻላል. ይሁን እንጂ የስሌቱን መጠን በትንሹ ለመቀነስ የሚያስችል መንገድ አለ. ይህ ዘዴ በአንደኛ ደረጃ ማትሪክስ ትራንስፎርሜሽን አጠቃቀም ላይ የተመሰረተ ሲሆን የጋውስ ዘዴ ተብሎም ይጠራል.

የማትሪክስ የመጀመሪያ ደረጃ ለውጦች ማለት የሚከተሉት ተግባራት ናቸው

1) የማንኛውንም ረድፍ ወይም ማንኛውንም የማትሪክስ አምድ ከዜሮ ሌላ ቁጥር ማባዛት;

2) በማንኛውም ረድፍ ወይም በማንኛውም የማትሪክስ አምድ አካላት ላይ የሌላ ረድፍ ወይም አምድ ተጓዳኝ አካላትን በተመሳሳይ ቁጥር ማባዛት;

3) የማትሪክስ ሁለት ረድፎችን ወይም አምዶችን መለዋወጥ;

4) የ "ኑል" ረድፎችን ማስወገድ, ማለትም እነዚያ, ሁሉም ንጥረ ነገሮች ከዜሮ ጋር እኩል ናቸው;

5) ከአንድ በስተቀር ሁሉንም ተመጣጣኝ መስመሮች መሰረዝ.

ቲዎረም.የአንደኛ ደረጃ ለውጥ የማትሪክስ ደረጃን አይለውጥም. በሌላ አነጋገር የአንደኛ ደረጃ ለውጦችን ከማትሪክስ ከተጠቀምን ሀወደ ማትሪክስ ይሂዱ ለከዚያም .

እና እንዲሁም የርዕሱን ጠቃሚ ተግባራዊ አተገባበር አስቡበት፡- ለተኳሃኝነት የመስመር እኩልታዎች ስርዓት ጥናት.

የማትሪክስ ደረጃ ስንት ነው?

የአንቀጹ አስቂኝ ክፍል ብዙ እውነትን ይዟል። “ማዕረግ” የሚለው ቃል ራሱ ብዙውን ጊዜ ከአንዳንድ ተዋረዶች ጋር ይዛመዳል፣ ብዙ ጊዜ ከሙያ መሰላል ጋር። አንድ ሰው የበለጠ እውቀት, ልምድ, ችሎታዎች, ግንኙነቶች, ወዘተ. - ከፍ ያለ ቦታ እና የእድሎች ክልል። በወጣትነት ደረጃ፣ ደረጃ የሚያመለክተው አጠቃላይ የ"ጥንካሬ" ደረጃ ነው።

እና የሂሳብ ወንድሞቻችን የሚኖሩት በተመሳሳይ መርሆች ነው። በዘፈቀደ ጥቂት ለእግር እንሂድ ዜሮ ማትሪክስ:

በማትሪክስ ውስጥ ከሆነ እናስብ ዜሮዎች ብቻ፣ እንግዲያውስ ስለየትኛው ደረጃ መነጋገር እንችላለን? ሁሉም ሰው "ጠቅላላ ዜሮ" የሚለውን መደበኛ ያልሆነ አገላለጽ ያውቃል. በማትሪክስ ማህበረሰብ ውስጥ ፣ ሁሉም ነገር በትክክል ተመሳሳይ ነው-

ዜሮ ማትሪክስ ደረጃማንኛውም መጠን ዜሮ ነው.

ማስታወሻ ዜሮ ማትሪክስ በግሪክ ፊደል "ቴታ" ይገለጻል

የማትሪክስ ደረጃን በተሻለ ለመረዳት, ከዚህ በኋላ በቁሳቁሶች ላይ እሳለሁ የትንታኔ ጂኦሜትሪ. ዜሮን አስቡ ቬክተርየተወሰነ አቅጣጫ የማያስቀምጥ እና ለግንባታ የማይጠቅመው ባለ ሶስት አቅጣጫዊ ቦታችን አፊን መሠረት. ከአልጀብራ እይታ አንጻር የአንድ የተሰጠ የቬክተር መጋጠሚያዎች ተጽፈዋል ማትሪክስ"አንድ በሦስት" እና ምክንያታዊ (በተጠቀሰው ጂኦሜትሪክ ስሜት)የዚህ ማትሪክስ ደረጃ ዜሮ ነው ብለው ያስቡ።

አሁን ጥቂቶቹን እንመልከት ዜሮ ያልሆነ አምድ ቬክተሮችእና ረድፍ ቬክተሮች:

እያንዳንዱ ምሳሌ ቢያንስ አንድ ባዶ ያልሆነ አካል አለው፣ እና ያ የሆነ ነገር ነው!

የማንኛውም ዜሮ ያልሆነ ረድፍ ቬክተር (የአምድ ቬክተር) ደረጃ ከአንድ ጋር እኩል ነው።

እና በአጠቃላይ - በማትሪክስ ውስጥ ከሆነ የዘፈቀደ መጠኖችቢያንስ አንድ ዜሮ ያልሆነ አካል አለው፣ ከዚያም ደረጃው ያነሰ አይደለምክፍሎች.

የአልጀብራ ረድፍ እና አምድ ቬክተሮች በተወሰነ ደረጃ ረቂቅ ናቸው፣ ስለዚህ እንደገና ወደ ጂኦሜትሪክ ማህበር እንሸጋገር። ዜሮ ያልሆነ ቬክተርበጠፈር ውስጥ በደንብ የተገለጸ አቅጣጫ ያስቀምጣል እና ለመገንባት ተስማሚ ነው መሠረት, ስለዚህ የማትሪክስ ደረጃ ከአንድ ጋር እኩል ይሆናል ተብሎ ይታሰባል.

የንድፈ ዳራ : በመስመራዊ አልጀብራ ቬክተር የቬክተር ቦታ አካል ነው (በ 8 axioms በኩል ይገለጻል) ይህ በተለይ የእውነተኛ ቁጥሮች መደመር እና ማባዛት ስራዎች በእውነተኛ ቁጥር የተደረደሩ ረድፍ (ወይም አምድ) ሊሆን ይችላል ለእነሱ. ስለ ቬክተሮች የበለጠ መረጃ ለማግኘት, ጽሑፉን ይመልከቱ የመስመር ለውጦች.

በመስመር ላይ ጥገኛ(እርስ በርስ ይገለጻል). ከጂኦሜትሪክ እይታ አንጻር, ሁለተኛው መስመር የኮሊንየር ቬክተር መጋጠሚያዎችን ይዟል , ይህም በግንባታው ላይ ጉዳዩን አላራመደም ባለ ሶስት አቅጣጫዊ መሰረት, በዚህ መልኩ ከመጠን በላይ መሆን. ስለዚህ ፣ የዚህ ማትሪክስ ደረጃ ከአንድ ጋር እኩል ነው።

የቬክተሮችን መጋጠሚያዎች በአምዶች ውስጥ እንደገና እንጽፋለን ( ማትሪክስ ያስተላልፉ):

ከደረጃው አንፃር ምን ተቀየረ? መነም. ዓምዶቹ ተመጣጣኝ ናቸው, ይህም ማለት ደረጃው ከአንድ ጋር እኩል ነው. በነገራችን ላይ ሦስቱም መስመሮች እንዲሁ ተመጣጣኝ መሆናቸውን ልብ ይበሉ. በመጋጠሚያዎች ሊታወቁ ይችላሉ ሶስትየአውሮፕላኑ collinear vectors, ከእነዚህ ውስጥ አንድ ብቻ"ጠፍጣፋ" መሰረትን ለመገንባት ጠቃሚ ነው. እና ይህ ከጂኦሜትሪክ ደረጃ ስሜታችን ጋር ሙሉ በሙሉ ይስማማል።

አንድ ጠቃሚ መግለጫ ከላይ ካለው ምሳሌ ይከተላል።

የማትሪክስ በረድፎች ደረጃ ከማትሪክስ ደረጃ በአምዶች ጋር እኩል ነው።. ይህንን ውጤታማ በሆነው ትምህርት ውስጥ አስቀድሜ ጠቅሻለሁ። ወሳኙን ለማስላት ዘዴዎች.

