چگونه رتبه یک ماتریس را حل کنیم. رتبه یک ماتریس را بیابید: روش ها و مثال ها

یک ماتریس مستطیل شکل را در نظر بگیرید. اگر در این ماتریس خودسرانه انتخاب کنیم کخطوط و کستون‌ها، سپس عناصری که در محل تقاطع سطرها و ستون‌های انتخاب شده قرار دارند، ماتریس مربعی از مرتبه k‌ام را تشکیل می‌دهند. تعیین کننده این ماتریس نامیده می شود درجه k-ام جزئیماتریس A. بدیهی است که ماتریس A دارای مینورهایی از هر مرتبه از 1 تا کوچکترین اعداد m و n است. در میان تمام مینورهای غیر صفر ماتریس A، حداقل یک مینور وجود دارد که ترتیب آن بزرگترین است. بزرگترین سفارشات غیر صفر مینورهای یک ماتریس معین نامیده می شود رتبهماتریس ها اگر رتبه ماتریس A باشد r، پس این بدان معنی است که ماتریس A دارای مرتبه جزئی غیر صفر است r، اما هر جزئی از ترتیب بیشتر از r، برابر با صفر است. رتبه یک ماتریس A با r(A) نشان داده می شود. بدیهی است که رابطه

محاسبه رتبه یک ماتریس با استفاده از مینورها

رتبه یک ماتریس یا با مرزبندی خرده‌ها یا با روش تبدیل‌های ابتدایی پیدا می‌شود. هنگام محاسبه رتبه یک ماتریس به روش اول، باید از مینورهای مرتبه پایین تر به فرعی های مرتبه بالاتر عبور کرد. اگر یک D جزئی غیر صفر از مرتبه k ام ماتریس A پیدا شده باشد، آنگاه فقط مینورهای مرتبه (k + 1) که در مرز D جزئی قرار دارند باید محاسبه شوند، یعنی. حاوی آن به عنوان صغیر. اگر همه آنها صفر باشند، رتبه ماتریس است ک.

مثال 1رتبه یک ماتریس را با روش مرزبندی مینورها پیدا کنید

تصمیم.ما با خردسالان مرتبه اول شروع می کنیم، یعنی. از عناصر ماتریس A. اجازه دهید برای مثال، مینور (عنصر) М 1 = 1 واقع در سطر اول و ستون اول را انتخاب کنیم. به کمک سطر دوم و ستون سوم، مینور M 2 = را بدست می آوریم که با صفر متفاوت است. اکنون به خردسالان درجه 3، در مرز M 2 می پردازیم. فقط دو مورد از آنها وجود دارد (شما می توانید یک ستون دوم یا یک چهارم اضافه کنید). ما آنها را محاسبه می کنیم: = 0. بنابراین، همه مینورهای مرزی مرتبه سوم برابر با صفر بودند. رتبه ماتریس A دو است.

محاسبه رتبه یک ماتریس با استفاده از تبدیل های ابتدایی

ابتداییتبدیل های ماتریسی زیر نامیده می شوند:

1) جایگشت هر دو سطر (یا ستون)،

2) ضرب یک ردیف (یا ستون) در یک عدد غیر صفر،

3) افزودن به یک سطر (یا ستون) سطر (یا ستون) دیگر ضرب در تعدادی.

دو ماتریس نامیده می شوند معادل، اگر یکی از آنها با کمک مجموعه ای متناهی از تبدیل های ابتدایی از دیگری به دست آید.

ماتریس های معادل، به طور کلی، برابر نیستند، اما رتبه های آنها برابر است. اگر ماتریس های A و B معادل باشند، به صورت زیر نوشته می شود: A~ ب.

ابتداییماتریس ماتریسی است که دارای چندین 1 در یک ردیف در ابتدای مورب اصلی است (تعداد آنها ممکن است صفر باشد) و همه عناصر دیگر برابر با صفر هستند، برای مثال،

با کمک تبدیل های ابتدایی ردیف ها و ستون ها، هر ماتریسی را می توان به یک ماتریس متعارف کاهش داد. رتبه یک ماتریس متعارف برابر است با تعداد یک ها در مورب اصلی آن.

مثال 2رتبه یک ماتریس را پیدا کنید

و آن را به شکل متعارف برسانید.

تصمیم.سطر اول را از ردیف دوم کم کنید و این ردیف ها را دوباره مرتب کنید:

حالا از ردیف دوم و سوم، ردیف اول را به ترتیب در 2 و 5 ضرب کنید:

;

ردیف اول را از ردیف سوم کم کنید. ماتریس را دریافت می کنیم

که معادل ماتریس A است، زیرا با استفاده از مجموعه ای محدود از تبدیل های ابتدایی از آن به دست می آید. بدیهی است که رتبه ماتریس B 2 است و از این رو r(A)=2 است. ماتریس B را می توان به راحتی به ماتریس متعارف کاهش داد. با کم کردن ستون اول، ضرب در اعداد مناسب، از تمام ستون های بعدی، تمام عناصر ردیف اول به جز اولین را صفر می کنیم و عناصر سطرهای باقی مانده تغییر نمی کنند. سپس، با کم کردن ستون دوم، ضرب در اعداد مناسب، از همه موارد بعدی، تمام عناصر ردیف دوم به جز دوم را صفر می کنیم و ماتریس متعارف را بدست می آوریم:

تعریف. رتبه ماتریسیحداکثر تعداد سطرهای مستقل خطی در نظر گرفته شده به عنوان بردار است.

قضیه 1 در مورد رتبه یک ماتریس. رتبه ماتریسیحداکثر ترتیب یک مینور غیر صفر یک ماتریس است.

قبلاً در درس تعیین کننده ها به مفهوم صغیر پرداخته ایم و اکنون آن را تعمیم می دهیم. بیایید چند سطر و چند ستون در ماتریس بگیریم، و این "چیزی" باید کمتر از تعداد سطرها و ستون های ماتریس باشد و برای سطرها و ستون ها این "چیزی" باید به همان تعداد باشد. سپس در محل تقاطع چند ردیف و چند ستون، ماتریسی با مرتبه کوچکتر از ماتریس اصلی ما وجود خواهد داشت. تعیین کننده این ماتریس در صورتی که «چیزی» ذکر شده (تعداد سطرها و ستون‌ها) با k نشان داده شود، مرتبه k مینور خواهد بود.

تعریف.جزئی ( r+1)-th order، که در آن مینور انتخاب شده قرار دارد rمرتبه -ام، برای مینور داده شده مرز نامیده می شود.

دو روش متداول پیدا کردن رتبه یک ماتریس. این روش حاشیه سازی خردسالانو روش تبدیل های ابتدایی(به روش گاوس).