ማስታወሻ የረድፎች ቀጥተኛ ጥገኝነት ወደ አምዶች ቀጥተኛ ጥገኛ (እና በተቃራኒው) ይመራል. ግን ጊዜን ለመቆጠብ እና ከልምምድ ውጭ ሁል ጊዜ ስለ ሕብረቁምፊዎች የመስመር ጥገኛነት እናገራለሁ ።

ተወዳጅ የቤት እንስሳችንን ማሰልጠን እንቀጥል። በሦስተኛው ረድፍ ላይ የሌላ ኮላይኔር ቬክተር መጋጠሚያዎችን ወደ ማትሪክስ ያክሉ :

ባለ ሶስት አቅጣጫዊ መሰረት በመገንባት ረገድ ረድቶናል? በጭራሽ. ሦስቱም ቬክተሮች በተመሳሳይ መንገድ ወደ ፊት እና ወደ ፊት ይሄዳሉ ፣ እና የማትሪክስ ደረጃው አጥንት ነው። የፈለከውን ያህል ኮሊነር ቬክተር መውሰድ ትችላለህ፣ 100፣ መጋጠሚያዎቻቸውን በ100 በ 3 ማትሪክስ ውስጥ አስቀምጣቸው፣ እና የእንደዚህ አይነት ሰማይ ጠቀስ ህንጻዎች ደረጃ አሁንም አንድ ሆኖ ይቀራል።

የማን ረድፎችን ከማትሪክስ ጋር እንተዋወቅ በመስመር ገለልተኛ. ባለ ሶስት አቅጣጫዊ መሰረትን ለመገንባት ጥንድ ያልሆኑ ኮሊነር ቬክተሮች ተስማሚ ናቸው. የዚህ ማትሪክስ ደረጃ ሁለት ነው.

የማትሪክስ ደረጃ ምን ያህል ነው? መስመሮቹ ተመጣጣኝ አይመስሉም ... ስለዚህ በንድፈ ሀሳብ ሶስት. ሆኖም ፣ የዚህ ማትሪክስ ደረጃ እንዲሁ ከሁለት ጋር እኩል ነው። የመጀመሪያዎቹን ሁለት መስመሮች ጨምሬ ውጤቱን ከታች ጻፍኩኝ, ማለትም. በመስመር የተገለጸሦስተኛው መስመር ከመጀመሪያዎቹ ሁለት. በጂኦሜትሪ ፣ የማትሪክስ ረድፎች ከሶስት መጋጠሚያዎች ጋር ይዛመዳሉ ኮፕላላር ቬክተሮች, እና በዚህ ሶስት እጥፍ መካከል ጥንድ ያልሆኑ ኮሊነር ያልሆኑ ጓዶች አሉ.

እንደሚያዩት መስመራዊ ጥገኛበተጠቀሰው ማትሪክስ ውስጥ ግልፅ አይደለም ፣ እና ዛሬ እንዴት ወደ “ንፁህ ውሃ” ማምጣት እንደምንችል እንማራለን ።

ብዙ ሰዎች የማትሪክስ ደረጃ ምን እንደሆነ ይገምታሉ!

የማን ረድፎችን ማትሪክስ አስቡበት በመስመር ገለልተኛ. የቬክተሮች ቅርጽ አፊን መሠረትእና የዚህ ማትሪክስ ደረጃ ሦስት ነው።

እንደሚታወቀው፣ ማንኛውም አራተኛ፣ አምስተኛ፣ አስረኛው ቬክተር ባለ ሶስት አቅጣጫዊ ቦታ ከመሠረታዊ ቬክተር አንፃር በቀጥታ ይገለጻል። ስለዚህ ፣ ማንኛውም የረድፎች ብዛት ወደ ማትሪክስ ከተጨመረ ፣ ከዚያ የእሱ ደረጃ አሁንም ሦስት ይሆናል.

ለትላልቅ መጠኖች (በግልጽ ፣ ቀድሞውኑ የጂኦሜትሪክ ትርጉም ከሌለው) ማትሪክስ ተመሳሳይ አመክንዮ ሊከናወን ይችላል።

ፍቺ : የማትሪክስ ደረጃ ከፍተኛው የመስመር ላይ ገለልተኛ የረድፎች ብዛት ነው።. ወይም፡- የማትሪክስ ደረጃ ከፍተኛው በመስመር ገለልተኛ የሆኑ አምዶች ብዛት ነው።. አዎ, እነሱ ሁልጊዜ ይጣጣማሉ.

አንድ ጠቃሚ ተግባራዊ መመሪያ ከላይ ከተጠቀሰው ይከተላል. የማትሪክስ ደረጃ ከዝቅተኛው ልኬት አይበልጥም።. ለምሳሌ, በማትሪክስ ውስጥ አራት ረድፎች እና አምስት አምዶች. ዝቅተኛው ልኬት አራት ነው, ስለዚህ, የዚህ ማትሪክስ ደረጃ በእርግጠኝነት ከ 4 አይበልጥም.

ማስታወሻበአለም ንድፈ ሃሳብ እና ልምምድ ውስጥ የማትሪክስ ደረጃን ለመሰየም በአጠቃላይ ተቀባይነት ያለው መስፈርት የለም, በጣም የተለመደው ሊገኝ ይችላል: - እነሱ እንደሚሉት አንድ እንግሊዛዊ አንድ ነገር ይጽፋል, ጀርመናዊው ሌላ. ስለዚህ ስለ አሜሪካ እና ሩሲያ ሲኦል በሚታወቀው ታሪክ ላይ በመመስረት የማትሪክስ ደረጃን በአፍ መፍቻ ቃል እንሰይመው። ለምሳሌ: . እና ማትሪክስ "ስም-አልባ" ከሆነ, ከእነዚህ ውስጥ ብዙ አሉ, ከዚያ በቀላሉ መጻፍ ይችላሉ.

ለአካለ መጠን ያልደረሱ ልጆችን በመጠቀም የማትሪክስ ደረጃን እንዴት ማግኘት ይቻላል?

አያታችን በማትሪክስ ውስጥ አምስተኛው አምድ ቢኖራት ፣ ከዚያ ሌላ 4 ኛ ቅደም ተከተል ትንሽ (“ሰማያዊ” ፣ “ራስቤሪ” + 5 ኛ አምድ) መቁጠር ነበረበት።

ውፅዓት: ዜሮ ያልሆነ ትንሽ ልጅ ከፍተኛው ቅደም ተከተል ሦስት ነው, ስለዚህ.

ምናልባት ሁሉም ሰው ይህንን ሐረግ ሙሉ በሙሉ አልተረዳውም-የአራተኛው ቅደም ተከተል ትንሽ ከዜሮ ጋር እኩል ነው ፣ ግን ከ 3 ኛ ቅደም ተከተል ታዳጊዎች መካከል ዜሮ ያልሆነ አንድ ነበር - ስለሆነም ፣ ከፍተኛው ቅደም ተከተል። ዜሮ ያልሆነጥቃቅን እና ከሶስት ጋር እኩል ነው.

ጥያቄው የሚነሳው, ለምን ወዲያውኑ ቆራጩን አታሰላም? ደህና ፣ በመጀመሪያ ፣ በአብዛኛዎቹ ተግባራት ማትሪክስ ካሬ አይደለም ፣ በሁለተኛ ደረጃ ፣ ምንም እንኳን ዜሮ ያልሆነ እሴት ቢያገኙ ፣ ከዚያ ተግባሩ ብዙውን ጊዜ መደበኛ “ከታች ወደ ላይ” ስለሚለውጥ በከፍተኛ ዕድል ውድቅ ይሆናል ። መፍትሄ. እና በተጠቀሰው ምሳሌ ውስጥ ፣ የ 4 ኛ ቅደም ተከተል ዜሮ መወሰኛ የማትሪክስ ደረጃ ከአራት በታች ብቻ መሆኑን እንድንገልጽ ያስችለናል።

እኔ ራሴ የተተነተነውን ችግር ያቀረብኩት ለአካለ መጠን ያልደረሱ ሕፃናትን የድንበር ዘዴን በተሻለ ሁኔታ ለማብራራት መሆኑን መቀበል አለብኝ። በእውነቱ ፣ ሁሉም ነገር ቀላል ነው-

ምሳሌ 2

ለአካለ መጠን ያልደረሱ ልጆችን በመጥለፍ ዘዴ የማትሪክስ ደረጃን ያግኙ

በትምህርቱ መጨረሻ ላይ መፍትሄ እና መልስ.