روش مرزبندی مینورها از قضیه زیر استفاده می کند.

قضیه 2 در مورد رتبه یک ماتریس.اگر می توان از عناصر ماتریس یک مینور درست کرد rمرتبه ام که برابر با صفر نیست، رتبه ماتریس برابر است با r.

با روش تبدیل های ابتدایی از ویژگی زیر استفاده می شود:

اگر یک ماتریس ذوزنقه ای معادل ماتریس اصلی با تبدیل های ابتدایی به دست آید، رتبه این ماتریستعداد خطوط موجود در آن به جز خطوطی است که کاملاً از صفر تشکیل شده اند.

یافتن رتبه یک ماتریس به روش مرزبندی مینورها

یک مینور مرزی، یک مینور از مرتبه بالاتر نسبت به مورد داده شده است، اگر این مینور از مرتبه بالاتر حاوی مینور معین باشد.

به عنوان مثال، با توجه به ماتریس

بیایید یک خرده بگیریم

لبه ها چنین خرده هایی خواهند بود:

الگوریتم برای یافتن رتبه یک ماتریسبعد.

1. ما مینورهای مرتبه دوم را می یابیم که برابر با صفر نیستند. اگر همه مینورهای مرتبه دوم برابر با صفر باشند، رتبه ماتریس برابر با یک خواهد بود ( r =1 ).

2. اگر حداقل یک مینور مرتبه دوم وجود داشته باشد که برابر با صفر نباشد، ما مینورهای مرتبه سوم مرزی را ترکیب می کنیم. اگر همه مینورهای مرزی مرتبه سوم صفر باشند، رتبه ماتریس دو است ( r =2 ).

3. اگر حداقل یکی از مینورهای مرزی مرتبه سوم برابر با صفر نباشد، مینورهای حاشیه آن را ترکیب می کنیم. اگر همه مینورهای مرتبه چهارم مرزی صفر باشند، رتبه ماتریس سه است ( r =2 ).

4. تا زمانی که اندازه ماتریس اجازه می دهد ادامه دهید.

مثال 1رتبه یک ماتریس را پیدا کنید

تصمیم. جزئی از مرتبه دوم .

ما آن را قاب می کنیم. چهار خردسال مرزی وجود خواهد داشت:

بنابراین، تمام مینورهای مرتبه سوم مرزی برابر با صفر هستند، بنابراین، رتبه این ماتریس دو است ( r =2 ).

مثال 2رتبه یک ماتریس را پیدا کنید

تصمیم. رتبه این ماتریس 1 است، زیرا همه مینورهای مرتبه دوم این ماتریس برابر با صفر هستند (در این مورد، مانند موارد فرعی حاشیه در دو مثال بعدی، از دانش آموزان عزیز دعوت می شود تا خودشان تایید کنند، شاید با استفاده از قواعد محاسبه دترمینال ها)، و در بین مینورهای مرتبه اول، یعنی در بین عناصر ماتریس، برابر با صفر نیست.

مثال 3رتبه یک ماتریس را پیدا کنید

تصمیم. مینور مرتبه دوم این ماتریس است و همه مینورهای مرتبه سوم این ماتریس صفر هستند. بنابراین، رتبه این ماتریس دو است.

مثال 4رتبه یک ماتریس را پیدا کنید

تصمیم. رتبه این ماتریس 3 است زیرا تنها مینور مرتبه سوم این ماتریس 3 است.

یافتن رتبه یک ماتریس با روش تبدیل های ابتدایی (به روش گاوس)

قبلاً در مثال 1 می توان دید که مشکل تعیین رتبه یک ماتریس با روش مرزبندی مینورها مستلزم محاسبه تعداد زیادی از تعیین کننده ها است. با این حال، راهی برای کاهش مقدار محاسبات به حداقل وجود دارد. این روش مبتنی بر استفاده از تبدیل های ماتریس ابتدایی است و روش گاوس نیز نامیده می شود.

تبدیل های اولیه یک ماتریس به معنای عملیات زیر است:

1) ضرب هر سطر یا هر ستون ماتریس در عددی غیر از صفر.

2) به عناصر هر سطر یا هر ستون ماتریس، عناصر مربوط به سطر یا ستون دیگر را که در همان عدد ضرب می شود، اضافه کنید.

3) مبادله دو سطر یا ستون از یک ماتریس.

4) حذف ردیف های "تهی"، یعنی آنهایی که همه عناصر آنها برابر با صفر هستند.

5) حذف تمام خطوط متناسب، به جز یک.

قضیه.تبدیل ابتدایی رتبه ماتریس را تغییر نمی دهد. به عبارت دیگر، اگر از تبدیل های ابتدایی از ماتریس استفاده کنیم آبرو به ماتریس ب، سپس .

و همچنین یک کاربرد عملی مهم از موضوع را در نظر بگیرید: مطالعه یک سیستم معادلات خطی برای سازگاری.

رتبه یک ماتریس چقدر است؟

کتیبه طنز مقاله حاوی مقدار زیادی حقیقت است. خود کلمه "رتبه" معمولاً با نوعی سلسله مراتب همراه است، اغلب با نردبان شغلی. هر چه انسان دانش، تجربه، توانایی، ارتباطات و ... بیشتر باشد. - موقعیت و دامنه فرصت های او بالاتر است. در اصطلاح جوانی، رتبه به درجه کلی "سختی" اشاره دارد.

و برادران ریاضی ما نیز بر اساس همین اصول زندگی می کنند. بیایید چند دلخواه قدم بزنیم ماتریس های صفر:

بیایید فکر کنیم اگر در ماتریس است فقط صفرها، پس از چه رتبه ای می توانیم صحبت کنیم؟ همه با عبارت غیررسمی «صفر کل» آشنا هستند. در جامعه ماتریسی، همه چیز دقیقاً یکسان است:

رتبه ماتریس صفرهر اندازه ای صفر است.

توجه داشته باشید : ماتریس صفر با حرف یونانی "تتا" مشخص می شود.

برای درک بهتر رتبه ماتریس، از این پس بر روی مواد ترسیم خواهم کرد هندسه تحلیلی. صفر را در نظر بگیرید بردارفضای سه بعدی ما که جهت خاصی را تعیین نمی کند و برای ساختن بی فایده است پایه وابسته. از دیدگاه جبری، مختصات یک بردار معین در نوشته می شود ماتریس"یک به سه" و منطقی (به معنای هندسی مشخص شده)فرض کنید که رتبه این ماتریس صفر است.

حالا به چند مورد نگاه می کنیم غیر صفر بردارهای ستونیو بردارهای ردیف:

هر نمونه حداقل یک عنصر غیر تهی دارد و این چیزی است!