ስልተ ቀመር በጣም ፈጣን የሚሆነው መቼ ነው? ወደ ተመሳሳዩ አራት በአራት ማትሪክስ እንመለስ . "በጥሩ" ጉዳይ ላይ መፍትሄው በጣም አጭር እንደሚሆን ግልጽ ነው. የማዕዘን ታዳጊዎች:

እና ከሆነ ፣ ከዚያ ፣ ካልሆነ - .

ማሰብ በፍፁም መላምት አይደለም - ነገሩ ሁሉ ለአቅመ አዳም ያልደረሱ ልጆች ብቻ የተገደበባቸው ብዙ ምሳሌዎች አሉ።

ሆኖም ፣ በአንዳንድ ሁኔታዎች ፣ ሌላ ዘዴ የበለጠ ውጤታማ እና ተመራጭ ነው-

የ Gauss ዘዴን በመጠቀም የማትሪክስ ደረጃን እንዴት ማግኘት ይቻላል?

ይህ ክፍል አስቀድሞ ለሚያውቁ አንባቢዎች የታሰበ ነው። Gauss ዘዴእና ቀስ በቀስ እጃቸውን በእሱ ላይ አገኙ.

ከቴክኒካዊ እይታ አንጻር, ዘዴው አዲስ አይደለም.

1) የመጀመሪያ ደረጃ ለውጦችን በመጠቀም ማትሪክስ ወደ ደረጃ ቅፅ እናመጣለን ።

2) የማትሪክስ ደረጃ ከረድፎች ብዛት ጋር እኩል ነው።

መሆኑ ግልጽ ነው። የ Gauss ዘዴን በመጠቀም የማትሪክስ ደረጃን አይለውጥም, እና እዚህ ያለው ይዘት እጅግ በጣም ቀላል ነው-በአልጎሪዝም መሰረት, በአንደኛ ደረጃ ለውጦች ሂደት, ሁሉም አላስፈላጊ ተመጣጣኝ (መስመራዊ ጥገኛ) መስመሮች ተለይተው ይታወቃሉ እና ይወገዳሉ, በዚህም ምክንያት "ደረቅ ቅሪት" ይቀራል - ከፍተኛው ቁጥር ቀጥታ ገለልተኛ መስመሮች.

የድሮውን የሚታወቅ ማትሪክስ ከሶስት ኮላይነር ቬክተሮች መጋጠሚያዎች ጋር እንለውጠው፡-

(1) የመጀመሪያው ረድፍ በሁለተኛው ረድፍ ላይ ተጨምሯል, በ -2 ተባዝቷል. የመጀመሪያው መስመር ወደ ሦስተኛው መስመር ተጨምሯል.

(2) ዜሮ መስመሮች ተወግደዋል.

ስለዚህ አንድ መስመር ይቀራል፣ ስለዚህም . ይህ የ 2 ኛ ቅደም ተከተል ዘጠኝ ዜሮ ታዳጊዎችን በማስላት እና መደምደሚያ ላይ ከመድረስ የበለጠ ፈጣን ነው ማለት አያስፈልግም።

ያንን በራሱ አስታውሳችኋለሁ አልጀብራ ማትሪክስምንም ነገር መለወጥ አይቻልም ፣ እና ለውጦች የሚከናወኑት ደረጃውን ለማወቅ ዓላማ ብቻ ነው! በነገራችን ላይ በጥያቄው ላይ እንደገና እናቆየው ለምን አይሆንም? ምንጭ ማትሪክስ ከማትሪክስ እና የረድፍ መረጃ በመሠረቱ የተለየ መረጃ ይይዛል። በአንዳንድ የሂሳብ ሞዴሎች (ያለ ማጋነን) የአንድ ቁጥር ልዩነት የህይወት እና የሞት ጉዳይ ሊሆን ይችላል. ... የአንደኛና የሁለተኛ ደረጃ ትምህርት ቤት የሂሳብ መምህራን ትዝ አለኝ፤ በጥቂቱም ቢሆን ስህተት ወይም ከአልጎሪዝም ማፈንገጡ ትምህርቱን 1-2 ነጥብ በሌለበት ሁኔታ ያቋረጡት። እናም ዋስትና ከተሰጣቸው "አምስት" ይልቅ "ጥሩ" ወይም እንዲያውም የከፋ ሆኖ ሲገኝ በጣም አሳዛኝ ነበር። መረዳት ብዙ በኋላ መጣ - እንዴት ሌላ ሰው ሳተላይት, የኑክሌር የጦር እና የኃይል ማመንጫዎች አደራ? ግን አይጨነቁ ፣ በእነዚህ አካባቢዎች አልሰራም =)

ወደ ይበልጥ ትርጉም ያላቸው ተግባራት እንሂድ, ከሌሎች ነገሮች በተጨማሪ, አስፈላጊ ከሆኑ የስሌት ቴክኒኮች ጋር መተዋወቅ እንችላለን. Gauss ዘዴ:

ምሳሌ 3

የመጀመሪያ ደረጃ ለውጦችን በመጠቀም የማትሪክስ ደረጃን ያግኙ

ውሳኔ: አራት ለአምስት ማትሪክስ ተሰጥቶታል፣ ይህ ማለት በእርግጠኝነት ደረጃው ከ 4 አይበልጥም ማለት ነው።

በመጀመሪያው አምድ ውስጥ 1 ወይም -1 የለም, ስለዚህ, ቢያንስ አንድ ክፍል ለማግኘት ተጨማሪ እርምጃዎች ያስፈልጋሉ. በጠቅላላው የጣቢያው ሕልውና ፣ “በአንደኛ ደረጃ ትራንስፎርሜሽን ወቅት ዓምዶቹን እንደገና ማስተካከል ይቻላል?” የሚለውን ጥያቄ ደጋግሞ ጠይቀውኛል። እዚህ - የመጀመሪያውን ወይም ሁለተኛውን አምድ እንደገና አስተካክሏል, እና ሁሉም ነገር ጥሩ ነው! የት አብዛኞቹ ተግባራት ውስጥ Gauss ዘዴ, አምዶች በእውነት እንደገና ሊደረደሩ ይችላሉ. ግን አታድርግ። እና ነጥቡ ከተለዋዋጮች ጋር እንኳን ሊፈጠር የሚችል ግራ መጋባት አይደለም ፣ ነጥቡ በጥንታዊው የከፍተኛ የሂሳብ ትምህርት ትምህርት ይህ ተግባር በተለምዶ አይታሰብም ፣ ስለሆነም ፣ እንደዚህ ዓይነቱ ኩርቢ በጣም ጠማማ በሆነ መልኩ ይታያል (ወይም ሁሉንም ነገር እንደገና ለመስራት ይገደዳል) .

ሁለተኛው ነጥብ ቁጥሮችን ይመለከታል. በውሳኔው ሂደት በሚከተለው የአውራጃ ህግ መመራቱ ጠቃሚ ነው። የመጀመሪያ ደረጃ ለውጦች ከተቻለ የማትሪክስ ቁጥሮችን መቀነስ አለባቸው. በእርግጥ, ከአንድ-ሁለት-ሶስት ጋር አብሮ መስራት በጣም ቀላል ነው, ለምሳሌ, ከ 23, 45 እና 97 ጋር. እና የመጀመሪያው እርምጃ በአንደኛው አምድ ውስጥ አንድ ክፍል ለማግኘት ብቻ ሳይሆን ቁጥሮቹን ለማስወገድ ጭምር ነው. 7 እና 11.

በመጀመሪያ ሙሉው መፍትሔ, ከዚያም አስተያየቶች:

(1) የመጀመሪያው ረድፍ በሁለተኛው ረድፍ ላይ ተጨምሯል, በ -2 ተባዝቷል. የመጀመሪያው መስመር ወደ ሦስተኛው መስመር ተጨምሯል, በ -3 ተባዝቷል. እና ወደ ክምር: 1 ኛ መስመር, በ -1 ተባዝቷል, ወደ 4 ኛ መስመር ተጨምሯል.