رتبه هر بردار ردیف غیر صفر (بردار ستونی) برابر با یک است

و به طور کلی - اگر در ماتریس باشد اندازه های دلخواهحداقل یک عنصر غیر صفر دارد، سپس رتبه آن نه کمترواحدها.

بردارهای ردیف و ستون جبری تا حدی انتزاعی هستند، بنابراین اجازه دهید دوباره به ارتباط هندسی بپردازیم. غیر صفر بردارجهت مشخصی را در فضا تعیین می کند و برای ساخت و ساز مناسب است اساس، بنابراین رتبه ماتریس برابر با یک در نظر گرفته می شود.

پیش زمینه ی نظری : در جبر خطی، بردار عنصری از فضای برداری است (تعریف شده از طریق 8 بدیهیات)، که به طور خاص، می تواند یک ردیف (یا ستون) مرتب از اعداد واقعی با عملیات جمع و ضرب در یک عدد واقعی تعریف شده باشد. برای آنها. برای اطلاعات بیشتر در مورد بردارها به مقاله مراجعه کنید تبدیلات خطی.

وابسته به خط(از طریق یکدیگر بیان می شود). از نقطه نظر هندسی، خط دوم شامل مختصات بردار خطی است ، که موضوع را در ساختمان پیش نبرد پایه سه بعدی، زائد بودن از این نظر. بنابراین، رتبه این ماتریس نیز برابر با یک است.

مختصات بردارها را در ستون ها بازنویسی می کنیم ( ماتریس را جابجا کنید):

چه چیزی از نظر رتبه تغییر کرده است؟ هیچ چیزی. ستون ها متناسب هستند، به این معنی که رتبه برابر با یک است. ضمناً توجه داشته باشید که هر سه خط نیز متناسب هستند. آنها را می توان با مختصات شناسایی کرد سهبردارهای خطی صفحه، که از آنها فقط یکیبرای ساختن یک پایه "مسطح" مفید است. و این با حس هندسی رتبه ما مطابقت کامل دارد.

یک جمله مهم از مثال بالا به دست می آید:

رتبه یک ماتریس بر اساس ردیف برابر است با رتبه یک ماتریس بر اساس ستون. قبلاً در درس مؤثر به این موضوع اشاره کردم روش های محاسبه دترمینان.

توجه داشته باشید : وابستگی خطی سطرها منجر به وابستگی خطی ستون ها می شود (و بالعکس). اما برای صرفه جویی در زمان و از روی عادت، تقریبا همیشه در مورد وابستگی خطی رشته ها صحبت خواهم کرد.

بیایید به آموزش حیوان خانگی عزیزمان ادامه دهیم. مختصات یک بردار خطی دیگر را به ماتریس ردیف سوم اضافه کنید :

آیا او در ساختن یک پایه سه بعدی به ما کمک کرد؟ البته که نه. هر سه بردار در یک مسیر به جلو و عقب حرکت می کنند و رتبه ماتریس یک است. شما می توانید هر تعداد بردار خطی که دوست دارید، مثلاً 100 بردارید، مختصات آنها را در یک ماتریس 100 در 3 قرار دهید، و رتبه چنین آسمان خراشی همچنان یک باقی خواهد ماند.

بیایید با ماتریسی که ردیف های آن آشنا شویم مستقل خطی. یک جفت بردار غیر خطی برای ساخت پایه سه بعدی مناسب است. رتبه این ماتریس دو است.

رتبه ماتریس چقدر است؟ خطوط متناسب به نظر نمی رسند ... بنابراین، در تئوری، سه. با این حال، رتبه این ماتریس نیز برابر با دو است. دو خط اول را اضافه کردم و نتیجه را در پایین نوشتم، یعنی. به صورت خطی بیان شده استخط سوم از دو خط اول. از نظر هندسی، ردیف های ماتریس با مختصات سه مطابقت دارد بردارهای همسطح، و در بین این سه گانه یک جفت رفیق غیر خطی وجود دارد.

همانطور که می بینید وابستگی خطیدر ماتریس در نظر گرفته شده واضح نیست، و امروز ما فقط یاد خواهیم گرفت که چگونه آن را به "آب تمیز" برسانیم.

من فکر می کنم خیلی ها حدس می زنند که رتبه یک ماتریس چقدر است!

ماتریسی را در نظر بگیرید که ردیف های آن مستقل خطی. بردارها شکل می گیرند پایه وابسته، و رتبه این ماتریس سه است.

همانطور که می دانید، هر بردار چهارم، پنجم، دهم فضای سه بعدی به صورت خطی بر حسب بردارهای پایه بیان می شود. بنابراین، اگر هر تعداد ردیف به ماتریس اضافه شود، رتبه آن هنوز سه خواهد بود.

استدلال مشابهی را می توان برای ماتریس هایی با اندازه های بزرگتر (به وضوح، در حال حاضر بدون معنای هندسی) انجام داد.

تعریف : رتبه ماتریس حداکثر تعداد سطرهای مستقل خطی است. یا: رتبه یک ماتریس حداکثر تعداد ستون های مستقل خطی است. بله، آنها همیشه مطابقت دارند.

یک دستورالعمل عملی مهم از موارد فوق ناشی می شود: رتبه یک ماتریس از حداقل ابعاد آن تجاوز نمی کند. به عنوان مثال، در ماتریس چهار سطر و پنج ستون حداقل بعد چهار است، بنابراین، رتبه این ماتریس مطمئناً از 4 بیشتر نخواهد شد.

نشانه گذاری: در تئوری و عمل جهانی هیچ استاندارد پذیرفته شده ای برای تعیین رتبه ماتریس وجود ندارد، رایج ترین آن را می توان یافت: - همانطور که می گویند، یک انگلیسی یک چیز می نویسد، یک آلمانی چیز دیگر. بنابراین، بر اساس حکایت معروف در مورد جهنم آمریکایی و روسی، بیایید رتبه ماتریس را با یک کلمه بومی تعیین کنیم. مثلا: . و اگر ماتریس "بی نام" است، که تعداد زیادی از آن وجود دارد، می توانید به سادگی بنویسید.

چگونه رتبه یک ماتریس را با استفاده از مینورها پیدا کنیم؟

اگر مادربزرگ ما یک ستون پنجم در ماتریس داشت، باید مرتبه چهارم دیگری ("آبی"، "تمشک" + ستون 5) محاسبه می شد.

خروجی: حداکثر ترتیب یک مینور غیر صفر سه است، بنابراین .

شاید همه این عبارت را به طور کامل درک نکرده باشند: مرتبه چهارم مینور برابر با صفر است، اما در بین مینورهای مرتبه 3 یک غیر صفر وجود دارد - بنابراین حداکثر مرتبه غیر صفرجزئی و برابر با سه.