(2) የመጨረሻዎቹ ሦስት መስመሮች ተመጣጣኝ ናቸው. 3 ኛ እና 4 ኛ መስመሮች ተሰርዘዋል, ሁለተኛው መስመር ወደ መጀመሪያው ቦታ ተወስዷል.

(3) የመጀመሪያው ረድፍ በሁለተኛው ረድፍ ላይ ተጨምሯል, በ -3 ተባዝቷል.

ወደ ደረጃ ቅፅ የተቀነሰው ማትሪክስ ሁለት ረድፎች አሉት።

መልስ:

አሁን አራት በአራት ማትሪክስ ማሰቃየት የእርስዎ ተራ ነው።

ምሳሌ 4

የ Gaussian ዘዴን በመጠቀም የማትሪክስ ደረጃን ያግኙ

ያንን አስታውሳችኋለሁ Gauss ዘዴየማያሻማ ግትርነትን አያመለክትም፣ እና የእርስዎ መፍትሔ ምናልባት ከእኔ መፍትሔ የተለየ ይሆናል። በትምህርቱ መጨረሻ ላይ የተግባር አጭር ናሙና.

የማትሪክስ ደረጃን ለማግኘት ምን ዘዴ መጠቀም አለብዎት?

በተግባር ብዙውን ጊዜ ደረጃውን ለማግኘት የትኛውን ዘዴ መጠቀም እንዳለበት በጭራሽ አይነገርም. በእንደዚህ ዓይነት ሁኔታ ውስጥ አንድ ሰው ሁኔታውን መተንተን አለበት - ለአንዳንድ ማትሪክስ መፍትሄውን ለአካለ መጠን ያልደረሱ ልጆችን ማከናወን የበለጠ ምክንያታዊ ነው, ለሌሎች ደግሞ የመጀመሪያ ደረጃ ለውጦችን መተግበር የበለጠ ትርፋማ ነው.

ምሳሌ 5

የማትሪክስ ደረጃን ያግኙ

ውሳኔ: የመጀመሪያው መንገድ በሆነ መንገድ ወዲያውኑ ይጠፋል =)

ትንሽ ከፍ ያለ ፣ የማትሪክስ አምዶችን ላለመንካት እመክራለሁ ፣ ግን ዜሮ አምድ ፣ ወይም ተመጣጣኝ / ተዛማጅ አምዶች ሲኖሩ ፣ አሁንም መቁረጥ ጠቃሚ ነው-

(1) አምስተኛው ዓምድ ዜሮ ነው, ከማትሪክስ ውስጥ እናስወግደዋለን. ስለዚህ የማትሪክስ ደረጃው ቢበዛ አራት ነው። የመጀመሪያው ረድፍ በ -1 ተባዝቷል. ይህ የ Gaussian ዘዴ ሌላ ፊርማ ባህሪ ነው ፣ ይህም የሚከተለውን እርምጃ አስደሳች የእግር ጉዞ ያደርገዋል።

(2) በሁሉም መስመሮች ከሁለተኛው ጀምሮ, የመጀመሪያው መስመር ተጨምሯል.

(3) የመጀመሪያው ረድፍ በ -1 ተባዝቷል ፣ ሦስተኛው ረድፍ በ 2 ፣ አራተኛው ረድፍ በ 3 ተከፍሏል ። ሁለተኛው ረድፍ ተባዝቷል -1 ወደ አምስተኛው ረድፍ ተጨምሯል።

(4) ሦስተኛው መስመር ወደ አምስተኛው መስመር ተጨምሯል, በ -2 ተባዝቷል.

(5) የመጨረሻዎቹ ሁለት መስመሮች ተመጣጣኝ ናቸው, አምስተኛውን እንሰርዛለን.

ውጤቱ 4 ረድፎች ነው.

መልስ:

ለራስ ፍለጋ መደበኛ ባለ አምስት ፎቅ ሕንፃ፡-

ምሳሌ 6

የማትሪክስ ደረጃን ያግኙ

በትምህርቱ መጨረሻ ላይ አጭር መፍትሄ እና መልስ.

"ማትሪክስ ደረጃ" የሚለው ሐረግ በተግባር በጣም የተለመደ እንዳልሆነ እና በአብዛኛዎቹ ችግሮች ያለሱ ማድረግ እንደሚችሉ ልብ ሊባል ይገባል. ግን እየተገመገመ ያለው ፅንሰ-ሀሳብ ዋና ገጸ-ባህሪ የሆነበት አንድ ተግባር አለ ፣ እና በአንቀጹ ማጠቃለያ ይህንን ተግባራዊ መተግበሪያ እንመለከታለን።

ለተኳሃኝነት የመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓትን እንዴት መመርመር እንደሚቻል?

ብዙውን ጊዜ, ከመፍታት በተጨማሪ የመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓቶችእንደ ሁኔታው, በመጀመሪያ ለተኳሃኝነት መመርመር, ማለትም, ማንኛውም መፍትሄ ጨርሶ መኖሩን ማረጋገጥ ያስፈልጋል. በዚህ ማረጋገጫ ውስጥ ቁልፍ ሚና የሚጫወተው በ Kronecker-Capelli ቲዎረምበሚፈለገው ቅጽ እቀርጻለሁ፡-

ደረጃ ከሆነ የስርዓት ማትሪክስከደረጃ ጋር እኩል ነው። የተጨመረው ማትሪክስ ስርዓት, ከዚያም ስርዓቱ ወጥነት ያለው ነው, እና የተሰጠው ቁጥር ከማይታወቁት ቁጥር ጋር የሚጣጣም ከሆነ, መፍትሄው ልዩ ነው.

ስለዚህ, የተኳሃኝነት ስርዓቱን ለማጥናት, እኩልነትን ማረጋገጥ አስፈላጊ ነው የት - የስርዓት ማትሪክስ(ከትምህርቱ ውስጥ የቃላቶቹን ቃላት አስታውስ Gauss ዘዴ), ሀ - የተጨመረው ማትሪክስ ስርዓት(ማለትም ማትሪክስ ከተባባሪዎች ጋር በተለዋዋጮች + የነፃ ቃላት አምድ)።

የማትሪክስ ደረጃ አስፈላጊ የቁጥር ባህሪ ነው። የማትሪክስ ደረጃን መፈለግ የሚያስፈልገው በጣም የተለመደው ችግር የመስመራዊ አልጀብራ እኩልታዎች ስርዓት ተኳሃኝነትን ማረጋገጥ ነው። በዚህ ጽሑፍ ውስጥ የማትሪክስ ደረጃን ጽንሰ-ሀሳብ እንሰጣለን እና እሱን ለማግኘት ዘዴዎችን እንመለከታለን. ለተሻለ የቁሳቁስ ውህደት የበርካታ ምሳሌዎችን መፍትሄዎች በዝርዝር እንመረምራለን ።

የገጽ አሰሳ።

የማትሪክስ ደረጃን መወሰን እና አስፈላጊ ተጨማሪ ጽንሰ-ሐሳቦች.

የማትሪክስ ደረጃን ትርጉም ከመግለጽዎ በፊት አንድ ሰው ለአካለ መጠን ያልደረሰ ልጅ ጽንሰ-ሀሳብ ጥሩ ግንዛቤ ሊኖረው ይገባል ፣ እና የማትሪክስ አካለ መጠን ያልደረሱ ልጆችን ማግኘት ወሳኙን የመቁጠር ችሎታን ያሳያል። ስለዚህ አስፈላጊ ከሆነ የአንቀጹን ፅንሰ-ሀሳብ ለማስታወስ እንመክርዎታለን ፣ የማትሪክስ መወሰኛን የማግኘት ዘዴዎች ፣ የመወሰን ባህሪዎች።

የትእዛዝ ማትሪክስ A ይውሰዱ። ከ m እና n ቁጥሮች ትንሹን የማይበልጥ የተፈጥሮ ቁጥር ይሁን ፣ ማለትም ፣ .

ፍቺ

አነስተኛ k-th ትዕዛዝማትሪክስ A የካሬ ማትሪክስ ቅደም ተከተል የሚወስን ነው, ከማትሪክስ ኤ ንጥረ ነገሮች ያቀፈ, ቀድሞ በተመረጡት k ረድፎች እና k አምዶች ውስጥ ያሉት እና የማትሪክስ A ንጥረ ነገሮች መገኛ ተጠብቆ ይቆያል.