این سوال پیش می آید که چرا بلافاصله تعیین کننده را محاسبه نمی کنیم؟ خوب، اولا، در اکثر وظایف، ماتریس مربع نیست، و ثانیا، حتی اگر یک مقدار غیر صفر دریافت کنید، آنگاه کار با احتمال زیاد رد می شود، زیرا معمولاً به معنای یک "پایین به بالا" استاندارد است. راه حل. و در مثال در نظر گرفته شده، تعیین کننده صفر مرتبه 4 حتی به ما امکان می دهد ادعا کنیم که رتبه ماتریس فقط کمتر از چهار است.

باید اعتراف کنم که برای توضیح بهتر روش مرزبندی خردسالان به مشکل تحلیل شده خودم رسیدم. در عمل واقعی، همه چیز ساده تر است:

مثال 2

رتبه یک ماتریس را با روش فرینگ مینورها پیدا کنید

راه حل و پاسخ در پایان درس.

چه زمانی الگوریتم سریعتر اجرا می شود؟ برگردیم به همان ماتریس چهار در چهار . بدیهی است که راه حل در مورد "خوب" کوتاه ترین خواهد بود. خردسالان گوشه ای:

و اگر، پس، در غیر این صورت - .

تفکر به هیچ وجه فرضی نیست - مثال های زیادی وجود دارد که در آن همه چیز فقط به خردسالان زاویه ای محدود می شود.

با این حال، در برخی موارد، روش دیگری موثرتر و ارجح تر است:

چگونه رتبه یک ماتریس را با استفاده از روش گاوس پیدا کنیم؟

این بخش برای خوانندگانی است که قبلاً با آن آشنا هستند روش گاوسو کم کم به دستشان رسید.

از نقطه نظر فنی، روش جدید نیست:

1) با استفاده از تبدیل های ابتدایی، ماتریس را به شکل مرحله ای می آوریم.

2) رتبه ماتریس برابر با تعداد سطرها است.

کاملا واضح است که استفاده از روش گاوس رتبه ماتریس را تغییر نمی دهدو جوهر در اینجا بسیار ساده است: طبق الگوریتم، در جریان تبدیلات ابتدایی، تمام خطوط متناسب غیر ضروری (وابسته خطی) شناسایی و حذف می شوند، در نتیجه یک "بقایای خشک" باقی می ماند - حداکثر تعداد خطوط مستقل خطی

بیایید ماتریس آشنای قدیمی را با مختصات سه بردار خطی تبدیل کنیم:

(1) ردیف اول در 2- ضرب به ردیف دوم اضافه شد. خط اول به خط سوم اضافه شد.

(2) خطوط صفر حذف می شوند.

بنابراین یک خط باقی مانده است، از این رو . نیازی به گفتن نیست که این بسیار سریعتر از محاسبه 9 صفر مینور درجه 2 و نتیجه گیری است.

این را به خودی خود یادآوری می کنم ماتریس جبریهیچ چیز را نمی توان تغییر داد و تحولات فقط به منظور یافتن رتبه انجام می شود! به هر حال، اجازه دهید دوباره به این سوال بپردازیم که چرا نه؟ ماتریس منبع حامل اطلاعاتی است که اساساً با اطلاعات ماتریسی و ردیفی متفاوت است. در برخی از مدل های ریاضی (بدون اغراق) تفاوت در یک عدد می تواند موضوع مرگ و زندگی باشد. ... یاد معلم های ریاضی مدرسه ابتدایی و راهنمایی افتادم که برای کوچکترین نادرستی یا انحراف از الگوریتم بی رحمانه نمره را 1-2 قطع می کردند. و زمانی که به جای "پنج" به ظاهر تضمین شده، "خوب" یا حتی بدتر شد، بسیار ناامید کننده بود. درک بسیار دیرتر به دست آمد - چگونه می توان ماهواره ها، کلاهک های هسته ای و نیروگاه ها را به شخص واگذار کرد؟ اما نگران نباشید من در این زمینه ها کار نمی کنم =)

بیایید به سمت کارهای معنی دارتر برویم، جایی که، در میان چیزهای دیگر، با تکنیک های محاسباتی مهم آشنا خواهیم شد. روش گاوس:

مثال 3

رتبه یک ماتریس را با استفاده از تبدیل های ابتدایی پیدا کنید

تصمیم گیری: یک ماتریس چهار در پنج داده می شود، به این معنی که رتبه آن مطمئناً بیش از 4 نیست.

در ستون اول، 1 یا -1 وجود ندارد، بنابراین، برای به دست آوردن حداقل یک واحد، مراحل اضافی لازم است. در طول کل سایت، بارها این سوال از من پرسیده شده است: "آیا می توان ستون ها را در طول تحولات ابتدایی مرتب کرد؟". در اینجا - تنظیم مجدد ستون اول یا دوم، و همه چیز خوب است! در اکثر وظایف که در آن روش گاوس، ستون ها را واقعاً می توان دوباره مرتب کرد. اما نکن. و نکته حتی یک اشتباه احتمالی با متغیرها نیست، نکته این است که در دوره کلاسیک تدریس ریاضیات عالی این عمل به طور سنتی در نظر گرفته نمی شود، بنابراین، به چنین رکیکی بسیار کج نگاه می شود (یا حتی مجبور می شود همه چیز را دوباره انجام دهد) .

نکته دوم مربوط به اعداد است. در طول تصمیم گیری، مفید است که با قانون کلی زیر هدایت شوید: در صورت امکان، تبدیل‌های ابتدایی باید اعداد ماتریس را کاهش دهند. در واقع، کار با یک-دو-سه بسیار ساده تر از مثلاً با 23، 45 و 97 است. و اولین اقدام نه تنها به دست آوردن یک واحد در ستون اول، بلکه حذف اعداد نیز انجام می شود. 7 و 11.

ابتدا راه حل کامل، سپس نظرات:

(1) ردیف اول در 2- ضرب به ردیف دوم اضافه شد. خط اول به خط سوم اضافه شد، ضرب در 3. و به پشته: خط 1، ضرب در -1، به خط 4 اضافه شد.

(2) سه خط آخر متناسب هستند. خط 3 و 4 حذف شد، خط دوم به رتبه اول منتقل شد.

(3) ردیف اول در 3- ضرب به ردیف دوم اضافه شد.

ماتریسی که به شکل پلکانی کاهش یافته است دارای دو ردیف است.

پاسخ:

حالا نوبت شماست که ماتریس چهار در چهار را شکنجه کنید:

مثال 4

رتبه یک ماتریس را با استفاده از روش گاوسی پیدا کنید

این را به شما یادآوری می کنم روش گاوسبه معنای استحکام بدون ابهام نیست و راه حل شما به احتمال زیاد با راه حل من متفاوت خواهد بود. نمونه مختصری از تکلیف در پایان درس.

برای یافتن رتبه یک ماتریس از چه روشی استفاده کنیم؟

در عمل اغلب اصلاً گفته نمی شود که از کدام روش برای یافتن رتبه استفاده شود. در چنین شرایطی، باید شرایط را تجزیه و تحلیل کرد - برای برخی از ماتریس ها، انجام راه حل از طریق خردسالان منطقی تر است، در حالی که برای دیگران استفاده از تبدیل های اولیه بسیار سودمندتر است:

مثال 5

رتبه یک ماتریس را پیدا کنید

تصمیم گیری: راه اول به نوعی بلافاصله ناپدید می شود =)

کمی بالاتر، توصیه کردم که ستون های ماتریس را لمس نکنید، اما وقتی یک ستون صفر، یا ستون های متناسب / مطابق وجود دارد، هنوز ارزش قطع کردن را دارد:

(1) ستون پنجم صفر است، آن را از ماتریس حذف می کنیم. بنابراین، رتبه ماتریس حداکثر چهار است. ردیف اول در -1 ضرب می شود. این یکی دیگر از مشخصه های روش گاوسی است که عمل زیر را به یک پیاده روی دلپذیر تبدیل می کند:

(2) به تمام خطوط، با شروع از دوم، خط اول اضافه شد.

(3) ردیف اول در -1 ضرب شد، ردیف سوم تقسیم بر 2، ردیف چهارم تقسیم بر 3 شد. ردیف دوم ضرب در -1 به ردیف پنجم اضافه شد.

(4) خط سوم ضرب در 2- به خط پنجم اضافه شد.

(5) دو خط آخر متناسب هستند، پنجمین را حذف می کنیم.

نتیجه 4 ردیف است.

پاسخ:

ساختمان استاندارد پنج طبقه برای کاوش شخصی:

مثال 6

رتبه یک ماتریس را پیدا کنید

راه حل کوتاه و پاسخ در پایان درس.

لازم به ذکر است که عبارت "رتبه ماتریسی" در عمل چندان رایج نیست و در اکثر مشکلات می توانید بدون آن کار کنید. اما یک کار وجود دارد که در آن مفهوم مورد بررسی شخصیت اصلی است و در پایان مقاله این کاربرد عملی را در نظر خواهیم گرفت:

چگونه سیستم معادلات خطی را برای سازگاری بررسی کنیم؟

اغلب علاوه بر حل کردن سیستم های معادلات خطیطبق شرط، ابتدا باید از نظر سازگاری بررسی شود، یعنی ثابت شود که اصلاً راه حلی وجود دارد. نقش کلیدی در این راستی آزمایی توسط قضیه کرونکر-کاپلی، که به شکل مورد نیاز فرموله خواهم کرد:

اگر رتبه ماتریس های سیستمبرابر با رتبه سیستم ماتریس تقویت شده، آنگاه سیستم سازگار است و اگر عدد داده شده با تعداد مجهولات منطبق باشد، پس راه حل منحصر به فرد است.

بنابراین، برای مطالعه سیستم از نظر سازگاری، لازم است برابری آن بررسی شود ، جایی که - ماتریس سیستم(اصطلاحات درس را به خاطر بسپارید روش گاوس)، آ - سیستم ماتریس تقویت شده(یعنی ماتریس با ضرایب در متغیرها + ستون عبارات آزاد).

رتبه یک ماتریس یک مشخصه عددی مهم است. معمولی ترین مسئله ای که نیاز به یافتن رتبه یک ماتریس دارد، بررسی سازگاری یک سیستم معادلات جبری خطی است. در این مقاله مفهوم رتبه یک ماتریس را بیان می کنیم و روش هایی برای یافتن آن در نظر می گیریم. برای جذب بهتر مواد، راه حل های چند نمونه را به تفصیل تجزیه و تحلیل خواهیم کرد.

پیمایش صفحه.

تعیین رتبه یک ماتریس و مفاهیم اضافی لازم.

قبل از بیان تعریف رتبه یک ماتریس، باید مفهوم مینور را به خوبی درک کرد و یافتن مینورهای یک ماتریس مستلزم توانایی محاسبه تعیین کننده است. بنابراین توصیه می کنیم، در صورت لزوم، تئوری مقاله، روش های یافتن تعیین کننده ماتریس، ویژگی های تعیین کننده را یادآوری کنید.

یک ماتریس A به ترتیب بگیرید. فرض کنید k یک عدد طبیعی باشد که از کوچکترین اعداد m و n تجاوز نکند، یعنی: .

تعریف.

مرتبه k-ام جزئیماتریس A تعیین کننده ماتریس مربع ترتیب است که از عناصر ماتریس A تشکیل شده است که در k ردیف و ستون از پیش انتخاب شده قرار دارند و مکان عناصر ماتریس A حفظ می شود.

به عبارت دیگر، اگر در ماتریس A (p–k) ردیف‌ها و (n–k) ستون‌ها را حذف کنیم و با حفظ آرایش عناصر ماتریس A، ماتریسی از بقیه عناصر تشکیل دهیم، آنگاه تعیین‌کننده ماتریس حاصل می‌شود. جزئی از مرتبه k ماتریس A.

بیایید با استفاده از یک مثال به تعریف ماتریس مینور نگاه کنیم.

ماتریس را در نظر بگیرید .

اجازه دهید چند عدد فرعی مرتبه اول این ماتریس را بنویسیم. به عنوان مثال، اگر ردیف سوم و ستون دوم ماتریس A را انتخاب کنیم، انتخاب ما با یک مینور مرتبه اول مطابقت دارد. . به عبارت دیگر، برای به دست آوردن این مینور، ردیف های اول و دوم و همچنین ستون های اول، سوم و چهارم را از ماتریس A خط زدیم و از عنصر باقی مانده، تعیین کننده را ساختیم. اگر سطر اول و ستون سوم ماتریس A را انتخاب کنیم، یک مینور دریافت می کنیم .

اجازه دهید روش به دست آوردن خردسالان مرتبه اول را توضیح دهیم
و .

بنابراین، مینورهای مرتبه اول یک ماتریس، خود عناصر ماتریس هستند.

اجازه دهید چند خرده درجه دوم را نشان دهیم. دو سطر و دو ستون را انتخاب کنید. برای مثال سطر اول و دوم و ستون سوم و چهارم را بگیرید. با این انتخاب، ما یک مینور درجه دوم داریم . این مینور همچنین می تواند با حذف ردیف سوم، ستون اول و دوم از ماتریس A تشکیل شود.

یکی دیگر از مینورهای مرتبه دوم ماتریس A است.