በሌላ አነጋገር በማትሪክስ A ውስጥ (p–k) ረድፎችን እና (n–k) አምዶችን ከሰረዝን እና ከቀሪዎቹ ንጥረ ነገሮች ማትሪክስ ከፈጠርን ፣ የማትሪክስ A ንጥረ ነገሮችን አደረጃጀት እንጠብቃለን ፣ ከዚያ የተገኘውን ማትሪክስ የሚወስነው አነስተኛ የትእዛዝ k ማትሪክስ A.

ምሳሌን በመጠቀም የማትሪክስ አናሳ ፍቺን እንመልከት።

ማትሪክስ አስቡበት .

የዚህን ማትሪክስ የመጀመሪያ ደረጃ ታዳጊዎችን እንፃፍ። ለምሳሌ, ሶስተኛውን ረድፍ እና የማትሪክስ A ሁለተኛ አምድ ከመረጥን, ምርጫችን ከአንደኛ ደረጃ ትንሽ ጋር ይዛመዳል. . በሌላ አነጋገር, ይህንን ትንሽ ለማግኘት, የመጀመሪያውን እና ሁለተኛ ረድፎችን, እንዲሁም የመጀመሪያውን, ሶስተኛውን እና አራተኛውን አምዶች ከማትሪክስ A, እና ከቀሪው ኤለመንቱ የሚወስነውን አደረግን. የማትሪክስ A የመጀመሪያውን ረድፍ እና ሶስተኛውን ዓምድ ከመረጥን, ከዚያም ትንሽ እናገኛለን .

ከግምት ውስጥ የገቡትን የመጀመሪያ ደረጃ ታዳጊዎችን የማግኘት ሂደቱን በምሳሌ እናሳይ
እና .

ስለዚህ የማትሪክስ የመጀመሪያ ደረጃ ታዳጊዎች የማትሪክስ አካላት እራሳቸው ናቸው።

የሁለተኛውን ቅደም ተከተል በርካታ ታዳጊዎችን እናሳይ። ሁለት ረድፎችን እና ሁለት አምዶችን ይምረጡ. ለምሳሌ, የመጀመሪያውን እና ሁለተኛ ረድፎችን እና ሶስተኛውን እና አራተኛውን አምዶች ይውሰዱ. በዚህ ምርጫ ሁለተኛ ደረጃ ትንሽ ልጅ አለን . ይህ አናሳ የሶስተኛውን ረድፍ፣ የመጀመሪያ እና ሁለተኛ አምዶችን ከማትሪክስ A በመሰረዝ ሊፈጠር ይችላል።

ሌላው ሁለተኛ ደረጃ አነስተኛ የማትሪክስ A ነው።

የእነዚህን ሁለተኛ ደረጃ ታዳጊዎች ግንባታ በምሳሌ እናሳይ
እና .

የማትሪክስ A ሶስተኛ ደረጃ ታዳጊዎች በተመሳሳይ መልኩ ሊገኙ ይችላሉ. በማትሪክስ A ውስጥ ሶስት ረድፎች ብቻ ስለሆኑ ሁሉንም እንመርጣለን. ለእነዚህ ረድፎች የመጀመሪያዎቹን ሶስት አምዶች ከመረጥን, ከዚያም ከሦስተኛው ቅደም ተከተል ትንሽ እናገኛለን

እንዲሁም የማትሪክስ A የመጨረሻውን አምድ በመሰረዝ ሊገነባ ይችላል.

ሌላ ሦስተኛ-ትዕዛዝ አነስተኛ ነው

የማትሪክስ A ሶስተኛውን አምድ በመሰረዝ የተገኘ.

የእነዚህን የሶስተኛ ደረጃ ታዳጊዎች ግንባታ የሚያሳይ ስዕል ይኸውና
እና .

ለተሰጠው ማትሪክስ A፣ ከሦስተኛው በላይ የሆኑ ጥቃቅን ቅደም ተከተሎች የሉም፣ ምክንያቱም .

የትእዛዝ ማትሪክስ A ስንት k-th ቅደም ተከተል ታዳጊዎች አሉ?

የትዕዛዝ k ለአካለ መጠን ያልደረሱ ልጆች እንደ, የት ሊሰላ ይችላል እና - ከ p እስከ k እና ከ n እስከ k የጥምረቶች ብዛት.

ሁሉንም ለአካለ መጠን ያልደረሱ ልጆች እንዴት ማትሪክስ A of order p on n ን መገንባት ይቻላል?

የማትሪክስ ረድፍ ቁጥሮች እና የአምድ ቁጥሮች ስብስብ እንፈልጋለን. ሁሉንም ነገር መቅዳት የ p ንጥረ ነገሮች ጥምረት በ k(ትንሽ ቅደም ተከተል k በሚገነቡበት ጊዜ ከማትሪክስ A ከተመረጡት ረድፎች ጋር ይዛመዳሉ)። ለእያንዳንዱ የረድፍ ቁጥሮች ጥምረት፣ ሁሉንም የ n ንጥረ ነገሮች ውህዶች በ k አምድ ቁጥሮች በቅደም ተከተል እንጨምራለን። እነዚህ የረድፍ ቁጥሮች ጥምረት እና የማትሪክስ A አምድ ቁጥሮች ሁሉንም ጥቃቅን ቅደም ተከተሎች ለመጻፍ ይረዳሉ.

አንድ ምሳሌ እንውሰድ።

ለምሳሌ.

ሁሉንም የማትሪክስ ሁለተኛ ቅደም ተከተሎች ያግኙ.

ውሳኔ.

የዋናው ማትሪክስ ቅደም ተከተል 3 በ 3 ስለሆነ ፣ ከዚያ አጠቃላይ ሁለተኛ ደረጃ ታዳጊዎች ይሆናሉ .

ሁሉንም የማትሪክስ A ከ 3 እስከ 2 የረድፍ ቁጥሮች ጥምረቶችን እንጻፍ: 1, 2; 1፣ 3 እና 2፣ 3። ሁሉም የ 3 በ 2 አምድ ቁጥሮች ጥምረት 1, 2; 1፣ 3 እና 2፣ 3።

የማትሪክስ A የመጀመሪያ እና ሁለተኛ ረድፎችን ይውሰዱ። ለእነዚህ ረድፎች የመጀመሪያ እና ሁለተኛ ዓምዶች ፣ የመጀመሪያ እና ሦስተኛ ዓምዶች ፣ ሁለተኛው እና ሦስተኛው አምዶች ፣ በቅደም ተከተል አናሳዎችን እናገኛለን ።

ለመጀመሪያዎቹ እና ለሦስተኛው ረድፎች, ተመሳሳይ የአምዶች ምርጫ, እኛ አለን

የመጀመሪያውን እና ሁለተኛውን ፣ አንደኛ እና ሶስተኛውን ፣ ሁለተኛ እና ሶስተኛውን አምዶች ወደ ሁለተኛው እና ሦስተኛው ረድፎች ለመጨመር ይቀራል ።

ስለዚህ, ሁሉም ዘጠኝ ጥቃቅን የማትሪክስ A ሁለተኛ ቅደም ተከተል ተገኝተዋል.

አሁን የማትሪክስ ደረጃን ወደ መወሰን መሄድ እንችላለን.

ፍቺ

ማትሪክስ ደረጃዜሮ ያልሆኑ ማትሪክስ ጥቃቅን ከፍተኛው ቅደም ተከተል ነው።

የማትሪክስ ደረጃ A ደረጃ (A) ተብሎ ይገለጻል። እንዲሁም Rg(A) ወይም Rang(A) ስያሜዎችን ማየት ይችላሉ።

ከማትሪክስ ደረጃ እና አነስተኛ የማትሪክስ ትርጓሜዎች ፣ የዜሮ ማትሪክስ ደረጃ ከዜሮ ጋር እኩል ነው ፣ እና የዜሮ ያልሆነ ማትሪክስ ደረጃ ቢያንስ አንድ ነው ብለን መደምደም እንችላለን።

የማትሪክስ ደረጃን በፍቺ መፈለግ።

ስለዚህ, የማትሪክስ ደረጃን ለማግኘት የመጀመሪያው ዘዴ ነው አነስተኛ የመቁጠሪያ ዘዴ. ይህ ዘዴ የማትሪክስ ደረጃን በመወሰን ላይ የተመሰረተ ነው.