اجازه دهید ساخت این خردسالان درجه دوم را به تصویر بکشیم
و .

مینورهای مرتبه سوم ماتریس A را می توان به طور مشابه یافت. از آنجایی که در ماتریس A فقط سه ردیف وجود دارد، همه آنها را انتخاب می کنیم. اگر سه ستون اول را برای این سطرها انتخاب کنیم، یک مینور از مرتبه سوم دریافت می کنیم

همچنین می توان آن را با حذف آخرین ستون ماتریس A ساخت.

یکی دیگر از مینورهای مرتبه سوم است

با حذف ستون سوم ماتریس A به دست می آید.

در اینجا نقشه ای است که ساخت این خرده های درجه سوم را نشان می دهد
و .

برای یک ماتریس معین A، هیچ جزئی از مرتبه بالاتر از سوم وجود ندارد، زیرا .

چند مینور مرتبه k از ماتریس مرتبه A وجود دارد؟

تعداد مرتبه k مینورها را می توان به صورت , Where محاسبه کرد و - تعداد ترکیبات از p تا k و از n تا k به ترتیب.

چگونه می توان همه مینورهای مرتبه k ماتریس A از مرتبه p را روی n ساخت؟

ما به مجموعه ای از اعداد ردیف ماتریس و مجموعه ای از اعداد ستون نیاز داریم. ضبط همه چیز ترکیب عناصر p توسط k(هنگام ساختن یک مینور از مرتبه k با ردیف های انتخابی ماتریس A مطابقت دارند). به هر ترکیبی از اعداد ردیف، تمام ترکیبات n عنصر را با k عدد ستون به ترتیب اضافه می کنیم. این مجموعه‌ای از ترکیب‌های اعداد ردیف و اعداد ستون‌های ماتریس A به ترکیب همه فرعی‌های مرتبه k کمک می‌کند.

بیایید یک مثال بزنیم.

مثال.

همه مینورهای مرتبه دوم ماتریس را پیدا کنید.

تصمیم.

از آنجایی که ترتیب ماتریس اصلی 3 در 3 است، مجموع مینورهای مرتبه دوم خواهند بود .

بیایید تمام ترکیبات 3 تا 2 ردیفی ماتریس A را بنویسیم: 1، 2; 1، 3 و 2، 3. تمام ترکیب های 3 در 2 شماره ستون 1، 2 هستند. 1، 3 و 2، 3.

ردیف اول و دوم ماتریس A را در نظر بگیرید. با انتخاب ستون های اول و دوم برای این ردیف ها، ستون های اول و سوم، ستون های دوم و سوم، به ترتیب مینورها را به دست می آوریم.

برای سطرهای اول و سوم، با انتخاب مشابهی از ستون ها، داریم

باقی مانده است که ستون های اول و دوم، اول و سوم، دوم و سوم را به ردیف های دوم و سوم اضافه کنید:

بنابراین، تمام نه مینور مرتبه دوم ماتریس A یافت می شوند.

اکنون می توانیم به تعیین رتبه ماتریس برویم.

تعریف.

رتبه ماتریسیبالاترین مرتبه مینور ماتریس غیر صفر است.

رتبه ماتریس A به عنوان رتبه (A) نشان داده می شود. همچنین می توانید عناوین Rg(A) یا Rang(A) را مشاهده کنید.

از تعاریف رتبه یک ماتریس و مینور یک ماتریس می توان نتیجه گرفت که رتبه یک ماتریس صفر برابر با صفر است و رتبه یک ماتریس غیر صفر حداقل یک است.

پیدا کردن رتبه یک ماتریس بر اساس تعریف.

بنابراین، اولین روش برای یافتن رتبه یک ماتریس است روش شمارش جزئی. این روش بر اساس تعیین رتبه ماتریس است.

اجازه دهید ما باید رتبه یک ماتریس A را پیدا کنیم.

به طور مختصر توضیح دهید الگوریتمحل این مشکل با روش شمارش خردسالان.

اگر حداقل یک عنصر ماتریس غیر صفر باشد، رتبه ماتریس حداقل برابر با یک است (زیرا یک مینور مرتبه اول وجود دارد که برابر با صفر نیست).

در مرحله بعد، روی مینورهای مرتبه دوم تکرار می کنیم. اگر همه مینورهای مرتبه دوم برابر با صفر باشند، رتبه ماتریس برابر با یک است. اگر حداقل یک مینور مرتبه دوم غیر صفر وجود داشته باشد، به شمارش مینورهای مرتبه سوم می رویم و رتبه ماتریس حداقل برابر با دو است.

به طور مشابه، اگر همه مینورهای مرتبه سوم صفر باشند، رتبه ماتریس دو است. اگر حداقل یک مینور مرتبه سوم غیر صفر وجود داشته باشد، رتبه ماتریس حداقل سه است و به شمارش مینورهای مرتبه چهارم می رویم.

توجه داشته باشید که رتبه یک ماتریس نمی تواند از کوچکترین p و n تجاوز کند.

مثال.

رتبه یک ماتریس را پیدا کنید .

تصمیم.

از آنجایی که ماتریس غیر صفر است، رتبه آن کمتر از یک نیست.

جزئی از مرتبه دوم با صفر متفاوت است، بنابراین، رتبه ماتریس A حداقل دو است. به سرشماری خردسالان مرتبه سوم می پردازیم. همه آنها چیزها

همه مینورهای مرتبه سوم برابر با صفر هستند. بنابراین، رتبه ماتریس دو است.

پاسخ:

رتبه (A) = 2.

یافتن رتبه یک ماتریس به روش فرینگ مینورها.

روش های دیگری برای یافتن رتبه یک ماتریس وجود دارد که به شما امکان می دهد با کار محاسباتی کمتری به نتیجه برسید.

یکی از این روش ها است روش فرعی جزئی.

بیایید مقابله کنیم مفهوم صغیر مرزی.

گفته می شود که M ok فرعی از (k+1)امین مرتبه ماتریس A در صورتی که ماتریس مربوط به مینور M ok حاوی ماتریس مربوط به ماتریس A باشد، M مینور از مرتبه k ماتریس A را احاطه می کند. م.

به عبارت دیگر، ماتریس مربوط به مینور M حاشیه دار از ماتریس مربوط به مینور حاشیه M ok با حذف عناصر یک سطر و یک ستون به دست می آید.

به عنوان مثال، ماتریس را در نظر بگیرید و یک مینور از مرتبه دوم بگیرید. بیایید همه خردسالان مرزی را بنویسیم:

روش مرزبندی جزئی ها با قضیه زیر توجیه می شود (ما فرمول آن را بدون اثبات ارائه می کنیم).

قضیه.

اگر همه مینورهای مرتبه k-ام ماتریس A از مرتبه p با n برابر با صفر باشند، آنگاه همه مینورهای مرتبه (k + 1) ماتریس A برابر با صفر هستند.

بنابراین، برای یافتن رتبه یک ماتریس، لازم نیست تمام موارد فرعی را که به اندازه کافی مرز دارند، برشماریم. تعداد مینورهای مجاور مینور مرتبه k ماتریس A با فرمول بدست می آید . توجه داشته باشید که کمتر از مینورهای مرتبه k (k + 1) ماتریس A در مرز مینور k-امین ماتریس A وجود ندارد. بنابراین، در بیشتر موارد استفاده از روش مرزبندی خردسالان سود بیشتری نسبت به برشمردن ساده همه خردسالان دارد.

اجازه دهید به یافتن رتبه یک ماتریس با روش حاشیه‌سازی مینورها ادامه دهیم. به طور مختصر توضیح دهید الگوریتماین روش.

اگر ماتریس A غیر صفر باشد، هر عنصری از ماتریس A را که با صفر متفاوت باشد را به عنوان مینور مرتبه اول در نظر می گیریم. ما خردسالان مرزی آن را در نظر می گیریم. اگر همه آنها برابر با صفر باشند، رتبه ماتریس برابر با یک است. اگر حداقل یک مینور مرزی غیر صفر وجود داشته باشد (ترتیب آن برابر دو است)، به بررسی مینورهای حاشیه آن می پردازیم. اگر همه آنها صفر باشند، رتبه (A) = 2 است. اگر حداقل یک مینور مرزی غیر صفر باشد (ترتیب آن برابر با سه است)، آنگاه مینورهای حاشیه آن را در نظر می گیریم. و غیره. در نتیجه، اگر همه مینورهای مرزی مرتبه (k + 1) ماتریس A برابر با صفر باشند، رتبه (A) = k، اگر غیرصفری وجود داشته باشد، رتبه (A) = min (p, n) مینور که با مینور از مرتبه (min( p, n) – 1) هم مرز است.

بیایید روش مرزبندی مینورها را برای یافتن رتبه یک ماتریس با استفاده از یک مثال تجزیه و تحلیل کنیم.

مثال.

رتبه یک ماتریس را پیدا کنید با روش مینورهای مرزی

تصمیم.

از آنجایی که عنصر a 1 1 از ماتریس A غیر صفر است، آن را به عنوان یک مینور مرتبه اول در نظر می گیریم. بیایید شروع به جستجو برای مینور حاشیه ای به غیر از صفر کنیم:

یک مینور مرتبه دوم حاشیه غیر صفر پیدا شد. اجازه دهید خردسالان مرزی آن را برشماریم (آنها چیزها):

همه مینورهایی که در مرز مینور مرتبه دوم قرار دارند برابر با صفر هستند، بنابراین، رتبه ماتریس A برابر با دو است.

پاسخ:

رتبه (A) = 2.

مثال.

رتبه یک ماتریس را پیدا کنید با کمک خردسالان مرزی

تصمیم.

به عنوان مینور غیر صفر مرتبه اول، عنصر a 1 1 = 1 از ماتریس A را می گیریم. فرینگ کردن آن جزئی از مرتبه دوم برابر با صفر نیست این مینور با مینور مرتبه سوم مرزبندی شده است
. از آنجایی که برابر با صفر نیست و هیچ مینور مرزی برای آن وجود ندارد، رتبه ماتریس A برابر با سه است.

پاسخ:

رتبه (A) = 3.

یافتن رتبه با استفاده از تبدیل های ابتدایی ماتریس (به روش گاوس).

راه دیگری را برای یافتن رتبه یک ماتریس در نظر بگیرید.

تبدیل های ماتریسی زیر ابتدایی نامیده می شوند:

جایگشت سطرها (یا ستون ها) ماتریس؛
ضرب تمام عناصر هر ردیف (ستون) ماتریس با عدد دلخواه k که با صفر متفاوت است.
افزودن به عناصر هر ردیف (ستون) عناصر مربوط به سطر (ستون) دیگر ماتریس، ضرب در عدد دلخواه k.

ماتریس B را معادل ماتریس A می نامند، اگر B با کمک تعداد محدودی از تبدیل های ابتدایی از A به دست آید. معادل ماتریس ها با نماد "~" نشان داده می شود، یعنی A ~ B نوشته می شود.

یافتن رتبه یک ماتریس با استفاده از تبدیل‌های ماتریس ابتدایی بر اساس این جمله است: اگر ماتریس B از ماتریس A با استفاده از تعداد محدودی از تبدیل‌های ابتدایی به دست می‌آید، Rank(A) = Rank(B) .

اعتبار این عبارت از ویژگی های تعیین کننده ماتریس به دست می آید:

هنگامی که سطرها (یا ستون‌های) یک ماتریس جایگشت می‌شوند، دترمینان آن علامت تغییر می‌کند. اگر برابر با صفر باشد، هنگام جابجایی سطرها (ستون ها)، برابر با صفر باقی می ماند.
وقتی همه عناصر هر ردیف (ستون) ماتریس را در یک عدد دلخواه k متفاوت از صفر ضرب می کنیم، تعیین کننده ماتریس حاصل برابر با تعیین کننده ماتریس اصلی ضرب در k است. اگر تعیین کننده ماتریس اصلی برابر با صفر باشد، پس از ضرب همه عناصر هر سطر یا ستون در عدد k، تعیین کننده ماتریس حاصل نیز برابر با صفر خواهد بود.
با افزودن عناصر یک ردیف (ستون) معین از ماتریس، عناصر مربوط به سطر (ستون) دیگر ماتریس، ضرب در عدد معینی k، تعیین کننده آن را تغییر نمی دهد.

جوهر روش تحولات ابتداییاین است که ماتریسی را که باید رتبه آن را پیدا کنیم، به ذوزنقه (در یک مورد خاص، به مثلث بالایی) با استفاده از تبدیل های ابتدایی برسانیم.

این برای چیست؟ یافتن رتبه ماتریس هایی از این دست بسیار آسان است. برابر است با تعداد ردیف هایی که حداقل یک عنصر غیر تهی را شامل می شود. و از آنجایی که رتبه ماتریس در طول تبدیل های ابتدایی تغییر نمی کند، مقدار حاصل رتبه ماتریس اصلی خواهد بود.

ما تصاویری از ماتریس ها را ارائه می دهیم که یکی از آنها باید پس از تبدیل به دست آید. شکل آنها به ترتیب ماتریس بستگی دارد.

این تصاویر الگوهایی هستند که ماتریس A را به آنها تبدیل می کنیم.

بیایید توصیف کنیم الگوریتم روش.