የማትሪክስ A ቅደም ተከተል ደረጃ ማግኘት ያስፈልገናል.

በአጭሩ ይግለጹ አልጎሪዝምየዚህ ችግር መፍትሔ ለአካለ መጠን ያልደረሱ ልጆችን የመቁጠር ዘዴ.

ቢያንስ አንድ ዜሮ ያልሆነ ማትሪክስ አካል ካለ ፣ የማትሪክስ ደረጃ ቢያንስ ከአንድ ጋር እኩል ነው (ከዜሮ ጋር እኩል ያልሆነ የመጀመሪያ ደረጃ ትንሽ ልጅ ስላለ)።

በመቀጠል የሁለተኛው ቅደም ተከተል ትንንሽ ልጆችን እንደግማለን. ሁሉም ሁለተኛ ደረጃ ታዳጊዎች ከዜሮ ጋር እኩል ከሆኑ የማትሪክስ ደረጃ ከአንድ ጋር እኩል ነው. ቢያንስ አንድ ዜሮ ያልሆነ ሁለተኛ ደረጃ ትንሽ ካለ ፣ ከዚያ ወደ ሶስተኛ-ትዕዛዝ ታዳጊዎች መቁጠር እናልፋለን ፣ እና የማትሪክስ ደረጃ ቢያንስ ከሁለት ጋር እኩል ነው።

በተመሳሳይ ፣ ሁሉም የሶስተኛ ደረጃ ታዳጊዎች ዜሮ ከሆኑ ፣ ከዚያ የማትሪክስ ደረጃ ሁለት ነው። ቢያንስ አንድ ዜሮ ያልሆነ የሶስተኛ ደረጃ ትንሽ ከሆነ, የማትሪክስ ደረጃ ቢያንስ ሶስት ነው, እና ወደ አራተኛ ደረጃ ያልደረሱ ህጻናት መቁጠር እንቀጥላለን.

የማትሪክስ ደረጃ ከፒ እና n ትንሹ መብለጥ እንደማይችል ልብ ይበሉ።

ለምሳሌ.

የማትሪክስ ደረጃን ያግኙ .

ውሳኔ.

ማትሪክስ ዜሮ ያልሆነ ስለሆነ, ደረጃው ከአንድ ያነሰ አይደለም.

የሁለተኛው ትዕዛዝ አነስተኛ ከዜሮ የተለየ ነው, ስለዚህ, የማትሪክስ A ደረጃ ቢያንስ ሁለት ነው. ወደ ሦስተኛው ቅደም ተከተል ለአካለ መጠን ያልደረሱ ልጆች መቁጠርን እናልፋለን. ሁላቸውም ነገሮች.

ሁሉም የሶስተኛ ደረጃ ታዳጊዎች ከዜሮ ጋር እኩል ናቸው. ስለዚህ, የማትሪክስ ደረጃ ሁለት ነው.

መልስ፡-

ደረጃ (A) = 2.

ለአካለ መጠን ያልደረሱ ልጆችን በማፍረስ ዘዴ የማትሪክስ ደረጃን ማግኘት።

በአነስተኛ ስሌት ስራ ውጤቱን እንድታገኙ የሚያስችልዎ የማትሪክስ ደረጃን ለማግኘት ሌሎች ዘዴዎች አሉ.

ከእነዚህ ዘዴዎች ውስጥ አንዱ ጥቃቅን ጥቃቅን ዘዴዎች.

እንቋቋማለን። የድንበር ትንሽ ልጅ ሀሳብ.

ከማትሪክስ ሀ (k+1) ኛ ቅደም ተከተል ትንሹ M ok በማትሪክስ ሀ አነስተኛውን M ን ይከብባል ይባላል ከትንሽ M ok ጋር የሚዛመደው ማትሪክስ ለአካለ መጠን ያልደረሰውን ማትሪክስ "ያካተተ" ከሆነ ኤም.

በሌላ አገላለጽ ፣ ከድንበሩ ትንሽ M ጋር የሚዛመደው ማትሪክስ የሚገኘው ከአንድ ረድፍ እና አንድ አምድ ያሉትን ንጥረ ነገሮች በመሰረዝ ከድንበሩ ትንሽ M ok ጋር ከሚዛመደው ማትሪክስ ነው።

ለምሳሌ, ማትሪክስን አስቡበት እና ከሁለተኛው ትዕዛዝ ትንሽ ውሰድ. ሁሉንም አዋሳኝ ታዳጊዎችን እንፃፍ፡-

ለአካለ መጠን ያልደረሱ ልጆችን የመገደብ ዘዴው በሚከተለው ንድፈ ሃሳብ ይጸድቃል (አጻጻፉን ያለማስረጃ እናቀርባለን)።

ቲዎረም.

የትእዛዝ p በ n ማትሪክስ የ k-th ቅደም ተከተል አናሳ የሆኑ ሁሉም ታዳጊዎች ከዜሮ ጋር እኩል ከሆኑ፣ ሁሉም ያልደረሱ የትእዛዝ (k + 1) ማትሪክስ A ከዜሮ ጋር እኩል ናቸው።

ስለዚህ, የማትሪክስ ደረጃን ለማግኘት, ሁሉንም ታዳጊዎች በበቂ ሁኔታ ድንበር ላይ መዘርዘር አስፈላጊ አይደለም. የማትሪክስ A ማትሪክስ የ k-th ቅደም ተከተል አነስተኛ የሆኑ ታዳጊዎች ቁጥር በቀመር ተገኝቷል . ከማትሪክስ A (k + 1) - ኛ ቅደም ተከተል ታዳጊዎች ከማትሪክስ A ጋር የሚያዋስኑ ተጨማሪ ታዳጊዎች እንደሌሉ ልብ ይበሉ። ስለዚህ, በአብዛኛዎቹ ሁኔታዎች, ለአካለ መጠን ያልደረሱ ሕፃናትን የመገደብ ዘዴን መጠቀም ሁሉንም ታዳጊዎችን ከመቁጠር የበለጠ ትርፋማ ነው.

ለአካለ መጠን ያልደረሱ ልጆችን በመጥለፍ ዘዴ የማትሪክስ ደረጃን ወደ መፈለግ እንቀጥል። በአጭሩ ይግለጹ አልጎሪዝምይህ ዘዴ.

ማትሪክስ A ዜሮ ካልሆነ፣ ከዜሮ የተለየ የሆነውን ማንኛውንም የማትሪክስ ኤ አካል እንደ መጀመሪያ-ትዕዛዝ አናሳ እንወስዳለን። አዋሳኝ የሆኑትን ታዳጊዎችን እንመለከታለን. ሁሉም ከዜሮ ጋር እኩል ከሆኑ የማትሪክስ ደረጃ ከአንድ ጋር እኩል ነው. ቢያንስ አንድ ዜሮ ያልሆነ ድንበሮች ካሉ (ትዕዛዙ ከሁለት ጋር እኩል ነው) ፣ ከዚያ ወደ አጎራባች ታዳጊዎቹ ግምት ውስጥ እናልፋለን። ሁሉም ዜሮ ከሆኑ ደረጃ (A) = 2 . ቢያንስ አንድ አዋሳኝ አካለ መጠን ያልደረሰ ዜሮ ከሆነ (ትዕዛዙ ከሦስት ጋር እኩል ነው)፣ ከዚያም የድንበሩን ታዳጊዎችን እንመለከታለን። ወዘተ. በውጤቱም፣ ደረጃ(A) = k ሁሉም የ(k + 1) ኛ ማትሪክስ ቅደም ተከተል ከዜሮ ጋር እኩል ከሆኑ፣ ወይም ደረጃ(A) = ደቂቃ(p፣ n) ዜሮ ያልሆነ ካለ ጥቃቅን ድንበር ለአካለ መጠን ያልደረሰ (ደቂቃ (p, n) - 1) .

ለአካለ መጠን ያልደረሱ ልጆች የማትሪክስ ደረጃን ለማግኘት የድንበር ዘዴን በምሳሌ እንመርምር።

ለምሳሌ.

የማትሪክስ ደረጃን ያግኙ በድንበር ታዳጊዎች ዘዴ.

ውሳኔ.

የማትሪክስ A 1 1 ኤለመንት ዜሮ ስላልሆነ እንደ መጀመሪያ-ትዕዛዝ አናሳ እንወስደዋለን። ከዜሮ ሌላ አዋሳኝ ልጅ መፈለግ እንጀምር፡-

ዜሮ ያልሆነ ድንበር ሁለተኛ ደረጃ ትንሽ ተገኝቷል። ድንበሯን ለአካለ መጠን ያልደረሱ ልጆችን እንዘርዝር (የእነሱ ነገሮች፡-

ከሁለተኛ ደረጃ ትንሽ ልጅ ጋር የሚገናኙ ሁሉም ታዳጊዎች ከዜሮ ጋር እኩል ናቸው, ስለዚህ, የማትሪክስ A ደረጃ ከሁለት ጋር እኩል ነው.

መልስ፡-

ደረጃ (A) = 2.

ለምሳሌ.

የማትሪክስ ደረጃን ያግኙ በአጎራባች ታዳጊዎች እርዳታ.

ውሳኔ.

እንደ መጀመሪያው ቅደም ተከተል ዜሮ ያልሆነ ትንሽ ልጅ, ንጥረ ነገሩን 1 1 = 1 ማትሪክስ A እንወስዳለን. ከሁለተኛው ቅደም ተከተል ጥቃቅን ጋር በማጣመር ከዜሮ ጋር እኩል አይደለም. ይህ ለአካለ መጠን ያልደረሰው በሦስተኛው ቅደም ተከተል በትንሹ ይዋሰናል።
. ከዜሮ ጋር እኩል ስላልሆነ እና ለእሱ ምንም ድንበር የሌለበት, የማትሪክስ A ደረጃ ከሶስት እኩል ነው.

መልስ፡-

ደረጃ (A) = 3.

የማትሪክስ የመጀመሪያ ደረጃ ለውጦችን በመጠቀም ደረጃውን መፈለግ (በጋውስ ዘዴ)።

የማትሪክስ ደረጃን ለማግኘት ሌላ መንገድ ያስቡ.

የሚከተሉት የማትሪክስ ለውጦች አንደኛ ደረጃ ይባላሉ፡-

የማትሪክስ ረድፎች (ወይም ዓምዶች) መተላለፍ;
የማንኛውም ረድፍ (አምድ) የማትሪክስ አባሎችን በዘፈቀደ ቁጥር k ከዜሮ የተለየ ማባዛት;
የማንኛውም ረድፍ (አምድ) አካላት በማትሪክስ የሌላ ረድፍ (አምድ) ተጓዳኝ አካላት ላይ መጨመር በዘፈቀደ ቁጥር ተባዝቷል።

ማትሪክስ B ከማትሪክስ A ጋር እኩል ይባላል, B ከ A የተገኘ ከሆነ በመጨረሻው የአንደኛ ደረጃ ለውጦች እርዳታ. የማትሪክስ እኩልነት በ"~" ምልክት ይገለጻል ማለትም ሀ ~ ለ ተብሎ ተጽፏል።

የአንደኛ ደረጃ ማትሪክስ ትራንስፎርሜሽን በመጠቀም የማትሪክስ ደረጃን ማግኘት በአረፍተ ነገሩ ላይ የተመሰረተ ነው፡- ማትሪክስ B ከማትሪክስ A የተወሰነ ቁጥር ያለው የአንደኛ ደረጃ ትራንስፎርሜሽን በመጠቀም የተገኘ ከሆነ፣ ደረጃ(A) = ደረጃ(B)።

የዚህ መግለጫ ትክክለኛነት ከማትሪክስ መወሰኛ ባህሪያት ይከተላል፡

የማትሪክስ ረድፎች (ወይም ዓምዶች) ሲተላለፉ፣ የሚወስነው ምልክት ይለወጣል። ከዜሮ ጋር እኩል ከሆነ, ከዚያም ረድፎችን (አምዶችን) ሲያስተላልፉ, ከዜሮ ጋር እኩል ሆኖ ይቆያል.
የማንኛውንም ረድፍ (አምድ) የማትሪክስ አባሎችን በዘፈቀደ ቁጥር k ከዜሮ በተለየ ሲባዛ፣ የውጤቱ ማትሪክስ ወሳኙ ከዋናው ማትሪክስ መወሰኛ ጋር እኩል ነው፣ በ k ተባዝቷል። የዋናው ማትሪክስ ወሳኙ ከዜሮ ጋር እኩል ከሆነ ፣ የማንኛውም ረድፍ ወይም አምድ ሁሉንም ንጥረ ነገሮች በቁጥር k ካባዛ በኋላ የውጤቱ ማትሪክስ ወሰን እንዲሁ ከዜሮ ጋር እኩል ይሆናል።
በማትሪክስ የተወሰነ ረድፍ (አምድ) አካላት ላይ የሌላ ረድፍ (አምድ) ማትሪክስ ተጓዳኝ አካላትን መጨመር በተወሰነ ቁጥር k ተባዝቷል ፣ የሚወስነውን አይለውጠውም።

የአንደኛ ደረጃ ትራንስፎርሜሽን ዘዴ ዋናው ነገርየአንደኛ ደረጃ ለውጦችን በመጠቀም ወደ ትራፔዞይድ (በተለየ ሁኔታ ፣ ወደ ላይኛው ባለ ሶስት ጎን) ማትሪክስ ፣ መፈለግ ያለብንን ደረጃ ማምጣት ነው።

ለምንድን ነው? የዚህ ዓይነቱ ማትሪክስ ደረጃ ለማግኘት በጣም ቀላል ነው. ቢያንስ አንድ ባዶ ያልሆነ አካል ከያዙ የረድፎች ብዛት ጋር እኩል ነው። እና በአንደኛ ደረጃ ትራንስፎርሜሽን ወቅት የማትሪክስ ደረጃው አይለወጥም, የተገኘው እሴት የዋናው ማትሪክስ ደረጃ ይሆናል.

የማትሪክስ ምሳሌዎችን እንሰጣለን, ከነዚህም አንዱ ከተቀየረ በኋላ ሊገኝ ይገባል. የእነሱ ቅርፅ በማትሪክስ ቅደም ተከተል ላይ የተመሰረተ ነው.

እነዚህ ምሳሌዎች ማትሪክስ ሀ የምንለውጥባቸው አብነቶች ናቸው።

እንግለጽ ዘዴ ስልተ ቀመር.

ዜሮ ያልሆነ ማትሪክስ የትእዛዝ ደረጃ ማግኘት አለብን እንበል (p ከ n ጋር እኩል ሊሆን ይችላል)።

ስለዚህ,. የማትሪክስ A የመጀመሪያ ረድፍ ሁሉንም ንጥረ ነገሮች በ . በዚህ ሁኔታ ፣ ተመጣጣኝ ማትሪክስ እናገኛለን ፣ እሱን A (1) ያመለክታሉ ።

የውጤቱ ማትሪክስ A (1) በሁለተኛው ረድፍ አካላት ላይ, የመጀመሪያውን ረድፍ ተጓዳኝ ክፍሎችን እንጨምራለን, ተባዝቷል. በሦስተኛው ረድፍ ክፍሎች ላይ, የመጀመሪያውን ረድፍ ተጓዳኝ ክፍሎችን ይጨምሩ, ተባዝተዋል. እና ስለዚህ እስከ p-th መስመር ድረስ. ተመጣጣኝ ማትሪክስ እናገኛለን፣ እሱን A (2) አመልክት፦

ከሁለተኛው እስከ p-th ባሉት ረድፎች ውስጥ ያሉት ሁሉም የውጤት ማትሪክስ አካላት ከዜሮ ጋር እኩል ከሆኑ የዚህ ማትሪክስ ደረጃ ከአንድ ጋር እኩል ነው ፣ እና በዚህ ምክንያት የዋናው ማትሪክስ ደረጃ ከአንድ ጋር እኩል ነው። .