فرض کنید ما باید رتبه یک ماتریس غیر صفر مرتبه A را پیدا کنیم (p می تواند برابر با n باشد).

بنابراین، . بیایید تمام عناصر ردیف اول ماتریس A را در ضرب کنیم. در این حالت یک ماتریس معادل بدست می آوریم و آن را با A (1) نشان می دهیم:

به عناصر ردیف دوم ماتریس حاصل A (1)، عناصر مربوط به ردیف اول را در ضرب اضافه می کنیم. به عناصر ردیف سوم، عناصر مربوط به سطر اول را ضرب کنید. و به همین ترتیب تا خط p-ام. ما یک ماتریس معادل می گیریم، آن را با A (2) نشان می دهیم:

اگر همه عناصر ماتریس به دست آمده در ردیف های دوم تا p-th برابر با صفر باشند، رتبه این ماتریس برابر با یک و در نتیجه رتبه ماتریس اصلی برابر با یک است. .

اگر حداقل یک عنصر غیر صفر در ردیف های دوم تا p-th وجود داشته باشد، ما به انجام تبدیل ها ادامه می دهیم. علاوه بر این، دقیقاً به همین ترتیب عمل می کنیم، اما فقط با بخشی از ماتریس A که در شکل (2) مشخص شده است.

اگر، سطرها و (یا) ستون‌های ماتریس A (2) را مجدداً مرتب می‌کنیم تا عنصر «جدید» غیرصفر شود.

اجازه دهید مقداری ماتریس داده شود:

در این ماتریس انتخاب کنید خطوط دلخواه و ستون های دلخواه
. سپس تعیین کننده مرتبه ام، از عناصر ماتریسی تشکیل شده است
واقع در تقاطع سطرها و ستون های انتخاب شده، مینور نامیده می شود ماتریس مرتبه -ام
.

تعریف 1.13.رتبه ماتریسی
بزرگترین مرتبه مینور غیر صفر این ماتریس است.

برای محاسبه رتبه یک ماتریس، باید تمام مینورهای آن را با کوچکترین مرتبه در نظر گرفت و اگر حداقل یکی از آنها غیر صفر بود، به در نظر گرفتن مینورهای بالاترین مرتبه اقدام کرد. این رویکرد برای تعیین رتبه یک ماتریس، روش مرزی (یا روش فرعی مرزی) نامیده می شود.

وظیفه 1.4.با روش مرزبندی مینورها، رتبه یک ماتریس را تعیین کنید
.

برای مثال مرزبندی مرتبه اول را در نظر بگیرید
. سپس به بررسی برخی حاشیه های مرتبه دوم می پردازیم.

مثلا،
.

در نهایت اجازه دهید مرزبندی مرتبه سوم را تحلیل کنیم.

بنابراین بالاترین ترتیب یک مینور غیر صفر 2 است، بنابراین
.

هنگام حل مسئله 1.4، می توان متوجه شد که سری های فرعی مرزی مرتبه دوم غیر صفر هستند. در این رابطه، تصور زیر صورت می گیرد.

تعریف 1.14.مینور پایه یک ماتریس هر مینور غیر صفر است که ترتیب آن برابر با رتبه ماتریس باشد.

قضیه 1.2.(قضیه جزئی پایه). ردیف های اصلی (ستون های اصلی) به صورت خطی مستقل هستند.

توجه داشته باشید که سطرها (ستون‌های) یک ماتریس به صورت خطی وابسته هستند اگر و تنها در صورتی که حداقل یکی از آنها را بتوان به صورت ترکیبی خطی از بقیه نشان داد.

قضیه 1.3.تعداد ردیف‌های ماتریس مستقل خطی برابر با تعداد ستون‌های ماتریس مستقل خطی و برابر با رتبه ماتریس است.

قضیه 1.4.(شرط لازم و کافی برای اینکه تعیین کننده برابر با صفر باشد). به منظور تعیین کننده - مرتبه برابر با صفر است، لازم و کافی است که سطرها (ستون های) آن به صورت خطی وابسته باشند.

محاسبه رتبه یک ماتریس بر اساس تعریف آن بسیار دشوار است. این امر به ویژه برای ماتریس های مرتبه بالا مهم می شود. در این راستا، در عمل، رتبه یک ماتریس بر اساس استفاده از قضایای 10.2 - 10.4 و همچنین استفاده از مفاهیم هم ارزی ماتریس و تبدیل های ابتدایی محاسبه می شود.

تعریف 1.15.دو ماتریس
و معادل نامیده می شوند اگر رتبه های آنها مساوی باشد، یعنی.
.

اگر ماتریس ها
و معادل هستند، سپس توجه داشته باشید
 .

قضیه 1.5.رتبه یک ماتریس از تبدیل های ابتدایی تغییر نمی کند.

ما تبدیلات ابتدایی ماتریس را می نامیم
هر یک از اقدامات زیر در ماتریس:

جایگزینی ردیف ها با ستون ها و ستون ها با ردیف های مربوطه.

جایگشت ردیف های ماتریس.

عبور از خطی که همه عناصر آن برابر با صفر هستند.

ضرب هر رشته در یک عدد غیر صفر.

افزودن عناصر یک ردیف به عناصر یک ردیف دیگر ضرب در همان عدد
.

نتیجه قضیه 1.5.اگر ماتریس
به دست آمده از ماتریس با استفاده از تعداد محدودی از تبدیل های ابتدایی، سپس ماتریس ها
و معادل هستند.

هنگام محاسبه رتبه یک ماتریس، باید با استفاده از تعداد محدودی از تبدیل های ابتدایی به شکل ذوزنقه ای کاهش یابد.

تعریف 1.16.هنگامی که در مینور حاشیه بزرگ‌ترین مرتبه غیر از صفر، همه عناصر زیر عناصر مورب ناپدید شوند، چنین شکلی از نمایش ماتریس را ذوزنقه می‌نامیم. مثلا:

اینجا
، عناصر ماتریس
به صفر تبدیل شود سپس شکل نمایش چنین ماتریسی ذوزنقه ای خواهد بود.

به عنوان یک قاعده، ماتریس ها با استفاده از الگوریتم گاوسی به شکل ذوزنقه ای کاهش می یابند. ایده الگوریتم گاوسی این است که با ضرب عناصر ردیف اول ماتریس در فاکتورهای مربوطه، به این نتیجه می رسند که تمام عناصر ستون اول در زیر عنصر قرار دارند.
، به صفر تبدیل می شود. سپس با ضرب عناصر ستون دوم در ضریب های مربوطه، به این نتیجه می رسیم که تمام عناصر ستون دوم در زیر عنصر قرار دارند.
، به صفر تبدیل می شود. ادامه به طور مشابه ادامه دهید.