ከሁለተኛው እስከ p-th ባሉት ረድፎች ውስጥ ቢያንስ አንድ ዜሮ ያልሆነ አካል ካለ ፣ ከዚያ ለውጦችን ማካሄድ እንቀጥላለን። በተጨማሪም ፣ እኛ በትክክል የምንሠራው በተመሳሳይ መንገድ ነው ፣ ግን በሥዕሉ ላይ ምልክት ካለው የማትሪክስ A ክፍል ጋር ብቻ ነው (2)

ከሆነ ፣ ከዚያ የማትሪክስ A (2) ረድፎችን እና (ወይም) አምዶችን እናስተካክላለን ስለዚህ “አዲሱ” ንጥረ ነገር ዜሮ ያልሆነ ይሆናል።

አንዳንድ ማትሪክስ ይስጥ፡

በዚህ ማትሪክስ ውስጥ ይምረጡ የዘፈቀደ መስመሮች እና የዘፈቀደ አምዶች
. ከዚያም የሚወስነው ኛ ቅደም ተከተል፣ ከማትሪክስ አካላት ያቀፈ
በተመረጡት ረድፎች እና ዓምዶች መገናኛ ላይ የሚገኘው ጥቃቅን ይባላል - የትእዛዝ ማትሪክስ
.

ፍቺ 1.13.ማትሪክስ ደረጃ
የዚህ ማትሪክስ አነስተኛ ዜሮ ያልሆነ ትልቁ ቅደም ተከተል ነው።

የማትሪክስ ደረጃን ለማስላት አንድ ሰው ሁሉንም ትንንሾቹን ቅደም ተከተሎች ግምት ውስጥ ማስገባት እና ቢያንስ አንዱ ዜሮ ካልሆነ ወደ ከፍተኛው ቅደም ተከተል ለአካለ መጠን ያልደረሱ ልጆች ግምት ውስጥ መግባት ይኖርበታል. ይህ የማትሪክስ ደረጃን የመወሰን ዘዴ የድንበር ዘዴ (ወይም የድንበር ታዳጊዎች ዘዴ) ይባላል።

ተግባር 1.4.ለአካለ መጠን ያልደረሱ ልጆችን በማገድ ዘዴ, የማትሪክስ ደረጃን ይወስኑ
.

የመጀመሪያ ደረጃ ድንበር አስብ፣ ለምሳሌ፣
. ከዚያ ወደ ሁለተኛው ቅደም ተከተል የተወሰኑ ድንበሮችን ግምት ውስጥ እናስገባለን።

ለምሳሌ,
.

በመጨረሻ፣ የሦስተኛውን ቅደም ተከተል ድንበር እንመርምር።

ስለዚህ ዜሮ ያልሆነ ትንሽ ልጅ ከፍተኛው ቅደም ተከተል 2 ነው ፣ ስለሆነም
.

ችግር 1.4 በሚፈታበት ጊዜ፣ አንድ ሰው የሁለተኛው ቅደም ተከተል ድንበሮች ተከታታይ ዜሮ ያልሆኑ መሆናቸውን ያስተውላል። በዚህ ረገድ, የሚከተለው አስተሳሰብ ይከናወናል.

ፍቺ 1.14.የማትሪክስ መሰረቱ ትንሽ ያልሆነ ማንኛውም ዜሮ ያልሆነ ሲሆን ትዕዛዙ ከማትሪክስ ደረጃ ጋር እኩል ነው።

ቲዎረም 1.2.(መሰረታዊ ጥቃቅን ንድፈ ሐሳብ). መሰረታዊ ረድፎች (መሰረታዊ ዓምዶች) በመስመር ገለልተኛ ናቸው።

የማትሪክስ ረድፎች (ዓምዶች) በመስመር ላይ ጥገኛ እንደሆኑ እና ቢያንስ አንዱ እንደ ሌሎቹ የመስመር ጥምር መወከል ከተቻለ ብቻ መሆኑን ልብ ይበሉ።

ቲዎረም 1.3.የመስመራዊ ገለልተኛ የማትሪክስ ረድፎች ቁጥር ከመስመር ነጻ የሆኑ የማትሪክስ አምዶች ቁጥር እና ከማትሪክስ ደረጃ ጋር እኩል ነው።

ቲዎረም 1.4.(ለተወሳሹ ከዜሮ ጋር እኩል እንዲሆን አስፈላጊ እና በቂ ሁኔታ). ለወሳኙ ቅደም ተከተል - ትዕዛዝ ከዜሮ ጋር እኩል ነው, አስፈላጊ እና በቂ ነው, የእሱ ረድፎች (አምዶች) በመስመር ላይ ጥገኛ እንዲሆኑ.

በትርጉሙ ላይ በመመስረት የማትሪክስ ደረጃን ማስላት በጣም ከባድ ነው። ይህ በተለይ ለከፍተኛ ደረጃ ማትሪክስ አስፈላጊ ይሆናል. በዚህ ረገድ ፣ በተግባር ፣ የማትሪክስ ደረጃ በቲዎሬምስ 10.2 - 10.4 አተገባበር ላይ በመመርኮዝ ፣ እንዲሁም የማትሪክስ አቻነት እና የመጀመሪያ ደረጃ ለውጦች ጽንሰ-ሀሳቦችን በመጠቀም ይሰላል።

ፍቺ 1.15.ሁለት ማትሪክስ
እና ደረጃቸው እኩል ከሆነ አቻ ይባላሉ፣ ማለትም.
.

ማትሪክስ ከሆነ
እና እኩል ናቸው፣ ከዚያ አስተውል
 .

ቲዎረም 1.5.የማትሪክስ ደረጃ ከአንደኛ ደረጃ ለውጦች አይለወጥም.

የማትሪክስ አንደኛ ደረጃ ትራንስፎርሜሽን ብለን እንጠራዋለን
በማትሪክስ ላይ ከሚከተሉት ድርጊቶች ውስጥ ማንኛቸውም

ረድፎችን በአምዶች እና አምዶች በተመጣጣኝ ረድፎች መተካት;

የማትሪክስ ረድፎችን መተላለፍ;

መስመርን ማቋረጥ, ሁሉም ንጥረ ነገሮች ከዜሮ ጋር እኩል ናቸው;

ማንኛውንም ሕብረቁምፊ በዜሮ ባልሆነ ቁጥር ማባዛት;

ወደ አንድ ረድፍ አካላት መጨመር የሌላ ረድፍ ተጓዳኝ አካላት በተመሳሳይ ቁጥር ተባዝተዋል።
.

የቲዎረም አስተባባሪነት 1.5.ማትሪክስ ከሆነ
ከማትሪክስ የተገኘ የአንደኛ ደረጃ ለውጦችን በመጠቀም ፣ ከዚያ ማትሪክስ
እና እኩል ናቸው.

የማትሪክስ ደረጃን ሲያሰሉ, የተወሰነ ቁጥር ያላቸውን የመጀመሪያ ደረጃ ለውጦችን በመጠቀም ወደ ትራፔዞይድ ቅርጽ መቀነስ አለበት.

ፍቺ 1.16.ትራፔዚዳልን የማትሪክስ ውክልና እንለዋለን። ለምሳሌ:

እዚህ
, ማትሪክስ አባሎች
ወደ ዜሮ መዞር. ከዚያ የእንደዚህ አይነት ማትሪክስ ውክልና መልክ ትራፔዞይድ ይሆናል.

እንደ አንድ ደንብ, ማትሪክስ የ Gaussian አልጎሪዝምን በመጠቀም ወደ ትራፔዞይድ ቅርጽ ይቀንሳል. የጋውሲያን አልጎሪዝም ሀሳብ የማትሪክስ የመጀመሪያ ረድፍ አካላትን በተዛማጅ ምክንያቶች በማባዛት ፣ ሁሉም የመጀመሪያው አምድ ንጥረ ነገሮች ከኤለመንት በታች የሚገኙትን ማሳካት ነው ።
, ወደ ዜሮ ይቀየራል. ከዚያ የሁለተኛውን ዓምድ ንጥረ ነገሮች በተዛማጅ ማባዣዎች በማባዛት ፣ ሁሉንም የሁለተኛው ዓምድ አካላት ከኤለመንት በታች የሚገኙትን እናሳካለን ።
, ወደ ዜሮ ይቀየራል. በተመሳሳይ መንገድ ይቀጥሉ።